Lihat sumber Kaidah rantai

{{Periksa terjemahan|en|Chain rule}}{{Kalkulus}}
Dalam [[kalkulus]], '''kaidah rantai''' atau '''aturan rantai''' adalah [[rumus]] untuk [[turunan]] fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua [[fungsi matematika]].

Secara intuitif, bila [[variabel]] ''y'' bergantung pada variabel kedua, ''u'', yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, ''x'', maka laju perubahan ''y'' terhadap ''x'' dapat dihitung sebagai laju perubahan ''y'' terhadap ''u'' dikalikan dengan laju perubahan ''u'' terhadap ''x''. Ini dapat dituliskan sebagai

:<math>\frac {dy}{dx} = \frac {dy} {du} \cdot\frac {du}{dx}</math>

Aturan rantai dapat ditulis ulang dalam [[notasi Leibniz]] dengan cara berikut. Bila variabel ''{{Mvar|z}}'' tergantung pada variabel ''{{Mvar|y}}'', yang bergantung pada variabelnya ''{{Mvar|x}}'' (yaitu ''{{Mvar|y}}'' dan ''{{Mvar|z}}'' adalah [[variabel dependen]]), lalu ''{{Mvar|z}}'', melalui variabel perantara ''{{Mvar|y}}'', tergantung pada ''{{Mvar|x}}'' demikian juga. Dalam hal ini, aturan rantai menyatakan bahwa:

:<math>\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}. </math>

Lebih tepatnya, untuk menunjukkan titik setiap turunan evaluasi, <math> \left.\frac{dz}{dx}\right|_{x} = \left.\frac{dz}{dy}\right|_{y(x)}
\cdot \left. \frac{dy}{dx}\right|_{x} </math>.

Versi aturan rantai di Lagrange dan notasi Leibniz adalah setara, dalam arti bila <math>z=f(y)\!</math> dan <math>y=g(x)\!</math>,  seperti nilai <math> z = f(g(x)) = (f \circ g)(x) </math>, maka

:<math>\left.\frac{dz}{dx}\right|_x = (f \circ g)'(x)</math>
dan
:<math>
\left.\frac{dz}{dy}\right|_{y(x)}\cdot\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x} = f'(y(x))g'(x) = f'(g(x))g'(x).</math><ref name=":0">{{Cite web|url=https://oregonstate.edu/instruct/mth251/cq/Stage6/Lesson/chainLeibniz.html|title=Aturan Rantai dalam Notasi Leibniz|website=oregonstate.edu|access-date=2019-07-28|archive-date=2019-07-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20190725164140/http://oregonstate.edu/instruct/mth251/cq/Stage6/Lesson/chainLeibniz.html|dead-url=yes}}</ref>

Secara intuitif, aturan rantai menyatakan bahwa mengetahui tingkat perubahan seketika ''z'' tergantung pada ''y'' dan dari ''y'' relative to ''x'' memungkinkan seseorang untuk menghitung tingkat perubahan seketika ''z'' tergantung pada ''x''. Seperti yang dikemukakan oleh [[George F. Simmons]]: "Jika sebuah mobil melaju dua kali lebih cepat dari sepeda dan sepeda empat kali lebih cepat dari orang yang berjalan kaki, maka mobil tersebut berjalan 2 × 4 = 8 kali lebih cepat dari pria itu."<ref>[[George F. Simmons]], ''Kalkulus dengan Geometri Analitik'' (1985), p. 93.</ref>

Dalam [[integral|integrasi]], pasangan dari aturan rantai adalah [[aturan substitusi]].

== Sejarah ==

Aturan rantai tampaknya pertama kali digunakan oleh [[Gottfried Wilhelm Leibniz]]. Dia menggunakannya untuk menghitung turunan dari <math>\sqrt{a + bz + cz^2}</math> sebagai gabungan dari fungsi [[akar kuadrat]] dan fungsi <math>a + bz + cz^2\!</math>. Dia pertama kali menyebutkannya dalam memoar 1676 (dengan kesalahan tanda dalam perhitungan). Notasi umum aturan rantai adalah karena Leibniz.<ref>{{cite journal|url= https://scholarworks.umt.edu/tme/vol7/iss2/10/ |title=Refleksi Semiotik pada Didaktik Aturan Rantai |journal=Penggemar Matematika |year=2010 |volume=7 |pages=321–332 |issue=2 |first1=Omar Hernández |last1=Rodríguez |first2=Jorge M. |last2=López Fernández |accessdate=2019-08-04}}</ref> [[Guillaume de l'Hôpital]] menggunakan aturan rantai secara implisit dalam miliknya ''[[Analyse des infiniment petits]]''. Aturan rantai tidak muncul di buku analisis [[Leonhard Euler]], meskipun mereka ditulis lebih dari seratus tahun setelah penemuan Leibniz.

== Satu dimensi ==

=== Contoh pertama ===
Contohnya seorang penerjun payung melompat dari pesawat terbang. Asumsikan bahwa {{Mvar|t}} detik setelah lompatannya, ketinggiannya di atas permukaan laut dalam meter diberikan oleh {{math|1=''g''(''t'') = 4000 − 4.9''t''<sup>2</sup>}}. Satu model untuk [[tekanan atmosfer]] di ketinggian ''{{Mvar|h}}'' is {{math|1=''f''(''h'') = {{gaps|101|325}} ''e''<sup>−0.0001''h''</sup>}}.  Kedua persamaan ini dapat dibedakan dan digabungkan dengan berbagai cara untuk menghasilkan data berikut:
* {{math|1=''g''′(''t'') = −9.8''t''}} adalah kecepatan skydiver pada saat itu ''{{Mvar|t}}''.
* {{math|1=''f''′(''h'') = −10.1325''e''<sup>−0.0001''h''</sup>}} adalah laju perubahan tekanan atmosfer sehubungan dengan ketinggian di ketinggian ''{{Mvar|h}}'' dan sebanding dengan [[gaya apung]] pada skydiver di ''{{Mvar|h}}'' meters above sea level. (Gaya apung sebenarnya tergantung pada volume skydiver tersebut.)
* {{math|(''f'' ∘ ''g'')(''t'')}} adalah tekanan atmosfer yang dialami skydiver ''{{Mvar|t}}'' detik setelah lompatannya.
* {{math|(''f'' ∘ ''g'')′(''t'')}} adalah laju perubahan tekanan atmosfer terhadap waktu di ''{{Mvar|t}}'' detik setelah skydiver melompat, dan sebanding dengan gaya apung pada skydiver di ''{{Mvar|t}}'' detik setelah lompatan.

Di sini, aturan rantai memberikan metode untuk menghitung {{math|(''f'' ∘ ''g'')′(''t'')}} istilah dari {{math|''f''′}} dan {{math|''g''′}}. Meskipun selalu mungkin untuk secara langsung menerapkan definisi turunan untuk menghitung turunan fungsi komposit, ini biasanya sangat sulit. Kegunaan kaidah rantai adalah mengubah turunan yang rumit menjadi beberapa turunan mudah.

Kaidah rantai menyatakan bahwa, dalam kondisi yang sesuai,
:<math>(f \circ g)'(t) = f'(g(t))\cdot g'(t).</math>
Dalam contoh ini sama dengan
:<math>(f \circ g)'(t) = \big(\mathord{-}10.1325e^{-0.0001(4000 - 4.9t^2)}\big)\cdot\big(\mathord{-}9.8t\big).</math>

Dalam pernyataan kaidah rantai, {{Mvar|f}} dan {{Mvar|g}} memainkan peran yang sedikit berbeda karena {{Mvar|f'}} adalah evaluasi pada <math>g(t)\!</math>, sedangkan {{Mvar|g'}} adalah evaluasi pada ''{{Mvar|t}}''. Karena hal ini diperlukan agar unit bekerja dengan benar.

Contohnya, kita ingin menghitung laju perubahan tekanan atmosfer sepuluh detik setelah skydiver melompat. Karena, {{math|(''f'' ∘ ''g'')′(10)}} dan memiliki satuan [[Pascal (unit)|pascal]] per detik. Faktor {{math|''g''′(10)}} dalam kaidah rantai adalah kecepatan skydiver sepuluh detik setelah lompatannya, dan dinyatakan dalam meter per detik. <math>f'(g(10))\!</math> adalah perubahan tekanan terhadap ketinggian di ketinggian {{math|''g''(10)}} dan dinyatakan dalam pascal per meter. Produk dari <math>f'(g(10))\!</math> dan <math>g'(10)\!</math> oleh karena itu memiliki satuan pascal per detik yang benar.

Di sini, perhatikan bahwa evaluasi tidak dapat dilakukan ''{{Mvar|f}}'' di tempat lain. Contohnya, 10 dalam soal mewakili sepuluh detik, sedangkan ekspresi <math>f'(10)\!</math> akan mewakili perubahan tekanan pada ketinggian sepuluh meter, yang tidak kami inginkan. Begitu pula saat {{math|1=''g''′(10) = −98}} memiliki satuan meter per detik, ekspresi tersebut {{math|''f''′(''g''′(10))}} akan mewakili perubahan tekanan pada ketinggian −98 meter, yang sekali lagi bukan yang kami inginkan. Namun, {{math|1=''g''(10)}} adalah 3020 meter di atas permukaan laut, ketinggian skydiver sepuluh detik setelah lompatannya, dan ini memiliki satuan yang benar untuk masukan {{Mvar|f}}.

=== Pernyataan ===

Bentuk paling sederhana dari kaidah rantai adalah untuk fungsi bernilai riil dari satu variabel [[bilangan real|nyata]]. Karena hal ini menyatakan bahwa jika ''{{Mvar|g}}'' adalah fungsi yang dapat dibedakan pada suatu titik ''{{Mvar|c}}'' (yaitu turunan {{math|''g''′(''c'')}} ada) dan ''{{Mvar|f}}'' adalah fungsi yang dapat dibedakan pada {{math|''g''(''c'')}}, lalu fungsi komposit {{math|''f''&nbsp;∘&nbsp;''g''}} dibedakan di ''{{Mvar|c}}'', dan turunannya adalah<ref>{{cite book|title=Analisis matematis|authorlink=Tom Apostol|first=Tom|last=Apostol|year=1974|edition=2nd|publisher=Addison Wesley|page=Theorem 5.5|nopp=true}}</ref>

:<math> (f\circ g)'(c) = f'(g(c))\cdot g'(c). </math>

Kaidah tersebut terkadang disingkat

:<math>(f\circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'.</math>

Bila {{math|1=''y'' = ''f''(''u'')}} dan {{math|1=''u'' = ''g''(''x'')}}, maka bentuk singkatan ini ditulis dalam [[notasi Leibniz]] sebagai:

:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math><ref name=":0" />

Poin-poin di mana turunan dari hasil evaluasi juga dapat dinyatakan secara eksplisit:

:<math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=c} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u = g(c)} \cdot \left.\frac{du}{dx}\right|_{x=c}.</math>

Membawa alasan yang sama lebih jauh, diberikan ''{{Mvar|n}}'' fungsi <math>f_1, \ldots, f_n\!</math> dengan fungsi komposit <math>f_1 \circ ( f_2 \circ \cdots (f_{n-1} \circ f_n) )\!</math>, bila masing-masing fungsi <math>f_i\!</math> dapat dibedakan pada masukan langsungnya, maka fungsi komposit juga dapat dibedakan dengan penerapan Aturan Rantai yang berulang, di mana turunannya adalah (dalam notasi Leibniz):

:<math>\frac{df_1}{dx} = \frac{df_1}{df_2}\frac{df_2}{df_3}\cdots\frac{df_n}{dx}.</math><ref name=":1">{{Cite web|url=https://mathvault.ca/chain-rule-derivative/|title=Kaidah Rantai untuk Turunan|last=|first=|date=2016-06-05|website=Math Vault|language=en-US|archive-url=|archive-date=|access-date=2019-07-28}}</ref>

=== Contoh lebih lanjut ===

==== Tidak adanya rumus ====
Dimungkinkan untuk menerapkan kaidah rantai bahkan ketika tidak ada rumus untuk fungsi yang sedang dibedakan. Karena hal ini bisa terjadi jika turunannya diukur secara langsung. Contohnya sebuah mobil sedang mendaki gunung yang tinggi. Speedometer mobil mengukur kecepatannya secara langsung. Jika [[tingkat (kemiringan)|tingkat]] diketahui, laju pendakian dapat dihitung menggunakan [[trigonometri]]. Contohnya mobil sedang naik pada {{val|2.5|u=km/h}}. Model standar untuk atmosfer bumi menyiratkan bahwa suhu turun sekitar {{val|6.5|u=°C}} per kilometer naik (disebut [[tingkat selang waktu]]). Untuk mengetahui penurunan suhu per jam, kita dapat menerapkan aturan rantai. Biarkan fungsinya {{math|''g''(''t'')}} menjadi ketinggian mobil pada saat itu {{mvar|t}}, dan biarkan fungsinya {{math|''f''(''h'')}} menjadi suhu {{mvar|h}} kilometer di atas permukaan laut.  {{mvar|f}} dan {{mvar|g}} tidak diketahui secara pasti: Contohnya, ketinggian tempat mobil mulai tidak diketahui dan suhu di gunung tidak diketahui. Namun, turunannya diketahui: {{math|''f''′}} adalah {{val|−6.5|u=°C/km}}, dan {{math|''g''′}} adalah {{val|2.5|u=km/h}}. Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan dari fungsi komposit adalah hasil kali dari turunan {{mvar|f}} dan turunan dari {{mvar|g}}. Karena ini adalah {{math|{{val|−6.5|u=°C/km}} ⋅ {{val|2.5|u=km/h}} {{=}} {{val|−16.25|u=°C/h}}}}.

Salah satu alasan mengapa penghitungan ini dimungkinkan adalah karena {{math|''f''′}} adalah [[fungsi konstan]]. Penjelasan yang lebih akurat tentang bagaimana suhu di dekat mobil bervariasi dari waktu ke waktu memerlukan model yang akurat tentang bagaimana suhu bervariasi pada ketinggian yang berbeda. Model ini mungkin tidak memiliki turunan konstan. Untuk menghitung perubahan suhu pada model seperti itu, perlu diketahui {{mvar|g}} dan bukan hanya {{math|''g''′}}, karena tanpa disadari {{mvar|g}} tidak mungkin mengetahui di mana harus mengevaluasi {{math|''f''′}}.

==== Komposit lebih dari dua fungsi ====
Kaidah rantai dapat diterapkan pada komposit lebih dari dua fungsi. Untuk mengambil turunan dari gabungan lebih dari dua fungsi, perhatikan bahwa gabungan dari {{Mvar|f}}, {{Mvar|g}}, dan ''{{Mvar|h}}'' (dalam urutan itu) adalah gabungan dari {{Mvar|f}} maka {{math|''g'' ∘ ''h''}}. Kaidah rantai menyatakan bahwa untuk menghitung turunan dari {{math|''f'' ∘ ''g'' ∘ ''h''}}, itu cukup untuk menghitung turunan dari ''{{Mvar|f}}'' dan turunan dari {{math|''g'' ∘ ''h''}}.  Turunan dari ''{{Mvar|f}}'' dapat dihitung secara langsung, dan turunan dari {{math|''g'' ∘ ''h''}} dapat dihitung dengan menerapkan aturan rantai lagi.

Untuk konkretnya, pertimbangkan fungsinya
:<math>y = e^{\sin (x^2)}.</math>
Ini dapat diuraikan sebagai gabungan dari tiga fungsi:
:<math>\begin{align}
y &= f(u) = e^u, \\[6pt]
u &= g(v) = \sin v = \sin(x^2), \\[6pt]
v &= h(x) = x^2.
\end{align}</math>
Turunannya adalah:
:<math>\begin{align}
\frac{dy}{du} &= f'(u) = e^u = e^{\sin(x^2)}, \\[6pt]
\frac{du}{dv} &= g'(v) = \cos v = \cos(x^2), \\[6pt]
\frac{dv}{dx} &= h'(x) = 2x.
\end{align}</math>

Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan komposit mereka pada titik {{math|1=''x'' = ''a''}} adalah:

: <math>
\begin{align}
(f \circ g \circ h)'(a) & = f'((g \circ h)(a))\cdot (g \circ h)'(a) \\[10pt]
& = f'((g \circ h)(a)) \cdot g'(h(a)) \cdot h'(a) = (f' \circ g \circ h)(a) \cdot (g' \circ h)(a) \cdot h'(a).
\end{align}
</math>

Dalam notasi Leibniz, adalah:
:<math>\frac{dy}{dx} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u=g(h(a))}\cdot\left.\frac{du}{dv}\right|_{v=h(a)}\cdot\left.\frac{dv}{dx}\right|_{x=a},</math>
atau singkatnya,
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}.</math>
Oleh karena itu, fungsi turunannya adalah:
:<math>\frac{dy}{dx} = e^{\sin(x^2)}\cdot\cos(x^2)\cdot 2x.</math>

Cara lain untuk menghitung turunan ini adalah dengan melihat fungsi komposit {{math|''f'' ∘ ''g'' ∘ ''h''}} sebagai gabungan dari {{math|''f'' ∘ ''g''}} dan ''h''.  Menerapkan aturan rantai dengan cara ini akan menghasilkan:
:<math>(f \circ g \circ h)'(a) = (f \circ g)'(h(a))\cdot h'(a) = f'(g(h(a)))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a).</math>

sama dengan yang dihitung di atas. hal ini harus diharapkan karena {{math|1=(''f'' ∘ ''g'') ∘ ''h'' = ''f'' ∘ (''g'' ∘ ''h'')}}.

Terkadang, perlu untuk membedakan komposisi bentuk yang sangat panjang <math>f_1 \circ f_2 \circ \cdots \circ f_{n-1} \circ f_n\!</math>. Dalam kasus ini, definisikan
:<math>f_{a\,.\,.\,b} = f_{a} \circ f_{a+1} \circ \cdots \circ f_{b-1} \circ f_{b}</math>
dimana <math>f_{a\,.\,.\,a} = f_a</math> dan <math>f_{a\,.\,.\,b}(x) = x</math> ketika <math>b < a</math>. Kemudian aturan rantai terbentuk
:<math>Df_{1\,.\,.\,n} = (Df_1 \circ f_{2\,.\,.\,n}) (Df_2 \circ f_{3\,.\,.\,n}) \cdots (Df_{n-1} \circ f_{n\,.\,.\,n}) Df_n = \prod_{k=1}^n \left[Df_k \circ f_{(k+1)\,.\,.\,n}\right]</math>
atau, dalam notasi Lagrange,
:<math>f_{1\,.\,.\,n}'(x) = f_1' \left( f_{2\,.\,.\,n}(x) \right) \; f_2' \left( f_{3\,.\,.\,n}(x) \right) \cdots f_{n-1}' \left(f_{n\,.\,.\,n}(x)\right) \; f_n'(x) = \prod_{k=1}^{n} f_k' \left(f_{(k+1\,.\,.\,n)}(x) \right)</math>

==== Kaidah hasil bagi ====
{{See also|Kaidah hasil bagi}}
Kaidah rantai dapat digunakan untuk mendapatkan beberapa aturan diferensiasi yang terkenal. Contohnya, kaidah hasil bagi adalah konsekuensi dari aturan rantai dan [[aturan perkalian]]. Untuk melihat ini, tulis fungsinya {{math|''f''(''x'')/''g''(''x'')}} sebagai produk {{math|''f''(''x'') · 1/''g''(''x'')}}. Pertama, terapkan kaidah hasil kali:

:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)
&= \frac{d}{dx}\left(f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\right) \\
&= f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right).
\end{align}</math>

Untuk menghitung turunan {{math|1/''g''(''x'')}}, perhatikan bahwa itu adalah gabungan dari {{Mvar|g}} dengan fungsi timbal balik, yaitu fungsi yang mengirim {{Mvar|x}} to {{math|1/''x''}}. Turunan dari fungsi timbal balik adalah <math>-1/x^2\!</math>. Dengan menerapkan aturan rantai, ekspresi terakhir menjadi:

:<math>f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\left(-\frac{1}{g(x)^2}\cdot g'(x)\right)
= \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{g(x)^2},</math>
yang merupakan rumus umum untuk aturan hasil bagi.

==== Turunan dari fungsi invers ====
{{Main|Fungsi dan diferensiasi invers}}
<!--Suppose that {{math|1=''y'' = ''g''(''x'')}} has an [[inverse function]]. Call its inverse function {{Mvar|f}} so that we have {{math|1=''x'' = ''f''(''y'')}}. There is a formula for the derivative of {{Mvar|f}} in terms of the derivative of {{Mvar|g}}. To see this, note that ''{{Mvar|f}}'' and ''{{Mvar|g}}'' satisfy the formula

:<math>f(g(x)) = x.</math>

And because the functions <math>f(g(x))\!</math> and {{Mvar|x}} are equal, their derivatives must be equal. The derivative of ''{{Mvar|x}}'' is the constant function with value 1, and the derivative of <math>f(g(x))\!</math> is determined by the chain rule.  Therefore, we have that:

:<math>f'(g(x)) g'(x) = 1.</math>

To express {{Mvar|f'}} as a function of an independent variable ''{{Mvar|y}}'', we substitute <math>f(y)\!</math> for ''{{Mvar|x}}'' wherever it appears. Then we can solve for {{Mvar|f'}}.

:<math>\begin{align}
f'(g(f(y))) g'(f(y)) &= 1 \\[5pt]
f'(y) g'(f(y)) &= 1 \\[5pt]
f'(y) = \frac{1}{g'(f(y))}.
\end{align}</math>

For example, consider the function {{math|1=''g''(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>}}.  It has an inverse {{math|1=''f''(''y'') = ln ''y''}}.  Because {{math|1=''g''′(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>}}, the above formula says that
:<math>\frac{d}{dy}\ln y = \frac{1}{e^{\ln y}} = \frac{1}{y}.</math>

This formula is true whenever {{Mvar|g}} is differentiable and its inverse ''{{Mvar|f}}'' is also differentiable. This formula can fail when one of these conditions is not true. For example, consider {{math|1=''g''(''x'') = ''x''<sup>3</sup>}}. Its inverse is {{math|1=''f''(''y'') = ''y''<sup>1/3</sup>}}, which is not differentiable at zero. If we attempt to use the above formula to compute the derivative of ''{{Mvar|f}}'' at zero, then we must evaluate {{math|1=1/''g''′(''f''(0))}}. Since {{math|1=''f''(0) = 0}} and {{math|1=''g''′(0) = 0}}, we must evaluate 1/0, which is undefined. Therefore, the formula fails in this case. This is not surprising because ''{{Mvar|f}}'' is not differentiable at zero.-->

=== Turunan yang lebih tinggi ===
[[Faà di Bruno's formula]] menggeneralisasi aturan rantai ke turunan yang lebih tinggi. Berasumsi bahwa {{math|''y'' {{=}} ''f''(''u'')}} dan {{math|''u'' {{=}} ''g''(''x'')}}, maka beberapa turunan pertamanya adalah:

: <math>
\begin{align}
\frac{dy}{dx} & = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \\[4pt]
\frac{d^2 y }{d x^2} & = \frac{d^2 y}{d u^2} \left(\frac{du}{dx}\right)^2
    + \frac{dy}{du} \frac{d^2 u}{dx^2} \\[4pt]
\frac{d^3 y }{d x^3} & = \frac{d^3 y}{d u^3} \left(\frac{du}{dx}\right)^3
    + 3 \, \frac{d^2 y}{d u^2} \frac{du}{dx} \frac{d^2 u}{d x^2}
    + \frac{dy}{du} \frac{d^3 u}{d x^3} \\[4pt]
\frac{d^4 y}{d x^4} & =\frac{d^4 y}{du^4} \left(\frac{du}{dx}\right)^4
    + 6 \, \frac{d^3 y}{d u^3} \left(\frac{du}{dx}\right)^2 \frac{d^2 u}{d x^2}
    + \frac{d^2 y}{d u^2} \left( 4 \, \frac{du}{dx} \frac{d^3 u}{dx^3}
    + 3 \, \left(\frac{d^2 u}{dx^2}\right)^2\right)
    + \frac{dy}{du} \frac{d^4 u}{dx^4}.
\end{align}
</math>

== Bukti ==

=== Bukti pertama ===
Salah satu bukti aturan rantai dimulai dengan definisi turunannya:
:<math>(f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a}.</math>

Asumsikan untuk saat itu <math>g(x)\!</math> tidak sama <math>g(a)\!</math> untuk apapun {{Mvar|x}} dekat ''{{Mvar|a}}''.  Maka persamaan sebelumnya sama dengan hasil kali dua faktor:

:<math>\lim_{x \to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{g(x) - g(a)} \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}.</math>

<!-+If <math>g</math> oscillates near ''{{Mvar|a}}'', then it might happen that no matter how close one gets to ''{{Mvar|a}}'', there is always an even closer ''{{Mvar|x}}'' such that <math>g(x)\!</math> equals <math>g(a)\!</math>. -->Contohnya, ini terjadi untuk {{math|1=''g''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>sin(1 / ''x'')}} mendekati intinya {{math|1=''a'' = 0}}. Kapanpun ini terjadi, ekspresi di atas tidak terdefinisi karena melibatkan [[pembagian dengan nol]]. Untuk menyiasatinya, perkenalkan sebuah fungsi ''<math>Q\!</math>'' sebagai berikut:

:<math>Q(y) = \begin{cases}
\frac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)}, & y \neq g(a), \\
f'(g(a)), & y = g(a).
\end{cases}</math>
Kami akan menunjukkan bahwa [[hasil bagi perbedaan]] {{math|''f'' ∘ ''g''}} selalu sama dengan:
:<math>Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}.</math>

<!--Whenever {{math|''g''(''x'')}} is not equal to {{math|''g''(''a'')}}, this is clear because the factors of {{math|''g''(''x'') − ''g''(''a'')}} cancel. When {{math|''g''(''x'')}} equals {{math|''g''(''a'')}}, then the difference quotient for {{math|''f'' ∘ ''g''}} is zero because {{math|''f''(''g''(''x''))}} equals {{math|''f''(''g''(''a''))}}, and the above product is zero because it equals {{math|''f''′(''g''(''a''))}} times zero. So the above product is always equal to the difference quotient, and to show that the derivative of {{math|''f'' ∘ ''g''}} at {{math|''a''}} exists and to determine its value, we need only show that the limit as {{math|''x''}} goes to {{math|''a''}} of the above product exists and determine its value.

To do this, recall that the limit of a product exists if the limits of its factors exist. When this happens, the limit of the product of these two factors will equal the product of the limits of the factors. The two factors are {{math|''Q''(''g''(''x''))}} and {{math|(''g''(''x'') − ''g''(''a'')) / (''x'' − ''a'')}}. The latter is the difference quotient for {{Mvar|g}} at {{Mvar|a}}, and because ''{{Mvar|g}}'' is differentiable at ''{{Mvar|a}}'' by assumption, its limit as ''{{Mvar|x}}'' tends to ''{{Mvar|a}}'' exists and equals {{math|''g''′(''a'')}}.

As for {{math|''Q''(''g''(''x''))}}, notice that {{math|''Q''}} is defined wherever ''{{Mvar|f}}'' is. Furthermore, ''{{Mvar|f}}'' is differentiable at {{math|''g''(''a'')}} by assumption, so {{math|''Q''}} is continuous at {{math|''g''(''a'')}}, by definition of the derivative. The function ''{{Mvar|g}}'' is continuous at ''{{Mvar|a}}'' because it is differentiable at ''{{Mvar|a}}'', and therefore {{math|''Q'' ∘ ''g''}} is continuous at ''{{Mvar|a}}''. So its limit as ''{{Mvar|x}}'' goes to ''{{Mvar|a}}'' exists and equals {{math|''Q''(''g''(''a''))}}, which is {{math|''f''′(''g''(''a''))}}.

This shows that the limits of both factors exist and that they equal {{math|''f''′(''g''(''a''))}} and {{math|''g''′(''a'')}}, respectively.  Therefore, the derivative of {{math|''f'' ∘ ''g''}} at ''a'' exists and equals {{math|''f''′(''g''(''a''))}}{{math|''g''′(''a'')}}-->.<ref name=":1" />

=== Bukti kedua ===
<!--Another way of proving the chain rule is to measure the error in the linear approximation determined by the derivative.  This proof has the advantage that it generalizes to several variables.  It relies on the following equivalent definition of differentiability at a point: A function ''g'' is differentiable at ''a'' if there exists a real number ''g''′(''a'') and a function ''ε''(''h'') that tends to zero as ''h'' tends to zero, and furthermore
:<math>g(a + h) - g(a) = g'(a) h + \varepsilon(h) h.</math>
Here the left-hand side represents the true difference between the value of ''g'' at ''a'' and at {{math|''a'' + ''h''}}, whereas the right-hand side represents the approximation determined by the derivative plus an error term.

In the situation of the chain rule, such a function ''ε'' exists because ''g'' is assumed to be differentiable at ''a''.  Again by assumption, a similar function also exists for ''f'' at ''g''(''a'').  Calling this function ''η'', we have
:<math>f(g(a) + k) - f(g(a)) = f'(g(a)) k + \eta(k) k.</math>
The above definition imposes no constraints on ''η''(0), even though it is assumed that ''η''(''k'') tends to zero as ''k'' tends to zero.  If we set {{math|1=''η''(0) = 0}}, then ''η'' is continuous at 0.

Proving the theorem requires studying the difference {{math|''f''(''g''(''a'' + ''h'')) − ''f''(''g''(''a''))}} as ''h'' tends to zero.  The first step is to substitute for {{math|''g''(''a'' + ''h'')}} using the definition of differentiability of ''g'' at ''a'':
:<math>f(g(a + h)) - f(g(a)) = f(g(a) + g'(a) h + \varepsilon(h) h) - f(g(a)).</math>
The next step is to use the definition of differentiability of ''f'' at ''g''(''a'').  This requires a term of the form {{math|''f''(''g''(''a'') + ''k'')}} for some ''k''.  In the above equation, the correct ''k'' varies with ''h''.  Set {{math|1=''k''<sub>''h''</sub> = ''g''′(''a'') ''h'' + ''ε''(''h'') ''h''}} and the right hand side becomes {{math|''f''(''g''(''a'') + ''k''<sub>''h''</sub>) − ''f''(''g''(''a''))}}.  Applying the definition of the derivative gives:
:<math>f(g(a) + k_h) - f(g(a)) = f'(g(a)) k_h + \eta(k_h) k_h.</math>
To study the behavior of this expression as ''h'' tends to zero, expand ''k''<sub>''h''</sub>. After regrouping the terms, the right-hand side becomes:
:<math>f'(g(a)) g'(a)h + [f'(g(a)) \varepsilon(h) + \eta(k_h) g'(a) + \eta(k_h) \varepsilon(h)] h.</math>
Because ''ε''(''h'') and ''η''(''k''<sub>''h''</sub>) tend to zero as ''h'' tends to zero, the first two bracketed terms tend to zero as ''h'' tends to zero.  Applying the same theorem on products of limits as in the first proof, the third bracketed term also tends zero.  Because the above expression is equal to the difference {{math|''f''(''g''(''a'' + ''h'')) − ''f''(''g''(''a''))}}, by the definition of the derivative {{math|''f'' ∘ ''g''}} is differentiable at ''a'' and its derivative is {{math|''f''′(''g''(''a'')) ''g''′(''a'').}}

The role of ''Q'' in the first proof is played by ''η'' in this proof.  They are related by the equation:
:<math>Q(y) = f'(g(a)) + \eta(y - g(a)). </math>
The need to define ''Q'' at ''g''(''a'') is analogous to the need to define ''η'' at zero.-->

=== Bukti ketiga ===
<!--[[Constantin Carathéodory]]'s alternative definition of the differentiability of a function can be used to give an elegant proof of the chain rule.<ref>{{cite journal|first=Stephen|last=Kuhn|title=The Derivative á la Carathéodory|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|year=1991|volume=98|issue=1|pages=40–44|jstor=2324035}}</ref>

Under this definition, a function {{mvar|f}} is differentiable at a point {{mvar|a}} if and only if there is a function {{mvar|q}}, continuous at {{mvar|a}} and such that {{math|1=''f''(''x'') − ''f''(''a'') = ''q''(''x'')(''x'' − ''a'')}}. There is at most one such function, and if {{mvar|f}} is differentiable at {{mvar|a}} then {{math|1=''f'' ′(''a'') = ''q''(''a'')}}.

Given the assumptions of the chain rule and the fact that differentiable functions and compositions of continuous functions are continuous, we have that there exist functions {{mvar|q}}, continuous at {{math|''g''(''a'')}} and {{mvar|r}}, continuous at {{mvar|a}} and such that,
:<math>f(g(x))-f(g(a))=q(g(x))(g(x)-g(a))</math>
and
:<math>g(x)-g(a)=r(x)(x-a).</math>
Therefore,
:<math>f(g(x))-f(g(a))=q(g(x))r(x)(x-a),</math>
but the function given by {{math|1=''h''(''x'') = ''q''(''g''(''x''))''r''(''x'')}} is continuous at {{mvar|a}}, and we get, for this {{mvar|a}}
:<math>(f(g(a)))'=q(g(a))r(a)=f'(g(a))g'(a).</math>
A similar approach works for continuously differentiable (vector-)functions of many variables. This method of factoring also allows a unified approach to stronger forms of differentiability, when the derivative is required to be [[Lipschitz continuity|Lipschitz continuous]], [[Hölder condition|Hölder continuous]], etc. Differentiation itself can be viewed as the [[polynomial remainder theorem]] (the little [[Étienne Bézout|Bézout]] theorem, or factor theorem), generalized to an appropriate class of functions. {{citation needed|date=February 2016}}

==== Proof via infinitesimals ====
{{See also|Non-standard calculus}}
If <math>y=f(x)</math> and <math>x=g(t)</math> then choosing infinitesimal <math>\Delta t\not=0</math> we compute the corresponding <math>\Delta x=g(t+\Delta t)-g(t)</math> and then the corresponding <math>\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)</math>, so that
:<math>\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\Delta y}{\Delta x} \frac{\Delta x}{\Delta t}</math>
and applying the [[standard part]] we obtain
:<math>\frac{d y}{d t}=\frac{d y}{d x} \frac{dx}{dt}</math>
which is the chain rule.-->

== Kasus multivariabel ==	
== Generalisasi lebih lanjut ==

== Bukti ==

Misalkan fungsi ''f'' dengan ''y = f(u)'' dan fungsi ''g'' dengan ''u = g(x)'' masing-masing terdiferensiasi di titik ''u = u<sub>0</sub>'' dan ''x = x<sub>0</sub>''. Maka y merupakan fungsi komposit dari x <math>(y = (f \circ g)(x))</math>. Turunan ''y'' terhadap ''x'' di titik ''x<sub>0</sub>'' dinyatakan sebagai

:<math>\frac{dy}{dx}|_{x=x_0} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(g(x_0+\Delta x))-f(g(x_0))}{\Delta x}}
</math>

Misalkan <math>\Delta u = g(x_0+\Delta x)-g(x_0)</math>, dan <math>u_0 = g(x_0)</math>. Untuk <math>x \rightarrow 0</math> maka <math>u \rightarrow 0</math>. Dengan mensubstitusi, kita dapat menuliskan

:<math>\frac{dy}{dx}|_{x=x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{f(u_0 + \Delta u) - f(u_0)}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right)</math>

:<math>=\left[\lim_{\Delta u \to 0}\frac{f(u_0 + \Delta u) - f(u_0)}{\Delta u}\right] \left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)}{\Delta x}\right]</math>

:<math>= \frac{dy}{du}|_{u=u_0} \cdot \frac{du}{dx}|_{x=x_0}</math>.

== Referensi ==
{{Reflist}}

== Pranala luar ==
* {{en}}{{MathWorld | urlname=ChainRule | title=Chain Rule}}

[[Kategori:Kalkulus]]
[[Kategori:Persamaan diferensial]]
[[Kategori:Persamaan matematika]]
[[Kategori:Persamaan]]