Lihat sumber Kaidah pangkat

{{Short description|Metode untuk mendiferensialkan polinomial bersuku tunggal}}
{{Kalkulus|expanded=diferensial}}
{{periksa terjemahan|en|Power rule}}

Dalam [[kalkulus]], '''kaidah pangkat''' (atau '''aturan pangkat''') digunakan untuk mencari turunan fungsi <math>f(x) = x^k</math>, dengan <math>k</math> adalah suatu [[bilangan riil]]. Oleh karena [[turunan]] adalah operasi [[kelinearan|yang bersifat linear]] pada ruang fungsi terdiferensialkan, [[polinomial]] juga dapat diturunkan menggunakan kaidah ini. Kaidah pangkat adalah kaidah yang mendasari [[deret Taylor]], sebab kaidah ini menghubungkan [[deret pangkat]] dengan [[turunan]] suatu fungsi.

== Isi pernyataan ==
Misalkan <math>f</math> adalah sebuah fungsi dengan bentuk umum <math>f(x) = x^k</math> untuk setiap <math>x</math>, dengan <math>k \in \mathbb{R}</math>.{{efn|Jika <math>k</math> adalah suatu bilangan rasional [[Pecahan tak tersederhanakan|dalam bentuk paling sederhana]] dengan penyebut bilangan ganjil, maka domain dari <math>f</math> adalah <math>\mathbb{R}</math>. Selain itu, domain fungsinya ialah <math>(0, \,\infty)</math>.}} Maka,
<math display="block">f'(x) = kx^{k - 1}</math>
Kaidah pangkat untuk integrasi menyatakan bahwa
<math display="block">\int \! x^k \, dx = \dfrac{x^{k + 1}}{k + 1} + C</math>
untuk sembarang bilangan riil <math>k \neq -1</math>, dan <math>C</math> adalah [[Konstanta integrasi|konstanta sembarang]]. Pernyataan kaidah pangkat untuk integrasi di atas dapat diperoleh dengan membalik kaidah pangkat untuk turunan.

== Bukti ==
=== Bukti untuk pangkat bilangan riil ===
Sebelum memulai pembuktian, terlebih dahulu dipilih definisi dari nilai <math>f(x) = x^k</math>, dengan <math>k</math> adalah [[bilangan riil]]. Meskipun bisa saja untuk mendefinisikan perpangkatan [[bilangan irasional]] sebagai [[limit barisan]] dari perpangkatan [[bilangan rasional]], atau sebagai [[Infimum dan supremum|batas atas terkecil]] dari himpunan perpangkatan bilangan rasional kurang dari pangkat yang diberikan, definisi ini tidak dapat diterapkan pada turunan. Oleh karena itu, akan digunakan definisi fungsional, yaitu dengan menulis ulang fungsi <math>x^k</math> sebagai [[Fungsi eksponensial|fungsi eksponensial alami]]
<math display="block">x^k = e^{\ln \left( x^k \right)} = e^{k \, \cdot \, \ln (x)}</math>
untuk setiap nilai <math>x > 0</math>, dengan <math>e</math> adalah [[e (konstanta matematika)|bilangan Euler]].<ref>{{cite book
| last1          = Landau
| first1         = Edmund
| title          = Differential and Integral Calculus
| trans-title    = Kalkulus Diferensial dan Integral
| lang           = en
| date           = 1951
| publisher      = Chelsea Publishing Company
| location       = New York
| isbn           = 978-0821828304
| page           = 45}}</ref><ref>{{cite book
| last1          = Spivak
| first1         = Michael
| title          = Calculus
| trans-title    = Kalkulus
| lang           = en
| url            = https://archive.org/details/calculus00spiv_191
| date           = 1994
| publisher      = Publish or Perish, Inc.
| location       = Texas
| isbn           = 0-914098-89-6
| pages          = [https://archive.org/details/calculus00spiv_191/page/n349 336–342]
| edition        = 3}}</ref>

Pertama, akan ditunjukkan bahwa turunan dari fungsi <math>e^x</math> adalah <math>e^x</math>. Misalkan <math>f(x) = e^x</math>, maka <math>\ln (f(x)) = x</math>, dengan <math>\ln (x)</math> adalah fungsi [[logaritma alami]], [[fungsi invers]] dari [[fungsi eksponensial]].<ref>{{cite book
| last1          = Maor
| first1         = Eli
| title          = e: The Story of a Number
| lang           = en
| url            = https://archive.org/details/estoryofnumber0000maor_x8v0
| url-access     = registration
| date           = 1994
| publisher      = Princeton University Press
| location       = New Jersey
| isbn           = 0-691-05854-7
| page           = [https://archive.org/details/estoryofnumber0000maor_x8v0/page/156 156]}}</ref> Oleh karena kedua fungsi di atas bernilai sama untuk setiap <math>x > 0</math>, maka turunannya juga bernilai sama, jika salah satu turunannya ada. Dengan menurunkan kedua ruas menggunakan [[kaidah rantai]], diperoleh
<math display="block">\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = 1</math>
yang menunjukkan bahwa <math>f'(x) = f(x) = e^x</math>. Dengan menerapkan [[kaidah rantai]] ke fungsi <math>f(x) = e^{k \, \cdot \, \ln (x)}</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
f'(x) &= \frac{k}{x} \cdot e^{k \, \cdot \, \ln (x)} \\
&= \frac{k}{x} \cdot x^k \\
&= k x^{k - 1}
\end{align}</math>

Saat <math>x < 0</math>, maka <math>-x > 0</math>. Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
x^k &= \left( (-1)(-x) \right)^k \\
&= (-1)^k \cdot \underbrace{\left( -x \right)^k}_{> \, 0}
\end{align}</math>
yang akan mengarah pada hasil yang sama. Perhatikan bahwa faktor <math>(-1)^k</math> di atas tidak memiliki definisi konvensional saat <math>k \not\in \mathbb{Q}</math>, sebab fungsi perpangkatan bilangan irasional tidak memiliki nilai yang tunggal untuk basis negatif. Selain itu, dikarenakan perpangkatan <math>-1</math> dengan bilangan rasional berpenyebut genap ([[Pecahan tak tersederhanakan|dalam bentuk paling sederhana]]) tidak bernilai riil, maka ekspresi ini hanya bernilai riil untuk pangkat rasional dengan penyebut ganjil (dalam bentuk paling sederhana).

Terakhir, untuk setiap fungsi yang memiliki turunan di <math>x = 0</math>, maka menurut definisi turunan dengan menggunakan [[Limit (matematika)|limit]], nilainya adalah
<math display="block">\lim_{h \, \to \, 0} \dfrac{(0 + h)^k - 0^k}{h}</math>
Perhatikan bahwa ekspresi di atas akan bernilai 0 hanya jika <math>k > 1</math> dan <math>k</math> adalah bilangan rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terendah), dan bernilai 1 saat <math>k = 1</math>. Untuk semua nilai <math>k</math> yang lain, ekspresi <math>h^k</math> tidak memiliki nilai yang tunggal untuk <math>h < 0</math> (seperti yang dibahas di atas), atau nilainya bukan bilangan riil, sehingga nilai limitnya tidak ada (sebagai turunan bernilai riil). Untuk dua kasus yang nilai turunannya ada, nilainya sesuai dengan nilai kaidah pangkat yang diterapkan pada titik <math>x = 0</math>, sehingga tidak perlu dibuat pengecualian.

kasus saat <math>x = 0</math> (yaitu [[Nol pangkat nol|ekspresi <math>0^0</math>]]) biasa diabaikan, lantaran fungsi <math>f(x, \, y) = x^y</math> tidak memiliki limit pada <math>(0, \, 0)</math>, sebab
* <math>\lim_{x \, \to \, 0} x^0 = 1</math>, sedangkan
* <math>\lim_{y \, \to \, 0} 0^y = 0</math>
Oleh karena nilai limitnya berbeda, maka seringkali ekspresi <math>0^0</math> nilainya tidak ada.

=== Bukti untuk pangkat bilangan bulat tak nol ===
==== Pembuktian melalui [[induksi matematika|induksi]] (bilangan asli) ====
Misalkan <math>n</math> adalah suatu bilangan asli. Akan dibuktikan bahwa <math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^n = nx^{n - 1}</math> dengan menggunakan [[induksi matematika|induksi]].

Saat <math>n = 1</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, f(x) &= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^1 &= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{(x + h) - x}{h} \\
&= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{h}{h} \\
&= 1 \\
&= 1 x^{1 - 1}
\end{align}</math>
sehingga kasus dasar telah terbukti.

Misalkan persamaan <math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^n = nx^{n - 1}</math> berlaku untuk suatu bilangan asli <math>n = k</math>. Dengan kata lain, berlaku
<math display="block">\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^k = kx^{k - 1}</math>

Saat <math>n = k + 1</math>, maka dengan menggunakan [[kaidah darab]], diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^{k + 1} &= \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left( x^k \cdot x \right) \\
&= x^k \cdot \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left( x \right) + \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left( x^k \right) \cdot x \\
&= x^k + k x^{k - 1} \cdot x \\
&= \left( k + 1 \right) x^k \\
&= \left( k + 1 \right) x^{(k + 1) - 1}
\end{align}</math>

Dengan prinsip induksi matematika, maka persamaan tersebut berlaku untuk setiap bilangan asli <math>n</math>.

==== Pembuktian menggunakan [[teorema binomial]] (bilangan asli) ====
Misalkan <math>y = x^n</math>, dengan <math>n \in \mathbb{N}</math>. Menurut teorema binomial,
<math display="block">\left( a + b \right)^n = {n \choose 0} a^n \, b^0 + {n \choose 1} a^{n - 1} \, b^1 + {n \choose 2} a^{n - 2} \, b^2 + \ldots + {n \choose n - 1} a^1 \, b^{n - 1} + {n \choose n} a^0 \, b^n</math>
dengan <math>{n \choose k}</math> adalah bilangan asli yang disebut sebagai [[koefisien binomial]], dengan definisi
<math display="block">{n \choose k} = \frac{n!}{k! \, (n - k)!} = \frac{n \left( n - 1 \right) \left(n - 2 \right) \ldots \left( n - k + 1 \right)}{k \left( k - 1 \right) \left( k - 2 \right) \ldots (3)(2)(1)}</math>

Dengan menggunakan informasi di atas, diperoleh
<math display="block">\begin{align}
y' &= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{(x + h)^n - x^n}{h} \\
&= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{1}{h} \left( \left( x^n + {n \choose 1} x^{n - 1} \, h + {n \choose k} x^{n - 2} \, h^2+ \ldots + {n \choose n} h^n \right) - x^n \right) \\
&= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{1}{h} \left( {n \choose 1} x^{n - 1} \, h + {n \choose k} x^{n - 2} \, h^2+ \ldots + {n \choose n} h^n \right) \\
&= \lim_{h \, \to \, 0} \left( {n \choose 1} x^{n - 1} + {n \choose k} x^{n - 2} \, h + \ldots + {n \choose n} h^{n - 1} \right) \\
&= {n \choose 1} x^{n - 1} \\
&= n x^{n - 1}
\end{align}</math>

==== Perumuman untuk pangkat bilangan bulat negatif ====
Pertama, akan dibuktikan bahwa kaidah pangkat berlaku untuk <math>k = 0</math>. Perhatikan bahwa
<math display="block">\begin{align}
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, f(x) &= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^0 &= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{(x + h)^0 - x^0}{h} \\
&= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{1 - 1}{h} \\
&= \lim_{h \, \to \, 0} 0 \\
&= 0 \\
&= 0 x^{0 - 1}
\end{align}</math>
sehingga terbukti bahwa kaidah pangkat berlaku saat nilai <math>k = 0</math>.

Diambil sembarang [[bilangan bulat]] negatif <math>k</math>. Jika didefinisikan <math>n = -k</math>, maka <math>n</math> adalah bilangan asli. Dengan Menggunakan [[aturan timbal-balik]], diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^k &= \frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^{-n} \\
&= \frac{\text{d}}{\text{d}x} \, \dfrac{1}{x^n} \\
&= - \dfrac{n x^{n - 1}}{\left( x^n \right)^2} \\
&= - \dfrac{n x^{n - 1}}{x^{2n}} \\
&= -n x^{n - 1 - 2n} \\
&= -n x^{-n - 1} \\
&= k x^{k - 1}
\end{align}</math>
sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk setiap <math>n \in \mathbb{Z}</math>, maka berlaku <math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} x^n = nx^{n - 1}</math>

=== Perumuman untuk pangkat bilangan rasional ===
Setelah membuktikan bahwa kaidah pangkat berlaku untuk pangkat bilangan bulat, aturan tersebut dapat diperumum untuk pangkat bilangan rasional.
=== Pembuktian melalui [[kaidah rantai]] ===
Pembuktian ini terdiri dari dua tahapan yang melibatkan [[kaidah rantai]]
# Diambil sembarang <math>n \in \mathbb{N}</math>, serta didefinisikan <math>k = \dfrac{1}{n}</math> dan misalkan <math>y = x^k</math>. Dari sini, diperoleh <math display="block">\begin{align}
y &= x^k \\
y &= x^{\tfrac{1}{n}} && k = \dfrac{1}{n} \\
y^n &= x \\
ny^{n - 1} \cdot \frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= 1 && \text{Kaidah rantai} \\
\frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= \dfrac{1}{ny^{n - 1}} \\
&= \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{\left( x^{\tfrac{1}{n}} \right)^{n - 1}} && \text{Lihat kembali baris 2} \\
&= \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{x^{1 - \tfrac{1}{n}}} \\
&= \dfrac{1}{n} \cdot x^{\tfrac{1}{n} - 1} \\
&= k x^{k - 1} && k = \dfrac{1}{n}
\end{align}</math> sehingga, aturan rantai dapat diterapkan pada perpangkatan dengan bentuk umum <math>\dfrac{1}{n}</math>, dengan <math>n \in \mathbb{N}</math>. Hal ini dapat diperumum untuk perpangkatan rasional dalam bentuk <math>\dfrac{p}{q}</math> dengan cara yang kurang lebih serupa, seperti pada langkah selanjutnya.
# Diambil sembarang <math>p \in \mathbb{Z}</math> dan <math>q \in \mathbb{N}</math>, serta didefinisikan <math>k = \dfrac{p}{q}</math> (yang mengakibatkan <math>k \in \mathbb{Q}</math>) dan misalkan <math>y = x^k</math>. Dari sini, diperoleh <math display="block">\begin{align}
y &= x^k \\
y &= x^{\tfrac{p}{q}} && k = \dfrac{p}{q} \\
&= \left( x^{\tfrac{1}{q}} \right)^p \\
\frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= p \left( x^{\tfrac{1}{q}} \right)^{p - 1} \cdot \dfrac{1}{q} x^{\tfrac{1}{q} - 1} &&\text{Kaidah rantai} \\
&= \dfrac{p}{q} \cdot x^{\tfrac{p}{q} - \tfrac{1}{q} + \tfrac{1}{q} - 1} \\
&= \dfrac{p}{q} \cdot x^{\tfrac{p}{q} - 1} \\
&= k x^{k - 1} && k = \dfrac{p}{q}
\end{align}</math> Akibatnya, jika <math>k</math> adalah suatu [[bilangan rasional]], maka berlaku <math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} x^k = kx^{k - 1}</math>

=== Pembuktian menggunakan [[Fungsi_implisit#Pendiferensialan_implisit|turunan implisit]] ===
Metode pendiferensialan implisit juga dapat digunakan untuk memperumum kaidah pangkat untuk bilangan rasional. Diambil sembarang <math>p \in \mathbb{Z}</math> dan <math>q \in \mathbb{N}</math>, serta didefinisikan <math>k = \dfrac{p}{q}</math> (yang mengakibatkan <math>k \in \mathbb{Q}</math>) dan misalkan <math>y = x^k</math>. Dari sini, diperoleh <math display="block">\begin{align}
y &= x^k \\
y &= x^{\tfrac{p}{q}} && k = \dfrac{p}{q} \\
y^q &= x^p \\
q y^{q - 1} \cdot \frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= px^{p - 1} &&\text{Kedua ruas diturunkan terhadap } x \\
\frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{x^{p - 1}}{y^{q - 1}} \\
&= \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{y \cdot x^{p - 1}}{y^q} \\
&= \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{x^{\tfrac{p}{q}} \cdot x^{p - 1}}{x^p} &&\text{Lihat baris 2 dan 3} \\
&= \dfrac{p}{q} \cdot x^{\tfrac{p}{q} + p - 1 - p} \\
&= \dfrac{p}{q} \cdot x^{\tfrac{p}{q} - 1} \\
&= k x^{k - 1} && k = \dfrac{p}{q}
\end{align}</math> sehingga terbukti bahwa <math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} x^k = kx^{k - 1}</math> apabila <math>k \in \mathbb{Q}</math>.

== Sejarah ==
Kaidah pangkat untuk integral pertama kali ditunjukkan secara geometris oleh matematikawan Italia [[Bonaventura Cavalieri]] pada awal abad ke-17 untuk setiap bilangan asli <math>n</math>, dan untuk setiap pangkat [[bilangan rasional]] oleh matematikawan [[Pierre de Fermat]], [[Evangelista Torricelli]], [[Gilles de Roberval]], [[John Wallis]], dan [[Blaise Pascal]], masing-masing bekerja secara independen. Pada saat itu, kaidah pangkat adalah cara untuk menentukan luas antara grafik fungsi pangkat rasional dengan sumbu horizontal. Namun, setelah ditelusuri, kaidah ini dianggap sebagai teorema kalkulus yang pertama kali ditemukan.<ref name="Boyer">{{cite book
| last1        = Boyer
| first1       = Carl
| title        = The History of the Calculus and its Conceptual Development
| lang         = en
| date         = 1959
| publisher    = Dover
| location     = New York
| isbn         = 0-486-60509-4
| page         = [https://archive.org/details/historyofcalculu00boye/page/127 127]
| url          = https://archive.org/details/historyofcalculu00boye/page/127}}</ref> Kaidah pangkat untuk pendiferensialan pertama kali diturunkan oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], masing-masing secara independen, untuk fungsi pangkat rasional pada pertengahan abad ke-17, dimana keduanya menggunakan aturan tersebut untuk menurunkan kaidah pangkat untuk integral sebagai operasi invers. Hal ini mencerminkan cara konvensional dalam menyajikan teorema terkait pada buku teks kalkulus dasar modern, dimana kaidah pendiferensialan biasanya diajarkan terlebih dahulu ssebelum kaidah integral.<ref>{{cite book
| last1        = Boyer
| first1       = Carl
| title        = The History of the Calculus and its Conceptual Development
| lang         = en
| date         = 1959
| publisher    = Dover
| location     = New York
| isbn         = 0-486-60509-4
| pages        = [https://archive.org/details/historyofcalculu00boye/page/191 191, 205]
| url          = https://archive.org/details/historyofcalculu00boye/page/191}}</ref>

Walaupun keduanya menyatakan bahwa aturan ini, ditunjukkan hanya untuk pangkat bernilai rasional, berlaku untuk setiap pangkat bernilai riil, keduanya tidak mencari bukti dari pernyataan tersebut, sebab pada waktu itu, penerapan dari teori tidak khawatir dengan fungsi pangkat eksotis, dan pertanyaan mengenai konvergensi dari deret tak hingga masih ambigu.

Kasus dimana <math>k = -1</math> berhasil diselesaikan oleh Flemish Jesuit dan matematikawan [[Grégoire de Saint-Vincent]] beserta muridnya [[Alphonse Antonio de Sarasa]] pada pertengahan abad ke-17, yang menunjukkan bahwa integral tak tentu
:<math>\int_1^x \frac{1}{t} \, dt</math>
yang merepresentasikan luasan diantara grafik hiperbola <math>xy = 1</math> dan sumbu-<math>x</math>, adalah fungsi [[logaritma]], yang basisnya adalah [[Bilangan transenden]] [[e (konstanta matematika)|e]]. Notasi modern dari nilai integral tak tentu ini adalah <math>\ln (x)</math>, logaritma alami.

== Lihat juga ==
* [[Kaidah pendiferensialan]]
* [[Kaidah umum Leibniz]]
* [[Kaidah fungsi invers]]
* [[Kelinearan pendiferensialan]]
* [[Kaidah darab]]
* [[Kaidah hasil-bagi]]
* [[Identitas kalkulus vektor]]

== Referensi ==

=== Catatan ===
{{Notelist}}

=== Sitasi ===
{{Reflist}}

== Bacaan lanjutan ==
* {{En icon}} Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). ''Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions'' (3rd edition). Houghton Mifflin Company. {{isbn|0-618-22307-X}}.

{{Topik kalkulus|expanded=all}}

[[Kategori:Artikel yang memuat pembuktian]]
[[Kategori:Kaidah pendiferensialan]]
[[Kategori:Identitas matematika]]
[[Kategori:Teorema dalam analisis]]
[[Kategori:Teorema dalam kalkulus]]