Lihat sumber Identitas (matematika)

{{Distinguish|Elemen identitas|Fungsi identitas|Matriks identitas}}

[[Berkas:Trig functions on unit circle.svg|thumb|Bukti visual [[identitas Pythagoras]]: untuk setiap sudut <math>\theta</math>, Inti <math>(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)</math> terletak pada [[lingkaran satuan]], yang memenuhi persamaan <math>x^2 + y^2 =1</math>. Jadi, <math>\cos^2\theta + \sin^2\theta =1</math>.]]

Dalam [[matematika]], '''identitas''' adalah [[persamaan (matematika) | persamaan]] yang menghubungkan satu ekspresi matematika '' A '' ke [[Ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]] lainnya '' B '', sedemikian rupa sehingga '' A '' dan '' B '' (yang mungkin berisi beberapa [[variabel (matematika) | variabel]]) menghasilkan nilai yang sama untuk semua nilai variabel dalam rentang validitas tertentu.<ref name=":0">{{Cite web|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#identity|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Identity|date=2019-08-01|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2019-12-01}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|url=https://www.mathwords.com/i/identity.htm|title=Mathwords: Identity|website=www.mathwords.com|access-date=2019-12-01}}</ref> Dengan kata lain, '' A '' = '' B '' adalah identitas jika '' A '' dan '' B '' sama dengan [[fungsi (matematika) | fungsi]], dan identitas adalah persamaan antara fungsi yang didefinisikan secara berbeda. Misalnya, <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>  dan <math>\cos^2\theta + \sin^2\theta =1</math> adalah identitas.<ref name=":1" /> Identitas terkadang ditunjukkan dengan simbol [[batang tiga]] {{math | ≡}} daripada {{math | 1 ==}}, [[tanda sama dengan]].<ref name=":2">{{Cite web|url=https://www.mathopenref.com/identity.html|title=Identity - math word definition - Math Open Reference|website=www.mathopenref.com|access-date=2019-12-01}}</ref>

== Identitas umum ==

=== Identitas aljabar ===
{{see also|Faktorisasi#Pola yang dapat dikenali}}
Identitas tertentu, khususnya <math>a+0=a</math> dan <math>a+(-a)=0</math>, membentuk dasar aljabar,<ref>{{Cite web|url=http://www.math.com/tables/algebra/basicidens.htm|title=Basic Identities|website=www.math.com|access-date=2019-12-01}}</ref> sedangkan identitas lainnya, misalnya <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2</math> dan <math> (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 </math>, dapat berguna dalam menyederhanakan [[ekspresi aljabar]] dan mengembangkannya.<ref>{{Cite web|url=http://www.sosmath.com/tables/algiden/algiden.html|title=Algebraic Identities|website=www.sosmath.com|access-date=2019-12-01}}</ref>

=== Identitas trigonometri ===
{{Main|Daftar identitas trigonometri}}

Secara geometris, identitas trigonometri adalah identitas yang melibatkan fungsi tertentu dari satu atau lebih [[sudut]].<ref>{{Cite web|url=https://www.purplemath.com/modules/idents.htm|title=Trigonometric Identities|last=Stapel|first=Elizabeth|website=Purplemath|access-date=2019-12-01}}</ref> Identitas tersebut berbeda dari [[Trigonometri#Identitas segitiga | identitas segitiga]], yang merupakan identitas yang melibatkan sudut dan panjang sisi sebuah [[segitiga]]. Hanya yang pertama dibahas dalam artikel ini.

Identitas ini berguna setiap kali ekspresi yang melibatkan [[Fungsi trigonometrik|fungsi trigonometri]] perlu disederhanakan. Aplikasi penting lainnya adalah [[integral | integrasi]] dari fungsi non-trigonometri: teknik umum yang melibatkan penggunaan [[substitusi trigonometri | aturan substitusi dengan fungsi trigonometri]], dan kemudian menyederhanakan integral yang dihasilkan dengan identitas trigonometri.

Salah satu contoh paling menonjol dari identitas trigonometri melibatkan persamaan <math> \sin ^2 \theta +  \cos ^2 \theta = 1, </math> yang benar untuk semua nilai [[Bilangan kompleks | kompleks]] dari <math>\theta</math> (karena bilangan kompleks <math>\mathbb{C}</math> membentuk domain sinus dan kosinus). Di sisi lain, persamaannya
:<math>\cos \theta = 1</math>

hanya berlaku untuk nilai tertentu <math>\theta</math>, tidak semua (atau untuk semua nilai dalam [[Persekitaran (matematika) | lingkungan]]). Misalnya, persamaan ini benar jika <math> \theta = 0,</math> tapi salah saat <math>\theta = 2</math>.

Kelompok lain dari identitas trigonometri menyangkut apa yang disebut rumus penjumlahan/pengurangan (misalnya identitas sudut ganda <math>\sin (2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta</math>, rumus penjumlahan untuk <math>\tan (x + y)</math>),<ref name=":2" /><ref name=":0" /> yang dapat digunakan untuk memecah ekspresi sudut yang lebih besar menjadi ekspresi dengan konstituen yang lebih kecil.

=== Identitas eksponensial ===
{{Main|Eksponensial}}

Identitas berikut berlaku untuk semua eksponen [[bilangan bulat]], asalkan basisnya bukan nol:
:<math>\begin{align}
      b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\
        (b^m)^n &= b^{m\cdot n} \\
  (b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n
\end{align}</math>

Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponen tidak [[komutatif]]. Sebagai contoh, {{nowrap|1=2 + 3 = 3 + 2 = 5}} dan {{nowrap|1=2 · 3 = 3 · 2 = 6}}, melainkan {{nowrap|1=2<sup>3</sup> = 8}}, sedangkan {{nowrap|1=3<sup>2</sup> = 9}}.

Dan tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponen juga tidak [[asosiatif]]. Sebagai contoh, {{nowrap|1=(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9}} dan {{nowrap|1=(2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24}}, melainkan 2<sup>3</sup> ke 4 adalah 8<sup>4</sup> (atau 4.096), sedangkan 2 banding 3<sup>4</sup> adalah 2<sup>81</sup> (atau 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Tanpa tanda kurung untuk mengubah urutan kalkulasi, menurut konvensi urutannya top-down, bukan bottom-up:
:<math>b^{p^q} = b^{(p^q)} \ne (b^p)^q = b^{(p \cdot q)} = b^{p \cdot q} .</math>

=== Identitas logaritmik ===
{{Main|Identitas logaritmik}}
Beberapa rumus penting, terkadang disebut '' identitas logaritmik '' atau '' hukum log '', menghubungkan [[logaritma]] satu sama lain.<ref>Semua pernyataan di bagian ini dapat ditemukan di {{Harvard citations|last1=Shirali|first1=Shailesh|year=2002|loc=section 4|nb=yes}}, {{Harvard citations|last1=Downing| first1=Douglas |year=2003|loc=p. 275}}, or {{Harvard citations|last1=Kate|last2=Bhapkar|year=2009|loc=p. 1-1|nb=yes}}, for example.</ref>

==== Produk, hasil bagi, deret dan akar ====
Logaritma dari suatu perkalian adalah jumlah dari logaritma dari angka-angka yang dikalikan; logaritma rasio dua bilangan adalah selisih logaritma. Logaritma dari {{nowrap|''p''}} kekuatan angka adalah '' p '' kali logaritma dari angka itu sendiri; logaritma dari a-{{nowrap|''p''}} root adalah logaritma bilangan dibagi dengan '' p ''. Tabel berikut mencantumkan identitas ini dengan contoh. Setiap identitas dapat diturunkan setelah substitusi definisi logaritma {{nowrap begin}}x = b<big><sup>log<sub>b</sub>(x)</sup></big>{{nowrap end}}, and/or {{nowrap begin}}y = b<big><sup>log<sub>b</sub>(y)</sup></big>{{nowrap end}}, di sisi kiri.

<center>
{| class="wikitable"
|-
!  !! Formula !! Contoh
|-
| produk || <cite id=labegarithmProducts><math> \log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y) </math></cite>|| <math> \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) =  2 + 3 = 5 </math>
|-
| hasil bagi || <math>\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b (x) - \log_b (y) </math>|| <math> \log_2 (16) = \log_2 \!\left ( \frac{64}{4} \right ) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4</math>
|-
| pangkat || <cite id=labelLogarithmPowers><math>\log_b(x^p) = p \log_b (x) </math></cite>|| <math> \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 </math>
|-
| akar || <math>\log_b \sqrt[p]{x} = \frac {\log_b (x)} p </math>|| <math> \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5 </math>
|}
</center>

==== Perubahan basis ====
Logaritma log<sub>''b''</sub>(''x'') dapat dihitung dari logaritma '' x '' dan '' b '' sehubungan dengan basis sembarang '' k '' menggunakan rumus berikut:
: <cite id=labelLogarithmBaseChange><math> \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}.</math></cite>
Biasanya [[kalkulator ilmiah]] menghitung logaritma ke basis 10 dan [[e (konstanta matematika) | '' e '']].<ref>{{Citation | last1=Bernstein | first1=Stephen | last2=Bernstein | first2=Ruth | title=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | series=Schaum's outline series | isbn=978-0-07-005023-5 | year=1999 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00bern }}, p. 21</ref> Logaritma yang terkait dengan basis '' b '' apa pun dapat ditentukan menggunakan salah satu dari dua logaritma ini dengan rumus sebelumnya:
:<math> \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}. </math>
Diberikan angka '' x '' dan logaritma log<sub>''b''</sub>(''x'') ke basis yang tidak diketahui '' b '', basis diberikan oleh:
: <math> b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.</math>

=== Identitas fungsi hiperbolik ===
{{Main|Fungsi hiperbolik}}
[[Fungsi hiperbolik]] memenuhi banyak identitas, semuanya mirip bentuknya dengan [[identitas trigonometri]]. Faktanya, '''Kaidah Osborn'''<ref>{{cite journal|jstor=3602492|title=109. Mnemonic for Hyperbolic Formulae|journal=The Mathematical Gazette|first=G.|last=Osborn|date=1 January 1902|volume=2|issue=34|pages=189|doi=10.2307/3602492|url=https://zenodo.org/record/1449741}}</ref> menyatakan bahwa seseorang dapat mengubah identitas trigonometri apa pun menjadi identitas hiperbolik dengan mengembangkannya sepenuhnya dalam hal kekuatan integral sinus dan cosinus, mengubah sinus menjadi sinh dan cosinus menjadi cosh, dan mengganti tanda setiap suku yang berisi hasil kali 2, 6, 10, 14, ... sinh.<ref>{{cite book
 |title=Technical mathematics with calculus
 |edition=3rd
 |first1=John Charles
 |last1=Peterson
 |publisher=Cengage Learning
 |year=2003
 |isbn=0-7668-6189-9
 |page=1155
 |url=https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC}}, [https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&pg=PA1155 Chapter 26, page 1155]</ref>

[[Fungsi Gudermannian]] memberikan hubungan langsung antara fungsi melingkar dan fungsi hiperbolik yang tidak melibatkan bilangan kompleks.

== Logika dan aljabar universal ==
Dalam [[logika matematika]] dan dalam [[aljabar universal]], identitas didefinisikan sebagai [[Rumus Well-formad#Logika predikat | rumus]] dari bentuk "[[pembilang universal|∀]]''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>. ''s'' = ''t''", di mana '' s '' dan '' t '' adalah [[istilah (logika) | istilah]] tanpa [[variabel bebas]] selain ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>.
The quantifier prefix ("∀''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>.") sering dibiarkan implisit, khususnya dalam aljabar universal.
Misalnya, [[aksioma]] dari [[monoid]] sering diberikan sebagai identitas [[himpunan (matematika) | himpunan]]
:{ &nbsp; {{nowrap|1=∀''x'',''y'',''z''. ''x''*(''y''*''z'')=(''x''*''y'')*''z''}} &nbsp; , &nbsp; {{nowrap|1=∀''x''. ''x''*1=''x''}} &nbsp; , &nbsp; {{nowrap|1=∀''x''. 1*''x''=''x''}} &nbsp; },
atau, dalam notasi singkatnya, sebagai
:{  &nbsp; {{nowrap|1=''x''*(''y''*''z'')=(''x''*''y'')*''z''}}  &nbsp; ,  &nbsp; {{nowrap|1=''x''*1=''x''}}  &nbsp; ,  &nbsp; {{nowrap|1=1*''x''=''x''}}  &nbsp; }.
Beberapa<!---Saya kira: banyak---> penulis menggunakan nama "persamaan" daripada "identitas".<ref>{{cite book | editor=Jan van Leeuwen | editor-link=Jan van Leeuwen | title=Formal Models and Semantics | publisher=Elsevier | series=Handbook of Theoretical Computer Science | volume=B | year=1990 | author1=Nachum Dershowitz | author2= Jean-Pierre Jouannaud | author1-link=Nachum Dershowitz | author2-link=Jean-Pierre Jouannaud | contribution=Rewrite Systems | pages=243–320 }}</ref><ref>{{cite book | isbn=3-540-54280-9 | author=Wolfgang Wechsler | title=Universal Algebra for Computer Scientists | location=Berlin | publisher=Springer | editor1=Wilfried Brauer | editor2= Grzegorz Rozenberg |editor3= Arto Salomaa | editor1-link=Wilfried Brauer | editor2-link= Grzegorz Rozenberg |editor3-link= Arto Salomaa| series=[[EATCS]] Monographs on Theoretical Computer Science | volume=25 | year=1992 }} Here: Def.1 of Sect.3.2.1, p.160.</ref>

== Lihat pula ==
* [[Identitas akuntansi]]
* [[Daftar identitas matematika]]

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pranala luar ==
{{Commonscat}}
*[https://web.archive.org/web/20190612171441/https://encyclopedia-of-equation.webnode.jp/ The Encyclopedia of Equation]   Online encyclopedia of mathematical identities (archived)
*[http://sites.google.com/site/tpiezas/Home/ A Collection of Algebraic Identities] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111001021837/http://sites.google.com/site/tpiezas/Home |date=2011-10-01 }}

[[Kategori:Aljabar elementer]]
[[Kategori:Identitas matematika]]
[[Kategori:Ekuivalensi (matematika)]]