Lihat sumber Kaidah pendiferensialan

{{Calculus|diferensial}}
'''Kaidah pendiferensialan''' (atau '''aturan pendiferensialan'''; {{lang-en|Rules of differentiation}}) berikut merupakan ringkasan kaidah-kaidah untuk menghitung [[derivatif]] suatu [[fungsi (matematika)|fungsi]] dalam [[kalkulus]]. Untuk daftar yang lebih lengkap, lihat [[Tabel turunan]].

== Kaidah dasar pendiferensialan ==

Kecuali dinyatakan lain, semua fungsi merupakan fungsi [[bilangan real|bilangan real ('''R''')]] yang menghasilkan nilai bilangan real; meskipun secara lebih umum, rumus-rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika [[:en:well defined|didefinisikan dengan baik]]<ref>''Calculus (5th edition)'', F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.</ref><ref>''Advanced Calculus (3rd edition)'', R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.</ref>— termasuk [[bilangan kompleks|bilangan kompleks ('''C''')]].<ref>''Complex Variables'', M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3</ref>

=== Pendiferensialan adalah linier ===
<!--{{main|Linearity of differentiation}}-->

Untuk fungsi-fungsi ''f'' dan ''g'' dan bilangan real ''a'' dan ''b'' apapun, turunan fungsi {{nowrap|1=''h''(''x'') = ''af''(''x'') + ''bg''(''x'')}} terhadap ''x'' dapat ditulis

:<math> h'(x) = a f'(x) + b g'(x).\, </math>
Dalam [[notasi Leibniz]] ini ditulis sebagai:
:<math> \frac{d(af+bg)}{dx}  = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}.</math>

Kasus-kasus khusus meliputi:
* ''[[:en:Constant factor rule in differentiation|Kaidah faktor konstan]]''
:<math>(af)' = af' \,</math>
* ''[[:en:Sum rule in differentiation|Kaidah penjumlahan]]''
:<math>(f + g)' = f' + g'\,</math>
* ''Kaidah pengurangan''
:<math>(f - g)' = f' - g'.\,</math>

=== Kaidah hasil kali ===
{{main|Kaidah darab}}

Untuk fungsi-fungsi ''f'' dan ''g'', turunan fungsi ''h''(''x'') = ''f''(''x'') ''g''(''x'') terhadap ''x'' dapat ditulis
:<math> h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).\, </math>
Dalam [[notasi Leibniz]] ini ditulis sebagai:
:<math>\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx}.</math>

=== Kaidah rantai ===
{{main|Kaidah rantai}}

Turunan dari fungsi ''h''(''x'') = ''f''(''g''(''x'')) terhadap ''x'' dapat ditulis
:<math> h'(x) = f'(g(x)) g'(x).\, </math>
Dalam [[:en:Leibniz's notation|notasi Leibniz]] ini ditulis sebagai:
:<math>\frac{dh}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \frac{dg(x)}{dx}.\,</math>
Namun, dengan melonggarkan penafsiran ''h'' sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai
:<math>\frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dg} \frac{dg}{dx}.\,</math>

=== Kaidah fungsi inversi ===
<!--{{main|inverse functions and differentiation}}-->

Jika fungsi ''f'' mempunyai suatu [[fungsi invers]] ''g'', yaitu {{nowrap|1=''g''(''f''(''x'')) = ''x''}} dan {{nowrap|1=''f''(''g''(''y'')) = ''y''}}, maka
:<math>g' = \frac{1}{f'\circ g}.</math>

Dalam [[notasi Leibniz]] ini ditulis sebagai:
:<math> \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.</math>

== Hukum pangkat, polinomial, hasil bagi, dan timbal-balik ==
=== Kaidah pangkat polinomial atau elementer ===
<!--{{main|Power rule}}-->

Jika <math>f(x) = x^n</math>, untuk [[bilangan bulat]] ''n'' apapun maka
:<math>f'(x) = nx^{n-1}.\,</math>

Kasus-kasus khusus meliputi:
* ''Kaidah konstanta'': jika ''f'' adalah fungsi konstanta ''f''(''x'') = ''c'', untuk bilangan ''c'' apapun, maka untuk semua ''x'', ''f′''(''x'') = 0.
* jika ''f''(''x'') = ''x'', maka ''f′''(''x'') = 1. Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi:
*: ''Turunan suatu fungsi ''affine'' adalah suatu konstanta'': jika ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b'', maka ''f′''(''x'') = ''a''.

Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun.

=== Kaidah timbal-balik ===
<!--{{main|Reciprocal rule}}-->
Turunan dari ''h''(''x'') = 1/''f''(''x'') untuk fungsi ''f'' (yang "tidak menghilang"; ''nonvanishing'') manapun adalah:

:<math> h'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}.\ </math>

Dalam [[notasi Leibniz]] ini ditulis sebagai:
:<math> \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.\,</math>

Kaidah timbal balik (''reciprocal rule'') dapat diturunkan dari kaidah rantai (''chain rule'') dan kaidah pemangkatan (kaidah pangkat; ''power rule'').

=== Kaidah hasil bagi ===

{{main|Kaidah hasil-bagi}}

Jika ''f'' dan ''g'' adalah fungsi, maka:
:<math>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad</math> di mana ''g'' bukan nol.

Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus ''f''(''x'') = 1.

=== Kaidah pemangkatan yang dirampat ===
{{main|Kaidah pemangkatan}}

Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas. Kaidah pemangkat yang paling luas adalah "kaidah pemangkatan fungsional" (''functional power rule''): untuk fungsi-fungsi ''f'' dan ''g'' apappun,
:<math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\quad</math>
di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik.

Kasus-kasus khusus:
* Jika ''f''(''x'') = ''x''<sup>''a''</sup>, ''f′''(''x'') = ''ax''<sup>''a'' − 1</sup> bilamana ''a'' adalah suatu bilangan real dan ''x'' adalah positif.
* Kaidah timbal balik (''reciprocal rule'') dapat diturunkan sebagai kasus khsusu di mana ''g''(''x'') = −1.

== Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik ==

:<math> \frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {c^{ax} \ln c \cdot a },\qquad c > 0</math>
perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua ''c'', tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

:<math> \frac{d}{dx}\left(e^x\right) = e^x</math>

:<math> \frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c}, \qquad c > 0, c \ne 1</math>
persamaan di atas adalah benar untuk semua ''c'', tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

:<math> \frac{d}{dx}\left( \ln x\right)  = {1 \over x},\qquad x > 0</math>

:<math> \frac{d}{dx}\left( \ln |x|\right) = {1 \over x}</math>

:<math> \frac{d}{dx}\left( x^x \right) = x^x(1+\ln x).</math>

=== Turunan logaritmik ===

[[Turunan logaritmik]] adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi (menggunakan kaidah rantai):
:<math> (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad</math> wherever ''f'' is positive.

== Turunan fungsi trigonometri ==
<!--{{main|Differentiationof trigonometric functions}}-->

{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
|width=50%|<math> (\sin x)' = \cos x \,</math>
|width=50%|<math> (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,</math>
|-
|<math> (\cos x)' = -\sin x \,</math>
|<math> (\arccos x)' = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,</math>
|-
|<math> (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,</math>
|<math> (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,</math>
|-
|<math> (\sec x)' = \sec x \tan x \,</math>
|<math> (\operatorname{arcsec} x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,</math>
|-
|<math> (\csc x)' = -\csc x \cot x \,</math>
|<math> (\operatorname{arccsc} x)' = -{1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,</math>
|-
|<math> (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)\,</math>
|<math> (\operatorname{arccot} x)' = -{1 \over 1 + x^2} \,</math>
|}
Adalah lazim untuk mendefinisikan lebih lanjut suatu fungsi tangen inversi dengan dua argumen, <math>\arctan(y,x)</math>. Nilainya terletak dalam rentang <math>[-\pi,\pi]</math> dan mencerminkan kuadran dari titik <math>(x,y)</math>. Untuk kuadran pertama dan keempat (yaitu <math>x > 0</math>) maka <math>\arctan(y, x>0) = \arctan(y/x)</math>. Turunan parsialnya adalah

{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
|width=100%|<math> \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2}</math>, and <math> \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2}.</math>
|}

== Turunan fungsi hiperbolik ==
{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
|width=50%|<math>( \sinh x)'= \cosh x = \frac{e^x +
 e^{-x}}{2}</math>
|width=50%|<math>(\operatorname{arsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}</math>
|-
|<math>(\cosh x)'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>
|<math>(\operatorname{arcosh}\,x)' = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}</math>
|-
|<math>(\tanh x)'= {\operatorname{sech}^2\,x}</math>
|<math>(\operatorname{artanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}</math>
|-
|<math>(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x</math>
|<math>(\operatorname{arsech}\,x)' = -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}}</math>
|-
|<math>(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x</math>
|<math>(\operatorname{arcsch}\,x)' = -{1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}</math>
|-
|<math>(\operatorname{coth}\,x)' =

 -\,\operatorname{csch}^2\,x</math>
|<math>(\operatorname{arcoth}\,x)' = -{ 1 \over 1 - x^2}</math>
|}

== Turunan fungsi-fungsi khusus ==
{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
|width=50%|
;[[:en:Gamma function|Fungsi gamma]]
<math>\Gamma'(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt</math>
:<math>= \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) = \Gamma(x) \psi(x)</math>
|width=50%|
|}
{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
|width=50%|
;[[:en:Riemann Zeta function|Fungsi Riemann Zeta]]
<math>\zeta'(x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} =
-\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots
\!</math>

:<math>= -\sum_{p \text{ prime}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2}\prod_{q \text{ prime}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}} \!</math>
|}

== Turunan integral ==

<!--{{main|Differentiation under the integral sign}}-->

Misalkan dibutuhkan untuk menghitung turunan terhadap ''x'' dalam fungsi

:<math>F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,</math>

di mana fungsi-fungsi <math>f(x,t)\,</math> dan <math>\frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)\,</math> keduanya kontinu dalam <math>t\,</math> dan <math>x\,</math> dalam wilayah tertentu bidang <math>(t,x)\,</math>, termasuk <math>a(x)\leq t\leq b(x),</math> <math>x_0\leq x\leq x_1\,</math>, dan fungsi-fungsi <math>a(x)\,</math> dan <math>b(x)\,</math> keduanya kontinu dan memiliki turunan kontinu untuk <math>x_0\leq x\leq x_1\,</math>. Maka untuk <math>\,x_0\leq x\leq x_1\,\,</math>:

:<math> F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\,.</math>

Rumus ini merupakan bentuk umum dari [[:en:Leibniz integral rule|kaidah integral Leibniz]] dan dapat diturunkan menggunakan
[[:en:fundamental theorem of calculus|Teorema fundamental kalkulus]].

== Turunan ke-''n'' ==
Ada sejumlah kaidah untuk menghitung turunan ke-''n'' suatu fungsi, di mana ''n'' adalah sebuah [[bilangan bulat]] positif. Di antaranya:

=== Rumus Faà di Bruno ===
<!--{{main|Faà di Bruno's formula}}-->
Jika ''f'' dan ''g'' dapat diturunkan ''n'' kali, maka

:<math>  \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}}^{} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m}</math>

di mana <math> r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m</math> dan himpunan <math> \{k_m\}</math> terdiri dari semua solusi bilangan bulat bukan negatif dari persamaan Diophantine <math> \sum_{m=1}^{n} m k_m = n</math>.

=== Kaidah Leibniz umum ===
<!--{{main|General Leibniz rule}}-->
Jika ''f'' dan ''g'' dapat diturunkan ''n'' kali, maka

:<math> \frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)</math>

== Lihat pula ==
* [[Turunan fungsi]]
* [[Fungsi Hiperbolik]]
* [[Fungsi invers]]
* [[Fungsi trigonometri]]
* [[Kalkulus matriks]]
<!--*[[Vector calculus identities]]
*[[Differentiable function]]
*[[List of mathematical functions]]
*[[Differentiation under the integral sign]]-->

== Referensi ==
{{reflist}}

== Sumber dan pustaka tambahan ==
Kaidah-kaidah ini ditulis dalam banyak buku, baik kalkulus elementer maupun lanjutan, dalam matematika murni maupun terapan. Notasi dalam halaman ini (selain pada rujukan-rujukan di atas) dapat dijumpai dalam:
* ''Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition)'', S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
* ''The Cambridge Handbook of Physics Formulas'', G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
* ''Mathematical methods for physics and engineering'', K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
* ''NIST Handbook of Mathematical Functions'', F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

== Pranala luar ==
{{Library resources box 
|by=no 
|onlinebooks=no 
|others=no 
|about=yes 
|label=Differentiation rules}}

* [http://www.planetcalc.com/675/ Derivative calculator with formula simplification]
* [http://mathmajor.org/calculus-and-analysis/table-of-derivatives/ A Table of Derivatives] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121031103355/http://mathmajor.org/calculus-and-analysis/table-of-derivatives/ |date=2012-10-31 }}
{{Topik kalkulus}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Kalkulus]]