Lihat sumber Kekisi (tatanan)

{{short description|Struktur abstrak dipelajari dalam subdisiplin matematika dari teori keteraturan dan aljabar abstrak}}
{{distinguish|Kisi (grup)}}
{{More footnotes|date=Februari 2021}}
{{stack begin}}
{{Relasi biner}}
{{Struktur aljabar |kisi}}
{{stack end}}

'''Kisi''' adalah struktur abstrak digunakan dalam subdisiplin [[matematika]] dari [[teori order]] dan [[aljabar abstrak]]. [[Himpunan terurut sebagian]] di mana dua elemen memiliki [[supremum]] (juga disebut batas atas terkecil atau [[Gabung dan bertemu|gabung]]) dan [[infimum]] (juga disebut batas bawah terbesar atau [[Gabung dan bertemu|bertemu]]). Contoh dari [[bilangan asli]], dengan diurutkan oleh [[pembagian]], dimana supremum adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dan infimum adalah [[pembagi persekutuan terbesar]].

Kisi dikarakterisasi sebagai [[struktur aljabar]] menggunakan [[aksioma]] atik [[Identitas (matematika)|identitas]]. Karena kedua definisi tersebut ekuivalen, teori kisi yang menggunakan [[teori urutan]] dan [[aljabar universal]]. [[Semikisi]] salah satu bagian kisi adalah aljabar [[Aljabar Heyting|Heyting]] dan [[Aljabar Boolean (struktur)|Boolean]]. Struktur "kisi" digunakan [[teori order|teori-urutan]] serta deskripsi aljabar.

== Kisi sebagai himpunan berurutan sebagian ==
<!---digabungkan menjadi bagian contoh: [[Berkas:Lattice of partitions of an order 4 set.svg|thumb|360px|Nama "kisi" digunakan dalam bentuk [[diagram Hasse]] yang menggambarkannya. Kisi [[partisi (teori himpunan)|partisi]] dari himpunan empat elemen {{nowrap|{1, 2, 3, 4},}} oleh relasi "adalah perbaikan dari".]]-->

Jika {{nowrap|(''L'', ≤)}} adalah [[himpunan berurutan sebagian]] (pohimpunan), dan {{nowrap|''S'' ⊆ ''L''}} adalah himpunan bagian arbitrer, maka elemen {{nowrap|''u'' ∈ ''L''}} adalah sebagai '''batas atas''' dari ''S'' jika {{nowrap|''s'' ≤ ''u''}} untuk {{nowrap|''s'' ∈ ''S''}}. Batas atas ''u'' dari ''S'' sebagai '''batas bagian atas''', atau '''[[Gabung (matematika)|gabung]]''', '''supremum''', jika {{nowrap|''u'' ≤ ''x''}} untuk batas atas ''x'' dari ''S''. Satu himpunan dari batad atas terkecil, tidak lebih dari satu. [[dualitas (teori order)|Dualitas]] {{nowrap|''l'' ∈ ''L''}} sebagai '''batas bawah''' dari ''S'' jika {{nowrap|''l'' ≤ ''s''}} untuk {{nowrap|''s'' ∈ ''S''}}. Batad bawah ''l'' dari ''S'' sebagai '''batas bawah terbesar''', atau '''[[bertemu (matematika)|bertemu]]''', '''minimal''', jika {{nowrap|''x'' ≤ ''l''}} untuk batad bawah ''x'' dari ''S''.

Rangkaian urutan sebagian {{nowrap|(''L'', ≤)}} disebut '''[[gabung-semikisi]]''' jika himpunan bagian dua elemen {{nowrap|{''a'', ''b''} ⊆ ''L''}} memiliki gabungan (yaitu batas atas terkecil), dan disebut '''[[bertemu-semikisi]]''' jika himpunan bagian dua elemen memiliki pertemuan (yaitu batas bawah terbesar), dilambangkan dengan {{nowrap|''a'' ∨ ''b''}} dan {{nowrap|''a'' ∧ ''b''}}. {{nowrap|(''L'', ≤)}} disebut '''kisi''' jika gabungan dan bertemu-semikisi. 
Definisi ∨ dan ∧ adalah [[operasi biner]]. Kedua operasi tersebut monoton dengan urutan: {{nowrap|''a''<sub>1</sub> ≤ ''a''<sub>2</sub>}} dan {{nowrap|''b''<sub>1</sub> ≤ ''b''<sub>2</sub>}} dengan {{nowrap|''a''<sub>1</sub> ∨ ''b''<sub>1</sub> ≤ ''a''<sub>2</sub> ∨ ''b''<sub>2</sub>}} dan {{nowrap|''a''<sub>1</sub> ∧ ''b''<sub>1</sub> ≤ ''a''<sub>2</sub> ∧ ''b''<sub>2</sub>}}.

Argumen [[induksi matematika|induksi]] bahwa himpunan bagian hingga tidak kosong dari kisi memiliki batas atas terkecil dan batas bawah terbesar. Dengan asumsi tambahan, kesimpulan lebih lanjut dimungkinkan; ''lihat'' [[Kompleknes (teori order)]] untuk diskusi lebih lanjut tentang subjek ini. Bagaimana dapat mengubah definisi di atas dalam kaitannya dengan keberadaan [[koneksi Galois]] diantara himpunan terurut sebagian terkait, pendekatan khusus untuk [[teori kategori]] pendekatan kisi, dan untuk [[analisis konsep formal]].

'''Batas kisi''' adalah kisi dengan elemen '''[[elemen terbesar|terbesar]]''' (juga disebut elemen '''maksimum''', atau '''atas''', dan dilambangkan dengan 1, atau dengan <math>\top</math>) dan elemen '''[[elemen terkecil|terkecil]]''' (juga disebut '''minimum''', atau '''bawah''', dilambangkan dengan 0 atau dengan <math>\bot</math>), yaitu
: 0 ≤ ''x'' ≤ 1 untuk ''x'' di ''L''.
Kisi dibatasi dengan menambahkan elemen buatan terbesar dan terkecil, dan kisi hingga tidak kosong dibatasi, dengan gabungan (berurutan dengan gabung dan bertemu) dari semua elemen, dilambangkan dengan <math>\bigvee L=a_1\lor\cdots\lor a_n</math> (berurutan <math>\bigwedge L=a_1\land\cdots\land a_n</math>) dimana <math>L=\{a_1,\ldots,a_n\}</math>.

Himpunan berurutan sebagian adalah kisi hingga jika dan hanya jika himpunan elemen hingga (termasuk [[himpunan kosong]]) yaitu gabungan dan pertemuan. Untuk elemen ''x'' dari sebuah poset tirivial (adalah [[prinsip vacuous]]) 
<math>\forall a\in\varnothing :  x \le a</math> dan
<math>\forall a\in\varnothing :  a \le x</math>, dan elemen poset adalah batas atas dan batas bawah dari himpunan kosong. Gabungan dari himpunan kosong adalah elemen terkecil <math>\bigvee\varnothing=0</math>, dan bertemu himpunan kosong adalah elemen terbesar <math>\bigwedge\varnothing=1</math>. Asosiatif dan komutatifitas bertemu dan gabungan: gabungan dari gabungan himpunan berhingga sama dengan gabungan himpunan, dan dua kali, pertemuan gabungan [[himpunan hingga]] sama dengan pertemuan pertemuan himpunan, yaitu, untuk himpunan bagian hingga ''A'' dan ''B'' dari poset ''L'',

:<math>\bigvee \left( A \cup B \right)= \left( \bigvee A \right) \vee \left( \bigvee B \right)</math>

dan

:<math>\bigwedge \left( A \cup B \right)= \left(\bigwedge A \right) \wedge \left( \bigwedge B \right)</math>

''B'' adalah himpunan kosong,

:<math>\bigvee \left( A \cup \emptyset \right)
= \left( \bigvee A \right) \vee \left( \bigvee \emptyset \right)
= \left( \bigvee A \right) \vee 0
= \bigvee A</math>

dan

:<math>\bigwedge \left( A \cup \emptyset \right)
= \left( \bigwedge A \right) \wedge \left( \bigwedge \emptyset \right)
= \left( \bigwedge A \right) \wedge 1
= \bigwedge A</math>

konsisten dengan <math>A \cup \emptyset = A</math>.

Elemen kisi ''y'' dengan elemen '''[[relasi penutup|penutup]]''' ''x'', jika {{nowrap|''y'' > ''x''}}, maka ''z'' adalah {{nowrap|''y'' > ''z'' > ''x''}}.{{sfn|Grätzer|1996|p=[https://books.google.com/books?id=SoGLVCPuOz0C&pg=PA52 52]}}

== Kisi sebagai struktur aljabar ==
=== Kisi umum ===
[[Struktur aljabar]] <math>(L, \vee, \wedge)</math>, dari himpunan <math>L</math> dan dua biner, [[Operasi (matematika)|operasi]] komutatif dan asosiatif <math>\vee</math>, dan <math>\wedge</math>, <math>L</math> adalah '''kisi''' jika identitas aksiomatik berikut untuk elemen <math>a, b \in L</math> disebut ''hukum absorpsi''.

:<math>a \vee (a \wedge b) = a</math>
:<math>a \wedge (a \vee b) = a</math>

Dua identitas berikut sebagai aksioma, keduanya menggunakan dua hukum absorpsi.<ref group=note>{{nowrap|1=''a'' ∨ ''a'' = ''a'' ∨ (''a'' ∧ (''a'' ∨ ''a'')) = ''a''}}, dan dua kali untuk hukum idempoten lainnya.{{Citation | last1=Dedekind | first1=Richard | author1-link=Richard Dedekind | title=Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler | year=1897 | journal=Braunschweiger Festschrift | pages=1–40}}.</ref> Maka ini disebut ''hukum idempoten''.

:<math>a \vee a = a</math>
:<math>a \wedge a = a</math>

Aksioma menggunakan <math>(L, \vee)</math> dan <math>(L, \wedge)</math> adalah [[semikisi]]. Hukum absorpsi, dari aksioma di atas di mana keduanya bertemu dan bergabung, membedakan kisi dari sembarang struktur semikisi dan memastikan bahwa dua semikisi berinteraksi dengan tepat. Secara khusus, setiap semikisi adalah [[Dualitas (teori order)|dualitas]] dari yang lain.

=== Kisi hingga ===
'''Kisi hingga''' adalah struktur aljabar dengan bentuk <math>(L, \vee, \wedge, 0, 1)</math> dan <math>(L, \vee, \wedge)</math> adalah kisi <math>0</math> (kisi bawah) dari [[elemen identitas]] untuk operasi penggabungan <math>\vee</math>, dan <math>1</math> (bagian atas kisi) adalah elemen identitas untuk operasi meet <math>\wedge</math>.

:<math>a \vee 0 = a</math>
:<math>a \wedge 1 = a</math>

Lihat [[semikisi]] untuk informasi lebih lanjut.

=== Koneksi ke struktur aljabar lainnya ===
Kisi memiliki beberapa koneksi ke relasi [[magma (aljabar)|struktur aljabar grup]]. Karena bertemu dan bergabung dengan komute dan asosiasi, kisi dapat dianggap terdiri dari dua komutatif [[semigrup]] yang memiliki domain yang sama. Untuk kisi hingga, semigrup sebenarnya adalah komutatif [[monoid]]. [[Hukum absorpsi]] adalah identitas penentu dalam teori kisi.

Dengan komutatifitas, asosiatif, dan idempotensi, gabung dan bertemu sebagai operasi pada himpunan hingga tidak kosong, bukan pada relasi elemen. Dalam kisi hingga, gabungan dan pertemuan dari himpunan kosong juga mendefinisikan (sebagai <math> 0 </math> dan <math> 1 </math>). Hal ini membuat kisi hingga dari kisi umum, dan banyak penulis mengharuskan semua kisi menggunakan batas.

Interpretasi aljabar kisi antara peran penting dalam [[aljabar universal]].

== Relasi antara dua definisi ==
Kisi teori-orde antara dua operasi biner ∨ dan ∧. Karena hukum komutatif, asosiatif dan absorpsi dengan diverifikasi untuk operasi, maka {{nowrap|(''L'', ∨, ∧)}} dalam kisi dalam arti aljabar.

Kebalikannya, dengan kisi  ditentukan aljabar {{nowrap|(''L'', ∨, ∧)}}, satu menentukan urutan parsial ≤ di ''L'' dengan 
: {{nowrap|''a'' ≤ ''b''}} jika  {{nowrap|1=''a'' = ''a'' ∧ ''b''}}, atau
: {{nowrap|''a'' ≤ ''b''}} jika  {{nowrap|1=''b'' = ''a'' ∨ ''b''}},
untuk elemen ''a'' dan ''b'' dari ''L''. Hukum absorpsi bahwa kedua definisi adalah ekuivalen:

''a'' = ''a'' ∧ ''b'' dengan ''b'' = ''b'' ∨ (''b'' ∧ ''a'') = (''a'' ∧ ''b'') ∨ ''b'' = ''a'' ∨ ''b''

dan dualitas untuk arah lain.

Relasi ≤ digunakan untuk mendefinisikan urutan parsial di mana biner bertemu dan bergabung diberikan melalui operasi asli ∨ dan ∧.

Karena dua definisi kisi adalah ekuivalen, dengan menggunakan aspek dari kedua definisi tersebut dengan tujuan digunakan.

== Contoh ==
<gallery>
Gambar:Hasse diagram of powerset of 3.svg|'''Gambar 1:''' Himpunan bagian dari {{nowrap|{x, y, z},}} di bawah [[himpunan inklusi]]. Nama "kisi" disarankan oleh bentuk [[diagram Hasse]] yang menggambarkannya.
Berkas:Lattice of the divisibility of 60.svg|'''Gambar 2:''' Kisi pembagi bilangan bulat 60, diurutkan dengan "''membagi''".
Berkas:Lattice of partitions of an order 4 set.svg|'''Gambar 3:''' Kisi [[partisi (teori himpunan)|partisi]] dari {{nowrap|{1, 2, 3, 4},}} order dari "''refines''".
Berkas:Nat num.svg|'''Gambar 4:''' Kisi bilangan bulat positif, diurutkan dari ≤.
Berkas:N-Quadrat, gedreht.svg|'''Gambar 5:''' Kisi pasangan bilangan bulat nonnegatif, diurutkan berdasarkan komponen.
</gallery>
* Untuk himpunan ''A'', himpunan bagian dari ''A'' (disebut [[himpunan pangkat]] dari ''A'') urutan [[himpunan bagian|himpunan bagian inklusi]] untuk kisi hingga ''A'' dengan himpunan kosong. Himpunan [[perpotongan (teori himpunan)|perpotongan]] dan [[satuan (teori himpunan)|satuan]] menafsirkan bertemu dan bergabung (lihat Gambar 1).
* Untuk himpunan ''A'', himpunan bagian hingga dari ''A'', diurutkan dengan penyertaan, juga merupakan kisi, dan dibatasi jika dan hanya jika ''A'' hingga.
* Untuk himpunan ''A'', diurutkan dengan [[partisi himpunan|partisi]] adalah kisi (lihat Gambar 3).
* [[Bilangan asli|Bilangan bulat positif]] dalam urutan membentuk kisi, di bawah operasi "min" dan "max". 1 bagian bawah; tidak memiliki bagian atas (lihat Gambar 4).
* [[Persegi Kartesius]] dari bilangan asli, diurutkan sehingga {{nowrap|(''a'', ''b'') ≤ (''c'', ''d'')}} jika {{nowrap|''a'' ≤ ''c''}} dan {{nowrap|''b'' ≤ ''d''}}. Relasi {{nowrap|(0, 0)}} adalah elemen bawah; tidak memiliki bagian atas (lihat Gambar 5).
* Bilangan asli  dari bentuk kisi di bawah operasi [[pembagi persekutuan terbesar]] dan [[kelipatan persekutuan terkecil]], dengan [[persekutuan]] sebagai relasi urutan: {{nowrap|''a'' ≤ ''b''}} jika ''a'' membagi ''b'' maka 1 bagian bawah; 0 teratas. Gambar 2 menunjukkan subkisi hingga.
* [[Kisi kompleks]] adalah kisi hingga (spesifik). Kelas dari praktisi [[Kisi kompleks#Contoh|contoh]].
* Himpunan [[elemen kompak]] dari [[kisi aritmetika|aritmetika]] kisi kompleks adalah kisi dengan elemen terkecil, dimana operasi kisi dengan membatasi operasi kisi aritmetika. Sifat khusus yang membedakan kisi aritmetika dari [[kisi aljabar]], dimana pemadatannya hanya membentuk [[semikisi|gabungan-semikisi]]. Kedua kelas kisi kompleks dipelajari di [[teori domain]].

Contoh kisi lebih lanjut untuk sifat tambahan yang dibahas di bawah ini.
<!---hentikan mode mengambang sebelum bagian berikutnya--->{{clear}}

== Contoh non-kisi ==

{| style="float:right"
| [[Berkas:Pow3nonlattice.svg|thumb|x150px|'''Gambar 8:''' Poset non-kisi: ''a'' dan ''b'' memiliki batas bawah yang sama 0, ''d'', ''g'', ''h'', dan ''i'', tetapi tidak memiliki [[batas bawah terbesar]].]]
|}
{| style="float:right"
| [[Berkas:NoLatticeDiagram.svg|thumb|x150px|'''Gambar 7:''' Poset non-kisi: ''b'' dan ''c'' memiliki batas atas yang sama ''d'', ''e'', dan ''f'', tidak yang merupakan [[batas atas terkecil ]].]]
|}
{| style="float:right"
| [[Berkas:KeinVerband.svg|thumb|x150px|'''Gambar 6:'''  Poset non-kisi: ''c'' dan ''d'' tidak memiliki batas atas yang sama.]]
|}

Sebagian besar rangkaian yang diurutkan sebagian bukanlah kisi, termasuk berikut ini.

* Poset diskrit, artinya poset {{nowrap|''x'' ≤ ''y''}} dengan {{nowrap|1=''x'' = ''y''}}, adalah kisi jika dan hanya jika memiliki banyak satu elemen. Secara khusus, poset diskrit dua elemen bukanlah kisi.
* Maka himpunan {{nowrap|{1, 2, 3, 6}{{null}}}} sebagian diurutkan berdasarkan pembagian adalah kisi, himpunan {{nowrap|{1, 2, 3}{{null}}}} jadi bukan kisi karena urutan 2, 3 tidak memiliki gabungan; maka, 2, 3 tidak memiliki pertemuan {{nowrap|{2, 3, 6}.}}
* Himpunan {{nowrap|{1, 2, 3, 12, 18, 36}{{null}}}} sebagian urutan pembagian bukan kisi. Bagian elemen memiliki batas atas dan batas bawah, tetapi 2, 3 memiliki tiga batas atas, yaitu 12, 18, dan 36, tidak memiliki terkecil dari ketiga yang dapat dibagi. Bagian 12, 18 memiliki tiga batas bawah, yaitu 1, 2, dan 3, tidak memiliki bagian terbesar dari ketiganya yang dapat dibagi (2 dan 3 tidak saling membagi).

<!---hentikan mode mengambang sebelum bagian berikutnya--->{{clear}}

== Morfisme kisi ==
[[Berkas:Monotonic but nonhomomorphic map between lattices.gif|thumb|'''Gambar 9:''' Peta monotonik ''f'' antara kisi gabungan atau pertemuan, karena {{nowrap|''f''(''u'') ∨ ''f''(''v'')}} {{nowrap|1== ''u''′ ∨ ''u''′}} {{nowrap|1== ''u''′ ≠ 1′}} {{nowrap|1== ''f''(1) = ''f''(''u'' ∨ ''v'')}} dan {{nowrap|''f''(''u'') ∧ ''f''(''v'')}} {{nowrap|1== ''u''′ ∧ ''u''′}} {{nowrap|1== ''u''′ ≠ 0′}} {{nowrap|1== ''f''(0) = ''f''(''u'' ∧ ''v'')}}.]]
Gagasan tentang [[morfisme]] antara dua kisi mengalir dengan mudah dari definisi aljabar [[#Kisi sebagai struktur aljabar|atas]]. Maka dua kisi {{nowrap|(''L'', ∨<sub>''L''</sub>, ∧<sub>''L''</sub>)}} dan {{nowrap|(''M'', ∨<sub>''M''</sub>, ∧<sub>''M''</sub>)}}, '''kisi homomorfisme''' dari ''L'' menjadi ''M'' adalah fungsi {{nowrap|''f'' : ''L'' → ''M''}} untuk {{nowrap|''a'', ''b'' ∈ ''L''}}:

: ''f''(''a'' ∨<sub>''L''</sub> ''b'') = ''f''(''a'') ∨<sub>''M''</sub> ''f''(''b''), dan
: ''f''(''a'' ∧<sub>''L''</sub> ''b'') = ''f''(''a'') ∧<sub>''M''</sub> ''f''(''b'').

Jadi ''f'' adalah [[homomorfisme]] dari dua [[semikisi]]. Jika kisi dengan struktur. Secara khusus, '''homomorfisme kisi berbatas''' (biasanya disebut "homomorfisme kisi") ''f'' antara dua kisi berbatas ''L'' dan ''M'' memiliki sifat berikut:

: ''f''(0<sub>''L''</sub>) = 0<sub>''M''</sub> , and
: ''f''(1<sub>''L''</sub>) = 1<sub>''M''</sub> .

Dalam rumus teori-ordo, bahwa homomorfisme kisi adalah fungsi [[fungsi pengawetan batas (teori order)|pengawetan]] pertemuan dan penggabungan biner. Untuk kisi berbatas, penggunaan elemen terkecil dan terbesar gabungan dan pertemuan himpunan kosong.

Homomorfisme kisi [[fungsi monoton|monoton]] dengan relasi keteraturan terkait; lihat [[fungsi pemeliharaan batas (teori order)|Fungsi pemeliharaan batas]]. Kebalikannya tidak benar: monotonisitas tidak menggunakan untuk bertemu dan bergabung (lihat Gambar 9), meskipun [[Fungsi monotonik|pemelihara order]] [[bijeksi]] adalah homomorfisme dari fungsi [[fungsi invers|pembalikan]].

<!-- tidak yakin apakah ini tempat terbaik untuk ini -->Maka <math>\mathbb{L}</math> dan <math>\mathbb{L}'</math> antara dua kisi dengan '''0''' dan '''1'''. Homomorfisme dari <math>\mathbb{L}</math> ke <math>\mathbb{L}'</math> disebut ''separating''-'''0,1''' [[jika dan hanya jika]] <math>f^{-1}\{f(0)\}=\{0\}</math> (<math>f</math> yaitu '''0''') dan <math>f^{-1}\{f(1)\}=\{1\}</math> (<math>f</math> yaitu 1).

== Lihat pula ==
* [[Gabungan dan bertemu]]
* [[Peta kisi]]
* [[Kisi Orthocomplemented]]
* [[Total order]]
* [[Ideal (teori order)|Ideal]] dan [[Filter (matematika)|filter]] (gagasan ganda)
* [[Skew lattice]] (generalisasi untuk non-commutative join and meet)
* [[Kisi Eulerian]]
* [[Kisi Post]]
* [[Kisi Tamari]]
* [[Kisi-kisi Muda – Fibonacci]]
* [[kisi sederhana-0,1]]

=== Aplikasi yang menggunakan teori kisi ===
{{list|date=Februari 2021}}
''Perhatikan bahwa dalam banyak aplikasi, set hanya berupa kisi parsial: tidak elemen memiliki pertemuan atau penggabungan.''
* [[Topologi Pointless]]
* [[Kisi subgrup]]
* [[Ruang spektral]]
* [[Subruang varian]]
* [[Operator penutupan]]
* [[Interpretasi abstrak]]
* [[Kisi subsumsi]]
* Teori [[himpunan Fuzzy]]
{{column}}
* [[Logika order pertama#Algebraizasi|Algebraizasi logika orde pertama]]
* [[Semantik bahasa pemrograman]]
* [[Teori domain]]
* [[Ontologi (ilmu komputer)]]
* [[Warisan berganda]]
* [[Analisis konsep formal]] dan [[penambang kisi]] (teori dan alat)
* [[Filter Bloom#Pengukur kompak|Filter Bloom]]
* [[Aliran informasi]]
* [[Pengoptimalan ordinal]]
* [[Logika kuantum]]
* [[Grafik median]]
* [[Ruang kaji]]
* [[Induksi bahasa reguler#Kisi automata|Induksi bahasa reguler]]
* [[Pemodelan analogis]]
{{columns-end}}

== Catatan ==
{{reflist|group=note}}

== Referensi ==

{{reflist}}

Monographs available free online:
* Burris, Stanley N., and Sankappanavar, H. P., 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.]''  Springer-Verlag. {{isbn|3-540-90578-2}}.
* Jipsen, Peter, and Henry Rose, ''[http://www1.chapman.edu/~jipsen/JipsenRoseVoL.html Varieties of Lattices]'', Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. {{isbn|0-387-56314-8}}.
*Nation, J. B., ''Notes on Lattice Theory''. [https://web.archive.org/web/20181025025029/http://www.math.hawaii.edu/~jb/lat1-6.pdf Chapters 1-6.] [https://web.archive.org/web/20160303170748/http://www.math.hawaii.edu/~jb/lat7-12.pdf Chapters 7–12; Appendices 1–3.]

Elementary texts recommended for those with limited [[mathematical maturity]]:
*Donnellan, Thomas, 1968. ''Lattice Theory''. Pergamon.
*[[George Grätzer|Grätzer, George]], 1971. ''Lattice Theory: First concepts and distributive lattices''. W. H. Freeman.

The standard contemporary introductory text, somewhat harder than the above:
* {{Citation | last1=Davey | first1=B. A. | last2=Priestley | first2=H. A. | author2-link=Hilary Priestley | title=Introduction to Lattices and Order | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-78451-1 | year=2002}}

Advanced monographs:
* [[Garrett Birkhoff]], 1967. ''Lattice Theory'', 3rd ed. Vol. 25 of AMS Colloquium Publications. [[American Mathematical Society]].
*[[Robert P. Dilworth]] and Crawley, Peter, 1973. ''Algebraic Theory of Lattices''. Prentice-Hall. {{isbn|978-0-13-022269-5}}.
*{{Cite book | isbn = 978-3-7643-6996-5 | title = General Lattice Theory | last = Grätzer | first = George | edition = Second | year = 1996 | orig-year = 1978 | publisher = Birkhäuser | location = Basel | url-access = registration | url = https://archive.org/details/generallatticeth0000grat }}

On free lattices:
* R. Freese, J. Jezek, and J. B. Nation, 1985. "Free Lattices". Mathematical Surveys and Monographs Vol. 42. [[Mathematical Association of America]].
* [[Peter Johnstone (mathematician)|Johnstone, P. T.]], 1982. ''Stone spaces''. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press.

On the history of lattice theory:
* {{cite book| author=Štĕpánka Bilová| title=Lattice theory — its birth and life| year=2001| pages=250–257| publisher=Prometheus| editor=Eduard Fuchs| url=http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/401261/DejinyMat_17-2001-1_31.pdf}}

On applications of lattice theory:
* {{cite book| author=Garrett Birkhoff| title=What can Lattices do for you?| year=1967| publisher=Van Nostrand| editor=James C. Abbot }} [https://web.archive.org/web/20170808093034/http://tocs.ulb.tu-darmstadt.de/129983330.pdf Table of contents]

== Pranala luar ==
{{Commons|Lattice (order)}}
* {{springer|title=Lattice-ordered group|id=p/l057670}}
* {{Mathworld|urlname=Lattice |title=Lattice}}
* J.B. Nation, [http://www.math.hawaii.edu/~jb/books.html ''Notes on Lattice Theory''], unpublished course notes available as two PDF files.
* Ralph Freese, [http://www.math.hawaii.edu/LatThy/ "Lattice Theory Homepage"].
* {{OEIS el|A006966|Number of unlabeled lattices with ''n'' elements}}

{{Authority control}}{{Operator besar}}

[[Kategori:Teori kisi| ]]
[[Kategori:Struktur aljabar]]