Lihat sumber Kategori (matematika)

{{other uses|Kategori (disambiguasi)#Matematika}}
{{Bedakan|Kategori:Matematika}}
[[Berkas:Category_SVG.svg|thumbnail|Kategori dengan kumpulan objek A, B, C dan kumpulan morfisme yang dilambangkan dengan f, g, {{nowrap | g ∘ f}}, dan loop adalah panah identitas. Kategori ini biasanya dilambangkan dengan huruf tebal '''3'''.]]

Dalam [[matematika]], '''kategori''' (terkadang disebut '''kategori abstrak''' untuk membedakannya dari [[kategori konkret]]) adalah kumpulan "objek" yang dihubungkan oleh "panah". Kategori memiliki dua properti dasar: kemampuan untuk menyusun panah [[asosiatif]] dan keberadaan panah identitas untuk setiap objek. Contoh sederhananya adalah [[kategori himpunan]], yang objek [[himpunan (matematika)|himpunan]] dan panahnya adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]].

''[[Teori kategori]]'' adalah cabang matematika untuk menggeneralisasi semua matematika dalam istilah kategori, terlepas dari apa yang diwakili oleh objek dan panahnya. Hampir setiap cabang matematika modern dapat dijelaskan dalam istilah kategori, dan mengungkapkan wawasan yang mendalam dan persamaan antara bidang matematika yang tampaknya berbeda. Maka, teori kategori memberikan landasan alternatif untuk matematika [[teori himpunan]] dan dasar aksiomatik lain yang diusulkan. Secara umum, objek dan panah dapat berupa entitas abstrak dalam bentuk, dan pengertian kategori menyediakan cara fundamental dan abstrak untuk menggambarkan entitas matematika dan relasi.

Selain memformalkan matematika, teori kategori juga digunakan untuk memformalkan banyak sistem lain dalam ilmu komputer, seperti [[semantik bahasa pemrograman]].

Dua kategori adalah sama jika mereka memiliki koleksi objek yang sama, kumpulan panah, dan metode asosiatif untuk menyusun relasi panah. Dua kategori '' berbeda '' juga dapat dianggap "[[persamaan kategori|ekuivalen]]" untuk tujuan teori kategori, bahkan jika keduanya tidak memiliki struktur yang persis sama.

Kategori yang terkenal dilambangkan dengan kata atau singkatan singkat yang dicetak tebal atau miring: contohnya termasuk '''[[kategori himpunan|Himpunan]]''', kategori [[himpunan (matematika)|himpunan]] dan [[fungsi (matematika)|fungsi himpunan]]; '''[[kategori gelanggang|Gelanggang]]''', kategori [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] dan [[homomorfisme gelanggang]]; dan '''[[kategori ruang topologi|ruang]]''', kategori [[ruang topologi]] dan [[peta kontinu]]. Semua kategori sebelumnya memiliki [[fungsi identitas|peta identitas]] sebagai panah identitas dan [[komposisi fungsi|komposisi]] sebagai operasi asosiatif pada panah.

Teks klasik dan masih banyak digunakan pada teori kategori adalah '' [[Kategori untuk Matematikawan]] '' oleh [[Saunders Mac Lane]]. Referensi lain diberikan dalam [[#Referensi|referensi]] di bawah. Definisi dasar dalam artikel ini terdapat dalam beberapa bab pertama dari salah satu buku ini.
{{Group-like structures}}
[[Monoid]] sebagai jenis kategori khusus (dengan satu objek morfisme diwakili oleh elemen monoid), dan begitu pula [[praorder]].

== Definisi ==
Terdapat definisi untuk suatu kategori.<ref>{{harvnb|Barr|Wells|2005|loc=Chapter 1}}</ref> Salah satu definisi yang umum digunakan adalah sebagai berikut. A '''kategori''' '' C '' terdiri dari
* [[Kelas (teori himpunan)|kelas]] ob(''C'') dari '''objek''',
* kelas hom(''C'') dari '''[[morfisme]]''', atau '''tanda''', atau '''peta''' di antara objek,
* '''domain''', atau '''sumber objek''' fungsi kelas <math>\mathrm{dom}\colon \mathrm{hom}(C)\rightarrow \mathrm{ob}(C) </math>,
* '''kodomain''', atau '''fungsi kelas objek target''' <math>\mathrm{cod}\colon \mathrm{hom}(C)\rightarrow \mathrm{ob}(C) </math>,
* untuk setiap tiga objek '' a '', '' b '' dan '' c '', operasi biner hom(''a'', ''b'') × hom(''b'', ''c'') → hom(''a'', ''c'') disebut '' komposisi morfisme ''; komposisi ''f'' : ''a'' → ''b'' dan ''g'' : ''b'' → ''c'' ditulis sebagai ''g'' ∘ ''f'' atau ''gf''.  (Beberapa penulis menggunakan "urutan diagram", menulis ''f;g'' atau ''fg''). 
Catatan: Maka hom(''a'', ''b'') menunjukkan subkelas morfisme '' f '' pada hom(''C'') dirumuskan <math>\mathrm{dom}(f) = a</math> dan <math>\mathrm{cod}(f) = b</math>. Morfisme sering ditulis sebagai ''f'' : ''a'' → ''b''.

sehingga aksioma berikut:
* ([[asosiatif]]) jika ''f'' : ''a'' → ''b'', ''g'' : ''b'' → ''c'' dan ''h'' : ''c'' → ''d'' kemudian ''h'' ∘ (''g'' ∘ ''f'') = (''h'' ∘ ''g'') ∘ ''f'', dan
* ([[identitas (matematika)|identitas]]) untuk setiap objek '' x '', terdapat morfisme 1<sub>''x''</sub> : ''x'' → ''x'' (beberapa ''id''<sub>''x''</sub>) disebut '' morfisme identitas untuk x '', sehingga setiap morfisme ''f'' : ''a'' → ''x'' merumuskan 1<sub>''x''</sub> ∘ ''f'' = ''f'', dan setiap morfisme ''g'' : ''x'' → ''b'' merumuskan ''g'' ∘ 1<sub>''x''</sub> = ''g''.

== Kategori kecil dan besar ==
Kategori '' C '' disebut '''kecil''' jika keduanya ob(''C'') dan hom(''C'') sebenarnya [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dan bukan [[kelas proper]], dan '''besar''' sebaliknya. '''Kategori kecil secara lokal''' adalah kategori sehingga untuk semua objek '' a '' dan '' b '', kelas-hom(''a'', ''b'') adalah satu himpunan, disebut '''homset'''. Banyak kategori penting dalam matematika (seperti kategori himpunan), meskipun tidak kecil, setidaknya secara lokal kecil. Karena, dalam kategori kecil, objek membentuk himpunan, kategori kecil dapat dilihat sebagai [[struktur aljabar]] mirip dengan [[monoid]] tetapi tanpa memerlukan [[penutupan (matematika)|penutupan]] sifat.  Kategori besar di sisi lain dapat digunakan untuk membuat "struktur" dari struktur aljabar.

== Contoh ==
[[Kelas (teori himpunan)|kelas]] dari semua himpunan (sebagai objek) bersama dengan semua [[fungsi (matematika)|fungsi]] di antara mereka (sebagai morfisme), dimana komposisi morfisme adalah [[komposisi fungsi]] biasa, membentuk kategori besar, '''[[kategori himpunan|Himpunan]]'''. Kategori paling dasar dan paling umum digunakan dalam matematika. Kategori '''[[kategori relasi|Rel]]''' terdiri dari semua [[Himpunan (matematika)|himpunan]] (sebagai objek) dengan [[relasi biner]] di antara mereka (sebagai morfisme).  Mengabstraksi dari [[Relasi (matematika)|relasi]] alih fungsi menghasilkan [[Allegori (teori kategori)|alegori]], kelas khusus kategori.

Setiap kelas dapat dilihat sebagai kategori yang morfisme satu-satunya adalah morfisme identitas. Kategori seperti itu disebut [[kategori diskrit|diskrit]]. Untuk setiap [[Set (matematika)|himpunan]] '' I '', '' kategori diskrit pada I '' adalah kategori kecil yang memiliki elemen '' I '' sebagai objek dan hanya morfisme identitas sebagai morfisme. Kategori diskrit adalah jenis kategori yang paling sederhana.

Setiap [[Preorder|himpunan preorder]] ('' P '', ≤) membentuk kategori kecil, di mana objeknya adalah anggota '' P '', morfismenya adalah panah yang menunjuk dari '' x '' ke '' y '' adalah ''x'' ≤ ''y''. Lebih lanjut, jika '' ≤ '' adalah [[relasi antisimetrik|antisimetrik]], paling banyak terdapat satu morfisme antara dua objek. Keberadaan morfisme identitas dan komposabilitas morfisme dijamin oleh [[relasi refleksif|refleksivitas]] dan [[relasi transitif|transitivitas]] dari preorder. Dengan argumen yang sama, setiap [[himpunan berurutan sebagian]] dan [[relasi ekuivalen]] dapat dilihat sebagai kategori kecil. Semua [[bilangan ordinal]] dapat dilihat sebagai kategori jika dilihat sebagai [[jumlah urutan|himpunan urutan]].

Setiap [[monoid]] ([[struktur aljabar]] dengan satu [[asosiatif]] [[operasi biner]] dan [[elemen identitas]]) membentuk kategori kecil dengan satu objek '' x '' . ('' x '' adalah himpunan tetap.) Morfisme dari '' x '' hingga '' x '' tepatnya adalah elemen monoid, morfisme identitas '' x '' adalah identitas monoid, dan komposisi kategorikal morfisme diberikan oleh operasi monoid. Beberapa definisi dan teorema tentang monoid dapat digeneralisasikan untuk kategori.

Maka, [[grup (matematika)|grup]] dapat dilihat sebagai kategori dengan satu objek di mana setiap morfisme adalah '' dapat dibalik '', Artinya, untuk setiap morfisme '' f '' ada morfisme '' g '' yang keduanya [[Morfisme#Beberapa morfisme spesifik|terbalik kiri dan kanan]] hingga '' f '' di bawah komposisi. Morfisme yang bisa dibalik dalam pengertian ini disebut [[isomorfisme]].

[[Grupoid]] adalah kategori di mana setiap morfisme adalah isomorfisme. Grupoid adalah generalisasi dari grup, [[Tindakan grup (matematika)|tindakan grup]] dan [[relasi ekuivalen]]. Sebenarnya, dalam pandangan kategori, perbedaan antara groupoid dan group adalah bahwa groupoid dapat memiliki lebih dari satu objek tetapi grup tersebut harus memiliki hanya satu. Pertimbangkan ruang topologi '' X '' dan tetapkan titik dasarnya <math>x_0</math> dari '' X '', maka <math>\pi_1(X,x_0)</math> adalah [[grup fundamental]] dari ruang topologi '' X '' dan titik dasar <math> x_0 </math>, dan sebagai himpunan memiliki struktur grup; jika titik dasar <math> x_0 </math> di atas  titik '' X '', dan gabungan dari <math>\pi_1(X,x_0)</math>, maka himpunan yang kita dapatkan hanya memiliki struktur grupoid (yang disebut sebagai [[grupoid fundamental]] dari '' X ''): dua loop (di bawah relasi ekivalensi homotopi) mungkin tidak memiliki titik dasar yang sama sehingga tidak dapat menggandakan satu sama lain. Dalam kategori, ini berarti di sini dua morfisme mungkin tidak memiliki objek sumber yang sama (atau objek target, karena dalam morfisme objek sumber dan objek target adalah sama: titik dasar) sehingga tidak dapat saling menyusun.

[[Berkas:Directed.svg|125px|thumb|Grafik arah.]]
Semua [[grafik arah]] [[Menghasilkan himpunan|menghasilkan]] kategori kecil: objeknya adalah [[simpul (teori grafik)|simpul]] dari graf, dan morfisme adalah jalur dalam grafik (ditambah dengan [[loop (teori grafik)|loop]] sesuai kebutuhan) di mana komposisi morfisme merupakan rangkaian jalur. Kategori seperti itu disebut '' [[kategori bebas]] '' yang dihasilkan oleh grafik.

Kelas dari semua grup dengan [[homomorfisme grup]] sebagai [[morfisme]] dan [[komposisi fungsi]] sebagai operasi komposisi membentuk kategori besar. Contoh lain dari kategori konkret diberikan oleh tabel berikut.

{| class="wikitable"
!Kategori
! Objek
! Morfisme
|-
|'''[[grup kategori|Grp]]'''
|[[Grup (matematika)|grup]]
| [[homomorfisme grup]]
|-
|'''[[Kategori magma|Mag]]'''
|[[magma (aljabar)|magma]]
|[[Magma (aljabar)#Morfisme magma|homomorfisme magma]]
|-
|[[kategori lipatan|'''Man'''<sup>''p''</sup>]]
|[[lipatan halus]]
|peta kali [[terus menerus dapat dibedakan]]
|-
|'''[[kategori ruang metrik|Met]]'''
|[[ruang metrik]]
| [[peta pendek]]
|-
|'''[[kategori modul|''R''-Mod]]'''
|[[modul (matematika)|''R''-modules]], di mana '' R '' adalah sebuah cincin
| [[homomorfisme modul|''R''-modul homomorfisme]]
|-
|'''[[kategori monoid|Mon]]'''
|[[monoids]]
|[[Monoid#Homomorfisme monoid|homomorfisme monoid]]
|-
|'''[[kategori gelanggang|Gelanggang]]'''
|[[gelanggang (matematika)|gelanggang]]
| [[homomorfisme gelanggang]]
|-
|'''[[kategori himpunan|Himpunan]]'''
|[[Himpunan (matematika)|himpunan]]
| [[Fungsi (matematika)|fungsi]]
|-
|'''[[kategori ruang topologi|Top]]'''
|[[ruang topologi]]
| [[fungsi kontinu (topologi)|fungsi kontinu]]
|-
|'''[[kategori ruang seragam|Uni]]'''
|[[ruang seragam]]
| [[fungsi kontinu seragam]]
|-
|[[Vekt-K|'''Vect'''<sub>''K''</sub>]]
|[[ruang vektor]] di atas [[bidang (matematika)|bidang]] ''K''
|''K''-[[peta linean]]
|}

[[Fiber bundel]] dengan [[bundel map]] di antaranya membentuk kategori beton.

Kategori '''[[kategori kategori kecil|Cat]]''' terdiri dari semua kategori kecil, dengan [[funktor]] di antaranya sebagai morfisme.

== Konstruksi kategori baru ==
=== Kategori ganda ===
Setiap kategori '' C '' sendiri dapat dianggap sebagai kategori baru dengan cara yang berbeda: objeknya sama dengan yang ada di kategori asli tetapi panahnya adalah milik kategori asli terbalik. Ini disebut [[Kategori berlawanan|'' ganda '' atau '' kategori berlawanan '']] dan dilambangkan ''C''<sup>op</sup>.

=== Kategori produk ===
Jika '' C '' dan '' D '' adalah kategori, seseorang dapat membentuk '' kategori produk '' '' C '' × '' D '': Objek adalah pasangan yang terdiri dari satu objek dari '' C '' dan satu dari '' D '', dan morfismenya juga berpasangan, terdiri dari satu morfisme dalam '' C '' dan '' D ''. Grup disusun [[N-tupel|secara komponen]].

== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika}}
* [[Kategori Enriched]]
* [[Teori kategori tinggi]]
* [[Kuantaloid]]
* [[Tabel simbol matematika]]

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==
* {{Citation |last1=Adámek |first1=Jiří |last2=Herrlich |first2=Horst |last3=Strecker |first3=George E. |year=1990 |title=Abstract and Concrete Categories |publisher=Wiley |isbn=0-471-60922-6 |url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |accessdate=2021-01-13 |archive-date=2015-04-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150421081851/http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |dead-url=yes }} (now free on-line edition, [[GNU Free Documentation License|GNU FDL]]).
* {{Citation| last1=Asperti| first1=Andrea| last2=Longo| first2=Giuseppe| year=1991| title=Categories, Types and Structures| publisher=MIT Press| url=https://archive.org/details/categoriestypess00aspe_0| isbn=0-262-01125-5| url-access=registration}}.
* {{Citation| last1=Awodey | first1=Steve | year=2006| title=Category theory| volume=49| series=Oxford logic guides| publisher=Oxford University Press| isbn = 978-0-19-856861-2}}.
*{{citation
 | last1 = Barr | first1 = Michael | author1-link = Michael Barr (mathematician)
 | last2 = Wells | first2 = Charles | author2-link = Charles Wells (mathematician)
 | edition = revised
 | series = Reprints in Theory and Applications of Categories
 | mr = 2178101
 | title = Toposes, Triples and Theories
 | url = http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12abs.html
 | volume = 12
 | year = 2005}}. 
* {{Citation| last=Borceux| first=Francis| year=1994| chapter=Handbook of Categorical Algebra| title=Encyclopedia of Mathematics and its Applications| location=Cambridge |publisher=Cambridge University Press| volume=50–52| isbn=0-521-06119-9}}.
* {{springer|title=Category|id=p/c020740}}
* {{Citation| last1= Herrlich |first1= Horst |last2=Strecker |first2=George E. |year=2007 |title=Category Theory |publisher= Heldermann Verlag |isbn = 978-3-88538-001-6}}.
* {{Citation| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47187-7}}.
* {{Citation| last1=Lawvere| first1=William| author1-link=William Lawvere| last2=Schanuel| first2=Steve| year=1997| title=Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories | publisher=Cambridge University Press| isbn=0-521-47249-0}}.
* {{Citation| last=Mac Lane| first=Saunders| author-link=Saunders Mac Lane| year=1998| title=[[Categories for the Working Mathematician]]| edition=2nd| series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5| publisher=Springer-Verlag| isbn = 0-387-98403-8}}.
* {{Citation| last=Marquis| first=Jean-Pierre| contribution=Category Theory| editor-last=Zalta| editor-first=Edward N.| title=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]| year=2006| contribution-url=http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/}}.
* {{Citation| last1=Sica| first1=Giandomenico | year=2006| title=What is category theory?| volume=3| series=Advanced studies in mathematics and logic| publisher=Polimetrica| isbn = 978-88-7699-031-1}}.
*{{nlab|id=category}}

{{Teori kategori}}

[[Kategori:Teori kategori|*]]