Lihat sumber Integral Dirichlet

{{Use American English|date = September 2020}}
{{Short description|Integral of sin(x)/x from 0 to infinity.}}
{{Distinguish|Energi dirichlet}} 
{{kalkulus}}
Dalam [[matematika]], ada beberapa [[integral]] yang dikenal sebagai '''Integral Dirichlet''', setelah ahli matematika Jerman [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]], salah satunya adalah [[integral tak wajar]] dari [[fungsi sinc]] di atas garis nyata positif:

: <math>\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} \,dx = \frac{\pi}{2}.</math>

Integral ini bukanlah [[absolut konvergen]], artinya <math>\Biggl| \frac{\sin x}{x} \Biggl|</math> bukan Lebesgue-integrable, sehingga integral Dirichlet tidak terdefinisi dalam arti [[integral Lebesgue]]. Hal ini, bagaimanapun, didefinisikan dalam arti [[integral Riemann]] yang tidak tepat atau Riemann yang digeneralisasikan atau [[integral Henstock–Kurzweil]].<ref>{{cite journal |jstor=2974874 |url=http://math.tut.fi/courses/73129/Bartle.pdf |title=Return to the Riemann Integral |first=Robert G. |last=Bartle |date=10 June 1996 |publisher= |journal=The American Mathematical Monthly |volume=103 |issue=8 |pages=625–632 |doi=10.2307/2974874 }}{{Pranala mati|date=Februari 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref><ref>{{Cite book|last=Bartle|first=Robert G.|title=Introduction to Real Analysis|url=https://archive.org/details/introductiontore00bart_903|url-access=limited|last2=Sherbert|first2=Donald R.|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|isbn=978-0-471-43331-6|location=|pages=[https://archive.org/details/introductiontore00bart_903/page/n325 311]|chapter=Chapter 10: The Generalized Riemann Integral}}</ref>  Nilai integral (dalam pengertian Riemann atau Henstock) dapat diturunkan dengan berbagai cara, termasuk transformasi Laplace, integrasi ganda, membedakan di bawah tanda integral, integrasi kontur, dan kernel Dirichlet.

== Evaluasi ==

=== Transformasi Laplace ===
Maka <math>f(t)</math> menjadi fungsi yang dapat didefinisikan <math>t \geq 0</math>. Maka [[Transformasi Laplace]] diberikan oleh

:<math>\mathcal{L} \{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt,</math>

bila integral itu ada.<ref>{{Cite book|last=Zill|first=Dennis G.|title=Differential Equations with Boundary-Value Problems|url=https://archive.org/details/differentialequa00zill_769|url-access=limited|last2=Wright|first2=Warren S.|publisher=Cengage Learning|year=2013|isbn=978-1-111-82706-9|location=|pages=[https://archive.org/details/differentialequa00zill_769/page/n323 274]-5|chapter=Chapter 7: The Laplace Transform}}</ref>

Properti dari [[Transformasi Laplace#Mengevaluasi integral tak wajar|Transformasi laplace berguna untuk mengevaluasi integral tak wajar]] adalah

:<math> \mathcal{L} \Biggl [  \frac{f(t)}{t} \Biggl] = \int_{s}^{\infty} F(u) \,du,
</math>

asalkan <math>\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(t)}{t}</math>.

Seseorang dapat menggunakan properti ini untuk mengevaluasi integral Dirichet sebagai berikut:

:<math> 
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt &= \lim_{s \rightarrow 0} \int_{0}^{\infty} e^{-st}\frac{\sin t}{t} \, dt =\lim_{s \rightarrow 0}\mathcal{L} \Biggl [  \frac{\sin t}{t} \Biggl] \\[6pt]
&= \lim_{s \rightarrow 0}\int_{s}^{\infty} \frac{du}{u^2 + 1} = \lim_{s \rightarrow 0} \arctan u \Biggl |_{s}^{\infty} \\[6pt]
&= \lim_{s \rightarrow 0} \Biggl[ \frac{\pi}{2} - \arctan (s)\Biggl] = \frac{\pi}{2},
\end{align}
</math>

lantaran <math>\mathcal{L}\{\sin t\} = \frac{1}{s^2 + 1}</math> adalah transformasi Laplace dari fungsi tersebut <math>\sin t</math>. (Lihat bagian 'Membedakan di bawah tanda integral' untuk penurunan.)

=== Integrasi ganda ===

Mengevaluasi integral Dirichlet menggunakan transformasi Laplace setara dengan mencoba mengevaluasi integral pasti ganda yang sama dalam dua cara berbeda, dengan pembalikan [[urutan integral (kalkulus)|urutan integral]], yaitu:

:<math>
\left( I_1 = \int_0^\infty \int _0^\infty e^{-st} \sin t \,dt \,ds \right) = \left( I_2 = \int_0^\infty \int _0^\infty e^{-st} \sin t \,ds \,dt \right),</math>
:<math>\left( I_1 = \int_0^\infty \frac{1}{s^2 + 1} \,ds = \frac{\pi}{2} \right) = \left( I_2 = \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \,dt \right), \text{ provided } s > 0.
</math>

=== Diferensiasi di bawah tanda integral (trik Feynman) ===
Pertama, tulis ulang integral sebagai fungsi dari variabel tambahan <math>a</math>. Maka

:<math>f(a)=\int_0^\infty e^{-a\omega} \frac{\sin \omega} \omega \, d\omega.</math>

Untuk mengevaluasi integral Dirichlet, kita perlu menentukan<math>f(0)</math>.

Diferensialkan sehubungan dengan <math>a</math> dan terapkan [[Hukum integral Leibniz|hukum Leibniz untuk membedakan di bawah tanda integral]] untuk mendapatkan

:<math>
\begin{align}
\frac{df}{da} & = \frac{d}{da}\int_0^\infty e^{-a\omega} \frac{\sin \omega}{\omega} \, d\omega = \int_0^\infty \frac{\partial}{\partial a}e^{-a\omega}\frac{\sin \omega} \omega \, d\omega \\[6pt]
& = -\int_0^\infty e^{-a\omega} \sin \omega \, d\omega.
\end{align}
</math>

Sekarang, gunakan rumus Euler <math>e^{i\omega}=\cos \omega + i\sin \omega,</math> sinusoid dapat dinyatakan dalam fungsi eksponensial kompleks. Jadi kami punya

: <math>
\sin(\omega) = \frac{1}{2i} \left( e^{i \omega} - e^{-i \omega}\right).
</math>

oleh karena itu,

:<math>
\begin{align}
\frac{df}{da} & = -\int_0^\infty e^{-a\omega} \sin \omega \, d\omega = -\int_{0}^{\infty} e^{-a\omega} \frac{e^{i\omega} - e^{-i\omega}}{2i} d\omega \\[6pt]
&= -\frac{1}{2i} \int_{0}^{\infty} \left[ e^{-\omega(a-i)} - e^{-\omega(a + i)} \right] d\omega \\[6pt]
&= -\frac{1}{2i} \left [ \frac{-1}{a - i} e^{-\omega (a - i)} - \frac{-1}{a + i} e^{-\omega (a + i)}\right] \Biggl|_0^{\infty} \\[6pt]
&= -\frac{1}{2i} \left[ 0 - \left( \frac{-1}{a - i} + \frac{1}{a + i} \right) \right] = -\frac{1}{2i} \left( \frac{1}{a - i} - \frac{1}{a + i} \right) \\[6pt]
&= -\frac{1}{2i} \left( \frac{a + i - (a -i)}{a^2 + 1} \right) = -\frac{1}{a^2 + 1}.
\end{align}
</math>

Integrasi sehubungan dengan <math>a</math> memberikan

: <math>f(a) = \int \frac{-da}{a^2 + 1} = A - \arctan a,</math>

dimana <math>A</math> adalah konstanta integrasi yang akan ditentukan. Karena <math>\lim_{a \to \infty} f(a) = 0,</math> <math>A = \lim_{a \to \infty} \arctan (a) = \frac{\pi}{2},</math> menggunakan nilai pokok. Maka ini berarti

: <math>f(a) = \frac{\pi}{2} - \arctan{a}.</math>

Akhirnya, untuk <math>a = 0</math>, kita punya <math>f(0) = \frac{\pi}{2} - \arctan(0) = \frac{\pi}{2}</math>, seperti sebelumnya.

=== Integrasi kompleks ===
Hasil yang sama dapat diperoleh dengan integrasi kompleks. Mempertimbangkan

: <math>f(z) = \frac{e^{iz}} z.</math>

Sebagai fungsi dari variabel kompleks <math>z</math>, ia memiliki kutub sederhana di asalnya, yang mencegah penerapan [[lemma Jordan]], yang hipotesis lainnya terpenuhi.

Tentukan kemudian fungsi baru<ref>Appel, Walter. ''Mathematics for Physics and Physicists''. Princeton University Press, 2007, p. 226. {{ISBN|978-0-691-13102-3}}.</ref>

: <math>g(z) = \frac{e^{iz}}{z + i\varepsilon}.</math>

Kutub telah dipindahkan dari sumbu sebenarnya, sehingga <math>g(z)</math> dapat diintegrasikan sepanjang setengah lingkaran radius <math>R</math> yang berpusat di <math>z = 0</math> dan ditutup pada sumbu nyata. Seseorang kemudian limitnya <math>\varepsilon \rightarrow 0</math>.

Integral kompleks adalah nol menurut teorema residu, karena tidak ada kutub di dalam jalur integrasi

: <math>0 = \int_\gamma g(z) \,dz = \int_{-R}^R \frac{e^{ix}}{x + i\varepsilon} \, dx + \int_0^\pi \frac{e^{i(Re^{i\theta} + \theta)}}{Re^{i\theta} + i\varepsilon} iR \, d\theta.</math>

Istilah kedua lenyap saat <math>R</math> pergi ke tak terhingga. Adapun integral pertama, seseorang dapat menggunakan satu versi [[teorema Sokhotski–Plemelj]] untuk integral di atas garis nyata: untuk fungsi bernilai [[bilangan kompleks|kompleks]] {{mvar | f}} yang ditentukan dan dapat terus terdiferensiasi pada garis nyata dan konstanta nyata <math>a</math> dan <math>b</math> with <math>a < 0 < b</math> seseorang menemukan

: <math>\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x \pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi f(0) + \mathcal{P} \int_a^b \frac{f(x)}{x} \,dx,</math>

dimana <math>\mathcal{P}</math> menunjukkan [[nilai pokok Cauchy]]. Kembali ke kalkulasi awal di atas, seseorang dapat menulis

: <math>0 = \mathcal{P} \int \frac{e^{ix}}{x} \, dx - \pi i.</math>

Dengan mengambil bagian imajiner di kedua sisi dan mencatat fungsinya <math>\sin(x)/x</math> bahkan, kita dapatkan

:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \,dx = 2 \int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} \,dx.</math>

Akhirnya,
: <math>\lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \frac \pi 2.</math>

Atau, pilih sebagai kontur integrasi untuk <math>f</math> gabungan jari-jari setengah lingkaran bidang atas <math>\varepsilon</math> dan <math>R</math> bersama dengan dua segmen dari garis nyata yang menghubungkannya. Di satu sisi, integral kontur adalah nol, terlepas dari <math>\varepsilon</math> dan <math>R</math>; di sisi lain, sebagai <math>\varepsilon \to 0</math> dan <math>R \to \infty</math> bagian imajiner integral menyatu <math>2 I + \Im\big(\ln 0 - \ln(\pi i)\big) = 2I - \pi</math> (maka <math>\ln z</math> adalah cabang dari logaritma pada setengah bidang atas), yang mengarah ke <math>I = \frac{\pi}{2}</math>.

=== Kernel Dirichlet ===
Maka
:<math>
D_n(x) = 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos(2kx) = \frac{\sin[(2n+1)x]}{\sin(x)}
</math>
menjadi [[kernel Dirichlet]].<ref>{{cite report|author= Chen, Guo|date= 26 June 2009|title= A Treatment of the Dirichlet Integral Via the Methods of Real Analysis|url= https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2009/REUPapers/ChenGuo.pdf|access-date= 2020-09-26|archive-date= 2020-11-25|archive-url= https://web.archive.org/web/20201125130638/https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2009/REUPapers/ChenGuo.pdf|dead-url= yes}}</ref>

Segera setelah itu<math>
\int_0^{\frac{\pi}{2}}D_n(x) dx = \frac{\pi}{2}.
</math>

menjelaskan

:<math>f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin(x)} & x \neq 0 \\[6pt]
0 & x = 0
\end{cases}
</math>

Jelasnya, <math>f</math> adalah kontinu jika <math> x \neq 0 </math>, untuk melihat keberlanjutannya di 0 terapkan [[Aturan L'Hopital]]:

: <math>
\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x) - x}{x\sin(x)} = 
\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x) - 1}{\sin(x) + x\cos(x)} = 
\lim_{x\to 0} \frac{-\sin(x)}{2\cos(x) - x\sin(x)} = 0.
</math>

Karenanya, <math>f</math> memenuhi persyaratan [[Riemann-Lebesgue Lemma]]. Ini berarti

:<math>
\lim_{\lambda \to \infty} \int_a^b f(x)\sin(\lambda x)dx = 0 \Rightarrow
\lim_{\lambda \to \infty} \int_a^b \frac{\sin(\lambda x)}{x}dx = 
    \lim_{\lambda \to \infty} \int_a^b \frac{\sin(\lambda x)}{\sin(x)}dx.
</math>

(Bentuk Lemma Riemann-Lebesgue yang digunakan di sini dibuktikan dalam artikel yang dikutip.)

Pilih batasan <math>a = 0</math> and <math>b = \pi/2</math>. Maka kami ingin mengatakan

:<math>
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t}dt
= & \lim_{\lambda \to \infty} \int_0^{\lambda\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(t)}{t}dt \\[6pt]
= & \lim_{\lambda \to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\lambda x)}{x}dx \\[6pt]
= & \lim_{\lambda \to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\lambda x)}{\sin(x)}dx \\[6pt]
= & \lim_{n\to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin((2n+1)x)}{\sin(x)}dx \\[6pt]
= & \lim_{n\to \infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} D_n(x) dx = \frac{\pi}{2}
\end{align}
</math>

In order to do so, however, we must justify switching the real limit in <math>\lambda</math> to the integral limit in <math>n</math>.  This is in fact justified if we can show the limit does exist, which we do now.

Using [[integration by parts]], we have:

:<math>
\int_a^b \frac{\sin(x)}{x}dx = 
\int_a^b \frac{d(1-\cos(x))}{x}dx = 
\left. \frac{1-\cos(x)}{x}\right|_a^b + \int_a^b \frac{1-\cos(x)}{x^2}dx
</math>

Now, as <math>a \to 0</math> and <math> b \to \infty</math> the term on the left converges with no problem. See the [[List of limits#Trigonometric functions|list of limits of trigonometric functions]].  We now show that <math> \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^2}dx </math> is absolutely integrable, which implies that the limit exists.<ref>{{cite report|url=http://ramanujan.math.trinity.edu/rdaileda/teach/m4342f10/improper_integrals.pdf|title=Improper Integrals|author=R.C. Daileda}}</ref>

First, we seek to bound the integral near the origin. Using the Taylor-series expansion of the cosine about zero,

:<math>
1 - \cos(x) = 1 - \sum_{k\geq 0}\frac{x^{2k}}{2k!} = -\sum_{k\geq 1}\frac{x^{2k}}{2k!}.
</math>

Therefore,

:<math>
\left|\frac{1 - \cos(x)}{x^2}\right| 
  =  \left|-\sum_{k\geq 0}\frac{x^{2k}}{2(k+1)!}\right|
\leq \sum_{k\geq 0} \frac{|x|^k}{k!}
  =  e^{|x|}.
</math>

Splitting the integral into pieces, we have

:<math>
     \int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right|dx
\leq \int_{-\infty}^{-\varepsilon} \frac{2}{x^2}dx + 
     \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} e^{|x|}dx + 
     \int_{\varepsilon}^{\infty} \frac{2}{x^2}dx
\leq K,
</math>

for some constant <math>K > 0</math>.  This shows that the integral is absolutely integrable, which implies the original integral exists, and switching from <math>\lambda</math> to <math>n</math> was in fact justified, and the proof is complete.

== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika}}
* [[Distribusi Dirichlet]]
* [[Prinsip Dirichlet]]
* [[Fungsi Sin]]
* [[Integral Fresnel]]

== Catatan ==
{{Reflist}}

== Pranala luar ==

* {{MathWorld | urlname=DirichletIntegrals | title=Dirichlet Integral}}
{{Integral}}

[[Kategori:Fungsi khusus]]
[[Kategori:Kalkulus integral]]
[[Kategori:Fisika matematika]]