Lihat sumber Integral Riemann

{{Short description|}}
[[Berkas:Integral as region under curve.svg|thumb|right|Integral sebagai luas daerah pada bagian bawah kurva.]]
[[Berkas:Riemann integral regular.gif|thumb|right|Urutan jumlah Riemann pada partisi reguler dari suatu interval. Bilangan diatas adalah total luas persegi panjang, yang konvergensinya ke integral fungsi.]]
[[Berkas:Riemann integral irregular.gif|thumb|right|Partisi tidak harus reguler, seperti yang ditunjukkan dibagian ini. Aproksimasi bekerja selama lebar setiap sub-pembagian cenderung ke nol.]]
{{Kalkulus|Integral}}

Dalam cabang [[matematika]] yang disebut juga sebagai [[analisis real]], '''integral Riemann''', yang dibuat oleh [[Bernhard Riemann]], adalah definisi bagian pertama suatu [[integral]] dari [[fungsi (matematika)|fungsi]] terhadap [[selang (matematika)|selang]]. Hal tersebut dipresentasikan ke fakultas di [[Universitas Göttingen]] pada tahun 1854, namun tidak diterbitkan dalam jurnal sampai tahun 1868.<ref>Integral Riemann diperkenalkan dalam makalah Bernhard Riemann "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (terjemahan: Tentang keterwakilan suatu fungsi oleh deret trigonometri; yaitu, ketika suatu fungsi diwakili oleh deret trigonometri). Makalah ini diajukan ke Universitas Göttingen pada tahun 1854 sebagai ''Habilitationsschrift'' oleh Riemann (kualifikasi untuk menjadi instruktur). Yang diterbitkan pada tahun 1868 di ''Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen'' (Prosiding Royal Philosophical Society di Göttingen), vol. 13, halaman 87-132. (Tersedia online [https://books.google.com/books?id=PDVFAAAAcAAJ&pg=RA1-PA87 disini].) Untuk definisi Riemann tentang integralnya, lihat bagian 4, "Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (terjemahan: Tentang konsep integral tertentu dan tingkatan validitasnya), halaman 101-103.</ref> Untuk banyak fungsi dan aplikasi praktis, integral Riemann dievaluasikan dengan [[teorema dasar kalkulus]] maupun dengan [[integrasi numerik]].

Integral Riemann tidak cocok untuk banyak tujuan teoretis. Beberapa kekurangan teknis dalam integral Riemann diperbaiki dengan [[integral Riemann–Stieltjes]], dan sebagian besar menghilang dengan [[integral Lebesgue]], meskipun yang terakhir tidak memiliki perlakuan yang memuaskan untuk [[integral takwajar]]. [[Integral Henstock–Kurzweil]] adalah generalisasi integral Lebesgue yang sekaligus lebih dekat ke integral Riemann. Teori-teori yang lebih umum ini memungkinkan integrasi fungsi yang lebih "bergerigi" atau "sangat berosilasi" pada bagian integral Riemann yang tidak ada; tetapi teori memberikan nilai yang sama dengan integral Riemann jika memang ada.

Dalam pengaturan pendidikan, [[integral Darboux]] menawarkan definisi yang lebih sederhana dan yang lebih mudah digunakan; biasanya digunakan untuk memperkenalkan integral Riemann. Integral Darboux didefinisikan setiap kali pada integral Riemann, dan selalu memberikan hasil yang sama. Sebaliknya, [[integral Henstock–Kurzweil]] adalah generalisasi integral Riemann yang sederhana namun lebih kuat dan telah mengarahkan beberapa pendidik untuk menganjurkan bahwa hal itu harus menggantikan integral Riemann dalam kursus kalkulus pengantar.<ref>{{cite web|title=An Open Letter to Authors of Calculus Books|url=https://math.vanderbilt.edu/schectex/ccc/gauge/letter/|access-date=27 Februari 2014}}</ref>

== Ikhtisar ==

Misalkan <math>f</math> merupakan fungsi bernilai [[bilangan real|real]] taknegatif pada interval <math>[a,b]</math>, dan misalnya

:<math>S = \left \{ (x, y) \, : \ a \leq x \leq b, 0 < y < f(x) \right \}</math>

sebagai wilayah bidang bawah pada grafik fungsi <math>f</math> dan atas interval <math>[a,b]</math> (lihat gambar pada bagian kanan atas). Apabila tertarik untuk mengukur luas <math>S</math>. Setelah mengukurnya, kita akan menunjukkan luas dengan:

:<math>\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm dx</math>.

Ide dasar integral Riemann adalah menggunakan pendekatan yang sederhana untuk luas <math>S</math>. Dengan mengambil aproksimasi yang lebih baik dan lebih baik, kita mengatakan bahwa "dalam batas" kita mendapatkan luas <math>S</math> yang tepat pada bagian bawah kurva.

Dimana <math>f</math> keduanya bisa menjadi positif dan negatif, definisi <math>S</math> dimodifikasi, sehingga integralnya sesuai dengan ''luas bertanda'' pada bagian bawah grafik <math>f</math>: yaitu, luas atas sumbu-<math>x</math> dikurangi luas bawah sumbu-<math>x</math>.

== Definisi ==

=== Partisi selang ===

Sebuah [[partisi selang]] <math>[a,b]</math> adalah barisan bilangan hingga berbentuk

:<math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b</math>

Setiap {{math|[''x<sub>i</sub>'', ''x''<sub>''i'' + 1</sub>]}} disebut '''sub-selang''' dari partisi. '''Jaring''' atau '''norma''' partisi didefinisikan sebagai panjang sub-selang terpanjang, yaitu,

:<math>\max \left(x_{i+1}-x_i\right), \quad i \in [0,n-1]</math>.

Partisi tanda <math>P(x,t)</math> dari suatu interval <math>[a,b]</math> adalah partisi bersama dengan barisan bilangan hingga <math>t_0,\dots,t_{n-1}</math> bersubjek pada syarat bahwa untuk setiap <math>i</math>, <math>t_i \in [x_i, x_{i+1}]</math>. Dengan kata lain, itu adalah partisi bersama dengan titik yang dibedakan dari setiap sub-selang. Jaring partisi yang diberi tag sama dengan partisi biasa.

Misalkan dua partisi <math>P(x,t)</math> dan <math>Q(y,s)</math> keduanya merupakan partisi dari interval <math>[a,b]</math>. Bahwa <math>Q(y,s)</math> adalah '''penghalusan''' dari <math>P(x,t)</math> jika untuk setiap bilangan bulat <math>i</math>, dengan <math>i\in[0,n]</math> adalah bilangan bulat <math>r(i)</math> sehingga <math>x_i = y_{r(i)}</math> dan sehingga <math>t_i = s_j</math> untuk suatu <math>j</math> dengan <math>j \in [r(i), r(i+1)] </math>. Dengan lebih sederhana, penghalusan partisi tanda memecahkan beberapa sub-selang dan menambahkan tanda ke partisi (jika perlu), sehingga "penghalus" sebagai keakuratan partisi.

Maka, kita dapat mengubah himpunan semua partisi tanda menjadi [[himpunan berarah]] dengan satu partisi tanda besar lebih dari atau sama dengan yang lain jika yang pertama adalah penghalusan dari yang terakhir.

=== Jumlah Riemann ===
Misalkan <math>f</math> adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval <math>[a,b]</math>. [[Jumlah Riemann]] dari <math>f</math> berhubung dengan partisi tanda <math>x_0,\dots,x_n</math> bersama dengan <math>t_0,\dots,t_{n-1}</math> adalah<ref>{{cite book|author=Krantz|first=Steven G.|author-link=Steven G. Krantz|title=Real Analysis and Foundations|publisher=CRC Press| year=1991| page=173| url=https://books.google.com/books/about/Real_Analysis_and_Foundations.html?id=OI-0vu1rb7MC&pg=PA173}}; {{cite book|title=2005 edition| isbn= 9781584884835}}</ref>

:<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) \left(x_{i+1}-x_i\right)</math>.

Setiap istilah dalam jumlah adalah darab dari nilai fungsi pada titik tertentu dan panjang interval. Akibatnya, setiap istilah mewakili luas (bertanda) persegi panjang dengan tinggi <math>f(t_i)</math> dan lebar <math>x_{i+1} - x_i</math>. Jumlah Riemann adalah luas (bertanda) dari semua persegi panjang.

Konsep yang terkait adalah ''jumlah Darboux bawah dan atas''. Ini mirip seperti dengan jumlah Riemann, namun tanda diganti dengan [[infimum dan supremum]] (masing-masing) dari {{mvar|f}} untuk setiap sub-selang:

:<math>\begin{align}
L(f, P) &= \sum_{i=0}^{n-1} \inf_{t \in [x_i, x_{i+1}]} f(t)(x_{i+1} - x_i) \\
U(f, P) &= \sum_{i=0}^{n-1} \sup_{t \in [x_i, x_{i+1}]} f(t)(x_{i+1} - x_i)
\end{align}</math>

Jika <math>f</math> adalah kontinu, maka jumlah Darboux bawah dan atas untuk partisi tak-bertanda sama dengan jumlah Riemann untuk partisi itu, dimana tanda dipilih sebagai minimum atau maksimum (masing-masing) <math>f</math> pada setiap sub-selang? Ketika <math>f</math> terputus dengan sub-selang, mungkin tidak ada tanda yang mencapai infimum atau supremum pada sub-selang tersebut. [[Integral Darboux]] yang mirip dengan integral Riemann tetapi berdasarkan jumlah Darboux, setara dengan integral Riemann.

=== {{anchor|Terintegrasi-Riemann}} Integral Riemann ===
Secara khusus, integral Riemann adalah limit dari jumlah Riemann dari suatu fungsi ketika partisi menjadi halus. Apabila limitnya ada, maka fungsi tersebut dikatakan '''terintegrasi''' (atau lebih spesifik '''terintegrasi-Riemann'''). Jumlah Riemann dapat dibuat sedekat yang diinginkan dengan integral Riemann dengan membuat partisi halus.<ref>{{Cite book|last=Taylor|first=Michael E.|author-link=Michael E. Taylor|title=Measure Theory and Integration| publisher=American Mathematical Society|year=2006|isbn=9780821872468|page=1|url=https://books.google.com/books?id=P_zJA-E5oe4C&pg=PA1}}</ref>

Salah satu persyaratan penting adalah bahwa hubungan partisi menjadi lebih kecil dan lebih kecil, sehingga dalam limitnya adalah nol. Jika tidak demikian, maka kita tidak akan mendapatkan aproksimasi yang baik untuk fungsi pada sub-selang tertentu. Sebenarnya, hal ini cukup untuk mendefinisikan integral. Untuk lebih spesifik, dengan menyatakan bahwa integral Riemann dari <math>f</math> sama dengan <math>s</math> jika kondisi berikut berlaku:

<blockquote>Untuk semua <math>\varepsilon > 0</math>, terdapat <math>\delta > 0</math> sehingga untuk [[Partisi dari sebuah interval|partisi bertanda]] <math>x_0,\dots,x_n</math> dan <math>t_0,\dots,t_{n-1}</math> yang hubungannya kurang dari <math>\delta</math>, maka

:<math>\left| \left( \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) \right) - s\right| < \varepsilon</math>.</blockquote>

Sayangnya, definisi ini sangat sulit digunakan. Hal ini akan membantu untuk mengembangkan definisi yang setara dari integral Riemann yang lebih mudah untuk dikerjakan. Kita mengembangkan definisi ini sekarang, dengan bukti kesetaraan berikut. Definisi baru kita mengatakan bahwa integral Riemann dari <math>f</math> sama dengan <math>s</math> jika syarat berikut berlaku:

<blockquote>Untuk semua <math>\varepsilon > 0</math>, terdapat partisi bertanda <math>y_0,\dots,y_m</math> dan <math>r_0,\dots,r_{m-1}</math> sehingga untuk setiap partisi bertanda <math>x_0,\dots,x_n</math> dan <math>t_0,\dots,t_{n-1}</math> yang merupakan penghalusan dari <math>y_0,\dots,y_m</math> dan <math>r_0,\dots,r_{m-1}</math>, kita mempunyai

: <math>\left| \left( \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) \right) - s\right| < \varepsilon.</math></blockquote>

Pada akhirnya, kedua hal ini berarti bahwa jumlah Riemann dari <math>f</math> berhubung dengan setiap partisi akan terungkap dekat <math>s</math>. Karena ini benar maupun tidak peduli seberapa dekat kita menuntut jumlah terungkap, kita mengatakan bahwa jumlah Riemann konvergen ke <math>s</math>. Definisi ini sebenarnya merupakan kasus khusus dari konsep yang lebih umum yaitu sebuah [[jaring (matematika)|jaring]].

Seperti yang kita nyatakan sebelumnya, kedua definisi ini adalah ekuivalen. Dengan kata lain, <math>s</math> berfungsi dalam definisi pertama jika dan hanya jika <math>s</math> berfungsi dalam definisi kedua. Untuk menunjukkan bahwa definisi pertama menyatakan definisi kedua, mulailah dengan <math>\varepsilon</math>, dan pilih <math>\delta</math> yang memenuhi kondisi. Pilih partisi bertanda yang hubungannya kurang dari <math>\delta</math>. Jumlah Riemann-nya berada dalam <math>\varepsilon</math> dari <math>s</math>, dan setiap penghalusan dari partisi ini juga akan memiliki hubungan kurang dari <math>\delta</math>, jadi jumlah Riemann dari penghalusan juga akan berada dalam <math>\varepsilon</math> dari <math>s</math>.

Untuk menunjukkan bahwa definisi kedua menyatakan definisi pertama, paling mudah menggunakan [[integral Darboux]]. Pertama, satu menunjukkan bahwa definisi kedua setara dengan definisi integral Darboux; untuk ini lihat artikel [[integral Darboux]]. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa fungsi integral Darboux memenuhi definisi pertama. Menetapkan <math>\varepsilon</math>, dan pilih partisi <math>y_0,\dots,y_m</math> sehingga jumlah Darboux bawah dan atas sehubungan dengan partisi ini berada dalam <math>\varepsilon/2</math> dari nilai <math>s</math> integral Darboux. Maka

:<math> r = 2\sup_{x \in [a, b]} |f(x)|</math>.

Jika <math>r=0</math>, maka <math>f</math> adalah fungsi nol, yang jelas merupakan integral Darboux dan Riemann dengan integral nol. Oleh karena itu, kita akan mengasumsikan bahwa <math>r>0</math>. Jika <math>m>1</math>, maka kita memilih <math>\delta</math> sehingga

:<math>\delta < \min \left \{\frac{\varepsilon}{2r(m-1)}, \left(y_1 - y_0\right), \left(y_2 - y_1\right), \cdots, \left(y_m - y_{m-1}\right) \right \}</math>

Jika <math>m=1</math>, maka kita memilih <math>\delta</math> kurang dari satu. Pilih partisi bertanda <math>x_0,\dots,x_n</math> dan <math>t_0,\dots,t_{n-1}</math> dengan hubungan lebih kecil dari <math>\delta</math>. Kita harus menunjukkan bahwa jumlah Riemann berada dalam <math>\varepsilon</math> dari <math>s</math>.

Untuk melihat ini, pilih selang <math>[x_i,x_{i+1}]</math>. Jika selang ini terdapat dalam beberapa <math>[y_j,y_{j+1}]</math>, maka

:<math> m_j < f(t_i) < M_j</math>

dimana <math>m_j</math> dan <math>M_j</math>, infimum dan supremum dari <math>f</math> pada <math>[y_j, y_{j+1}]</math>. Jika semua selang memiliki sifat ini, maka ini akan menyimpulkan buktinya, karena setiap suku dalam jumlah Riemann akan dibatasi oleh suku yang bersesuaian dalam jumlah Darboux, dan kita memilih jumlah Darboux yang mendekati <math>s</math>. Ini adalah kasus ketika <math>m=1</math> menjadi bukti yang selesai dalam kasus itu.

Oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan <math>m>1</math>. Dalam hal ini, mungkin salah satu dari <math>[x_i,x_{i+1}]</math> tidak terkandung dalam {{math|[''y<sub>j</sub>'', ''y''<sub>''j'' + 1</sub>]}}. Sebaliknya, hal tersebut mungkin membentang dua selang yang ditentukan oleh <math>y_0,\dots,y_m</math>. Hal itu tidak dapat memenuhi tiga interval karena <math>\delta</math> diasumsikan lebih kecil dari panjang salah satu interval. Dalam simbol, maka

:<math>y_j < x_i < y_{j+1} < x_{i+1} < y_{j+2}</math>.

Kita berasumsi bahwa semua pertidaksamaan ketat karena jika tidak, kita berada dalam kasus sebelumnya dengan asumsi panjang <math>\delta</math>. Ini bisa saja terbukti paling banyak mengkali <math>m-1</math>.

Untuk menangani kasus ini, kita akan memperkirakan perbedaan antara jumlah Riemann dan jumlah Darboux dengan membagi partisi <math>x_0,\dots,x_n</math> di <math>y_{j+1}</math>. Penyebutan <math>f(t_i)(x_{i+1}-x_i)</math> dalam jumlah Riemann dibagi menjadi dua penyebut:

:<math>f\left(t_i\right)\left(x_{i+1}-x_i\right) = f\left(t_i\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_i\right)\left(y_{j+1}-x_i\right)</math>

Misalkan, tanpa kehilangan keumuman, bahwa <math>t_i \in [y_j, y_{j+1}]</math>. Maka

:<math>m_j < f(t_i) < M_j</math>,

jadi suku ini dibatasi oleh suku yang bersesuaian dalam jumlah Darboux untuk <math>y_j</math>. Untuk mengikat bentuk lainnya, perhatikan bahwa

:<math>x_{i+1}-y_{j+1} < \delta < \frac{\varepsilon}{2r(m-1)}</math>,

Oleh karena itu, untuk suatu (memang ada) <math>t_i^* \in [y_{j+1},x_{i+1}]</math>,

:<math>\left|f\left(t_i\right)-f\left(t_i^*\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right) < \frac{\varepsilon}{2(m-1)}</math>.

Karena ini terjadi paling banyak mengkali <math>m-1</math>, jarak antara jumlah Riemann dan jumlah Darboux paling banyak <math>\varepsilon/2</math>. Oleh karena itu, jarak antara jumlah Riemann dan <math>s</math> paling banyak {{mvar|ε}}.

== Contoh ==
Misalkan <math>f:[0,1]\to\R</math> sebagai fungsi yang mengambil nilai 1 setiap titik. Setiap jumlah Riemann dari <math>f</math> pada <math>[0,1]</math> akan memiliki nilai 1, oleh karena itu integral Riemann dari <math>f</math> pada {{math|[0, 1]}} adalah 1.

Misalkan <math>I_{\Q}:[0,1]\to\R</math> sebagai [[fungsi indikator]] dari [[bilangan rasional]] di <math>[0,1]</math>; yaitu, <math>I_{\Q}</math> mengambil nilai 1 pada bilangan rasional dan 0 pada [[bilangan irasional]]. Fungsi ini tidak memiliki integral Riemann. Untuk membuktikan ini, kita akan menunjukkan bagaimana membangun partisi bertanda yang jumlah Riemannnya mendekati nol dan satu secara berurutan.

Untuk memulai, maka <math>x_0,\dots,x_n</math> dan <math>t_0,\dots,t_{n-1}</math> menjadi partisi bertanda (setiap <math>t_i</math> diantara <math>x_i</math> dan <math>x_{i+1}</math>). Pilihlah <math>\varepsilon > 0</math>. <math>t_i</math> telah dipilih, dan nilai <math>f</math> tidak dapat diubah pada titik tersebut. Tetapi jika kita memotong partisi menjadi potongan-potongan kecil disekitar <math>t_i</math>, kita dapat meminimalkan efek <math>t_i</math>. Kemudian, dengan memilih tanda baru secara hati-hati, kita dapat membuat nilai penjumlahan Riemann berada dalam <math>\varepsilon</math> dari nol atau satu.

Langkah pertama kita adalah memotong partisi. Ada <math>n</math> dari <math>t_i</math>, dan ingin efek totalnya kurang dari <math>\varepsilon</math>. Jika membatasi masing-masing dari mereka ke selang yang panjangnya kurang dari <math>\varepsilon/n</math>, maka kontribusi dari setiap <math>t_i</math> pada jumlah Riemann paling sedikit <math>0 \cdot \varepsilon/n</math> dan paling banyak <math>1 \cdot \varepsilon/n</math>. Ini setidaknya membuat jumlah total nol dan paling banyak dari <math>\varepsilon</math>. Jadi {{mvar|δ}} menjadi bilangan positif yang kurang dari <math>\varepsilon/n</math>. Jika kebetulan dua dari <math>t_i</math> berada dalam {{mvar|δ}} satu sama lain, pilihlah <math>\delta</math> lebih kecil. Jika terjadi bahwa beberapa <math>t_i</math> berada dalam {{mvar|δ}} dari beberapa {{mvar|x<sub>j</sub>}}, dan {{mvar|t<sub>i</sub>}} tidak sama dengan <math>x_j</math>, pilihlah {{mvar|δ}} lebih kecil. Karena hanya ada <math>t_i</math> dan <math>x_j</math>, kita selalu dapat memilih <math>\delta</math> secukupnya kecil.

Sekarang kita tambahkan dua potongan ke partisi untuk setiap <math>t_i</math>. Salah satu potongan berada di <math>t_i - \delta/2</math>, dan yang lainnya akan berada di <math>t_i + \delta/2</math>. Jika salah satu dari ini meninggalkan selang <math>[0,1]</math> maka kita tinggalkan. <math>t_i</math> akan menjadi tanda yang sesuai dengan sub-selang

:<math>\left [t_i - \frac{\delta}{2}, t_i + \frac{\delta}{2} \right ]</math>.

Jika <math>t_i</math> berada tepat diatas salah satunya <math>x_j</math>, maka kita misalkan <math>t_i</math> sebagai tanda untuk kedua selang:

:<math>\left [t_i - \frac{\delta}{2}, x_j \right ]</math> dan <math>\left [x_j,t_i + \frac{\delta}{2} \right ]</math>.

Kita harus memilih tanda untuk sub-selang lainnya. Apabila memilih mereka dalam dua cara yang berbeda. Cara pertama adalah selalu memilih [[tititk rasional]], sehingga jumlah Riemann sebesar mungkin. Ini akan membuat nilai jumlah Riemann setidaknya <math>1-\varepsilon</math>. Cara kedua adalah selalu memilih titik irasional, sehingga jumlah Riemann sekecil mungkin. Ini akan membuat nilai jumlah Riemann banyak <math>\varepsilon</math>.

Karena baru memulai dari partisi sembarang dan berakhir sedekat yang diinginkan dengan nol atau satu, salah satunya salah untuk mengatakan bahwa akhirnya terjebak dekat suatu bilangan <math>s</math>, maka fungsi ini tidak diintegrasikan Riemann. Namun, ini adalah [[integral Lebesgue]]. Dalam pengertian Lebesgue integralnya adalah nol, karena fungsinya adalah nol [[hampir di mana-mana]]. Tapi ini adalah fakta yang berada di luar jangkauan integral Riemann.

Ada contoh yang buruk lagi. <math>I_{\Q}</math> setara (yaitu, hampir sama di semua tempat) dengan fungsi integral Riemann, tetapi ada fungsi-fungsi hingga tak-terintegrasi Riemann yang tak-ekuivalen dengan fungsi-fungsi tak-terintegrasi Riemann mana pun. Misalnya, <math>C</math> menjadi [[himpunan Smith–Volterra–Cantor]], dan <math>I_C</math> menjadi fungsi indikatornya. Karena <math>C</math> tak-[[ukuran Jordan|terukur Jordan]], maka <math>I_C</math> tidak dapat diintegrasikan Riemann. Selain itu, tidak ada fungsi <math>g</math> yang setara dengan <math>I_C</math> yang dapat diintegrasikan Riemann: <math>g</math>, seperti <math>I_C</math> yang harus nol pada himpunan rapat, jadi seperti pada contoh sebelumnya, setiap jumlah Riemann dari <math>g</math> memiliki penghalusan yang berada dalam <math>\varepsilon</math> dari 0 untuk bilangan positif suatu <math>\varepsilon</math>. Tetapi jika integral Riemann dari <math>g</math> memang ada, maka ia harus sama dengan integral Lebesgue dari <math>I_C</math>, yaitu <math>1/2</math>. Oleh karena itu, <math>g</math> tidak dapat diintegrasikan Riemann.

== Konsep serupa ==

Sangat populer untuk mendefinisikan integral Riemann sebagai [[integral Darboux]]. Ini karena integral Darboux secara teknis lebih sederhana dan karena suatu fungsi dapat terintegral (secara) Riemann jika dan hanya jika terintegral (secara) Darboux.

Beberapa buku kalkulus tidak menggunakan partisi bertanda umum, tetapi limit-diri pada jenis tertentu dari partisi bertanda. Jika jenis partisi memiliki banyak limit, beberapa fungsi tak-terintegralkan mungkin tampak terintegralkan.

Salah satu limit terkenal adalah penggunaan jumlah Riemann "-kiri" dan "-kanan". Dalam jumlah Riemann kiri, <math>t_i = x_i</math> untuk semua {{mvar|i}}, dan dalam jumlah Riemann kanan, <math>t_i = x_{i+1}</math> untuk semua <math>i</math>. Pembatasan ini saja tidak menimbulkan masalah: dapat diperbaiki partisi dengan cara menjadikannya jumlah kiri atau kanan dengan membagi setiap {{mvar|t<sub>i</sub>}}. Dalam [[bahasa formal]], himpunan dari semua jumlah Riemann kiri dan himpunan dari semua jumlah Riemann kanan adalah [[kofinal (matematika)|kofinal]] pada himpunan semua partisi bertanda.

Batasan terkenal lainnya adalah penggunaan sub-pembagi reguler dari suatu selang. Misalnya, subdivisi reguler ke-<math>n</math> dari <math>[0,1]</math> terdiri dari interval

:<math>\left [0, \frac{1}{n} \right], \left [\frac{1}{n}, \frac{2}{n} \right], \ldots, \left[\frac{n-1}{n}, 1 \right]</math>.

Sekali lagi, batasan ini hanya saja tidak menimbulkan masalah, tetapi penalaran yang diperlukan untuk melihat penyesuaian ini lebih sulit daripada dalam kasus penjumlahan Riemann kiri dan kanan.

Namun, menggabungkan batasan ini, sehingga hanya menggunakan jumlah Riemann kiri atau tangan kanan pada selang bertanda reguler, adalah bahaya. Jika suatu fungsi diketahui sebelumnya sebagai integral Riemann, maka teknik ini akan memberikan nilai integral yang benar. Tetapi pada kondisi ini [[fungsi indikator]] <math>I_{\Q}</math> akan tampak terintegralkan pada <math>[0,1]</math> dengan integral sama dengan satu: Setiap titik akhir dari setiap sub-selang akan menjadi bilangan rasional, jadi fungsi dievaluasi pada bilangan rasional, dan karena itu akan tampak selalu sama dengan satu. Masalah dengan definisi ini menjadi jelas ketika kita mencoba membagi integral menjadi dua bagian. Persamaan berikutnya berlaku:

:<math>\int_0^{\sqrt{2}-1} I_\Q(x) \,\mathrm dx + \int_{\sqrt{2}-1}^1 I_\Q(x) \,\mathrm dx = \int_0^1 I_\Q(x) \,\mathrm dx</math>.

Jika kita menggunakan pembagian biasa dan jumlah Riemann kiri atau kanan, maka dua suku sebelah kiri sama dengan nol, karena setiap titik akhir kecuali 0 dan 1 akan irasional, tetapi seperti yang telah kita lihat, suku sebelah kanan akan sama dengan 1.

Seperti yang didefinisikan di atas, integral Riemann menghindari masalah ini dengan tidak menggunakan untuk mengintegrasikan <math>I_{\Q}.</math> Integral Lebesgue didefinisikan sedemikian rupa sehingga semua integral ini adalah 0.

== Sifat ==

=== Linearitas ===
Integral Riemann adalah transformasi linear; yaitu, jika <math>f</math> dan <math>g</math> terintegralkan dengan Riemann pada <math>[a,b]</math> dan <math>\alpha</math> dan <math>\beta</math> adalah konstanta, maka

:<math>\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))\,\mathrm dx = \alpha \int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm dx </math>.

Karena integral Riemann dari suatu fungsi adalah bilangan, ini membuat integral Riemann menjadi [[Bentuk linear|fungsional linear]] pada [[ruang vektor]] dari fungsi integral Riemann.
<!--
== Keterintegralan ==
Sebuah [[fungsi hingga]] pada [[Ruang kompak|ranah kompak]] {{math|[''a'', ''b'']}} adalah integral Riemann jika dan hanya jika [[fungsi kontinu|kontinu]] [[hampir di mana-mana]] (himpunan titik diskontinuitasnya memiliki [[ukuran nol]], dalam arti [[ukuran Lebesgue]]). Ini adalah '''{{visible anchor|teorema Lebesgue-Vitali|Kondisi keterintegralan Lebesgue}}''' (dari karakterisasi fungsi integral Riemann). Telah dibuktikan secara independen oleh [[Giuseppe Vitali]] dan [[Henri Lebesgue]] pada tahun 1907, dan menggunakan gagasan [[ukuran nol]], tetapi tidak menggunakan ukuran umum atau integral Lebesgue.

Kondisi keterintegralan dapat dibuktikan dengan berbagai cara,<ref name="apostol169">{{harvnb|Apostol|1974|pp=169–172}}</ref><ref>{{Cite journal| issn = 0002-9890| volume = 43
| issue = 7| pages = 396–398| last = Brown| first = A. B.| title = A Proof of the Lebesgue Condition for Riemann Integrability| journal = The American Mathematical Monthly| date = September 1936| jstor = 2301737| doi = 10.2307/2301737}}</ref><ref>Analisis real dasar, oleh Houshang H. Sohrab, bagian 7.3, Himpunan Ukur Nol dan Kondisi Integrabilitas Lebesgue, [https://books.google.com/books?id=gBPI_oYZoMMC&pg=PA264 pp. 264–271]</ref><ref>''[http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF Introduction to Real Analysis],'' diperbarui April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of Proper Riemann Integral", hlm. 171–177</ref> salah satunya adalah bagian dibawah ini.

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!Bukti
|-
|Pembuktiannya paling mudah dengan menggunakan definisi [[integral Darboux]] dari keterintegralan (secara formal, kondisi Riemann untuk keterintegralan) – suatu fungsi terintegralkan Riemann jika dan hanya jika jumlah atas dan jumlah bawah dibuat secara mendekati dengan memilih partisi yang sesuai.

Satu arah dibuktikan menggunakan [[Osilasi (matematika)|osilasi]] definisi kontinuitas:<ref>[http://unapologetic.wordpress.com/2009/12/15/lebesgues-condition/ Lebesgue’s Condition], John Armstrong, 15 Desember 2009, The Unapologetic Mathematician</ref> Untuk setiap {{mvar|ε}} positif, Misalkan {{math|''X''<sub>''ε''</sub>}} adalah himpunan titik dalam {{math|[''a'', ''b'']}} dengan osilasi minimal {{mvar|ε}}. Karena setiap titik dimana {{mvar|f}} diskontinu memiliki osilasi positif dan sebaliknya, himpunan titik dalam {{math|[''a'', ''b'']}}, dimana {{mvar|f}} adalah diskontinu sama dengan penyatuan atas {{math|{''X''<sub>1/''n''</sub>}|}} untuk semua bilangan asli {{mvar|n}}.

Jika himpunan ini tidak memiliki nol [[ukuran Lebesgue]], kemudian dengan [[keaditifan tercacah]] dari ukuran setidaknya ada satu {{mvar|n}} sehingga {{math|''X''<sub>1/''n''</sub>}} tidak memiliki ukuran nol. Jadi ada beberapa bilangan positif {{mvar|c}} sehingga setiap [[tercacahkan]] himpunan selang terbuka [[liput (topologi)|peliputan]] {{math|''X''<sub>1/''n''</sub>}} memiliki panjang total setidaknya {{mvar|c}}. Khususnya, ini juga berlaku untuk setiap kumpulan selang hingga. Ini tetap berlaku juga untuk {{math|''X''<sub>1/''n''</sub>}} dikurangi jumlah titik hingga (sebagai sejumlah titik hingga mendapatkan cakupan oleh kumpulan selang hingga dengan panjang total yang kecil secara arbiter).

Untuk setiap [[partisi dari sebuah selang|partisi dari {{math|[''a'', ''b'']}}]], pertimbangkan himpunan selang pada interiornya yang mencakup titik-titik dari {{math|''X''<sub>1/''n''</sub>}}. Interior ini terdiri dari penutup terbuka hingga {{math|''X''<sub>1/''n''</sub>}} yang merupakan hingga sejumlah titik (mungkin, jatuh pada tepi selang). Jadi selang ini memiliki panjang total paling sedikit {{mvar|c}}. Karena titik-titik {{mvar|f}} memiliki osilasi paling sedikit dari {{math|1/''n''}}, maka, [[infimum dan supremum]] dari {{mvar|f}} dari setiap selang ini setidaknya berbeda {{math|1/''n''}}. Jadi jumlah atas dan bawah dari {{mvar|f}} berbeda setidaknya {{math|''c''/''n''}}. Karena ini berlaku untuk setiap partisi, {{mvar|f}} tidak terintegralkan Riemann.

Sekarang kita buktikan arah kebalikannya menggunakan himpunan {{math|''X''<sub>''ε''</sub>}} yang didefinisikan diatas.<ref>[http://unapologetic.wordpress.com/2009/12/09/jordan-content-integrability-condition/ Kondisi Integrasi Konten Jordan], John Armstrong, 9 Desember 2009, The Unapologetic Mathematician</ref> Untuk setiap {{mvar|ε}}, {{math|''X''<sub>''ε''</sub>}} adalah [[ruang kompak|kompak]], karena limit (oleh {{mvar|a}} dan {{mvar|b}}) tertutup:

*Untuk setiap barisan titik {{math|''X''<sub>''ε''</sub>}} pada konvergen {{math|[''a'', ''b'']}}, limitnya adalah {{math|''X''<sub>''ε''</sub>}}. Hal ini karena setiap lingkungan dari titik limit juga merupakan lingkungan dari beberapa titik {{math|''X''<sub>''ε''</sub>}}, dan dengan demikian {{mvar|f}} memiliki osilasi setidaknya {{mvar|ε}} atasnya. Oleh karena itu titik limitnya ada di {{math|''X''<sub>''ε''</sub>}}.

Sekarang, misalkan {{mvar|f}} adalah kontinu [[hampir di mana-mana]]. Kemudian untuk setiap {{mvar|ε}}, {{math|''X''<sub>''ε''</sub>}} memiliki nol [[ukuran Lebesgue]]. Oleh karena itu, koleksi selang terbuka yang dihitung dalam {{math|[''a'', ''b'']}} merupakan [[penutup terbuka]] dari {{math|''X''<sub>''ε''</sub>}}, sehingga jumlah seluruh panjangnya kecil secara arbiter. [[Ruang kompak#Definisi penutup terbuka|Karena {{math|''X''<sub>''ε''</sub>}} adalah]] [[subpenutup]] kompak hingga – sehingga, kumpulan hingga dari selang terbuka {{math|[''a'', ''b'']}} adalah dengan panjang total kecil arbiter bersama dengan semua titik {{math|''X''<sub>''ε''</sub>}}. Kita menyatakan selang ini adalah {{math|{''I''(''ε'')<sub>''i''</sub>}|}}, untuk {{math|1 ≤ ''i'' ≤ ''k''}}, untuk beberapa {{mvar|k}} alami.

[[Komplemen (teori himpunan)|Komplemen]] dari gabungan selang ini sendiri merupakan gabungan dari sejumlah selang hingga, dimana ditunjukkannya {{math|{''J''(''ε'')<sub>''i''</sub>}|}} (untuk {{math|1 ≤ ''i'' ≤ ''k'' ≤ 1}} dan untuk {{math|1=''i'' = ''k'', ''k'' + 1 }} sedemikian pula).

We now show that for every {{math|''ε'' > 0}}, there are [[Darboux integral#Darboux sums|upper and lower sums]] whose difference is less than {{mvar|ε}}, from which Riemann integrability follows. To this end, we construct a [[partition of an interval|partition of {{math|[''a'', ''b'']}}]] as follows:

Denote {{math|1=''ε''<sub>1</sub> = ''ε'' / 2(''b'' − ''a'')}} and {{math|1=''ε''<sub>2</sub> = ''ε'' / 2(''M'' − ''m'')}}, where {{mvar|m}} and {{mvar|M}} are the [[infimum and supremum]] of {{mvar|f}} on {{math|[''a'', ''b'']}}. Since we may choose intervals {{math|{''I''(''ε''<sub>1</sub>)<sub>''i''</sub>}|}} with arbitrarily small total length, we choose them to have total length smaller than {{math|''ε''<sub>2</sub>}}.

Each of the intervals {{math|{''J''(''ε''<sub>1</sub>)<sub>''i''</sub>}|}} has an empty intersection with {{math|''X''<sub>''ε''<sub>1</sub></sub>}}, so each point in it has a neighborhood with oscillation smaller than {{math|''ε''<sub>1</sub>}}. These neighborhoods consist of an [[open cover]] of the interval, and since the interval is compact there is a finite subcover of them. This subcover is a finite collection of open intervals, which are subintervals of {{math|''J''(''ε''<sub>1</sub>)<sub>''i''</sub>}} (except for those that include an edge point, for which we only take their intersection with {{math|''J''(''ε''<sub>1</sub>)<sub>''i''</sub>)}}. We take the edge points of the subintervals for all {{math|''J''(''ε''<sub>1</sub>)<sub>''i''</sub> − ''s''}}, including the edge points of the intervals themselves, as our partition.

Thus the partition divides {{math|[''a'', ''b'']}} to two kinds of intervals:

*Intervals of the latter kind (themselves subintervals of some {{math|''J''(''ε''<sub>1</sub>)<sub>''i''</sub>}}). In each of these, {{mvar|f}} oscillates by less than {{math|''ε''<sub>1</sub>}}. Since the total length of these is not larger than {{math|''b'' − ''a''}}, they together contribute at most {{math|1=''ε''{{su|b=1|p=∗}}(''b'' − ''a'') = ''ε''/2}} to the difference between the upper and lower sums of the partition.
*The intervals {{math|{''I''(''ε'')<sub>''i''</sub>}|}}. These have total length smaller than {{math|''ε''<sub>2</sub>}}, and {{mvar|f}} oscillates on them by no more than {{math|''M'' − ''m''}}. Thus together they contribute less than {{math|1=''ε''{{su|b=2|p=∗}}(''M'' − ''m'') = ''ε''/2}} to the difference between the upper and lower sums of the partition.

In total, the difference between the upper and lower sums of the partition is smaller than {{mvar|ε}}, as required.
|}

In particular, any set that is at most [[countable set|countable]] has [[Lebesgue measure]] zero, and thus a bounded function (on a compact interval) with only finitely or countably many discontinuities is Riemann integrable.

An [[indicator function]] of a bounded set is Riemann-integrable if and only if the set is [[Jordan measure|Jordan measurable]].<ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/Volume.html PlanetMath Volume]</ref> The Riemann integral can be interpreted [[measure theory|measure-theoretically]] as the integral with respect to the Jordan measure.

If a real-valued function is [[monotone function|monotone]] on the interval {{math|[''a'', ''b'']}} it is Riemann-integrable, since its set of discontinuities is at most countable, and therefore of Lebesgue measure zero.

If a real-valued function on {{math|[''a'', ''b'']}} is Riemann-integrable, it is [[Lebesgue integral|Lebesgue-integrable]]. That is, Riemann-integrability is a ''stronger'' (meaning more difficult to satisfy) condition than Lebesgue-integrability.

If {{math|''f''<sub>''n''</sub>}} is a [[uniform convergence|uniformly convergent]] sequence on {{math|[''a'', ''b'']}} with limit {{mvar|f}}, then Riemann integrability of all {{math|''f''<sub>''n''</sub>}} implies Riemann integrability of {{mvar|f}}, and

:<math> \int_{a}^{b} f\, dx = \int_a^b{\lim_{n \to \infty}{f_n}\, dx} = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n\, dx.</math>

However, the [[Lebesgue monotone convergence theorem]] (on a monotone pointwise limit) does not hold. In Riemann integration, taking limits under the integral sign is far more difficult to logically justify than in Lebesgue integration.<ref>{{cite journal|author=Cunningham|first= Frederick Jr.|title=Taking limits under the integral sign|journal=Mathematics Magazine|volume=40|year=1967|pages=179–186|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/taking-limits-under-the-integral-sign|doi=10.2307/2688673}}</ref>

== Generalizations ==
It is easy to extend the Riemann integral to functions with values in the Euclidean vector space <math>\R^n</math> for any {{mvar|n}}. The integral is defined component-wise; in other words, if {{math|1='''f''' = (''f''<sub>1</sub>, ..., ''f''<sub>''n''</sub>)}} then

:<math>\int\mathbf{f} = \left(\int f_1,\,\dots, \int f_n\right).</math>

In particular, since the complex numbers are a real [[vector space]], this allows the integration of complex valued functions.

The Riemann integral is only defined on bounded intervals, and it does not extend well to unbounded intervals. The simplest possible extension is to define such an integral as a limit, in other words, as an [[improper integral]]:

:<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{a \to -\infty \atop b \to \infty}\int_a^b f(x)\,dx.</math>

This definition carries with it some subtleties, such as the fact that it is not always equivalent to compute the [[Cauchy principal value]]

:<math>\lim_{a\to\infty} \int_{-a}^a f(x)\,dx.</math>

For example, consider the [[sign function]] {{math|''f''(''x'') {{=}} sgn(''x'')}} which is 0 at {{math|''x'' {{=}} 0}}, 1 for {{math|''x'' > 0}}, and −1 for {{math|''x'' < 0}}. By symmetry,

:<math>\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0</math>

always, regardless of {{mvar|a}}. But there are many ways for the interval of integration to expand to fill the real line, and other ways can produce different results; in other words, the multivariate limit does not always exist. We can compute

:<math>\begin{align} \int_{-a}^{2a} f(x)\,dx &= a, \\ \int_{-2a}^a f(x)\,dx &= -a. \end{align}</math>

In general, this improper Riemann integral is undefined. Even standardizing a way for the interval to approach the real line does not work because it leads to disturbingly counterintuitive results. If we agree (for instance) that the improper integral should always be

:<math>\lim_{a\to\infty} \int_{-a}^a f(x)\,dx,</math>

then the integral of the translation {{math|''f''(''x'' − 1)}} is −2, so this definition is not invariant under shifts, a highly undesirable property. In fact, not only does this function not have an improper Riemann integral, its Lebesgue integral is also undefined (it equals {{math|∞ − ∞}}).

Unfortunately, the improper Riemann integral is not powerful enough. The most severe problem is that there are no widely applicable theorems for commuting improper Riemann integrals with limits of functions. In applications such as [[Fourier series]] it is important to be able to approximate the integral of a function using integrals of approximations to the function. For proper Riemann integrals, a standard theorem states that if {{math|''f<sub>n</sub>''}} is a sequence of functions that [[uniform convergence|converge uniformly]] to {{mvar|f}} on a compact set {{math|[''a'', ''b'']}}, then

:<math>\lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx.</math>

On non-compact intervals such as the real line, this is false. For example, take {{math|''f<sub>n</sub>''(''x'')}} to be {{math|''n''<sup>−1</sup>}} on {{math|[0, ''n'']}} and zero elsewhere. For all {{mvar|n}} we have:

:<math>\int_{-\infty}^\infty f_n\,dx = 1.</math>

The sequence {{math|(''f<sub>n</sub>'')}} converges uniformly to the zero function, and clearly the integral of the zero function is zero. Consequently,

:<math>\int_{-\infty}^\infty f\,dx \neq \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty f_n\,dx.</math>

This demonstrates that for integrals on unbounded intervals, uniform convergence of a function is not strong enough to allow passing a limit through an integral sign. This makes the Riemann integral unworkable in applications (even though the Riemann integral assigns both sides the correct value), because there is no other general criterion for exchanging a limit and a Riemann integral, and without such a criterion it is difficult to approximate integrals by approximating their integrands.

A better route is to abandon the Riemann integral for the [[Lebesgue integral]]. The definition of the Lebesgue integral is not obviously a generalization of the Riemann integral, but it is not hard to prove that every Riemann-integrable function is Lebesgue-integrable and that the values of the two integrals agree whenever they are both defined. Moreover, a function {{mvar|f}} defined on a bounded interval is Riemann-integrable if and only if it is bounded and the set of points where {{mvar|f}} is discontinuous has Lebesgue measure zero.

An integral which is in fact a direct generalization of the Riemann integral is the [[Henstock–Kurzweil integral]].

Another way of generalizing the Riemann integral is to replace the factors {{math|''x''<sub>''k'' + 1</sub> − ''x''<sub>''k''</sub>}} in the definition of a Riemann sum by something else; roughly speaking, this gives the interval of integration a different notion of length. This is the approach taken by the [[Riemann–Stieltjes integral]].

In [[multivariable calculus]], the Riemann integrals for functions from <math>\R^n\to\R</math> are [[multiple integral]]s.
-->

== Lihat pula ==
* [[Luas]]
* [[Integral tak tentu]]
* [[Integrasi Lebesgue]]

==Catatan==
{{Reflist|30em}}

== Referensi ==
* Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. ''Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach'', Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. {{isbn|0-486-63519-8}}.
* {{citation|first=Tom|last=Apostol|author-link=Tom Apostol|title=Mathematical Analysis|year=1974|publisher=Addison-Wesley}}

==Pranala luar==
*{{Commons category inline}}
* {{springer|title=Riemann integral|id=p/r081950}}

{{integral}}
{{Bernhard Riemann}}

[[Kategori:Definisi integral pada matematika]]
[[Kategori:Bernhard Riemann]]