Lihat sumber Klein empat grup

{{about|konsep matematika|empat orang grup Perlawanan anti-Nazi|Vierergruppe (Perlawanan Jerman)}}
{{distinguish|text=[[Grup Kleinian]], sub-grup terpisah dari PSL(2, C)}}
{{Group theory sidebar |Finite}}

Dalam [[matematika]], '''Klein empat grup''' adalah [[Grup (matematika) | grup]] dengan empat elemen, di mana setiap elemen adalah [[Involution (matematika) | self-inverse]] (menyusunnya dengan sendirinya menghasilkan identitas)
dan di mana menyusun dua dari tiga elemen non-identitas menghasilkan yang ketiga.
Ini dapat dideskripsikan sebagai [[grup simetri]] dari non-persegi [[persegi panjang]] (dengan tiga elemen non-identitas menjadi refleksi horizontal dan vertikal dan rotasi 180 derajat),
sebagai grup operasi [[operasi Bitwise | bitwise]] [[eksklusif atau]] pada nilai biner dua bit,
atau lebih [[aljabar abstrak | abstrak]] sebagai {{nowrap|Z<sub>2</sub> × Z<sub>2</sub>}}, [[Produk langsung dari grup | produk langsung]] dari dua salinan dari [[grup siklik]] dari [[Urutan (teori grup) | pesanan]] 2. Nama '''''Vierergruppe''''' (yang berarti empat grup) oleh [[Felix Klein]] pada tahun 1884.<ref>''Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade'' (Kuliah tentang ikosahedron dan solusi persamaan derajat kelima)</ref>
Ini juga disebut '''Grup Klein''', dan sering dilambangkan dengan huruf V atau sebagai K<sub>4</sub>.

Grup empat Klein, dengan empat elemen, adalah grup terkecil yang bukan merupakan [[grup siklik]]. Hanya ada satu grup lain dari orde empat, hingga [[grup isomorfisme | isomorfisme]], grup siklik urutan 4. Keduanya adalah [[grup abelian]]. Golongan non-abelian terkecil adalah [[golongan simetris derajat 3]], yang berurutan 6.

== Presentasi ==
[[Tabel Cayley]] dari grup Klein diberikan oleh:
{| class=wikitable width=120
!*
!e
!''a''
!''b''
!''c''
|- align=center
!e
|e || ''a'' || ''b'' || ''c''
|- align=center
!''a''
| ''a'' || e || ''c'' || ''b''
|- align=center
!''b''
|''b'' || ''c'' || e || ''a''
|- align=center
!''c''
| ''c'' || ''b'' || ''a'' || e
|}

Empat kelompok Klein juga ditentukan oleh [[presentasi grup]]

:<math>\mathrm{V} = \langle a,b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2 = e \rangle.</math>

Semua elemen non - [[elemen identitas | identitas]] dari grup Klein memiliki urutan 2, sehingga dua elemen non-identitas mana pun dapat berfungsi sebagai generator dalam presentasi di atas. Empat kelompok Klein adalah non-[[grup siklik]] terkecil. Namun ini adalah [[kelompok abelian]], dan isomorfik ke [[kelompok dihedral]] urutan (kardinalitas) 4, yaitu D<sub>4</sub> (atau D<sub>2</sub>, menggunakan konvensi geometris); selain grup urutan 2, itu adalah satu-satunya grup dihedral yang abelian.

Grup empat Klein juga isomorfik terhadap [[jumlah langsung]] {{nowrap|Z<sub>2</sub> ⊕ Z<sub>2</sub>}}, sehingga bisa direpresentasikan sebagai pasangan {{nowrap|{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} }} di bawah penambahan berdasarkan komponen [[Aritmrtika modular | modulo 2]] (atau yang setara dengan [[Bit array | bit strings]] {{nowrap|{00, 01, 10, 11} }}di bawah [[bitwise XOR]]); dengan (0,0) menjadi elemen identitas kelompok. Jadi, empat kelompok Klein adalah contoh dari [[grup abelian dasar | kelompok abelian dasar 2]], yang juga disebut [[grup Boolean]]. Kelompok empat Klein dengan demikian juga kelompok yang dihasilkan oleh [[perbedaan simetris]] sebagai operasi biner pada [[himpunan bagian]] dari [[himpunan kekuatan]] dari suatu himpunan dengan dua elemen, yaitu di atas [[bidang himpunan]] dengan empat elemen, misalnya<math>\{\emptyset, \{\alpha\}, \{\beta\}, \{\alpha, \beta\}\}</math>; [[himpunan kosong]] adalah elemen identitas grup dalam kasus ini.

Konstruksi numerik lain dari grup empat Klein adalah himpunan {{nowrap|{ 1, 3, 5, 7 },}} dengan operasi menjadi [[Grup perkalian bilangan bulat modulo n | perkalian modulo 8]]. Di sini '' a '' adalah 3, '' b '' adalah 5, dan {{nowrap|1=''c'' = ''ab''}} adalah {{nowrap|1=3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8)}}.

Empat grup Klein memiliki representasi sebagai matriks nyata 2x2 dengan operasi perkalian matriks:

:<math>
  e =\begin{pmatrix}
     1&0\\
     0&1
     \end{pmatrix}\,\,
  a =\begin{pmatrix}
     1&0\\
     0&-1
     \end{pmatrix}\,\,
  b =\begin{pmatrix}
     -1&0\\
     0&1
     \end{pmatrix}\,\,
  c =\begin{pmatrix}
     -1&0\\
     0&-1
     \end{pmatrix}
</math>

== Geometri ==
Secara geometris, dalam dua dimensi, empat grup Klein adalah [[grup simetri]] dari [[belah ketupat]] dan [[persegi panjang]] yang bukan [[persegi (geometri) | persegi]], Empat elemen tersebut adalah identitas, refleksi vertikal, refleksi horizontal, dan rotasi 180 derajat.

Dalam tiga dimensi, ada tiga kelompok simetri berbeda yang secara aljabar merupakan empat grup Klein V:
* satu dengan tiga sumbu rotasi 2 kali lipat tegak lurus: D<sub> 2 </sub>
* satu dengan sumbu rotasi 2 kali lipat, dan bidang refleksi tegak lurus: {{nowrap|1=C<sub>2''h''</sub> = D<sub>1''d''</sub>}}
* satu dengan sumbu rotasi 2 kali lipat dalam bidang refleksi (dan karenanya juga dalam bidang refleksi tegak lurus): {{nowrap|1=C<sub>2''v''</sub> = D<sub>1''h''</sub>}}.
{{Clear}}

== Representasi permutasi ==
[[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|thumb|Identitas dan ganda - [[transposisi (matematika) | transposisi]] dari empat objek membentuk V]]
[[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,1,6,7).svg|thumb|Permutasi lain dari empat objek, membentuk V juga<br><br>Lihat: [[Subgrup#4 elemen | 4 himpunan bagian elemen dari S<sub>4</sub>]]]]
Tiga elemen orde dua dalam grup empat Klein dapat dipertukarkan: [[grup automorfisme]] dari V adalah grup permutasi dari ketiga elemen ini.

Permutasi empat kelompok Klein dari elemennya sendiri dapat dianggap secara abstrak sebagai [[representasi permutasi]] pada empat poin:
:V = { (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) }

Dalam representasi ini, V adalah [[subgrup normal]] dari [[grup bergantian]] A<sub>4</sub>
(dan juga [[grup simetris]] S<sub>4</sub>) pada empat huruf. Nyatanya, ini adalah [[Kernel (aljabar)#Homomorfisme grup | kernel]] dari sebuah surjektif [[group homomorphism]] dari S<sub>4</sub> ke S<sub>3</sub>.

Representasi lain di dalam S<sub>4</sub> adalah:

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4)}

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4)}

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3)}

Mereka bukan subgrup normal dari S<sub>4.</sub>
{{Clear}}

== Aljabar ==
Menurut [[teori Galois]], keberadaan empat kelompok Klein (dan khususnya, representasi permutasi dari itu) menjelaskan keberadaan rumus untuk menghitung akar [[persamaan kuartik]] s dalam hal [[Radikal dari suatu grup aljabar | radikal]], sebagaimana ditetapkan oleh [[Lodovico Ferrari]]:
peta {{nowrap|S<sub>4</sub> → S<sub>3</sub>}} sesuai dengan kubik pemecah, dalam hal [[resolusi Lagrange]].

Dalam konstruksi [[gelanggang berhingga]], delapan dari sebelas cincin dengan empat elemen memiliki empat kelompok Klein sebagai substruktur aditifnya.

Jika '''R'''<sup>&times;</sup> menunjukkan kelompok perkalian dari non-nol real dan '''R'''<sup>+</sup> kelompok perkalian [[riil positif]], '''R'''<sup>&times;</sup> &times; '''R'''<sup>&times;</sup> adalah [[grup unit]] dari gelanggang {{nowrap|'''R''' &times; '''R'''}}, dan {{nowrap|'''R'''<sup>+</sup> &times; '''R'''<sup>+</sup>}} adalah subgrup dari {{nowrap|'''R'''<sup>&times;</sup> &times; '''R'''<sup>&times;</sup>}} (sebenarnya ini adalah [[komponen identitas]] dari {{nowrap|'''R'''<sup>&times;</sup> &times; '''R'''<sup>&times;</sup>}}). [[Grup hasil bagi]] {{nowrap|('''R'''<sup>&times;</sup> &times; '''R'''<sup>&times;</sup>) / ('''R'''<sup>+</sup> &times; '''R'''<sup>+</sup>)}} isomorfik ke empat kelompok Klein. Dengan cara yang sama, kelompok unit [[bilangan kompleks-pisah | gelanggang bilangan kompleks pisah]], jika dibagi dengan komponen identitasnya, juga menghasilkan grup empat Klein.

== Teori grafik ==
[[Grafik sederhana | sederhana]] [[grafik terhubung]] yang paling sederhana yang mengakui empat grup Klein sebagai [[grafik automorfisme | grup automorfisme]] adalah [[grafik berlian]] yang ditunjukkan di bawah ini.  Ini juga merupakan grup automorfisme dari beberapa grafik lain yang lebih sederhana dalam arti memiliki lebih sedikit entitas.  Ini termasuk grafik dengan empat simpul dan satu sisi, yang tetap sederhana tetapi kehilangan konektivitas, dan grafik dengan dua simpul yang dihubungkan satu sama lain oleh dua sisi, yang tetap terhubung tetapi kehilangan kesederhanaan.

{{multiple image|align = center|perrow = 3
| image1 = Diamond graph.svg  | width1=150 | height1=150
| image2 = Klein 4-Group Graph.svg  | width2=150 | height2=150
| image3 = Digon graph.svg | width3=338 | height3=150
}}

== Musik ==
Dalam [[komposisi musik]], empat kelompok adalah kelompok dasar permutasi dalam [[teknik dua belas nada]]. Dalam contoh itu tabel Cayley ditulis;<ref>[[Milton Babbitt|Babbitt, Milton]]. (1960) "Twelve-Tone Invariants as Compositional Determinants", ''Musical Quarterly'' 46(2):253 Edisi Khusus: Masalah Musik Modern: Seminar Princeton dalam Studi Musik Tingkat Lanjut (April): 246–59, [[Oxford University Press]]</ref>
{| class=wikitable
|S||I:||R:||RI:
|-
|I:||S||RI||R
|-
|R:||RI||S||I
|-
|RI:||R||I||S
|}

== Lihat pula ==
* [[Grup angka empat]]
* [[Daftar grup kecil]]

== Referensi ==
{{Reflist}}

== Bacaan lebih lanjut ==
* M. A. Armstrong (1988) ''Groups and Symmetry'', [[Springer Verlag]], [{{Google books|plainurl=y|id=lDfcBPl9Cu4C|page=53|text=Klein's group}} page 53].
* W. E. Barnes (1963) ''Introduction to Abstract Algebra'', D.C. Heath & Co., page 20.

== Pranala luar ==
* {{mathworld | urlname = Vierergruppe  | title = Vierergruppe }}

[[Kategori:Grup hingga]]