Lihat sumber Homomorfisme

Dalam [[aljabar abstrak]], '''homomorfisme''' atau '''kehomomorfan''' ({{Lang-en|Homomorphism}}) adalah struktur peta yang menghubungkan dua [[struktur aljabar]]. Setiap homomorfisme pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup faktor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari ranah homomorfisme ke grup faktor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisme baru yang disebut homomorfisma natural.

== Definisi ==
Homomorfisme adalah peta antara dua [[struktur aljabar]] dari tipe yang sama (yaitu dengan nama yang sama), yang mempertahankan [[operasi (matematika)|operasi]] dari struktur. Artinya adalah [[peta (matematika)|peta]] <math>f: A \to B</math> antara dua [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>A</math>, <math>B</math> dilengkapi dengan struktur yang sama sehingga, jika <math>\cdot</math> adalah operasi struktur (seharusnya di sini, untuk penyederhanaan, menjadi [[operasi biner]]), setelah itu
:<math>f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)</math>
untuk setiap pasangan <math>x</math>, <math>y</math> elemen <math>A</math>.<ref group="note">Seperti yang sering terjadi, tetapi tidak selalu, simbol yang sama untuk operasi <math>A</math> dan <math>B</math> digunakan di sini.</ref> Sering dikatakan bahwa <math>f</math> mempertahankan operasi atau serasi dengan operasi tersebut.

Secara formal, peta <math>f: A\to B</math> mempertahankan operasi <math>\mu</math> dari [[ariti]] ''k'', ditentukan pada <math>A</math> dan <math>B</math> jika 
:<math>f(\mu_A(a_1, \ldots, a_k)) = \mu_B(f(a_1), \ldots, f(a_k)),</math> 
untuk elemen <math>a_1, ..., a_k</math> pada <math>A</math>.

Operasi yang harus dipertahankan oleh homomorfisme meliputi [[Fungsi 0-ari|Operasi 0-ari]], yaitu konstanta. Secara khusus, ketika [[elemen identitas]] diperlukan oleh jenis struktur, elemen identitas dari struktur pertama harus dipetakan ke elemen identitas yang sesuai dari struktur kedua.

Notasi untuk operasi tidak harus sama dalam sumber dan target homomorfisme. Misalnya, [[bilangan real]] membentuk kelompok untuk penjumlahan, dan bilangan real positif membentuk kelompok untuk perkalian. [[Fungsi eksponensial]]
:<math>x\mapsto e^x</math>
memadai
:<math>e^{x+y} = e^xe^y,</math>
dan dengan demikian merupakan homomorfisme antara kedua grup ini. Ia bahkan merupakan keisomorfan (lihat di bawah), karena [[fungsi invers]], [[logaritma natural]], memenuhi 
:<math>\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y), </math>
dan juga grup homomorfisme.

== Contoh ==

[[Berkas:Exponentiation as monoid homomorphism svg.svg|thumb|x200px|[[Monoid]] homomorfisme <math>f</math> dari monoid {{math|{{color|#008000|('''N''', +, 0)}}}} ke monoid {{math|{{color|#800000|('''N''', ×, 1)}}}}, didefinisikan dari <math>f(x) = 2^x</math>. Ini adalah [[Fungsi injektif|injeksi]], tetapi bukan [[Fungsi konjektur|konjektur]].]]
[[Bilangan real]] adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], yang memiliki penjumlahan dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2 [[matriks (matematika)|matriks]] juga merupakan cincin, terhadap [[penambahan matriks]] dan [[perkalian matriks]]. Jika kita mendefinisikan fungsi antara gelanggang ini sebagai berikut:
:<math>f(r) = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix}</math>
di mana {{mvar|r}} adalah bilangan real, maka <math>f</math> adalah homomorfisme gelanggang, karena <math>f</math> mempertahankan kedua penjumlahan:
:<math>f(r+s) = \begin{pmatrix}
  r+s & 0 \\
   0 & r+s
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r) + f(s)</math>
dan perkalian:
:<math>f(rs) = \begin{pmatrix}
  rs & 0 \\
   0 & rs
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r)\,f(s).</math>

Untuk contoh lain, bukan-nol [[bilangan kompleks]] membentuk [[kelompok (matematika)|kelompok]] terhadap operasi perkalian, seperti halnya bilangan riil bukan-nol. (Nol harus dikeluarkan dari kedua grup karena tidak memiliki [[invers perkalian]], yang diperlukan untuk elemen grup.)  Tentukan sebuah fungsi <math>f</math> dari bilangan kompleks bukan nol ke bilangan real bukan nol dengan
:<math>f(z) = |z|</math>.
Artinya, <math>f</math> adalah [[nilai mutlak]] (atau modulus) dari bilangan kompleks <math>z</math>. Maka <math>f</math> adalah homomorfisme kelompok, karena mempertahankan perkalian:
:<math>f(z_1 z_2) = |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| = f(z_1) f(z_2)</math>.
Perhatikan bahwa {{math|''f''}} tidak dapat diperpanjang menjadi homomorfisme gelanggang (dari bilangan kompleks ke bilangan real), karena tidak mempertahankan penambahan:
:<math>|z_1 + z_2| \ne |z_1| + |z_2|</math>.

Sebagai contoh lain, diagram menunjukkan homomorfisme [[monoid]] <math>f</math> dari monoid <math>(\mathbb{N}, +, 0)</math> ke monoid <math>(\mathbb{N}, \times, 1)</math>. Karena nama berbeda dari operasi terkait, sifat pelestarian struktur yang dipenuhi oleh <math> f </math> berjumlah <math>f(x+y) = f(x) \times f(y)</math> dan <math>f(0) = 1</math>.

Sebuah [[komposisi aljabar]] <math> A </math> di atas bidang <math> F </math> memiliki [[bentuk kuadrat]], yang disebut ''norma'', <math>N: A \to F</math>, yang merupakan homomorfisme grup dari [[grup perkalian]] dari <math> A </math> ke grup perkalian dari <math> F </math>.

== Homomorfisme khusus ==
Beberapa jenis homomorfisme memiliki nama tertentu, yang juga didefinisikan untuk [[morfisme]] umum.

=== Isomorfisme ===
Sebuah [[isomorfisme]] antara [[struktur aljabar]] dengan tipe yang sama umumnya didefinisikan sebagai homomorfisme [[bijektif]].<ref name="Birkhoff.1967">{{Citation | last1=Birkhoff | first1=Garrett | title=Lattice theory | origyear=1940 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=3rd | series=American Mathematical Society Colloquium Publications | isbn=978-0-8218-1025-5 | mr=598630 | year=1967 | volume=25}}</ref>{{rp|134}} <ref name="Burris.Sankappanavar.2012">{{cite book | url=http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra2012.pdf | isbn=978-0-9880552-0-9 | author1=Stanley N. Burris | author2=H.P. Sankappanavar | title=A Course in Universal Algebra | year=2012 }}</ref>{{rp|28}}

Dalam konteks yang lebih umum dari [[teori kategori]], isomorfisme didefinisikan sebagai [[morfisme]], yang memiliki [[fungsi invers|invers]] yang juga merupakan morfisme. Dalam kasus khusus struktur aljabar, kedua definisi tersebut setara, meskipun mungkin berbeda untuk struktur takaljabar, yang memiliki himpunan yang mendasarinya.

Lebih tepatnya, jika 
:<math>f: A\to B</math>
adalah (homo)morfisme, ia memiliki kebalikan jika ada homomorfisme
:<math>g: B\to A</math>
such that
:<math>f\circ g = \operatorname{Id}_B</math> dan <math>\qquad g\circ f = \operatorname{Id}_A</math>.

Jika <math> A </math> dan <math> B </math> memiliki himpunan yang mendasari, dan <math>f: A \to B</math> memiliki invers <math> g </math>, maka <math> f </math> adalah bijektif. Faktanya, <math> f </math> adalah [[injeksi]], seperti <math>f(x) = f(y)</math> menyiratkan <math>x = g(f(x)) = g(f(y)) = y</math>, dan <math> f </math> adalah [[Dugaan (matematika)|dugaan]], karena, untuk <math> x </math> mana pun di <math> B </math>, salah satunya memiliki <math>x = f(g(x))</math>, dan <math> x </math> adalah gambar dari elemen <math> A </math>.

Sebaliknya jika <math>f: A \to B</math> adalah homomorfisme bijektif antara struktur aljabar, misalkan <math>g: B \to A</math> jadilah peta sedemikian rupa sehingga <math> g(y) </math> adalah elemen unik <math> x </math> dari <math> A </math> sedemikian rupa sehingga <math>f(x) = y</math>. Salah satunya memiliki <math>f \circ g = \operatorname{Id}_B</math> dan <math>g \circ f = \operatorname{Id}_A</math>, dan tetap hanya untuk menunjukkan bahwa <math>g</math> adalah homomorfisme. Jika <math> * </math> adalah operasi biner dari struktur, untuk setiap pasangan <math> x </math>, <math> y </math> elemen <math> B </math>, salah satunya memiliki
:<math>g(x*_B y) = g(f(g(x))*_Bf(g(y))) = g(f(g(x)*_A g(y))) = g(x)*_A g(y),</math>
dan <math> g </math> karenanya serasi dengan <math> *. </math> Karena buktinya serupa untuk [[ariti]] mana pun, ini menunjukkan bahwa <math> g </math> adalah homomorfisme.

Bukti ini tidak berlaku untuk struktur takaljabar. Misalnya, untuk [[ruang topologi]], morfisme adalah [[peta kontinu]], dan kebalikan dari peta kontinu bijektif tidak selalu kontinu. Sebuah isomorfisme ruang topologi, yang disebut [[homeomorphism]] atau [[fungsi dua kali lipat|peta bikontinu]], dengan demikian merupakan peta kontinu bijektif, yang kebalikannya juga kontinu.

=== Keendomorfan ===
Sebuah [[keendomorfan]] adalah homomorfisme yang [[Ranah fungsi|ranah]] sama dengan [[kodomain]], atau, lebih umum lagi, [[morfisme]] yang sumbernya sama dengan target.<ref name="Birkhoff.1967"/>{{rp|135}}

Keendomorfan struktur aljabar, atau objek dari [[kategori (matematika)|kategori]] membentuk [[monoid]] terhadap komposisi.

Keendomorfan dari [[ruang vektor]] atau [[modul (matematika)|modul]] membentuk [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Dalam kasus ruang vektor atau [[modul gratis]] berhingga [[dimensi (ruang vektor)|dimensi]], pilihan [[basis (ruang vektor)|basis]] menginduksi [[keisomorfan gelanggang]] antara gelanggang keendomorfan dan gelanggang [[matriks persegi]] dengan dimensi yang sama.
<!--
===Automorphism===

An [[automorphism]] is an endomorphism that is also an isomorphism.<ref name="Birkhoff.1967"/>{{rp|135}}

The automorphisms of an algebraic structure or of an object of a category form a [[group (mathematics)|group]] under composition, which is called the [[automorphism group]] of the structure.

Many groups that have received a name are automorphism groups of some algebraic structure. For example, the [[general linear group]] <math>\operatorname{GL}_n(k)</math> is the automorphism group of a [[vector space]] of dimension <math>n</math> over a [[field (mathematics)|field]] <math>k</math>.

The automorphism groups of [[field (mathematics)|field]]s were introduced by [[Évariste Galois]] for studying the [[root of a polynomial|roots]] of [[polynomial]]s, and are the basis of [[Galois theory]].

===Monomorphism===
For algebraic structures, [[monomorphism]]s are commonly defined as [[injective]] homomorphisms.<ref name="Birkhoff.1967"/>{{rp|134}} <ref name="Burris.Sankappanavar.2012"/>{{rp|29}}

In the more general context of [[category theory]], a monomorphism is defined as a [[morphism]] that is '''[[Cancellation property|left cancelable]]'''.<ref name=workmath>{{cite book | at=Exercise 4 in section I.5 | first=Saunders | last=Mac Lane| authorlink=Saunders Mac Lane | title=[[Categories for the Working Mathematician]] | volume=5 | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=0-387-90036-5 | year=1971 | zbl=0232.18001 }}</ref> This means that a (homo)morphism <math>f:A \to B</math> is a monomorphism if, for any pair <math>g</math>, <math>h</math> of morphisms from any other object <math>C</math> to <math>A</math>, then <math>f \circ g = f \circ h</math> implies <math>g = h</math>.

These two definitions of ''monomorphism'' are equivalent for all common algebraic structures. More precisely, they are equivalent for [[field (mathematics)|fields]], for which every homomorphism is a monomorphism, and for [[variety (universal algebra)|varieties]] of [[universal algebra]], that is algebraic structures for which operations and axioms (identities) are defined without any restriction (fields are not a variety, as the [[multiplicative inverse]] is defined either as a [[unary operation]] or as a property of the multiplication, which are, in both cases, defined only for nonzero elements).

In particular, the two definitions of a monomorphism are equivalent for [[set (mathematics)|sets]], [[magma (algebra)|magmas]], [[semigroup]]s, [[monoid]]s, [[group (mathematics)|groups]], [[ring (mathematics)|rings]], [[field (mathematics)|fields]], [[vector space]]s and [[module (mathematics)|modules]].

A '''[[split monomorphism]]''' is a homomorphism that has a [[inverse function#Left and right inverses|left inverse]] and thus it is itself a right inverse of that other homomorphism. That is, a homomorphism <math>f\colon A \to B</math> is a split homomorphism if there exists a homomorphism <math>g\colon B \to A</math> such that <math>g \circ f = \operatorname{Id}_A.</math> A split monomorphism is always a monomorphism, for both meanings of ''monomorphism''. For sets and vector spaces, every monomorphism is a split homomorphism, but this property does not hold for most common algebraic structures.

{{cot|Proof of the equivalence of the two definitions of monomorphisms}}
''An injective homomorphism is left cancelable'': If <math>f\circ g = f\circ h,</math> one has <math>f(g(x))=f(h(x))</math> for every <math>x</math> in <math>C</math>, the common source of <math>g</math> and <math>h</math>. If <math>f</math> is injective, then <math>g(x) = h(x)</math>, and thus <math>g = h</math>. This proof works not only for algebraic structures, but also for any [[category (mathematics)|category]] whose objects are sets and arrows are maps between these sets. For example, an injective continuous map is a monomorphism in the category of [[topological space]]s.

For proving that, conversely, a left cancelable homomorphism is injective, it is useful to consider a ''[[free object]] on <math>x</math>''. Given a [[variety (universal algebra)|variety]] of algebraic structures a free object on <math>x</math> is a pair consisting of an algebraic structure <math>L</math> of this variety and an element <math>x</math> of <math>L</math> satisfying the following [[universal property]]: for every structure <math>S</math> of the variety, and every element <math>s</math> of <math>S</math>, there is a unique homomorphism <math>f: L\to S</math> such that <math>f(x) = s</math>. For example, for sets, the free object on <math>x</math> is simply <math>\{x\}</math>; for [[semigroup]]s, the free object on <math>x</math> is <math>\{x, x^2, \ldots, x^n, \ldots\},</math> which, as, a semigroup, is isomorphic to the additive semigroup of the positive integers; for [[monoid]]s, the free object on <math>x</math> is <math>\{1, x, x^2, \ldots, x^n, \ldots\},</math> which, as, a monoid, is isomorphic to the additive monoid of the nonnegative integers; for [[group (mathematics)|group]]s, the free object on <math>x</math> is the [[infinite cyclic group]] <math>\{\ldots, x^{-n}, \ldots, x^{-1}, 1, x, x^2, \ldots, x^n, \ldots\},</math> which, as, a group, is isomorphic to the additive group of the integers; for [[ring (mathematics)|rings]], the free object on <math>x</math>} is the [[polynomial ring]] <math>\mathbb{Z}[x];</math> for [[vector space]]s or [[module (mathematics)|modules]], the free object on <math>x</math> is the vector space or free module that has <math>x</math> as a basis.

''If a free object over <math>x</math> exists, then every left cancelable homomorphism is injective'': let <math>f\colon A \to B</math> be a left cancelable homomorphism, and <math>a</math> and <math>b</math> be two elements of <math>A</math> such <math>f(a) = f(b)</math>. By definition of the free object <math>F</math>, there exist homomorphisms <math>g</math> and <math>h</math> from <math>F</math> to <math>A</math> such that <math>g(x) = a</math> and <math>h(x) = b</math>. As <math>f(g(x)) = f(h(x))</math>, one has <math>f \circ g = f \circ h, </math> by the uniqueness in the definition of a universal property. As <math>f</math> is left cancelable, one has <math>g = h</math>, and thus <math>a = b</math>. Therefore, <math>f</math> is injective.

''Existence of a free object on <math>x</math> for a [[variety (universal algebra)|variety]]'' (see also {{slink|Free object|Existence}}): For building a free object over <math>x</math>, consider the set <math>W</math> of the [[well-formed formula]]s built up from <math>x</math> and the operations of the structure. Two such formulas are said equivalent if one may pass from one to the other by applying the axioms ([[identity (mathematics)|identities]] of the structure). This defines an [[equivalence relation]], if the identities are not subject to conditions, that is if one works with a variety. Then the operations of the variety are well defined on the set of [[equivalence class]]es of <math>W</math> for this relation. It is straightforward to show that the resulting object is a free object on <math>W</math>.
{{cob}}

===Epimorphism===

In [[algebra]], '''epimorphisms''' are often defined as [[surjective]] homomorphisms.<ref name="Birkhoff.1967"/>{{rp|134}}<ref name="Burris.Sankappanavar.2012" />{{rp|43}} On the other hand, in [[category theory]], [[epimorphism]]s are defined as '''right cancelable''' [[morphism]]s.<ref name=workmath/> This means that a (homo)morphism <math>f: A \to B</math> is an epimorphism if, for any pair <math>g</math>, <math>h</math> of morphisms from <math>B</math> to any other object <math>C</math>, the equality <math>g \circ f = h \circ f</math> implies <math>g = h</math>.

A surjective homomorphism is always right cancelable, but the converse is not always true for algebraic structures. However, the two definitions of ''epimorphism'' are equivalent for [[set (mathematics)|sets]], [[vector space]]s, [[abelian group]]s, [[module (mathematics)|modules]] (see below for a proof), and [[group (mathematics)|groups]].<ref>Linderholm, C. E. (1970). A group epimorphism is surjective. ''The American Mathematical Monthly'', 77(2), 176-177.</ref> The importance of these structures in all mathematics, and specially in [[linear algebra]] and [[homological algebra]], may explain the coexistence of two non-equivalent definitions.

Algebraic structures for which there exist non-surjective epimorphisms include [[semigroup]]s and [[ring (mathematics)|rings]]. The most basic example is the inclusion of [[integer]]s into [[rational number]]s, which is an homomorphism of rings and of multiplicative semigroups. For both structures it is a monomorphism and a non-surjective epimorphism, but not an isomorphism.<ref name=workmath/><ref>{{cite book | page=363 | title=Hopf Algebra: An Introduction | zbl=0962.16026 | series=Pure and Applied Mathematics | volume=235 | location=New York, NY | publisher=Marcel Dekker | first1=Sorin | last1=Dăscălescu | first2=Constantin | last2=Năstăsescu | first3=Șerban | last3=Raianu | year=2001 | isbn=0824704819 }}</ref>

A wide generalization of this example is the [[localization of a ring]] by a multiplicative set. Every localization is a ring epimorphism, which is not, in general, surjective. As localizations are fundamental in [[commutative algebra]] and [[algebraic geometry]], this may explain why in these areas, the definition of epimorphisms as right cancelable homomorphisms is generally preferred.

A '''[[split epimorphism]]''' is a homomorphism that has a [[inverse function#Left and right inverses|right inverse]] and thus it is itself a left inverse of that other homomorphism. That is, a homomorphism <math>f\colon A \to B</math> is a split epimorphism if there exists a homomorphism <math>g\colon B \to A</math> such that <math>f\circ g = \operatorname{Id}_B.</math> A split epimorphism is always an epimorphism, for both meanings of ''epimorphism''. For sets and vector spaces, every epimorphism is a split epimorphism, but this property does not hold for most common algebraic structures.

In summary, one has 
:<math>\text {split epimorphism} \implies \text{epimorphism (surjective)}\implies \text {epimorphism (right cancelable)};</math> 
the last implication is an equivalence for sets, vector spaces, modules and abelian groups; the first implication is an equivalence for sets and vector spaces.
{{cot|Equivalence of the two definitions of epimorphism}}
Let <math>f\colon A \to B</math> be a homomorphism. We want to prove that if it is not surjective, it is not right cancelable.

In the case of sets, let <math>b</math> be an element of <math>B</math> that not belongs to <math>f(A)</math>, and define <math>g, h\colon B \to B</math> such that <math>g</math> is the [[identity function]], and that <math>h(x) = x</math> for every <math>x \in B,</math> except that <math>h(b)</math> is any other element of <math>B</math>. Clearly <math>f</math> is not right cancelable, as <math>g \neq h</math> and <math>g \circ f = h \circ f.</math>

In the case of vector spaces, abelian groups and modules, the proof relies on the existence of [[cokernel]]s and on the fact that the [[zero map]]s are homomorphisms: let <math>C</math> be the cokernel of <math>f</math>, and <math>g\colon B \to C</math> be the canonical map, such that <math>g(f(A)) = 0</math>. Let <math>h\colon B\to C</math> be the zero map. If <math>f</math> is not surjective, <math>C \neq 0</math>, and thus <math>g \neq h</math> (one is a zero map, while the other is not). Thus <math>f</math> is not cancelable, as <math>g \circ f = h \circ f</math> (both are the zero map from <math>A</math> to <math>C</math>).-->

{{cob}}

== Kernel ==
{{main|Kernel (aljabar)}}

Homomorfisme <math>f: X \to Y</math> mendefinisikan sebuah [[Relasi ekuivalensi|hubungan kesetaraan]] <math>\sim</math> pada <math> X </math> pada <math>a \sim b</math> jika dan hanya jika <math>f(a) = f(b)</math>. Relasi <math>\sim</math> disebut '''kernel''' dari <math> f </math>. Ini adalah [[hubungan kongruensi]] di <math> X </math>. [[Himpunan hasil]] <math>X/{\sim}</math> kemudian dapat diberikan struktur dengan tipe yang sama seperti <math> X </math>, secara alami, dengan mendefinisikan operasi hasil bagi yang ditetapkan oleh <math>[x] \ast [y] =  [x \ast y]</math>, untuk setiap operasi <math>\ast</math> dari <math> X </math>. Dalam hal ini, gambar <math> X </math> di <math> Y </math> terhadap homomorfisme <math> f </math> harus [[isomorfik]] menjadi <math>X/\!\sim</math>; fakta ini adalah salah satu [[teorema isomorfisme]].

Ketika struktur aljabar adalah [[grup (matematika)|grup]] untuk beberapa operasi, [[Relasi ekuivalensi|hubungan kesetaraan]] <math> K </math> dari [[elemen identitas]] operasi ini cukup untuk menandai hubungan kesetaraan. Dalam hal ini, hasil bagi dengan hubungan kesetaraan dilambangkan dengan <math>X/K</math> (biasanya dibaca sebagai "<math> X </math> [[Ideal (teori gelanggang)|mod]] <math> K </math>"). Juga dalam kasus ini, ini adalah <math> K </math>, bukan <math>\sim</math>, yang disebut [[kernel (aljabar)|kernel]] dari <math> f </math>. Kernel homomorfisme dari jenis struktur aljabar tertentu secara alami dilengkapi dengan beberapa struktur. Jenis struktur kernel ini sama dengan struktur yang dipertimbangkan, dalam kasus [[grup abelian]], [[ruang vektor]] dan [[modul (matematika)|modul]], tetapi berbeda dan telah menerima nama tertentu dalam kasus lain, seperti [[subgrup normal]] untuk kernel [[homomorfisme grup]] dan [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] untuk kernel [[homomorfisme gelanggang]] (dalam kasus gelanggang takkomutatif, kernel adalah [[ideal dua sisi]]).

== Struktur relasional ==

Dalam [[teori model]], pengertian struktur aljabar dirampatkan ke struktur yang melibatkan operasi dan relasi. Misalkan <math>L</math> menjadi tanda tangan yang terdiri dari simbol fungsi dan relasi, dan struktur <math>A</math>, <math>B</math> menjadi dua struktur-<math>L</math>. Kemudian '''homomorfisme''' dari <math>A</math> ke <math>B</math> adalah pemetaan <math>h</math> dari ranah <math>A</math> ke ranah <math>B</math> sedemikian rupa sehingga
* <math>h(F^A (a_1,\dots,a_n)) = F^B(h(a_1),\dots,h(a_n))</math> untuk setiap simbol fungsi ''ary''-<math>n</math> dari <math>F</math> dalam <math>L</math>,
* <math>R^A(a_1,\dots,a_n)</math> menyiratkan <math>R^B(h(a_1),\dots,h(a_n))</math> untuk setiap simbol relasi ''ary''-<math>n</math>dari <math>R</math>dalam <math>L</math>.
Dalam kasus khusus dengan hanya satu relasi biner, kita mendapatkan gagasan tentang sebuah [[homomorfisme graf]]. Untuk pembahasan rinci tentang homomorfisme relasional dan isomorfisme lihat.<ref>Section 17.4, in [[Gunther Schmidt]], 2010. ''Relational Mathematics''. Cambridge University Press, {{ISBN|978-0-521-76268-7}}</ref>

== Lihat pula ==
* [[Fungsi kontinu]]
* [[Difeomorphism]]
* [[Enkripsi homomorfik]]
* [[Pembagian rahasia homomorfik]] - protokol pemungutan suara terdesentralisasi yang sederhana
* [[Morfisme]]

== Catatan ==
{{reflist|group=note}}

== Kutipan ==
<references/>

== Referensi ==
*{{cite book | url=http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra2012.pdf | isbn=978-0-9880552-0-9 | author1=Stanley N. Burris | author2=H.P. Sankappanavar | title=A Course in Universal Algebra | year=2012 }}
*{{citation | first1 = Saunders | last1 = Mac Lane| authorlink=Saunders Mac Lane | title=[[Categories for the Working Mathematician]] | volume=5 | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=0-387-90036-5 | year=1971 | zbl=0232.18001 }}
*{{citation | first1 = John B. | last1 = Fraleigh | first2 = Victor J. | last2 = Katz | year = 2003 | title = A First Course in Abstract Algebra | publisher = Addison-Wesley | isbn= 978-1-292-02496-7}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Morphisms]]
[[Kategori:Matematika]]