Lihat sumber Hukum Betz

{{Short description|Hukum batas efisiensi dalam turbin angin}}
[[File:Betz-tube.svg|pra=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Betz-tube.svg|jmpl|280x280px|Skematik dari [[fluida]] yang mengalir melewati [[penggarit]] piringan. Untuk [[massa jenis]] fluida konstan, luas [[Penampang lintang (geometri)|penampang lintang]] berhubungan kebalikan dengan kecepatan aliran.]]
Dalam [[aerodinamika]], '''Hukum Betz''' memberikan [[daya]] maksimum yang dapat diekstrak dari angin, apapun desain [[turbin angin]] yang digunakan pada aliran terbuka. Hukum ini dipublikasikan pada tahun 1919 oleh seorang fisikawan [[Jerman]] yaitu [[Albert Betz]].<ref name="betz2">{{cite book|last=Betz|first= Albert|date= 1966|title=Introduction to the Theory of Flow Machines|translator=D. G. Randall|city= Oxford|pubslisher= Pergamon Press}}</ref> Hukum ini diturunkan dari [[hukum kekekalan massa]] dan [[momentum]] dari aliran angin melewati [[penggarit]] piringan ideal untuk menangkap dan mengonversi [[tenaga angin]] dari aliran tersebut. Menurut hukum Betz, tidak ada turbin angin apapun yang dapat menangkap energi lebih dari 16/27 atau 59,3% dari [[energi kinetik]] angin tersebut. Faktor 16/27 ini disebut sebagai koefisien Betz. Secara praktik, turbin angin yang ada sekarang mencapai efisiensi sebesar 50% dari keseluruhan energi angin.<ref>{{Cite web|title=Wind Energy Factsheet|url=https://css.umich.edu/publications/factsheets/energy/wind-energy-factsheet|website=Center for Sustainable Systems|language=en|access-date={{date|2024-08-17}}}}</ref><ref>{{cite book|last1=Burton|first1=Tony|first2=Nick|last2=Jenkins|first3=David|last3=Sharpe | first4=Ervin |last4=Bossanyi|title=Wind Energy Handbook|url=https://archive.org/details/windenergyhandbo0000unse|publisher=John Wiley and Sons|date=2001| ISBN=0471489972|p=[https://archive.org/details/windenergyhandbo0000unse/page/65 65]}}</ref>

== Konsep ==
Seluruh [[fluida Newtonian]], termasuk angin, tunduk pada hukum Betz. Jika seluruh energi kinetik angin dapat diekstrak oleh penggarit, maka kecepatan angin akan 0 setelah melewati penggarit. Hal ini akan memblokade adanya pergerakan angin untuk melewati penggarit tersebut. Maka, untuk membiarkan angin melewati turbin atau penggarit, harus ada kecepatan angin lebih dari 0 setelah melewati penggarit. Oleh karena pengurangan kecepatan ini, aliran udara harus terdistribusi kepada kepada area yang lebih luas. Maka dari itu, geometri membatasi efisiensi maksimum yang dapat dicapai oleh turbin.

== Penemuan independen ==
Sebelum Albert Betz, ilmuwan Inggris bernama [[Frederic W. Lanchester]] menurunkan koefisien yang sama pada tahun 1915. Selain itu, kepala sekolah aerodinamika Rusia, [[Nikolay Zhukowsky]], juga mempublikasikan hasil yang sama pada tahun 1920.<ref>{{cite journal|first=Gijs A. M.|last=van Kuik|url=http://www.tudelft.nl/live/ServeBinary?id=5b6d6215-c7cd-4867-9712-e4c9d74ed533&binary=/doc/The%20Lancheste%20Betz%20Joukowsky%20limit%20WE10-3%20GvK.pdf| title=The Lanchester–Betz–Joukowsky Limit|archive-url= https://web.archive.org/web/20110609032218/http://www.tudelft.nl/live/ServeBinary?id=5b6d6215-c7cd-4867-9712-e4c9d74ed533&binary=%2Fdoc%2FThe%20Lancheste%20Betz%20Joukowsky%20limit%20WE10-3%20GvK.pdf|archive-date={{date|June 9, 2011}}|journal=Wind Energy|date=2007|vol=10|pp=289–291|doi=10.1002/we.218}}</ref> Maka dari itu, hukum Betz merupakan salah satu contoh [[hukum Stigler]], yang menyebutkan bahwa tidak ada penemuan ilmiah yang dinamakan berdasar penemu aslinya.{{cn}}

== Pembuktian ==
Penghitungan efisiensi maksimum dari rotor tipis (misalnya turbin angin) dapat diimajinasikan dengan keberadaan piringan yang dapat mengekstrak energi dari fluida yang melewatinya. Kecepatan dari fluida setelah melewati piringan tersebut berkurang namun tidak menjadi nol.<ref name="WEE">{{cite book|last1=Manwell|first1=J. F.|last2=McGowan|first2=J. G.|last3=Rogers|first3=A. L.|date={{date|February 2012}}|url=https://archive.org/details/windenergyexplai00manw|title=Wind Energy Explained: Theory, Design and Application|location=Chichester, West Sussex, UK|publisher=John Wiley & Sons Ltd.|isbn=9780470015001|pages=[https://archive.org/details/windenergyexplai00manw/page/n107 92]–96|url-access=limited}}</ref>

=== Asumsi ===
# Piringan tersebut ideal. Maka, piringan tersebut dapat diasumsikan sebagai turbin dengan jumlah bilah [[tak hingga]] dan tidak memiliki [[gaya hambat]].
# Model yang digunakan adalah model satu dimensi, yang berarti aliran masuk dari satu lokasi dan keluar pada lokasi lainnya, dengan seluruh kecepatan seragam secara melintang. Analisis yang digunakan adalah analisis volume atur, yaitu volume atur tersebut harus memuat seluruh aliran yang masuk dan keluar untuk menggunakan persamaan kekekalan. 
# Aliran yang digunakan adalah [[Prinsip Bernoulli#Aliran Tak-termampatkan|aliran tak-termampatkan]]; massa jenis konstan dan tidak ada [[perpindahan panas]].
# [[Tekanan]] seragam diaplikasikan pada piringan.

=== Pengaplikasian hukum kekekalan massa ===
Dengan menggunakan hukum kekekalan massa (kontinuitas), [[laju alir massa]] pada volume atur harus konstan, yaitu:<ref>{{Cite web|title=Mass Flow Rate|url=https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/mass-flow-rate/|website=Glenn Research Center {{!}} NASA|access-date={{date|2024-08-21}}}}</ref>

<math display="block">\dot m = \rho A_1 v_1 = \rho S v = \rho A_2 v_2,</math>

dengan <math display="inline">v_1</math> adalah kecepatan di depan atau hulu rotor; <math display="inline">v_2</math> adalah kecepatan di belakang atau hilir rotor; <math display="inline">v</math> adalah kecepatan perangkat daya fluida; <math display="inline">\rho</math> adalah massa jenis fluida; <math display="inline">S</math> adalah area turbin; dan <math display="inline">A_1</math> dan <math display="inline">A_2</math> adalah area fluida sebelum dan sesudah turbin.

Hasil kali massa jenis, area, dan kecepatan harus sama pada tiga daerah: sebelum, saat, dan setelah melewati turbin.

Gaya yang diaplikasikan ke angin dari rotor adalah massa dari udara dikalikan dengan akselerasinya:
<math display="block"> \begin{align}
 F &= ma \\
   &= m \frac {dv} {dt} \\
   &= \dot m \, \Delta v \\
   &= \rho S v (v_1 - v_2).
\end{align} </math>

=== Daya dan usaha ===

Peningkatan [[Usaha (fisika)|usaha]] oleh gaya dapat ditulis sebagai:

<math display="block">dE = F \, dx,</math>

dan [[Daya|tenaga]] angin dapat ditulis sebagai:

<math display="block">P = \frac{dE}{dt} = F \frac{dx}{dt} = F v.</math>

Masukkan gaya <math display="inline">F</math> yang dihitung di atas kepada persamaan daya dapat memberikan daya yang diekstrak dari angin, yaitu:

<math display="block">P = \rho S v^2 (v_1 - v_2).</math>

Namun, daya juga dapat dihitung dengan menggunakan energi kinetik. Dengan mengaplikasikan persamaan [[kekekalan energi]] ke kontrol atur menghasilkan:

<math display="block">P = \frac{\Delta E}{\Delta t} = \tfrac12 \dot m (v_1^2 - v_2^2).</math>

Memasukkan laju alir massa dari persamaan kontinuitas menghasilkan:

<math display="block">P = \tfrac12 \rho S v (v_1^2 - v_2^2).</math>

Kedua persamaan daya tersebut adalah valid. Menyamakan kedua ekspresi persamaan tersebut akan menghasilkan:

<math display="block">P = \tfrac12 \rho S v (v_1^2 - v_2^2) = \rho S v^2 (v_1 - v_2).</math>

Massa jenis tidak dapat bernilai 0 pada seluruh <math display="inline">v</math> dan <math display="inline">S</math>. Maka,

<math display="block">\tfrac12 (v_1^2 - v_2^2) = \tfrac12 (v_1 - v_2) (v_1 + v_2) = v (v_1 - v_2),</math>

atau

<math display="block">v = \tfrac12 (v_1 + v_2).</math>

Kecepatan konstan sepanjang rotor dapat diartikan sebagai rerata kecepatan hulu dan hilir. Ini menjadi tahap kontra intuitif pada penurunan hukum Betz. Hal ini konsekuensi langsung dari asumsi "aliran aksial" (asumsi kedua), yang tidak memperbolehkan adanya massa radial mengalir pada area penggarit piringan.<ref name="strauss2021">{{cite arXiv|last1=Strauss|first1=C.È.M.|title=Beating Betz Law: A larger fundamental upper bound for wind energy harvesting|date={{date|October 2021}}|class=physics.flu-dyn|eprint=2110.14612}}</ref> Dengan tidak adanya massa yang keluar dan diameter yang konstan, maka kecepatan udara tidak dapat berubah pada area interaksi. Maka, tidak ada energi yang dapat diekstrak selain di depan dan belakang area interaksi, yang menetapkan kecepatan udara di penggarit piringan menjadi rerata. Menghilangkan pembatasan ini mungkin dapat menghasilkan performa yang lebih baik dari yang diperbolehkan oleh hukum Betz, tapi efek radial lainnya juga harus dipertimbangkan.<ref name="strauss2021" /> Efek kecepatan konstan ini berbeda dari kehilangan energi kinetik radial yang juga diabaikan.<ref name="gorban">{{cite journal|last1=Gorban'|first1=A. N.|last2=Gorlov|first2=A. M.|last3=Silantyev|first3=V. M.|date={{date|December 2001}}|title=Limits of the Turbine Efficiency for Free Fluid Flow|url=http://www.math.le.ac.uk/people/ag153/homepage/Gorlov2001.pdf|journal=Journal of Energy Resources Technology|volume=123|issue=4|pages=311–317|doi=10.1115/1.1414137}}</ref>

== Hukum Betz dan koefisien performa ==

Kembali pada ekspresi persamaan daya yang menggunakan energi kinetik:

<math>\begin{align}
P &= \tfrac12 \dot m (v_1^2 - v_2^2) \\
& = \tfrac12 \rho S v (v_1^2 - v_2^2) \\
&= \tfrac14 \rho S (v_1 + v_2) (v_1^2 - v_2^2) \\
&= \tfrac14 \rho S v_1^3 \left(1 + \left(\frac{v_2}{v_1}\right) - \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 - \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^3\right).
\end{align}</math>

[[File:Ratio.gif|right|thumb|upright=1.2|Sumbu horizontal memperlihatkan rasio <math display="inline">v_2/v_1</math>, sementara sumbu vertikal adalah koefisien daya <math display="inline">C_P</math>.<ref name="MITWind"/>]]

Dengan [[Turunan|menurunkan]] <math display="inline">P</math> terhadap <math display="inline">\tfrac{v_2}{v_1}</math> untuk kecepatan fluida <math display="inline">v_1</math> pada area <math display="inline">S</math>, dapat dicari nilai maksimum maupun minimum dari <math display="inline">P</math>. Hasilnya adalah <math display="inline">P</math> mencapai nilai maksimum saat <math display="inline">\tfrac{v_2}{v_1} = \tfrac13</math>.

Memasukkan nilai ini akan menghasilkan:

<math display="block">P_\text{maks} = \tfrac{16}{27} \cdot \tfrac{1}{2} \rho S v_1^3.</math>

Daya yang bisa didapat dari tabung fluida dengan luas penampang <math display="inline">S</math> dan kecepatan <math display="inline">v_1</math> adalah:

<math display="block">P = C_\text{P} \cdot \tfrac12 \rho S v_1^3.</math>

Daya referensi untuk perhitungan efisiensi Betz adalah daya pada fluida yang bergerak pada tabung dengan luas penampang <math display="inline">S</math> dan kecepatan <math display="inline">v_1</math> adalah:

<math display="block">P_\text{angin} = \tfrac12 \rho S v_1^3.</math>

'''Koefisien daya''' adalah rasio tanpa dimensi untuk daya yang dapat diekstrak <math display="inline">P</math> ke daya kinetik <math display="inline">P_{\text{angin}}</math>.<ref name="MITWind">{{cite website|first=Alexander|last=Kalmikov|title=Wind Power Fundamentals|publisher=Massachusetts Institute of Technology|url=https://web.mit.edu/wepa/WindPowerFundamentals.A.Kalmikov.2017.pdf|accessed={{date|2024-08-17}} }}</ref> Koefisien daya ini memiliki nilai maksimum <math display="inline">C_{P_{\text{maks}}} = 16/27 = \text{0,593}</math> (atau 59,3%, tapi koefisien performa biasanya ditulis dalam [[desimal]] dan bukan persentase). Hasil ekspresi koefisien daya adalah:

<math display="block">C_P \left(\frac{v_2}{v_1}\right) = \tfrac12 \left(1 + \left(\frac{v_2}{v_1}\right) - \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 - \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^3\right)</math>

Saat kecepatan udara tinggi, turbin memutar bilahnya kepada <math display="inline">C_P</math> yang lebih rendah untuk melindungi dari kerusakan. Daya angin meningkat hingga 8 kali dari kecepatan 12,5 hingga 25&nbsp;m/s, jadi <math display="inline">C_P</math> harus turun hingga 0,06 saat kecepatan angin 25&nbsp;m/s.

== Batas atas turbin angin ==
Meskipun sering dikatakan sebagai batas atas definitif (misalnya oleh Shinde, dkk<ref name="multirotor">{{cite book|last1=Shinde|first1=Sachin Manohar|last2=Chaudhari|first2=Mohit|last3=Jeurkar|first3=Tejas|last4=Kadam|first4=Sanket|last5=Salunkhe|first5=Kiran B.|date=2019|title=Proceedings of International Conference on Intelligent Manufacturing and Automation|isbn=978-981-13-2489-5|series=Lecture Notes in Mechanical Engineering|pages=69–80|chapter=Design and Analysis of Coaxial Rotor Wind Turbine|doi=10.1007/978-981-13-2490-1_7|chapter-url=https://doi.org/10.1007/978-981-13-2490-1_7}}</ref> dan ''Wind Power Program''<ref name="windpower">{{Cite web|date=|title=The Betz limit and the maximum efficiency for horizontal axis wind turbines. Can it be exceeded and does it apply to vertical axis wind turbines?|url=http://www.wind-power-program.com/betz.htm|website=Wind Power Program|archive-url=https://web.archive.org/web/20160427142145/http://www.wind-power-program.com/betz.htm|archive-date={{date|2016-04-27}}|access-date={{date|2024-08-17}} }}</ref>), hukum Betz sebenarnya bukan batas atas absolut dari efisiensi turbin. Walaupun terdapat judul menyesatka dalam artikelnya,<ref name="betz23">{{cite journal|last1=Betz|first1=A.|date=2013|title=The Maximum of the Theoretically Possible Exploitation of Wind by Means of a Wind Motor|journal=Wind Engineering|volume=37|issue=4|pages=441–446|bibcode=2013WiEng..37..441B|doi=10.1260/0309-524X.37.4.441|jstor=43857254}}</ref> Betz maupun Lanchester tidak pernah memberikan klaim tanpa kondisi tersebut.<ref name="betz2" /> Penggarit piringan yang diletakkan pada hilir penggarit lainnya dapat mengekstrak tambahan daya yang menyebabkan sistem penggarit ganda ini dapat melebihi batasan Betz.<ref name="newman1">{{cite journal|last1=Newman|first1=B.G.|date=1983|title=Actuator-disc theory for vertical-axis wind turbines|url=https://doi.org/10.1016/0167-6105(83)90204-0|journal=Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics|volume=15|issue=1–3|pages=347–355|bibcode=1983JWEIA..15..347N|doi=10.1016/0167-6105(83)90204-0}}</ref><ref name="newman2">{{cite journal|last1=Newman|first1=B.G|date=1986|title=Multiple actuator-disc theory for wind turbines|url=https://doi.org/10.1016/0167-6105(86)90023-1|journal=Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics|volume=24|issue=3|pages=215–225|bibcode=1986JWEIA..24..215N|doi=10.1016/0167-6105(86)90023-1}}</ref> Penggarit kedua dapat, tapi tidak harus, berada di bidang jauh dari zona angin (dengan garis arus paralel) agar hal ini dapat terjadi.<ref name="strauss2021" />

Pengecualian ini dapat terjadi oleh karena [[Hukum Betz#Asumsi|asumsi keseragaman kecepatan secara melintang]] dalam garis arus. Misalnya, dalam penggarit ganda yang disebutkan di atas, turbin angin hilir memiliki profil kecepatan angin melintang dengan dua kecepatan yang berbeda, yang artinya tidak terikat pada batasan penggarit tunggal.<ref name="strauss2021" />

Secara matematik, penurunan untuk penggarit tunggal menyematkan asumsi secara implisit bahwa [[Hukum Betz#Daya dan usaha|angin tidak mengubah kecepatannya]] saat angin tersebut mengalir melewati [[Hukum Betz#Pembuktian|penggarit sangat tipis]]. Padahal, pada sistem penggarit ganda hibrida, kecepatan angin berubah saat melewati penggarit tersebut. Ini terjadi karena jika tidak, maka kekekalan [[fluks]] tidak akan terjadi. Namun, dalam sistem hibrida ganda, fluks dapat dikeluarkan (dari penampang) di antara penggarit yang memperbolehkan perbedaan kecepatan angin saat keluar dan masuk sistem.<ref name="newman1" /><ref name="newman2" /><ref name="strauss2021" />

Penelitian modern juga telah menunjukkan bahwa terdapat batas atas yang lebih tinggi, yaitu {{frac|2|3}} yang dapat dicapai saat "asumsi yang tidak diperlukan" dalam penurunan hukum Betz dihilangkan.<ref>{{cite arXiv|last=Strauss|first=Charlie E. M.|title=Beating Betz's Law: A larger fundamental upper bound for wind energy harvesting|date={{date|2023-02-20}}|class=physics.flu-dyn|eprint=2110.14612}}</ref>

== Pengembangan modern ==
Pada tahun 1934, [[Hermann Glauert]] menurunkan ekspresi untuk efisiensi turbin, saat komponen sudut dari kecepatan diikutsertakan, dengan mengaplikasikan keseimbangan energi di sepanjang bidang rotor.<ref name="white">White, F.M., ''Fluid Mechanics'', 2nd Edition, 1988, McGraw-Hill, Singapore</ref> Dengan model ini, Glauert mendapatkan efisiensi di bawah batas Betz, dengan efisiensi mendekati batas tersebut seiring rasio kecepatan ujung mendekati tak hingga.

Pada tahun 2001, [[Alexander Gorban|Gorban]], [[Alexander Gorlov|Gorlov]], dan Silantyev memperkenalkan model yang dapat diselesaikan (GGS) yang mempertimbangkan distribusi tekanan tak seragam dan aliran lengkung pada bidang turbin (masalah yang tidak dimasukkan pada pendekatan Betz).<ref name="gorban" /> Mereka menggunakan modifikasi model [[Gustav Robert Kirchhoff|Kirchhoff]]<ref>{{cite book|last=Milne-Thomson|first=L. M.|year=1960|title=Theoretical Hydrodynamics|url=https://archive.org/details/theoreticalhydro00miln|location=New York|publisher=Macmillan|edition=4|page=[https://archive.org/details/theoreticalhydro00miln/page/632 632]}}</ref> yang mendiskripsikan adanya kemunculan [[turbulensi]] di belakang penggarit sebagai arus "rusak" dan menggunakan persamaan Euler di luar area arus rusak tersebut. Model GGS ini memprediksi efisiensi maksimum yang dapat tercapai adalah sekitar 61% dari keseluruhan aliran, mirip dengan hasil Betz yang bernilai {{frac|2|3}} untuk aliran yang menghasilkan efisiensi puncak. Namun, model GGS memprediksi efisiensi puncak ini jauh lebih kecil, berada pada nilai 30,1%.

Pada tahun 2008, perhitungan berdasarkan [[kekentalan]] pada [[dinamika fluida komputasi]] diaplikasikan model turbin angin. Perhitungan ini mendemonstrasikan kesepakatan dengan hasil eksperimen.<ref>{{cite conference|last1=Hartwanger|first1=D.|last2=Horvat|first2=A.|url=http://www.caspus.eclipse.co.uk/ah/publications/3dmwtucfd.pdf|title=3D Modelling of A Wind Turbine Using CFD|archive-url=https://web.archive.org/web/20090807014308/http://www.caspus.eclipse.co.uk/ah/publications/3dmwtucfd.pdf|archive-date={{date|August 7, 2009}}|conference=NAFEMS UK Conference 2008: Engineering Simulation: Effective Use and Best Practice|location=Cheltenham, UK|date=10–11 Juni 2008}}</ref> Efisiensi optimal yang dihitung, secara tipikal, berada di antara batas Betz dan solusi GGS.

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pranala luar ==

* Pierre Normandajc Lecanu, Joel Breard, Dominique Mouazé. ''[https://inria.hal.science/hal-01300531v2 Simplified theory of an active lift turbine with controlled displacement]''. 2016.
[[Kategori:Jerman dalam tahun 1919]]
[[Kategori:Tenaga angin]]