Lihat sumber Kelas konjugasi

{{short description|Dalam teori grup, kelas kesetaraan di bawah hubungan konjugasi}}
Dalam [[matematika]], terutama [[teori grup]], dua elemen {{mvar | a}} dan {{mvar | b}} dari sebuah [[grup (matematika) | grup]] adalah '''konjugasi''' jika elemen {{mvar | g}} dalam grup dirumuskan {{math|1=''b'' = ''g''{{sup|–1}}''ag''}}. Ini adalah [[relasi kesetaraan]] yang [[kelas kesetaraan]] disebut '''kelas konjugasi'''.

Anggota kelas konjugasi yang sama tidak dapat dibedakan dengan hanya menggunakan struktur grup, dan karena itu berbagi banyak sifat. Studi tentang kelas konjugasi [[grup non-abelian]] sangat penting untuk mempelajari struktur mereka.<ref name="dummit">{{cite book | last1=Dummit | first1=David S. | last2=Foote | first2=Richard M. | title=Abstract Algebra | publisher=[[John Wiley & Sons]] | year=2004 | edition=3rd | isbn=0-471-43334-9}}</ref><ref>{{cite book | last=Lang | first=Serge | author-link=Serge Lang | title=Algebra | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | year=2002 | isbn=0-387-95385-X}}</ref> Untuk [[grup abelian]], setiap kelas konjugasi adalah [[Himpunan (matematika) | himpunan]] yang berisi satu elemen ([[Singleton (matematika) | himpunan tunggal]]).

[[fungsi (matematika) | Fungsi]] yang konstan untuk anggota kelas konjugasi yang sama disebut [[fungsi kelas]].

== Definisi<!--'Bilangan kelas (teori grup) 'dialihkan ke sini-->==

Maka {{math | '' G ''}} menjadi sebuah grup. Dua elemen {{math | '' a ''}} dan {{math | '' b ''}} dari {{math | '' G ''}} adalah '''mengkonjugasikan''', jika ada elemen {{math | '' g ''}} di {{math | '' G ''}} sedemikian rupa sehingga {{math|1 = ''gag''<sup>−1</sup> = ''b''}}. Seseorang juga mengatakan bahwa {{math | '' b ''}} adalah konjugasi dari {{math | '' a ''}} dan bahwa {{math | '' a ''}} adalah konjugasi dari {{math | '' b ''}}.

Dalam kasus grup [[GL(n)|{{math|GL(''n'')}}]] dari [[matriks invers]], hubungan konjugasi disebut [[kesamaan matriks]].

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa konjugasi adalah relasi ekivalen dan oleh karena itu memartisi '' G '' menjadi kelas ekivalen. (Ini berarti bahwa setiap elemen grup milik tepat satu kelas konjugasi, dan kelas Cl('' a '') dan Cl('' b '') sama [[jika dan hanya jika]] '' a '' dan '' b '' berkonjugasi, dan [[Himpunan terpisah | memutuskan]] sebaliknya.) Kelas ekivalen yang mengandung elemen '' a '' dalam '' G '' adalah
:{{math|1 = Cl(''a'') = { ''gag''<sup>−1</sup> {{vbar}} g ∈ ''G'' } }}
dan disebut '''kelas konjugasi''' dari {{math|''a''}}. '''{{vanchor|Bilangan kelas}}'''<!--huruf tebal per WP:R#PLA--> dari {{math | '' G ''}} adalah jumlah kelas konjugasi berbeda (tidak ada yang setara). Semua elemen yang termasuk dalam kelas konjugasi yang sama memiliki [[Urutan (teori grup) | urutan]] yang sama.

Kelas konjugasi dapat disebut dengan mendeskripsikannya, atau lebih singkat dengan singkatan seperti "6A", artinya "kelas konjugasi tertentu dari urutan 6 elemen", dan "6B" akan menjadi kelas konjugasi yang berbeda dari elemen urutan 6; kelas konjugasi 1A adalah kelas konjugasi identitas. Dalam beberapa kasus, kelas konjugasi dapat dijelaskan dengan cara yang seragam; misalnya, dalam [[grup simetris]] mereka dapat dijelaskan oleh struktur siklus.

== Contoh ==
Gugus simetris [[Grup dihedral urutan 6|''S''<sub>3</sub>]], terdiri dari 6 [[permutasi]] dari tiga elemen, memiliki tiga kelas konjugasi:
:tidak ada perubahan (abc → abc)
:[[Permutasi siklik#Transposisi |transposisi]] dua (abc → acb, abc → bac, abc → cba)
:[[permutasi siklik]] dari ketiganya (abc → bca, abc → cab)

Ketiga kelas ini juga sesuai dengan klasifikasi [[grup isometri | isometri]] dari [[segitiga sama sisi]]. 

[[Berkas:Symmetric group S4; conjugacy table.svg|thumb|300px|Tabel menampilkan {{math|1 = ''bab''<sup>−1</sup>}} untuk urutan {{math|1 = (''a'', ''b'')}} dengan {{math|1 = ''a'', ''b'' ∈ ''S''<sub>4</sub>}} <small>(membandingkan [[:Berkas:Symmetric group 4; permutation list.svg|daftar bernomor]]) </small>. Setiap baris berisi semua elemen kelas konjugasi {{nowrap|dari {{math|1 = ''a''}},}} dan setiap kolom berisi semua elemen {{math|1 = ''S''<sub>4</sub>}}.]]
'''Grup simetris [[v:Symmetric group S4|''S''<sub>4</sub>]]''', terdiri dari 24 permutasi dari empat elemen, memiliki lima kelas konjugasi, terdaftar dengan struktur dan urutan siklusnya:
:'''(1)<sub>4</sub>'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; tidak ada perubahan (1 elemen: { (1, 2, 3, 4) }).  Baris tunggal yang berisi kelas konjugasi ini ditampilkan sebagai deretan lingkaran hitam di tabel yang berdekatan.
:'''(2)'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; interchanging two (6 elements: { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }).  6 baris yang berisi kelas konjugasi ini disorot dengan warna hijau di tabel yang berdekatan.
:'''(3)'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; permutasi siklik dari tiga (8 elemen:  { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }).  8 baris yang berisi kelas konjugasi ini ditampilkan dengan cetakan normal (tanpa huruf tebal atau sorotan warna) pada tabel yang berdekatan.
:'''(4)'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; permutasi siklik dari keempat (6 elemen: { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }).  6 baris yang berisi kelas konjugasi ini disorot dengan warna oranye di tabel yang berdekatan.
:'''(2)(2)'''&nbsp; mempertukarkan dua, dan juga dua lainnya (3 elemen:  { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }).  3 baris yang berisi kelas konjugasi ini ditampilkan dengan entri huruf tebal di tabel yang berdekatan.

[[Simetri oktahedral#Isometri kubus | rotasi kubus yang tepat]], yang dapat dicirikan dengan permutasi diagonal tubuh, juga dijelaskan dengan konjugasi dalam ''S''<sub>4</sub> .

Secara umum, jumlah kelas konjugasi dalam '''grup simetris ''S''<sub>''n''</sub>''' sama dengan jumlah [[partisi bilangan bulat]] dari '' n ''. Ini karena setiap kelas konjugasi sesuai dengan satu partisi dari {1, 2, ..., ''n''} menjadi [[notasi siklus | siklus]], hingga permutasi elemen {1, 2, ..., ''n''}.

Secara umum, '''[[grup Euklides]]''' dapat dipelajari dengan [[konjugasi isometri dalam ruang Euklides]].

== Sifat ==
* Elemen identitas selalu merupakan satu-satunya elemen di kelasnya, yaitu {{math|Cl(''e'') {{equals}} {''e''} }}
* Jika {{math | '' G ''}} adalah [[grup abelian | abelian]], maka {{math|''gag''<sup>−1</sup> {{equals}} ''a''}} untuk {{math|''a''}} dan {{math|''g''}} pada {{math|''G''}}; begitu {{math|Cl(''a'') {{equals}} {''a''} }} untuk {{math|''a''}} pada {{math|''G''}}.
* Jika dua elemen {{math | '' a ''}} dan {{math | '' b ''}} dari {{math | '' G ''}} termasuk dalam kelas konjugasi yang sama (yaitu, jika keduanya konjugasi), maka mereka memiliki [[urutan (teori grup) | urutan]] yang sama. Secara lebih umum, setiap pernyataan tentang {{math | '' a ''}} dapat diterjemahkan menjadi pernyataan tentang {{math|''b'' {{equals}} ''gag''<sup>−1</sup>}}, karena peta {{math|φ(''x'') {{equals}} ''gxg''<sup>−1</sup>}} adalah [[grup isomorfisme#Automorfisme | automorfisme]] dari {{math | '' G ''}}. Lihat sifat berikutnya sebagai contoh.
* Jika {{math | '' a ''}} dan {{math | '' b ''}} terkonjugasi, begitu juga kekuatan {{math|''a''<sup>''k''</sup>}} dan {{math|''b''<sup>''k''</sup>}}. (Proof: if {{math|''a {{equals}} gbg''<sup>−1</sup>}}, kemudian {{math|''a''<sup>''k''</sup> {{equals}} (''gbg''<sup>−1</sup>)(''gbg''<sup>−1</sup>) … (''gbg''<sup>−1</sup>) {{equals}} ''gb''<sup>''k''</sup>''g''<sup>−1</sup>}}.) Jadi, mengambil kekuatan {{math | '' k ''}} memberikan peta pada kelas konjugasi, dan seseorang dapat mempertimbangkan kelas konjugasi mana yang ada di preimage nya. Misalnya, dalam grup simetris, kuadrat dari elemen tipe (3)(2) (3-siklus dan 2-siklus) adalah elemen tipe (3), oleh karena itu salah satu kelas power-up dari (3) adalah kelas (3)(2) (di mana {{math | '' a ''}} adalah kelas power-up dari {{math|''a''<sup>''k''</sup>}}).
* Sebuah elemen {{math | '' a ''}} dari {{math | '' G ''}} terletak di [[pusat grup | pusat]] {{math|Z(''G'')}} dari {{math|''G''}} jika dan hanya jika kelas konjugasinya hanya memiliki satu elemen, {{math | '' a ''}} itu sendiri. Secara lebih umum, jika {{math|C<sub>''G''</sub>(''a'')}} menunjukkan '' [[centralizer]] '' dari {{math | '' a ''}} pada {{math | '' G ''}}, yaitu [[subgrup]] yang terdiri dari semua elemen {{ matematika | '' g ''}} seperti itu {{math|''ga'' {{equals}} ''ag''}}, lalu [[indeks subgrup | indeks]] {{math|[''G'' : C<sub>''G''</sub>(''a'')]}} sama dengan jumlah elemen dalam kelas konjugasi {{math | '' a ''}} (menurut [[teorema penstabil orbit]]).
*Take <math>\sigma \in S_{n}</math> and let <math>m_{1}, m_{2}, ..., m_{s}</math> menjadi bilangan bulat berbeda yang muncul sebagai panjang siklus dalam jenis siklus <math>\sigma</math> (including 1-cycles). Maka <math>k_{i}</math> menjadi jumlah siklus panjang <math>m_{i}</math> in <math>\sigma</math> untuk <math>i = 1, 2, ..., s</math> (seperti <math>\sum\limits_{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n</math>). Kemudian jumlah konjugasi <math>\sigma</math> adalah:<ref name="dummit"></ref>
:<math>\frac{n!}{(k_{1}!m_{1}^{k_{1}})(k_{2}!m_{2}^{k_{2}})...(k_{s}!m_{s}^{k_{s}})}</math>

== Konjugasi sebagai grup aksi ==<!-- Bagian ini ditautkan dari [[Kuarternion dan rotasi spasial]] -->

Jika kita mendefinisikan
:{{math|''g . x'' {{equals}} ''gxg''<sup>−1</sup>}}
untuk dua elemen apa pun {{math | '' g ''}} dan {{math | '' x ''}} dalam {{math | '' G ''}}, maka kita memiliki [[Tindakan grup (matematika) | aksi grup]] dari {{math | '' G ''}} pada {{math | '' G ''}}. [[Tindakan grup (matematika)#Orbit dan stabilisator | orbit]] dari tindakan ini adalah kelas konjugasi, dan [[Tindakan grup (matematika)#Orbit dan stabilisator | penstabil]] dari elemen tertentu adalah [[pemusat]] elemen.<ref name="Grillet-2007-p56">Grillet (2007), [{{Google books|plainurl=y|id=LJtyhu8-xYwC|page=56|text=orbitnya adalah kelas konjugasi}} p. 56]</ref>

Demikian pula, kita bisa mendefinisikan aksi grup dari {{math | '' G ''}} pada himpunan semua [[himpunan bagian]] dari {{math | '' G ''}}, dengan menulis
:{{math|''g . S'' {{equals}} ''gSg''<sup>−1</sup>}},
atau pada himpunan subgrup dari {{math | '' G ''}}.

== Konjugasi subgrup dan himpunan bagian umum ==<!-- Bagian ini ditautkan dari [[Grup simetri]] -->

Secara lebih umum, jika [[himpunan bagian]] '' S '' dari '' G '' ('' S '' belum tentu merupakan subgrup), kami mendefinisikan subset '' T '' dari '' G '' menjadi konjugasi menjadi '' S '' jika terdapat beberapa '' g '' dalam '' G '' sedemikian rupa ''T'' = ''gSg''<sup>−1</sup>. Kami dapat mendefinisikan '''Cl(''S'')''' sebagai himpunan semua himpunan bagian '' T '' dari '' G '' sehingga '' T '' dikonjugasikan menjadi '' S ''.

Teorema yang sering digunakan adalah bahwa, dengan subset '' S '' dari '' G '', [[kohimpunan | indeks]] dari N('' S '') ([[penormal]] dari '' S '') di '' G '' sama dengan urutan Cl(''S''):

:<math>|\operatorname{Cl}(S)| = [G : N(S)]</math>

Ini mengikuti karena, jika '' g '' dan '' h '' ada di '' G '', maka ''gSg''<sup>−1</sup> = ''hSh''<sup>−1</sup> jika dan hanya jika ''g''<sup>−1</sup>''h'' ada di N (''S''), dengan kata lain, jika dan hanya jika '' g '' dan '' h '' berada dalam [[kohimpunan]] yang sama N(''S'').

Perhatikan bahwa rumus ini menggeneralisasi yang diberikan sebelumnya untuk jumlah elemen dalam kelas konjugasi (maka ''S'' = {''a''}).

Di atas sangat berguna ketika berbicara tentang subgrup '' G ''. Dengan demikian, subgrup dapat dibagi menjadi kelas konjugasi, dengan dua subgrup yang termasuk dalam kelas yang sama jika dan hanya jika.
Subgrup konjugat adalah [[grup isomorfisme | isomorfis]], tetapi subgrup isomorfik tidak perlu konjugasi. Misalnya, sebuah grup abelian mungkin memiliki dua subgrup berbeda yang isomorfik, tetapi mereka tidak pernah konjugasi.

== Interpretasi geometris ==

Kelas konjugasi dalam [[grup fundamental]] dari ruang topologi [[terhubung-jalan]] dapat dianggap sebagai kelas kesetaraan [[loop bebas]] di bawah homotopi bebas.

== Kelas konjugasi dan representasi tak tersederhanakan dalam grup hingga ==

Dalam [[grup terbatas]], jumlah (non-isomorfik) [[representasi tak tereduksi]] berbeda sama dengan jumlah kelas konjugasi.

== Lihat pula ==
* [[Konjugasi topologis]]
* [[Grup-FC]]
* [[Subgrup tertutup konjugasi]]

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==
* {{cite book |last1=Grillet |first1=Pierre Antoine |title=Abstract algebra |edition=2 |series=Graduate texts in mathematics |volume=242 |year=2007 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-71567-4 }}

== Pranala luar ==
* {{springer|title=Conjugate elements|id=p/c025010}}

[[Kategori:Teori grup]]