Lihat sumber Identitas Jacobi

{{Short description|Sifat beberapa operasi biner, seperti perkalian silang dan gelanggang komutator}}
Dalam [[matematika]], '''identitas Jacobi''' adalah sifat dari [[operasi biner]] yang menjelaskan bagaimana urutan evaluasi, penempatan tanda kurung dalam beberapa produk, mempengaruhi hasil operasi. Sebaliknya, untuk operasi dengan [[sifat asosiatif]], urutan evaluasi memberikan hasil yang sama (tidak menggunakan tanda kurung dalam beberapa produk). Identitas ini dinamai matentikawan asal Jerman [[Carl Gustav Jakob Jacobi]].

[[Produk silang]] <math>a\times b</math> dan [[aljabar Lie|operasi braket Lie]] <math>[a,b]</math> keduanya memenuhi identitas Jacobi. Dalam [[mekanika analitik]], identitas Jacobi menggunakan [[tanda kurung Poisson]]. Dalam [[mekanika kuantum]], digunakan oleh operasi [[Komutator#Teori gelanggang|komutator]] dengan [[ruang Hilbert]] dan ekuivalen dalam [[perumusan ruang fase]] mekanika kuantum oleh [[kurung siku]] Moyal.

== Definisi ==
Satu himpunan '''A''' dengan dua operasi biner + dan ''×'', dengan identitas aditif 0, memenuhi identitas Jacobi jika:

:<math>x \times (y \times z)  \ +\ z \times (x \times y) \ +\ y \times (z \times x)\ =\ 0 \quad \forall\ {x,y,z}\in A</math>.

Sisi kiri adalah jumlah dari semua permutasi genap dari {{math|''x ×'' (''y ×'' ''z'')}}: tanda kurung dibiarkan tetap, dan huruf saling dipertukarkan beberapa kali.

== Bentuk kurung siku komutator ==
Contoh informatif paling sederhana dari [[aljabar Lie]] digunakan gelanggang (asosiatif) <math>n\times n</math> matriks sebagai gerakan sangat kecil dari ruang vektor berdimensi-''n''. Operasi × adalah [[komutator]], yang mengukur kegagalan komutatif dalam perkalian matriks. Alih <math>X\times Y</math> sebagai notasi kurung siku Lie digunakan:
:<math>[X,Y]=XY-YX.</math>

Dalam notasi tersebut, identitas Jacobi adalah:
{{Equation box 1
 |indent =:
 |equation =<math>[X, [Y, Z] ] + [Y, [Z, X] ] + [Z, [X, Y] ] \ =\  0.</math>
 |cellpadding= 6
 |border
 |border colour = #0070BF
 |bgcolor=#FAFFFB
|title=}}
Digunakan dengan komputasi.

Lebih umum, jika '''A''' adalah aljabar asosiatif dan <math>V</math> adalah subruang dari '''A''' yang ditutup di bawah operasi kurung siku: <math>[X,Y]=XY-YX</math> sebagai <math>V</math> untuk semua <math>X,Y\in V</math>, identitas Jacobi tetap menggunakan ''V''.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Contoh 3.3</ref> Maka, jika operasi biner <math>[X,Y]</math> memenuhi identitas Jacobi dikatakan bahwa seolah-olah diberikan oleh <math>XY-YX</math> dalam beberapa aljabar asosiatif meskipun sebenarnya tidak didefinisikan seperti itu.

Menggunakan [[antikomutatif|sifat antisimetri]] <math>[X,Y]=-[Y,X]</math>, identitas Jacobi dapat ditulis ulang sebagai modifikasi dari [[sifat asosiatif]]:

:<math>[[X, Y], Z] = [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]]~.</math>

Jika <math>[X,Z]</math> adalah tindakan dari gerakan kecil ''X'' dengan ''Z'', dapat dinyatakan sebagai: 
{{quote
 | Tindakan <math> Y </math> diikuti oleh <math> X </math> sebagai operasi <math>[X,[Y,\cdot\ ] ]</math>, dikurangi tindakan <math> X </math> diikuti oleh <math> Y </math> sebagai operasi <math>([Y,[X,\cdot\ ] ]</math>, sama dengan tindakan <math>[X,Y]</math> sebagai operasi <math>[ [X,Y],\cdot\ ]</math>.|sign=|source=}}

Terdapat jumlah [[aljabardaya Lie#Sifat|identitas Jacobi bertingkat]] yang melibatkan [[antikomutator]] <math>\{X,Y\}</math>, contoh:

:<math>
[\{X,Y\},Z]+ [\{Y,Z\},X]+[\{Z,X\},Y] =0,\qquad
[\{X,Y\},Z]+ \{[Z,Y],X\}+\{[Z,
X],Y\} =0.
</math>
Lihat pula [[Kurung siku Lie bidang vektor]] dan [[rumus Baker–Campbell–Hausdorff]]

== Bentuk adjoin ==
Contoh umum dari identitas Jacobi berasal dari perkalian kurung siku <math>[x,y]</math> dengan [[aljabar Lie]] dan [[gelanggang Lie]]. Identitas Jacobi ditulis sebagai:

: <math>[x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] = 0</math>.

Karena perkalian kurung siku adalah [[antikomutatif|antisimetris]], identitas Jacobi sebagai dua reformulasi yang setara. Mendefinisikan [[representasi adjoin dari aljabar Lie|operasi adjoin]] <math>\operatorname{ad}_x: y \mapsto [x,y]</math> sebagai:
:<math>\operatorname{ad}_x[y,z]=[\operatorname{ad}_xy,z]+[y,\operatorname{ad}_xz]</math>.

Dengan demikian, identitas Jacobi untuk aljabar Lie menyatakan bahwa tindakan elemen pada aljabar adalah [[turunan (aljabar abstrak)|turunan]]. Bentuk identitas Jacobi digunakan untuk mendefinisikan pengertian [[aljabar Leibniz]].

Penataan ulang lain menunjukkan bahwa identitas Jacobi setara dengan identitas berikut antara operator wakilan adjoin:
:<math>\operatorname{ad}_{[x,y]}=[\operatorname{ad}_x,\operatorname{ad}_y].</math>

Di sana, kurung siku di sisi kiri adalah operasi dari aljabar asli, tanda kurung di sebelah kanan adalah komutator dari komposisi operator, dan identitas menyatakan bahwa <math>\mathrm{ad}</math> peta untuk setiap elemen ke tindakan adjoin adalah [[aljabar Lie homomorfisme]].

== Identitas terkait ==
[[Komutator#Identitas (teori grup)|Identitas Hall–Witt]] adalah identitas analog untuk operasi [[komutator]] dalam [[grup (matematika)|grup]].

Identitas berikut mengikuti dari antikomutativitas dan identitas Jacobi dan berlaku dalam aljabar Lie sembarang:<ref>{{cite arXiv
 | first=Ilya |last=Alekseev | first2=Sergei O. |last2=Ivanov |arxiv=1604.05281
 | title       = Higher Jacobi Identities |date=18 April 2016
 }}</ref>

: <math>[x,[y,[z,w]]] + [y,[x,[w,z]]] + [z,[w,[x,y]]] + [w,[z,[y,x]]] = 0</math>.

== Lihat pula ==
* [[Konstanta struktur]]
* [[Identitas Jacobi super]]
* [[Tiga subgrup lemma]] (identitas Hall–Witt)

== Referensi ==
{{Reflist}}
* {{citation|first=Brian C.|last=Hall|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition= 2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222 |publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666}}.

== Pranala luar ==
*{{MathWorld|JacobiIdentities|Identitas Jacobi}}

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Jacobi Identity}}
[[Kategori:Aljabar Lie]]
[[Kategori:Identitas matematika]]
[[Kategori:Aljabar takasosiatif]]
[[Kategori:Sifat operasi biner]]