Lihat sumber Integral garis

{{Short description|Integral tentu dari medan skalar atau vektor di sepanjang suatu lintasan}}
{{Tambah rujukan|date=June 2023}}
{{Kalkulus|expanded=multivariabel}}
Dalam [[matematika]], '''integral garis''' adalah [[integral]] yang dihitung dengan mengevaluasi [[fungsi (matematika)|fungsi]] yang hendak diintegralkan sepanjang suatu [[kurva|lintasan]].<ref name="Tang2006">{{cite book
| author           = Kwong-Tin Tang
| title            = Mathematical Methods for Engineers and Scientists 2: Vector Analysis, Ordinary Differential Equations and Laplace Transforms
| trans-title      = Metode Matematis untuk Insinyur dan Ilmuwan 2: Analisis Vektor, Persamaan Diferensial Biasa, dan Transformasi Laplace
| lang             = en
| url              = https://books.google.com/books?id=kR8TqQRxbeoC&q=%22line+integral%22
| date             = 30 November 2006
| publisher        = Springer Science & Business Media
| isbn             = 978-3-540-30268-1}}</ref> Istilah [[pengintegralan kontur|integral kontur]] juga digunakan, walau istilah tersebut lebih sering digunakan untuk [[#Integral garis fungsi kompleks|Integral garis pada bidang kompleks]].

Fungsi yang akan diintegralkan dapat berupa [[medan skalar]] ataupun [[medan vektor]]. Nilai dari integral garis adalah jumlahan dari nilai medan pada semua titik pada kurva, dibobotkan dengan suatu fungsi skalar pada kurva (biasanya [[panjang busur]], atau pada medan vektor, [[darab bintik]] dari medan vektor dengan vektor [[Diferensial (matematika)|diferensial]] pada kurva). Pembobotan ini membedakan integral garis dengan integral yang lebih sederhana pada suatu [[Selang (matematika)|selang]]. Banyak rumus sederhana dalam fisika (seperti definisi [[Usaha (fisika)|usaha]] <math>W = F \cdot s \cdot \cos \theta</math>) memiliki versi kontinu dalam bentuk integral garis (dalam kasus ini, <math>W = \int_L \vec{F} \cdot \text{d} \vec{s}</math> menghitung besar [[Usaha (fisika)|usaha]] yang dilakukan suatu benda yang bergerak dalam medan listrik atau medan gravitasi <math>\vec{F}</math> pada lintasan <math>L</math>).

== Kalkulus vektor ==
Secara kualitatif, integral garis pada kalkulus vektor dapat dipandang sebagai suatu ukuran efek keseluruhan dari suatu [[medan tensor]] di sepanjang lintasan tertentu. Sebagai contoh, integral garis pada medan skalar (tensor rank 0) dapat diartikan sebagai luas daerah dibawah medan yang diukir oleh suatu lintasan. Hal ini dapat divisualkan sebagai permukaan yang dibentuk oleh fungsi <math>z = f \! \left( x, \, y \right)</math> dan suatu lintasan <math>L</math> pada bidang-xy. Melalui visualisasi ini, nilai integral garis dari <math>f</math> ialah luasan dari "tirai" yang tercipta ketika titik-titik pada permukaan yang tepat di atas <math>L</math> diukir.

=== Integral garis pada medan skalar ===
[[File:Line integral of scalar field.gif|frame|right|Integral garis pada medan skalar <math>f</math> dapat dipandang sebagai luas daerah dibawah permukaan <math>z = f \! \left( x, \, y \right)</math> sepanjang lintasan <math>C</math>]]
==== Definisi ====
Diberikan suatu
# [[Bilangan asli]] <math>n</math>
# [[Himpunan (matematika)|Himpunan]] <math>H \subseteq \mathbb{R}^n</math>, dan
# [[Medan skalar]] <math>f \colon H \to \mathbb{R}</math>
Integral garis di sepanjang [[kurva|lintasan]] [[sesepenggal|mulus sesepenggal]] <math>\mathcal{C} \subset H</math> didefinisikan sebagai
<math display="block">\int_{\mathcal{C}} f \! \left( \vec{r} \right) \, \text{d}s = \int_a^b f \! \left( \vec{r} (t) \right) \left| \vec{r}'(t) \right| \, \text{d}t</math>
dengan <math>\vec{r} \colon \left[ a, \, b \right] \to \mathcal{C}</math> adalah sembarang [[Persamaan parametrik|fungsi parameter]] yang bersifat [[bijeksi|bijektif]] dari lintasan <math>\mathcal{C}</math> sedemikian sehingga <math>\vec{r} (a)</math> dan <math>\vec{r} (b)</math> adalah ujung dari lintasan <math>\mathcal{C}</math> dan <math>a < b</math>. Pada keseluruhan artikel ini, notasi <math>\left| \, \cdot \, \right|</math> menyatakan [[Jarak Euklides|norma Euklides]].

Fungsi <math>f</math> disebut sebagai integran, lintasan <math>\mathcal{C}</math> adalah domain pengintegralan, dan simbol <math>\text{d}s</math> dapat diartikan sebagai [[panjang busur]] dari lintasan <math>\mathcal{C}</math> (atau dengan kata lain, panjang diferensial dari <math>\mathcal{C}</math>). Integral garis pada medan skalar di sepanjang lintasan <math>\mathcal{C}</math> tidak bergantung pada pemilihan parameterisasi fungsi <math>\vec{r}</math> dari lintasan <math>\mathcal{C}</math>.<ref name=":1">{{Cite web
| last             = Nykamp
| first            = Duane
| title            = Line integrals are independent of parametrization
| trans-title      = Integral garis tidak bergantung pada parameterisasi
| lang             = en
| url              = https://mathinsight.org/line_integral_independent_parametrization
| access-date      = September 18, 2020
| website          = Math Insight}}</ref>

Saat <math>\mathcal{C}</math> merupakan lintasan tertutup,<ref>Suatu lintasan disebut tertutup jika <math>\vec{r}(a) = \vec{r}(b)</math>, dengan <math>a < b</math>.</ref> simbol <math>\phantom{.} \oint_{\mathcal{C}} \phantom{.}</math> seringkali digunakan untuk menekankan bahwa lintasan pengintegralannya merupakan lintasan tertutup.

Secara geometris, saat medan skalar <math>f</math> terdefinisi pada suatu bidang <math>(n = 2)</math>, grafiknya merupakan suatu permukaan <math>z = f \! \left( x, \, y \right)</math> pada ruang, dan integral garis memberikan luasan (bertanda) dari [[Penampang lintang (geometri)|penampang lintang]] yang dibatasi oleh lintasan <math>\mathcal{C}</math> dan grafik fungsi <math>f</math>.

==== Penurunan rumus ====
Integral garis pada medan skalar dapat dikonstruksikan dari [[jumlah Riemann]] menggunakan definisi dari fungsi <math>f</math>, lintasan <math>\mathcal{C}</math>, serta fungsi parameter <math>\vec{r}</math> dari lintasan <math>\mathcal{C}</math>. Hal ini dapat dilakukan dengan menghampiri lintasan <math>\mathcal{C}</math> menjadi [[rantai poligonal|lintasan poligonal]]. Secara matematis, maka [[Selang (matematika)|selang]] <math>\left[ a, \, b \right]</math> (yang merupakan [[daerah hasil fungsi|daerah hasil]] dari [[parameter|parameterisasi]] fungsi <math>\vec{r}(t)</math>) akan [[Partisi selang|dipartisi]] menjadi <math>n</math> selang bagian <math>\left[ t_{i - 1}, \, t_i \right]</math> dengan panjang yang sama, yaitu
<math display="block">\Delta t = t_i - t_{i - 1}</math>
dengan <math>i \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, n \right\}</math>. Perhatikan bahwa <math>\vec{r} \! \left( t_i \right)</math> menyatakan [[Posisi (vektor)|vektor posisi]] dari titik ke-<math>i</math> pada [[Selang (matematika)|selang]] <math>\left[ a, \, b \right]</math>, dan
<math display="block">\Delta s_i = \left| \vec{r} \! \left( t_i \right) - \vec{r} \! \left( t_{i - 1} \right) \right|</math>
menyatakan panjang garis lurus yang menghubungkan <math>\vec{r} \! \left( t_{i - 1} \right)</math> dan <math>\vec{r} \! \left( t_i \right)</math>. Oleh karena <math>f \! \left( \vec{r} \! \left( t_i \right) \right)</math> menyatakan nilai fungsi <math>f</math> (yang berupa skalar) pada titik <math>\vec{r} \! \left( t_i \right)</math>, maka ekspresi
<math display="block">f \! \left( \vec{r} \! \left( t_i \right) \right) \, \Delta s_i</math>
dapat diartikan sebagai luas bertanda dari persegi panjang dengan tinggi <math>f \! \left( \vec{r} \! \left( t_i \right) \right)</math> dan lebar <math>\Delta s_i</math>. Dengan menggunakan konsep turunan [[fungsi bernilai vektor]], maka
<math display="block">\begin{align}
\left| \vec{r}' \! \left( t_i \right) \, \Delta t \right| &\approx \left| \vec{r} \! \left( t_i + \Delta t \right) - \vec{r} \! \left( t_i \right) \right| \\
&\approx \Delta s_i
\end{align}</math>
Akibatnya, diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\int_{\mathcal{C}} f \! \left( \vec{r} \right) \, \text{d}s &= \lim_{\Delta s_i \, \to \, 0} \sum_{i \, = \, 1}^n f \! \left( \vec{r} \! \left( t_i \right) \right) \, \Delta s_i \\
&= \lim_{\Delta t \, \to \, 0} \sum_{i \, = \, 1}^n f \! \left( \vec{r} \! \left( t_i \right) \right) \, \left| \vec{r}' \! \left( t_i \right) \, \Delta t \right| \\
&= \lim_{\Delta t \, \to \, 0} \sum_{i \, = \, 1}^n f \! \left( \vec{r} \! \left( t_i \right) \right) \, \left| \vec{r}' \! \left( t_i \right) \right| \Delta t \\
&= \int_a^b f \! \left( \vec{r}(t) \right) \, \left| \vec{r}'(t) \right| \, \text{d}t
\end{align}</math>

=== Integral garis pada medan vektor ===
==== Definisi ====
Diberikan suatu
# [[Bilangan asli]] <math>n</math>
# [[Himpunan (matematika)|Himpunan]] <math>H \subseteq \mathbb{R}^n</math>, dan
# [[Medan vektor]] <math>\vec{F} \colon H \to \mathbb{R}^n</math>
Integral garis di sepanjang [[kurva|lintasan]] [[sesepenggal|mulus sesepenggal]] <math>\mathcal{C} \subset H</math> yang searah dengan <math>\vec{r}</math> didefinisikan sebagai
<math display="block">\int_{\mathcal{C}} \vec{F} \! \left( \vec{r} \right) \cdot \text{d} \vec{r} = \int_a^b \left( \vec{F} \! \left( \vec{r} (t) \right) \cdot \vec{r}'(t) \right) \, \text{d}t</math>
dengan <math>\cdot</math> menyatakan operasi [[darab bintik]] dan <math>\vec{r} \colon \left[ a, \, b \right] \to \mathcal{C}</math> adalah sembarang [[Persamaan parametrik|fungsi parameter]] reguler<ref>Secara matematis, maka <math>\| \vec{r}'(t) \| \neq 0</math> untuk setiap nilai <math>t \in \left[ a, \, b \right]</math></ref> dari lintasan <math>\mathcal{C}</math> sedemikian sehingga <math>\vec{r}(a)</math> dan <math>\vec{r}(b)</math> adalah ujung dari lintasan <math>\mathcal{C}</math> dan <math>a < b</math>.

Berdasarkan definisi di atas, maka integral garis pada medan skalar merupakan integral garis pada medan vektor, dimana vektornya selalu [[Vektor singgung|menyinggung]] lintasan pengintegralan.

Integral garis pada medan vektor tidak bergantung pada parameterisasi <math>\vec{r}</math> dalam [[nilai mutlak]], namun bergantung pada [[orientasi kurva]]. Lebih tepatnya, nilai integral garisnya akan berganti tanda saat orientasi parameterisasinya dibalik.<ref name=":1" />

==== Penurunan rumus ====
[[Image:Line integral of vector field.gif|350px|thumb|Lintasan sebuah partikel (yang berwarna <span style="color:red;">merah</span>) di sepanjang kurva pada medan vektor. Dimulai dari titik <math>\vec{r}(a)</math>, partikelnya menelusuri lintasan <math>\mathcal{C}</math> di sepanjang medan vektor <math>F</math>. Hasil <span style="color:green;">darab bintik</span> (garis hijau) dari <span style="color:red;">vektor singgung</span> (panah merah) dengan <span style="color:blue;">medan vektor</span> (panah biru) membentuk suatu luas daerah di bawah kurva, yang merupakan integral garis dari lintasan tersebut.]]

Dengan menggunakan definisi dari fungsi <math>\vec{F}</math>, lintasan <math>\mathcal{C}</math>, serta fungsi parameter <math>\vec{r}</math> dari lintasan <math>\mathcal{C}</math>, maka integral garis pada medan vektor dapat diturunkan dengan cara serupa seperti pada medan skalar, namun dengan tambahan operasi [[darab bintik]]. Hal ini dapat dilakukan dengan menghampiri lintasan <math>\mathcal{C}</math> menjadi [[rantai poligonal|lintasan poligonal]]. Secara matematis, maka [[Selang (matematika)|selang]] <math>\left[ a, \, b \right]</math> (yang merupakan [[daerah hasil fungsi|daerah hasil]] dari [[parameter|parameterisasi]] fungsi <math>\vec{r}(t)</math>) akan [[Partisi selang|dipartisi]] menjadi <math>n</math> selang bagian <math>\left[ t_{i - 1}, \, t_i \right]</math> dengan panjang yang sama, yaitu
<math display="block">\Delta t = t_i - t_{i - 1}</math>
dengan <math>i \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, n \right\}</math>. Perhatikan bahwa <math>\vec{r} \! \left( t_i \right)</math> menyatakan [[Posisi (vektor)|vektor posisi]] dari titik ke-<math>i</math> pada [[Selang (matematika)|selang]] <math>\left[ a, \, b \right]</math>, dan
<math display="block">\Delta \vec{r}_i = \vec{r} \! \left( t_i \right) - \vec{r} \! \left( t_{i - 1} \right)</math>
menyatakan [[Perpindahan|vektor perpindahan]] dari <math>\vec{r} \! \left( t_{i - 1} \right)</math> menuju <math>\vec{r} \! \left( t_i \right)</math>. Oleh karena <math>\vec{F} \! \left( \vec{r} \! \left( t_i \right) \right)</math> menyatakan nilai fungsi <math>\vec{F}</math> (yang berupa [[fungsi bernilai vektor|vektor]]) pada titik <math>\vec{r} \! \left( t_i \right)</math>, maka ekspresi
<math display="block">\vec{F} \! \left( \vec{r} \! \left( t_i \right) \right) \cdot \Delta \vec{r}_i</math>
dapat diartikan sebagai kontribusi dari nilai vektor <math>\vec{F} \! \left( \vec{r} \! \left( t_i \right) \right)</math> yang searah dengan [[Perpindahan|vektor perpindahan]] <math>\Delta \vec{r}_i</math>. Dengan menggunakan konsep turunan [[fungsi bernilai vektor]], maka
<math display="block">\begin{align}
\vec{r}' \! \left( t_i \right) \, \Delta t &\approx \vec{r} \! \left( t_i + \Delta t \right) - \vec{r} \! \left( t_i \right) \\
&\approx \Delta \vec{r}_i
\end{align}</math>
Akibatnya, diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\int_{\mathcal{C}} \vec{F} \! \left( \vec{r} \right) \cdot \text{d} \vec{r} &= \lim_{\Delta t \, \to \, 0} \sum_{i \, = \, 1}^n \vec{F} \! \left( \vec{r} \! \left( t_i \right) \right) \cdot \Delta \vec{r}_i \\
&= \lim_{\Delta t \, \to \, 0} \sum_{i \, = \, 1}^n \vec{F} \! \left( \vec{r} \! \left( t_i \right) \right) \cdot \Delta \vec{r}' \! \left( t_i \right) \, \Delta t \\
&= \int_a^b \left( \vec{F} \! \left( \vec{r} (t) \right) \cdot \vec{r}'(t) \right) \, \text{d}t
\end{align}</math>

=== Bebas lintasan ===
{{Main|Teorema gradien}}

Jika suatu medan vektor <math>\vec{F}</math> merupakan [[gradien]] dari suatu [[medan skalar]] <math>G</math> (atau dengan kata lain, jika <math>\vec{F}</math> merupakan [[medan vektor konservatif]]), yaitu
<math display="block">\vec{F} = \nabla G</math>
maka menurut [[Kaidah rantai|kaidah rantai peubah banyak]], [[turunan]] dari [[Komposisi fungsi|komposisi]] dari <math>G</math> dan <math>\vec{r}(t)</math> ialah
<math display="block">\begin{align}
\dfrac{\text{d}}{\text{d}t} G \! \left( \vec{r} \! \left( t \right) \right) &= \nabla G \! \left( \vec{r} \! \left( t \right) \right) \cdot \vec{r}'(t) \\
&= \vec{F} \left( \vec{r} \! \left( t \right) \right) \cdot \vec{r}'(t)
\end{align}</math>
yang merupakan integran pada integral garis dari <math>\vec{F}</math>. Lebih lanjut, jika diberikan suatu lintasan <math>L</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
\int_L \vec{F} \! \left( \vec{r} \right) \cdot \text{d} \vec{r} &= \int_a^b \left( \vec{F} \! \left( \vec{r} (t) \right) \cdot \vec{r}'(t) \right) \, \text{d}t \\
&= \int_a^b \dfrac{\text{d}}{\text{d}t} G \! \left( \vec{r} \! \left( t \right) \right) \, \text{d}t \\
&= G \! \left( \vec{r} \! \left( b \right) \right) - G \! \left( \vec{r} \! \left( a \right) \right)
\end{align}</math>

Dengan kata lain, integral dari <math>\vec{F}</math> di sepanjang lintasan <math>L</math> hanya bergantung pada nilai <math>G</math> pada titik <math>\vec{r}(a)</math> dan <math>\vec{r}(b)</math>, dan tidak bergantung dengan lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Hal inilah yang menjadi alasan [[medan vektor konservatif]] disebut sebagai ''bebas lintasan''.

=== Penerapan ===
Integral garis sangat banyak digunakan pada bidang ilmu [[fisika]]. Sebagai contoh, besar [[Usaha (fisika)|usaha]] yang dilakukan suatu partikel yang melintasi suatu [[kurva|lintasan]] <math>L</math> pada suatu [[Medan gaya (fisika)|medan gaya]] <math>\vec{F}</math> ialah nilai integral garis dari <math>\vec{F}</math> pada [[kurva|lintasan]] <math>L</math>.<ref>{{Cite web
| title            = 16.2 Line Integrals
| trans-title      = 16.2 Integral Garis
| lang             = en
| url              = https://www.whitman.edu/mathematics/calculus_online/section16.02.html
| access-date      = 2020-09-18
| website          = www.whitman.edu}}</ref>

== Aliran pada suatu lintasan ==
Diberikan suatu
# [[Himpunan (matematika)|Himpunan]] <math>H \subseteq \mathbb{R}^2</math>
# [[Medan vektor]] <math>\vec{F} \colon H \to \mathbb{R}^2</math>, dengan <math>\vec{F} \! \left( x, \, y \right) = \begin{bmatrix} P \! \left( x, \, y \right) \\ Q \! \left( x, \, y \right) \end{bmatrix}</math>
# [[kurva|Lintasan]] <math>L \subset H</math>
# [[Persamaan parametrik|Fungsi parameter]] [[sesepenggal|mulus sesepenggal]] <math>\vec{r} \colon \left[ a, \, b \right] \to L</math>, dengan <math>\vec{r} \! \left( t \right) = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix}</math>
[[Fluks]] dari <math>\vec{F}</math> di sepanjang [[kurva|lintasan]] <math>L</math> didefinisikan sebagai
<math display="block">\begin{align}
\int_L \vec{F} \! \left( \vec{r} \right) \cdot \text{d} \vec{r}^{\perp} &= \int_a^b \begin{bmatrix} P \! \left( x(t), \, y(t) \right) \\ Q \! \left( x(t), \, y(t) \right) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} y'(t) \\ -x'(t) \end{bmatrix} \, \text{d}t \\
&= \int_a^b \left( P \! \left( x(t), \, y(t) \right) \, y'(t) - Q \! \left( x(t), \, y(t) \right) \, x'(t) \right) \, \text{d}t \\
&= \int_a^b \left( P \, \text{d}y - Q \, \text{d}x \right)
\end{align}</math>
dengan <math>\cdot</math> menyatakan operasi [[darab bintik]] dan <math>\text{d} \vec{r}^{\perp}</math> menyatakan [[Normal (geometri)|vektor normal]] yang searah jarum jam dari lintasan <math>L</math>.

Besar alirannya dihitung berdasarkan orientasi. Saat lintasan <math>L</math> diparameterkan dari <math>\vec{r}(a)</math> menuju <math>\vec{r}(b)</math> (dengan <math>a < b</math>), maka alirannya dihitung positif ketika <math>\vec{F} \! \left( \vec{r} \! \left( t \right) \right)</math> berada pada sisi yang searah dengan jarum jam dari vektor kecepatan <math>\vec{r} \! \left( t \right)</math>.

== Integral garis fungsi kompleks ==
Dalam [[analisis kompleks]], integral garis didefinisikan dalam bentuk [[Bilangan kompleks#Definisi|penjumlahan]] dan [[Bilangan kompleks#Definisi|perkalian]] dari [[bilangan kompleks]]. Diberikan suatu
# [[Himpunan terbuka]] <math>H \subseteq \mathbb{C}</math>
# [[Fungsi (matematika)|Fungsi]] <math>f \colon H \to \mathbb{C}</math>
# [[kurva|Lintasan]] <math>L \subset H</math>
# [[Persamaan parametrik|Fungsi parameter]] <math>\varphi \colon \left[ a, \, b \right] \to L</math> dengan <math>\varphi \! \left( t \right) = x(t) + i y(t)</math>
Integral garis <math>\int_L f(z) \, \text{d}z</math> dapat didefinisikan dengan [[Partisi selang|mempartisi]] [[Selang (matematika)|selang]] <math>\left[ a, \, b \right]</math> (yang merupakan [[daerah hasil fungsi|daerah hasil]] dari [[parameter|parameterisasi]] fungsi <math>\varphi</math>) menjadi <math>n</math> selang bagian <math>\left[ t_{k - 1}, \, t_k \right]</math> dengan panjang yang sama, yaitu
<math display="block">\Delta t = t_k - t_{k - 1}</math>
dengan <math>k \in \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, n \right\}</math>. Serupa seperti konstruksi [[integral Riemann]] pada [[garis bilangan real]], nilai integral garis <math>\int_L f(z) \, \text{d}z</math> adalah [[Limit fungsi|limit]] dari [[jumlah Riemann]]
<math display="block">\sum_{k \, = \, 1} f \! \left( \varphi \! \left( t_k \right) \right) \, \Delta \varphi_k</math>
saat <math>\Delta t</math> mendekati 0, dengan <math>\Delta \varphi_k = \varphi \! \left( t_k \right) - \varphi \! \left( t_{k - 1} \right)</math>

Jika [[turunan]] dari [[Persamaan parametrik|Fungsi parameter]] <math>\varphi</math> bersifat kontinu (atau dengan kata lain, <math>\varphi</math> merupakan [[Fungsi (matematika)|fungsi]] yang [[Fungsi terdiferensialkan|terdiferensialkan secara kontinu]]), maka integral garisnya dapat dicari dengan integral dari fungsi bernilai riil:
<math display="block">\int_L f(z) \, \text{d}z = \int_L f \! \left( \varphi \! \left( t \right) \right) \varphi' \! \left( t \right) \, \text{d}t</math>

Integral garis terhadap diferensial [[konjugat kompleks]] <math>\overline{\text{d}z}</math> di sepanjang lintasan <math>L \subset \mathbb{C}</math> didefinisikan sebagai<ref>{{cite book
| first1           = Lars
| last1            = Ahlfors
| title            = Complex Analysis
| trans-title      = Analisis Kompleks
| lang             = en
| location         = New York
| publisher        = McGraw-Hill
| edition          = 2nd
| year             = 1966
| page             = 103
| url              = https://books.google.com/books?id=RfYK28TcZEwC&pg=PA103}}</ref>
<math display="block">\begin{align}
\int_L f(z) \overline{\text{d}z} &= \overline{\overline{\int_L f(z) \overline{\text{d}z}}} \\
&= \overline{\int_L \overline{f(z) \, \overline{\text{d}z}}} \\
&= \overline{\int_L \overline{f(z)} \, \text{d}z} \\
\int_L f(z) \overline{\text{d}z} &= \int_L f \! \left( \varphi \! \left( t \right) \right) \overline{\varphi' \! \left( t \right) \, \text{d}t} \\
&= \int_L f \! \left( \varphi \! \left( t \right) \right) \overline{\varphi' \! \left( t \right)} \, \text{d}t
\end{align}</math>

Integral garis dari fungsi kompleks dapat dicari dengan beberapa metode. Cara yang paling lugas adalah dengan memecah integral garisnya menjadi bagian riil dan bagian imajiner, sehingga permasalahannya akan menjadi perhitungan dua integral garis bernilai riil. [[Teorema integral Cauchy]] dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan integral garis dari suatu [[fungsi holomorfik]] menjadi suatu integral garis yang lebih mudah untuk diselesaikan. Jika [[kurva|lintasan]] pengintegralannya merupakan [[kurva|lintasan]] tertutup dan terdapat [[Singularitas (matematika)|titik singular]] pada daerah yang dilingkup oleh [[kurva|lintasan]] pengintegralannya, maka [[teorema residu]] dapat memberikan nilai integral garis yang hendak dicari berdasarkan titik singularnya.

=== Contoh ===
Diberikan fungsi
<math display="block>f(z) = \dfrac{1}{z}</math>
dan kontur <math>L</math> adalah [[lingkaran satuan]] yang berpusat pada <math>0</math> dan berlawanan arah jarum jam. Dengan menggunakan [[rumus Euler]], maka [[kurva|lintasan]] <math>L</math> dapat diparameterkan sebagai <math>z(t) = e^{it}</math>, dengan <math>0 \leq t \leq 2 \pi</math>. Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
\oint_L \dfrac{1}{z} \, \text{d}z &= \int_0^{2 \pi} \dfrac{1}{e^{it}} \cdot i e^{it} \, \text{d}t \\
&= \int_0^{2 \pi} i \, \text{d}t \\
&= 2 \pi i
\end{align}</math>

Integral ini biasa digunakan sebagai langkah awal untuk membuktikan [[rumus integral Cauchy]] dan [[teorema residu]].

=== Hubungan antara integral garis fungsi kompleks dengan integral garis pada medan vektor ===
Dengan memandang [[bilangan kompleks]] sebagai [[Vektor Euklides|vektor]] berdimensi dua, integral garis dari fungsi bernilai kompleks <math>f(z)</math> di sepanjang [[kurva|lintasan]] <math>L</math> memiliki bagian riil dan imajiner (berturut-turut) sama dengan integral garis dan integral [[fluks]] dari medan vektor yang bersesuaian dengan fungsi [[konjugat kompleks]] <math>\overline{f(z)}</math>. Lebih tepatnya, jika
# <math>\vec{r}(t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix}</math> memparameterkan [[kurva|lintasan]] <math>L</math>
# <math>f \! \left( x + iy \right) = u \! \left( x, \, y \right) + i \, v \! \left( x, \, y \right)</math>, untuk suatu fungsi <math>u \! \left( x, \, y \right)</math> dan <math>v \! \left( x, \, y \right)</math>
maka dengan memilih
<math display="block">\vec{F} \! \left( \vec{r} \right) = \vec{F} \! \left( x, \, y \right) = \overline{f \! \left( x + iy \right)} = \begin{bmatrix} u \! \left( x, \, y \right) \\ -v \! \left( x, \, y \right) \end{bmatrix}</math>
diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\int_L f(z) \, \text{d}z &= \int_L \left( u + iv \right) \left( \text{d}x + i \, \text{d}y \right) \\
&= \int_L \left( u \, \text{d}x - v \, \text{d}y \right) + i \int_L \left( u \, \text{d}y + v \, \text{d}x \right) \\
&= \int_L \begin{bmatrix} u \\ -v \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \text{d}x \\ \text{d}y \end{bmatrix} + i \int_L \begin{bmatrix} u \\ -v \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \text{d}y \\ - \text{d}x \end{bmatrix} \\
&= \int_L \vec{F} \! \left( \vec{r} \right) \cdot \text{d} \vec{r} + i \int_L \vec{F} \! \left( \vec{r} \right) \cdot \text{d} \vec{r}^{\perp}
\end{align}</math>

Berdasarkan [[teorema integral Cauchy|teorema Cauchy]], integral pada ruas kiri bernilai nol ketika <math>f(z)</math> merupakan [[fungsi holomorfik]] (memenuhi [[persamaan Cauchy-Riemann]]) untuk sembarang [[kurva|lintasan]] mulus tertutup <math>L</math>. Menurut [[teorema Green]], ruas kanan akan bernilai nol ketika medan vektor <math>\vec{F} = \overline{f}</math> [[medan vektor konservatif|tidak berolak]] (nilai [[Kerul (matematika)|kerul]] dari <math>\vec{F}</math> sama dengan nol) dan [[aliran taktermampatkan|tidak termampatkan]] (nilai [[divergensi]] dari <math>\vec{F}</math> sama dengan nol).

== Lihat juga ==
{{Div col|colwidth=25em}}
* [[Teorema Green]]
* [[Teorema Stokes]]
* [[Teorema divergensi]]
* [[Pengintegralan kontur]]
* [[Teorema Nachbin]]
* [[Integral permukaan]]
* [[Integral volume]]
* [[Unsur volume]]
{{div col end}}

== Referensi ==
{{Reflist}}

== Pranala luar ==
* {{En icon}}{{springer|title=Integral over trajectories|id=p/i051570}}
* Modul pembelajaran dari [[Khan Academy]]:
** {{En icon}}[http://www.khanacademy.org/video/introduction-to-the-line-integral?playlist=Calculus "Pengantar Integral Garis"]
** {{En icon}}[http://www.khanacademy.org/video/line-integral-example-1?playlist=Calculus "Contoh 1 Integral Garis"]
** {{En icon}}[https://web.archive.org/web/20111219141618/http://www.khanacademy.org/video/line-integral-example-2--part-1?playlist=Calculus "Contoh 2 Integral Garis (bagian 1)"]
** {{En icon}}[https://web.archive.org/web/20111219142026/http://www.khanacademy.org/video/line-integral-example-2--part-2?playlist=Calculus "Contoh 2 Integral Garis (bagian 2)"]
* {{En icon}}{{PlanetMath|urlname=LineIntegral|title=Path integral}}
* {{En icon}}[http://mathinsight.org/line_integral_vector_field_introduction Pengantar Integral Garis pada Medan Vektor]

{{Topik kalkulus|extend=all}}

[[Kategori:Analisis kompleks]]
[[Kategori:Kalkulus vektor]]