Lihat sumber Kehomomorfan grup

[[Gambar:Group homomorphism ver.2.svg|right|thumb|250px|Gambar kehomomorfan grup ('''h''') dari '''G''' (kiri) ke '''H''' (kanan). Oval yang lebih kecil di dalam '''H''' adalah gambar '''h'''. '' 'N' '' adalah inti dari '''h''' dan '''aN''' adalah [[coset]] dari '''N'''.]]
{{Group theory sidebar |Basics}}

Dalam [[matematika]], diberikan dua [[grup (matematika)|grup]], (''G'', ∗) dan (''H'', ·), sebuah '''kehomomorfan grup''' dari ('' G '', ∗) ke ('' H '', ·) adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] ''h'' : ''G'' → ''H'', '' u '' dan '' v '' dengan '' G '' dirumuskan
:<math> h(u*v) = h(u) \cdot h(v) </math>

dimana operasi grup di sisi kiri persamaan adalah '' G '' dan di sisi kanan '' H ''.

Dari sifat ini, bahwa '' h '' [[elemen identitas]] ''e<sub>G</sub>'' dari '' G '' ke elemen identitas ''e<sub>H</sub>'' dari '' H '',
:<math> h(e_G) = e_H</math>

dan invers ke invers dalam arti  
:<math> h\left(u^{-1}\right) = h(u)^{-1}. \,</math>

Maka, dikatakan bahwa '' h '' "sesuai dengan struktur grup".

Notasi lama untuk [[homomorfisme|kehomomorfan]] ''h''(''x'') maka ''x''<sup>''h''</sup> atau ''x''<sub>''h''</sub>,{{fact|date=Januari 2021}} sebagai indeks atau subskrip umum. Dalam [[teori automata]], terkadang kehomomorfan ditulis dibagian kanan argumen tanpa tanda kurung, sehingga ''h''(''x'') menjadi '' x h ''.{{fact|date=Januari 2021}}

Dalam bidang matematika di mana grup dengan struktur tambahan, ''kehomomorfan'' berarti peta struktur grup tetapi juga struktur ekstra. Misalnya, kehomomorfan [[grup topologi]] harus menggunakan kontinu.

== Intuisi ==
Tujuan dari definisi kehomomorfan grup adalah untuk menciptakan fungsi pada struktur aljabar. Definisi yang setara dari kehomomorfan grup adalah: Fungsi ''h'' : ''G'' → ''H'' adalah kehomomorfan grup

''a'' ∗ ''b'' = ''c'' dirumuskan ''h''(''a'') ⋅ ''h''(''b'') = ''h''(''c'').

Grup '' H '' dalam beberapa hal memiliki struktur aljabar dengan ''G'' dan kehomomorfan'' h ''.

== Jenis ==
;[[Monomorfisme]]{{anchor|monomorfisme}}: Kehomomorfan grup yaitu [[fungsi injeksi|injeksi]] (atau, satu-ke-satu); yaitu, perbedaan.
;[[Epimorfisme]]: Kehomomorfan grup yaitu [[fungsi surjektif|surjektif]] (atau, ke); yaitu mencapai setiap titik di kodomain.
;[[grup isomorfisme|Isomorfisme]]: Suatu kehomomorfan grup yaitu [[bijeksi|bijektif]]; yaitu, injeksi dan surjektif. Kebalikannya juga merupakan kehomomorfan grup. Dalam hal ini, grup '' G '' dan '' H '' disebut '' isomorfik ''; mereka hanya berbeda dalam notasi elemennya dan identik untuk semua tujuan praktis.
;[[Keendomorfan]]: Kehomomorfan, ''h'': ''G'' → ''G''; ranah dan kodomain adalah sama. Juga disebut keendomorfan dari '' G ''.
;[[Keautomorfan]]: Keendomorfan bersifat bijektiva, dan karenanya merupakan isomorfisme. Himpunan semua [[keautomorfan]] dari grup ''G'', dengan komposisi fungsional sebagai operasi, membentuk grup itu sendiri, ''grup keautomorfan '' dari'' G.'' Dilambangkan dengan Aut(''G''). Sebagai contoh, kelompok keautomorfan ('''Z''', +) hanya mengandung dua elemen, transformasi identitas dan perkalian dengan −1; itu isomorfik untuk '''Z'''/2'''Z'''.

== Galeri dan kernel ==
{{main article|Galeri (matematika)|Kernel (aljabar)}}
Mendefinisikan '' [[kernel (aljabar)|kernel]] dari h '' menjadi himpunan elemen pada '' G '' yang dipetakan ke identitas ke '' H ''
: <math> \operatorname{ker}(h) \equiv \left\{u \in G\colon h(u) = e_{H}\right\}.</math>

dan '' [[galeri (matematika)|galeri]] dari h '' dirumuskan
: <math> \operatorname{im}(h) \equiv h(G) \equiv \left\{h(u)\colon u \in G\right\}.</math>

Kernel dan Galeri kehomomorfan dapat diartikan sebagai mengukur dekat menjadi isomorfisme. [[teorema isomorfisme | teorema isomorfisme pertama]] menyatakan bahwa citra suatu kelompok kehomomorfan, ''h''(''G'') isomorfik ke grup hasil bagi ''G''/ker ''h''.

Kernel h adalah [[subgrup normal]] dari '' G '' dan galeri h adalah [[subgrup]] dari '' H '':
: <math>\begin{align}
  h\left(g^{-1} \circ u \circ g\right) &= h(g)^{-1} \cdot h(u) \cdot h(g) \\
                                       &= h(g)^{-1} \cdot e_H  \cdot h(g) \\
                                       &= h(g)^{-1} \cdot h(g) = e_H.
\end{align}</math>

Jika dan hanya jika {{nowrap|ker(''h'') {{=}} {''e''<sub>''G''</sub>}}}, kehomomorfan, '' h '', adalah [[#monomorfisme|'' grup monomorfisme '']]; yaitu, '' h '' adalah injektif (satu-ke-satu). Injeksi secara langsung memberikan bahwa ada elemen unik di kernel, dan elemen unik di kernel memberikan injeksi:
:<math>\begin{align}
                  &&                           h(g_1) &= h(g_2) \\
  \Leftrightarrow &&         h(g_1) \cdot h(g_2)^{-1} &= e_H \\
  \Leftrightarrow && h\left(g_1 \circ g_2^{-1}\right) &= e_H,\  \operatorname{ker}(h) = \{e_G\} \\
  \Rightarrow     &&               g_1 \circ g_2^{-1} &= e_G \\
  \Leftrightarrow &&                              g_1 &= g_2 
\end{align}</math>

== Contoh ==
* Pertimbangkan [[grup siklik]] '''Z'''/3'''Z''' = {0, 1, 2} dan kelompok bilangan bulat '''Z''' dengan penambahan. Peta ''h'' : '''Z''' → '''Z'''/3'''Z''' dengan ''h''(''u'') = ''u'' [[modular aritmetika|mod]] 3 adalah kehomomorfan grup. Ini [[surjektif]] dan kernelnya terdiri dari semua bilangan bulat yang habis dibagi 3.
{{bulleted list|
Pertimbangkan grup
:<math>G \equiv \left\{\begin{pmatrix}
    a & b \\
    0 & 1
  \end{pmatrix} \bigg| a > 0, b \in \mathbf{R}\right\}
</math>

Untuk bilangan kompleks '' u '' fungsi ''f<sub>u</sub>'' : ''G'' → '''C<sup>*</sup>''' didefinisikan oleh:
:<math>\begin{pmatrix}
    a & b \\
    0 & 1
  \end{pmatrix} \mapsto a^u
</math>

adalah homomorfisme grup.
|
Pertimbangkan kelompok perkalian [[bilangan riil positif]] ('''R'''<sup>+</sup>, ⋅) untuk bilangan kompleks '' u '' fungsi ''f<sub>u</sub>'' : '''R'''<sup>+</sup> → '''C''' didefinisikan oleh:
:<math>f_u(a) = a^u</math>

adalah homomorfisme grup.
}}
* [[Fungsi eksponensial|Peta eksponensial]] menghasilkan kehomomorfan grup dari grup [[bilangan riil]] '''R''' dengan penambahan ke grup bilangan real bukan-nol '''R'''* dengan perkalian. Kernel adalah {0} dan gambar terdiri dari bilangan riil positif.
* Peta eksponensial juga menghasilkan kehomomorfan grup dari grup [[bilangan kompleks]] '''C''' dengan tambahan grup bilangan kompleks bukan nol '''C'''* dengan perkalian. Peta bersifat surjektif dan memiliki kernel {2π''ki'' : ''k'' ∈ '''Z'''}, seperti yang bisa dilihat dari [[Rumus Euler]]. Field seperti '''R''' dan '''C''' yang memiliki kehomomorfan dari grup aditif ke grup perkaliannya disebut [[bidang eksponensial]].

== Kategori grup ==
Jika {{nowrap|''h'' : ''G'' → ''H''}} dan {{nowrap|''k'' : ''H'' → ''K''}} adalah kehomomorfan grup, maka {{nowrap|''k'' ∘ ''h'' : ''G'' → ''K''}}. Hal ini menunjukkan bahwa kelas dari semua grup, bersama dengan kehomomorfan grup sebagai morfisme, membentuk suatu [[teori kategori|kategori]].

== Kehomomorfan grup abelian ==
Jika '' G '' dan '' H '' adalah [[grup abelian|abelian]] (yaitu, Komutatif) grup, maka himpunan {{nowrap|Hom(''G'', ''H'')}} dari semua kehomomorfan grup dari '' G '' hingga '' H '' adalah grup abelian itu sendiri: jumlah {{nowrap|''h'' + ''k''}} dari dua kehomomorfan didefinisikan oleh
:(''h'' + ''k'')(''u'') = ''h''(''u'') + ''k''(''u'')&nbsp;&nbsp;&nbsp; pada '' u '' ke '' G ''.
Komutatif'' H '' diperlukan untuk membuktikan {{nowrap|''h'' + ''k''}} sekali lagi merupakan kehomomorfan kelompok.

Penambahan kehomomorfan dengan komposisi kehomomorfan dalam pengertian berikut: maka '' f '' adalah {{nowrap|Hom(''K'', ''G'')}}, ''h'', ''k'' adalah elemen dari {{nowrap|Hom(''G'', ''H'')}}, dan '' g '' termasuk {{nowrap|Hom(''H'', ''L'')}}, maka 
:{{nowrap|1=(''h'' + ''k'') ∘ ''f''  =  (''h'' ∘ ''f'') + (''k'' ∘ ''f'')}} &nbsp;&nbsp; dan &nbsp;&nbsp; {{nowrap|1=''g'' ∘ (''h'' + ''k'')  = (''g'' ∘ ''h'') + (''g'' ∘ ''k'')}}.
Karena komposisinya [[asosiatif]], ini menunjukkan bahwa himpunan End('' G '') dari semua keendomorfan dari grup abelian membentuk [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]], yang '' [[gelanggang keendomorfan]] '' dari '' G ''. Misalnya, cincin endomorfisma dari grup abelian yang terdiri dari [[Jumlah langsung grup|jumlah langsung]] dari salinan '' m '' dari '''Z'''/''n'''''Z''' isomorfik terhadap gelanggang '' m ''-oleh-'' m '' [[matriks (matematika)|matriks]] dengan entri dalam '''Z'''/''n'''''Z'''. Menunjukkan bahwa kategori semua grup abelian dengan kehomomorfan grup membentuk [[kategori preadditif]]; keberadaan jumlah langsung dan kernel menjadikan kategori ini contoh prototipe dari sebuah [[kategori abelian]].

== Lihat pula ==
{{Div col}}
*[[Teorema dasar kehomomorfan]]
*[[Gelanggang homomorfisme]]
{{Div col end}}

== Referensi ==
*{{cite book
| last1 = Dummit
| first1 = D. S.
| last2 = Foote
| first2 = R.
| title = Abstract Algebra
| url = https://archive.org/details/abstractalgebra00dumm_304
| publisher = Wiley
| pages = [https://archive.org/details/abstractalgebra00dumm_304/page/n84 71]–72
| year = 2004
| edition = 3rd
| isbn = 978-0-471-43334-7
}}
* {{Lang Algebra|edition=3r}}

== Pranala luar ==
*{{MathWorld|title=Group Homomorphism|urlname=GroupHomomorphism|author=Rowland, Todd|author2=Weisstein, Eric W.|name-list-style=amp}}

[[Kategori:Teori grup]]
[[Kategori:Morfisme]]