Lihat sumber Isomorfisme

{{short description|Dalam matematika, homomorfisme yang dapat dibalik}}
{{About|Matematika}}
{{multiple image
| footer    = The [[Group (mathematics)|group]] of fifth [[roots of unity]] under multiplication is isomorphic to the group of rotations of the regular pentagon under composition.
| width     = 200
| image1    = One5Root.svg
| alt1      = Fifth roots of unity
| image2    = Regular polygon 5 annotated.svg
| alt2      = Rotasi segi lima
}}
Dalam [[matematika]], '''isomorfisme''' adalah pemetaan pelestarian struktur antara dua struktur dengan tipe yang sama yang dapat dibalik dengan [[fungsi invers | pemetaan invers]]. Dua [[struktur matematika]] adalah '''isomorfik''' jika ada isomorfisme di antara keduanya. Kata isomorfisme berasal dari [[Yunani Kuno]]: [[wikt:ἴσος|ἴσος]] ''isos'' "sama", dan [[wikt:μορφή|μορφή]] ''morphe'' "form" atau "shape".

Ketertarikan pada isomorfisme terletak pada kenyataan bahwa dua objek isomorfik memiliki properti yang sama (tidak termasuk informasi lebih lanjut seperti struktur tambahan atau nama objek).  Dengan demikian struktur isomorfik tidak dapat dibedakan dari sudut pandang struktur saja, dan dapat diidentifikasi. Dalam jargon matematika, seseorang mengatakan bahwa dua objek adalah '' sama [[hingga]] sebuah isomorfisme ''.

Sebuah [[automorphism]] adalah isomorfisme dari suatu struktur ke dirinya sendiri. Isomorfisme antara dua struktur disebut '''isomorfisme kanonik''' jika hanya ada satu isomorfisme di antara dua struktur (seperti kasus solusi dari [[sifat universal]]), atau jika isomorfisme jauh lebih alami (dalam arti tertentu) daripada isomorfisme lainnya. Misalnya, untuk setiap [[bilangan prima]] {{mvar | p}}, semua [[bidang (matematika) | bidang]] dengan elemen {{mvar | p}} kanonis isomorfik, dengan isomorfisme unik. [[Teorema isomorfisme]] memberikan isomorfisme kanonik yang tidak unik.

Istilah '' isomorfisme '' terutama digunakan untuk [[struktur aljabar]]. Dalam hal ini, pemetaan disebut [[homomorphism]], dan homomorphism adalah isomorphism [[jika dan hanya jika]] itu [[bijektif]].

Dalam berbagai bidang matematika, isomorfisme telah menerima nama khusus, bergantung pada jenis struktur yang dipertimbangkan. Sebagai contoh:
* Sebuah [[isometri]] adalah isomorfisme dari [[ruang metrik]].
* A [[homeomorphism]] adalah isomorfisme dari [[ruang topologi]].
* A [[diffeomorphism]] adalah isomorfisma ruang yang dilengkapi dengan [[struktur diferensial]], biasanya [[manifold terdiferensiasi]].
* A [[permutasi]] adalah automorfisme dari [[himpunan (matematika) | himpunan]].
*Dalam [[geometri]], isomorfisme dan automorfisme sering disebut [[transformasi (fungsi) | transformasi]], misalnya [[transformasi kaku]], [[transformasi affin]], [[transformasi proyektif]].
[[Category theory]], yang dapat dilihat sebagai formalisasi konsep pemetaan antar struktur, menyediakan bahasa yang dapat digunakan untuk menyatukan pendekatan pada aspek-aspek berbeda dari ide dasar.

== Logaritma dan eksponensial ==
Maka <math>\mathbb{R}^+</math> jadilah [[grup perkalian]] dari [[bilangan riil positif]], dan jika <math>\mathbb{R}</math> menjadi grup aditif dari bilangan real.

[[Fungsi logaritma]] <math>\log \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}</math> memadai <math>\log(xy) = \log x + \log y</math> for all <math>x,y \in \mathbb{R}^+</math>, jadi ini adalah [[homomorfisme kelompok]]. [[Fungsi eksponensial]] <math>\exp \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+</math> satisfies <math>\exp(x+y) =  (\exp x)(\exp y)</math> for all <math>x,y \in \mathbb{R}</math>, jadi itu merupakan homomorfisme.

Identitas <math>\log \exp x = x</math> dan <math>\exp \log y = y</math> menunjukkan bahwa <math>\log</math> dan <math>\exp</math> adalah [[fungsi invers | inverses]] satu sama lain. Karena <math>\log</math> adalah homomorfisme yang memiliki kebalikan yang juga merupakan homomorfisme, <math>\log</math> adalah grup isomorfisme.

<math>\log</math> fungsi adalah isomorfisme yang menerjemahkan perkalian bilangan real positif menjadi penjumlahan bilangan real. Fasilitas ini memungkinkan untuk mengalikan bilangan real menggunakan [[penggaris]] dan [[tabel logaritma]], atau menggunakan [[mistar hitung]] dengan skala logaritma.

== Bilangan bulat modulo 6 ==
Pertimbangkan grup <math>(\mathbb{Z}_6, +)</math>, [[bilangan bulat]] dari 0 sampai 5 dengan penambahan [[aritmetika modular | modulo]] 6. Juga pertimbangkan grup <math>(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3, +)</math>, [[pasangan terurut]] di mana koordinat '' x '' bisa 0 atau 1, dan koordinat y bisa 0, 1, atau 2, di mana penambahan pada koordinat '' x '' - adalah modulo 2 dan penambahan di '' y '' - koordinatnya adalah modulo 

Struktur-struktur ini adalah isomorfik di bawah skema berikut:

:(0,0) ↦ 0
:(1,1) ↦ 1
:(0,2) ↦ 2
:(1,0) ↦ 3
:(0,1) ↦ 4
:(1,2) ↦ 5

atau secara umum {{nowrap|(''a'',''b'') ↦ (3''a'' + 4''b'')}} mod 6.

Sebagai contoh, {{nowrap|1=(1,1) + (1,0) = (0,1)}}, yang diterjemahkan dalam sistem lain sebagai {{nowrap|1=1 + 3 = 4}}.

Meskipun kedua kelompok ini "terlihat" berbeda karena himpunannya mengandung elemen yang berbeda, mereka memang '''isomorfik''': strukturnya persis sama. Secara lebih umum, [[produk langsung dari grup | produk langsung]] dari dua [[grup siklik]] <math>\mathbb{Z}_m</math> dan <math>\mathbb{Z}_n</math> isomorfik menjadi <math>(\mathbb{Z}_{mn}, +)</math> jika dan hanya jika '' m '' dan '' n '' adalah [[coprime]], sesuai [[Teorema sisa bahasa Tionghoa]].

== Isomorfisme yang memelihara relasi ==
Jika satu objek terdiri dari himpunan '' X '' dengan [[relasi biner]] R dan objek lainnya terdiri dari himpunan '' Y '' dengan relasi biner S maka isomorfisme dari '' X '' menjadi ' 'Y' 'adalah fungsi bijektif {{nowrap|1=ƒ: ''X'' → ''Y''}} seperti:<ref>{{Cite book|author=Vinberg, Ėrnest Borisovich|title=A Course in Algebra|publisher=American Mathematical Society|year=2003|isbn=9780821834138|page=3|url=https://books.google.com/books?id=kd24d3mwaecC&pg=PA3}}</ref>
:<math> \operatorname{S}(f(u),f(v)) \iff \operatorname{R}(u,v) </math>

S adalah [[hubungan refleksif | refleksif]], [[hubungan tidak refleksif | tidak refleksif]], [[hubungan simetris | simetris]], [[hubungan antisimetrik | antisimetrik]], [[hubungan asimetris | asimetris]], [[relasi transitif | transitif]], [[relasi total | total]], [[relasi biner#relasi di atas himpunan|trikotomi]], [[order sebagian]], [[order total]], [[urutan benar]], [[urutan lemah ketat]], [[Urutan lemah ketat#Total praorder | total praorder]] (order lemah), an [[equivalence relation]], atau hubungan dengan properti khusus lainnya, jika dan hanya jika R adalah.

Misalnya, R adalah [[Teori urutan | pemesanan]] ≤ dan S adalah order <math>\scriptstyle \sqsubseteq</math>, maka isomorfisme dari '' X '' menjadi '' Y '' adalah fungsi bijektif {{nowrap|1=ƒ: ''X'' → ''Y''}} seperti
:<math>f(u) \sqsubseteq f(v) \iff u \le v . </math>
Isomorfisme semacam itu disebut '' [[urutan isomorfisme]] '' atau (lebih jarang) '' isomorfisme isoton ''.

Jika {{nowrap|1=''X'' = ''Y''}}, maka ini adalah pelestarian hubungan [[automorfisme]].

== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika}}
{{Div col|colwidth=20em}}
*[[Bisimulasi]]
* [[Heap (matematika)]]
* [[Isometri]]
* [[Kelas isomorfisme]]
* [[Teorema Isomorfisme]]
* [[Sifat universal]]
* [[isomorfisme koheren]]
{{Div col end}}

== Catatan ==
{{Reflist|group=note}}

== Referensi ==
{{refimprove|date=September 2010}}
{{Reflist}}

== Bacaan lebih lanjut ==
* {{Citation | first = Barry | last = Mazur | authorlink = Barry Mazur | title = When is one thing equal to some other thing? | date = 12 June 2007 | url = http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/when_is_one.pdf | ref = harv}}

== Pranala luar ==
{{Wiktionary|isomorfisme}}
*{{springer|title=Isomorphism|id=p/i052840}}
*{{planetmath reference|id=1936|title=Isomorphism}}
*{{MathWorld | urlname=Isomorphism | title = Isomorphism}}

[[Kategori:Morfisme]]
[[Kategori:Kesetaraan (matematika)]]