Lihat sumber Homeomorfisme

[[Berkas:Mug_and_Torus_morph.gif|ka|jmpl|240x240px|Sebuah deformasi kontinu antara cangkir kopi dan donat ([[torus]]) menggambarkan bagaimana keduanya saling [[Homeomorfisma|homeomorfik]].]]
Dalam cabang [[matematika]] bidang [[topologi]], '''homeomorfisme '''atau''' isomorfisme topologi '''atau '''fungsi dwikontinu''' atau '''dwimalar''' adalah [[fungsi kontinu]] antara [[ruang topologi]] yang memiliki [[fungsi invers]] yang juga kontinu. Homeomorfisme adalah [[isomorfisme]] dalam [[kategori ruang topologi]]. Dua ruang topologi dengan sebuah homeomorfisme antara keduanya disebut homeomorfik. Kata ''homeomorfisme'' berasal dari kata-kata [[Bahasa Yunani|bahasa yunani]] ''[[wiktionary:ὅμοιος|ὅμοιος]]'' (''homoios'') = mirip atau sama dan ''[[wiktionary:μορφή|μορφή]]'' (''morphē'') = bentuk, bentuk, diperkenalkan di dalam matematika oleh [[Henri Poincaré]] pada tahun 1895.<ref>http://serge.mehl.free.fr/anx/ana_situs.html</ref><ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=thAHAGyV2MQC&pg=PA67|title=Introduction to Topology|last=Gamelin|first=T. W.|last2=Greene|first2=R. E.|publisher=Courier|year=1999|isbn=|page=67}}</ref>

Secara kasar, sebuah ruang topologi adalah objek [[geometri]], dengan homeomorfisme-nya adalah tekukan dan regangan secara malar ke bentuk yang baru. Sehingga, [[persegi]] dan [[lingkaran]] merupakan homeomorfik satu sama lain, tapi tidak dengan [[kulit bola]] dan [[torus]]. Namun, deskripsi ini dapat menjerumuskan. Beberapa deformasi malar bukanlah sebuah homeomorfisme, misalnya pengkerutan garis menjadi titik. Beberapa homeomorfisme bukanlah deformasi malar, misalkan homeomorfisme antara [[simpul trefoil]] dan lingkaran.

Salah satu lelucon matematika yang sering diulang-ulang adalah seorang topologis tidak bisa membedakan antara cangkir kopi dan donat,<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=SHBj2oaSALoC&pg=PA204|title=Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems|last=Hubbard|first=John H.|last2=West|first2=Beverly H.|publisher=Springer|year=1995|isbn=978-0-387-94377-0|series=Texts in Applied Mathematics|volume=18|page=204}}</ref> dikarenakan donat yang cukup lunak dapat dibentuk menjadi cangkir kopi dengan membuat sebuah cekungan yang kemudian dibesarkan sembari menjaga tetap ukuran lubang donat sebagai gagang cangkir.

== Definisi ==
Sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] <math>f: X \to Y</math> antara dua [[ruang topologi]] <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> dan <math>(Y, \mathcal{T}_Y)</math> disebut '''homeomorfisme''' jika memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
* <math>f</math> adalah [[bijeksi]] ([[injektif]] dan [[surjektif]]),
* <math>f</math> adalah [[fungsi kontinu]],
* [[invers]]nya <math>f^{-1}</math> kontinu. (<math>f</math> adalah [[pemetaan terbuka]])
Fungsi dengan tiga sifat ini disebut juga '''dwikontinu'''. Jika terdapat fungsi dengan sifat-sifat tersebut, kita katakan <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> dan <math>(Y, \mathcal{T}_Y)</math> adalah '''homeomorfik'''. Sebuah '''swahomeomorfisme''' atau '''otohomeomorfisme''' merupakan homeomorfisme dari sebuah ruang topologi ke dirinya sendiri. Homeomorfisme membentuk sebuah hubungan kesetaraan dalam sebuah kelas atau keluarga ruang topologi. Kelas kesetaraan ini disebut '''kelas homeomorfisme'''.

== Contoh ==
[[Berkas:Blue_Trefoil_Knot.png|ka|jmpl|Sebuah [[simpul trefoil]] homeomorfik dengan [[torus]], tapi tidak [[isotopi]]k (setara secara homotopi) di '''R'''<sup>3</sup>. Pemetaan kontinu tidak selalu bisa direalisasikan sebagai deformasi. Simpul ditebalkan untuk membuat gambar mudah dipahami.]]
* Interval terbuka <math display="inline">(a,b)</math> homeomorfik dengan [[Garis bilangan real|garis bilangan riil]] <math display="inline">\mathbf{R}</math>. (dalam kasus ini salah satu pemetaan bikontinu diberikan oleh <math display="inline">f(x) = \frac{1}{a-x} + \frac{1}{b-x} </math> dimana pemetaan lain bisa juga diberikan oleh fungsi tan or arg tanh yang telah dibesar-kecilkan dan digeser).
* Cakram satuan <math display="inline">D^2</math> dan persegi satuan (persegi dengan panjang sisi 1 dan isinya) di '''R'''<sup>2</sup> saling homeomorfik; karena cakram dan persegi bisa dideformasi satu sama lain. Salah satu contoh pemetaan dwikontinu dari persegi ke cakram diberikan oleh, dalam [[koordinat polar]], <math>(\rho, \theta) \mapsto \left( \rho \max(|\cos \theta|, |\sin \theta|), \theta\right)</math>.
* [[Kurva]] dari fungsi yang dapat diturunkan homeomorfik dengan [[Domain fungsi|domain]] fungsi itu sendiri.
* Sebuah [[parametrisasi]] dari kurva merupakan homeomorfisme antara domain parametrisasi dan kurva tersebut.
* Sebuah [[Peta (topologi)|peta]] dari sebuah [[manifold]] adalah homeomorfisme antara [[himpunan terbuka]] dari manifold dengan sebuah himpunan terbuka dari [[ruang Euklides]].
* Proyeksi stereografik merupakan homeomorfisme antara kulit bola di '''R'''<sup>3</sup> dengan salah satu titiknya dihilangkan, dengan seluruh titik di '''R'''<sup>2</sup>.
* Jika <math>G</math> adalah sebuah [[grup topologis]], peta inversinya <math>x \mapsto x^{-1}</math> merupakan sebuah homeomorfisme. Juga, untuk sembarang <math>x \in G</math>, pergeseran kiri <math>y \mapsto xy</math>, pergeseran kanan <math>y \mapsto yx</math>, dan otomorfisme dalamnya (transformasi konjugat) <math>y \mapsto xyx^{-1}</math> merupakan homeomorfisme.

=== Contoh Bukan ===
* '''R'''<sup>''m''</sup> dan '''R'''<sup>''n''</sup> tidak homeomorfik untuk {{Nowrap|''m'' ≠ ''n''.}}
* [[Garis bilangan real|Garis bilangan riil]] tidak homeomorfik dengan lingkaran jika keduanya dianggap sebagai subruang dari '''R'''<sup>''2''</sup>, karena lingkaran bersifat kompak dalam [[topologi]] biasa '''R'''<sup>''2''</sup> tapi tidak dengan garis bilangan riil.

== Catatan ==
Syarat ketiga, yaitu <math display="inline">f^{-1}</math> supaya kontinu, sangat penting. Misalkan sebuah fungsi <math display="inline">f: [0,2\pi) \to S^1</math> ([[lingkaran]] dalam <math display="inline">\mathbb{R}^2</math>) yang didefinisikan sebagai<math display="inline">f(\phi) = (\cos\phi,\sin\phi)</math>. Fungsi ini bijektif dan kontinu, tapi bukan merupakan sebuah homeomorfisme (<math display="inline">S^1</math> bersifat kompak tetapi <math display="inline">[0,2\pi)</math> tidak kompak). Fungsi <math display="inline">f^{-1}</math> tidak kontinu pada titik<math display="inline">(1,0)</math>, dikarenakan meskipun <math display="inline">f^{-1}</math> memetakan <math display="inline">(1,0)</math> ke <math display="inline">0</math>, seluruh tetangga dari titik ini juga mengandung titik-titik yang oleh fungsi invers ini dipetakan dekat dengan <math display="inline">2\pi</math>, tapi titik-titik tersebut berada di luar tetangga <math display="inline">2\pi</math>.<ref>Väisälä, Jussi: ''Topologia I'', Limes RY 1999, p. 63. {{ISBN|951-745-184-9}}.</ref>

Homeomorfisme adalah [[isomorfisme]] dalam [[kategori ruang topologi]]. Dengan demikian, komposisi dari dua homeomorfisme juga merupakan homeomorfisme, dan himpunan dari semua swahomeomorfisme <math display="inline">X \to X</math> membentuk sebuah [[Grup (teori grup)|grup]], yang disebut '''[[grup homeomorfisme]]''' dari ''X'', yang sering dilambangkan <math display="inline">\text{Homeo}(X)</math>. Grup ini dapat diberikan topologi, seperti [[topologi kompak-terbuka]], dimana dengan asumsi-asumsi tertentu dapat membuatnya menjadi [[grup topologis]].<ref>{{Cite journal|last=Dijkstra|first=Jan J.|date=1 December 2005|title=On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topology|url=http://www.cs.vu.nl/~dijkstra/research/papers/2005compactopen.pdf|journal=The American Mathematical Monthly|volume=112|issue=10|pages=910|doi=10.2307/30037630}}</ref>

Untuk beberapa tujuan, grup homeomorfisme mungkin terlalu besar, tapi dengan hubungan [[isotopi]], kita bisa mengurangi grup ini menjadi [[grup kelas pemetaan]].

Seperti biasanya dalam teori kategori, jika diberikan dua ruang yang saling homeomorfik, ruang homeomorfisme antara keduanya, <math display="inline">\text{Homeo}(X,Y)</math>adalah sebuah torsor untuk grup homeomorfisme <math display="inline">\text{Homeo}(X)</math> dan <math display="inline">\text{Homeo}(Y)</math>dan, dengan menentukan sebuah homeomorfisme antara <math>X</math> dan <math>Y</math>ketiga himpunan dapat diidentifikasi.

== Sifat-sifat ==
* Dua ruang yang homeomorfik juga memiliki sifat-sifat topologi yang sama. Misalkan, jika salah satu dari mereka [[Kekompakan (topologi)|kompak]], maka yang lainnya juga kompak; jika salah satunya [[Keterhubungan (topologi)|terhubung]], maka yang lainnya juga terhubung; jika salah satunya [[Hausdorff]], maka yang lainnya juga; grup [[homotopi]] dan [[homologi]] antara keduanya juga akan sama. Yang perlu dicatat adalah kesetaraan ini tidak diturunkan ke sifat yang didefinisikan melalui [[Ruang metrik|metrik]]; terdapat ruang-ruang metrik yang saling homeomorfik padahal salah satu dari mereka [[Kelengkapan (topologi)|lengkap]] dan yang lainnya tidak.
* Sebuah homeomorfisme adalah [[pemetaan terbuka]] dan sekaligus [[pemetaan tertutup]]; yaitu, ia memetakan [[Himpunan terbuka|ruang terbuka]] ke ruang terbuka dan [[Himpunan tertutup|ruang tertutup]] ke ruang tertutup.
* Setiap swahomeomorfisme dalam lingkaran <math>S^1</math> dapat diperluas menjadi sebuah swahomeomorfisme di dalam cakram <math>D^2</math> ([[trik Alexander]]). Secara umum setiap swahomeomorfisme dalam kulit bola <math>S^{n-1}</math>bisa diperluas menjadi sebuah swahomeomorfisme dalam bola pejal atau cakram <math>D^n</math>.

== Diskusi informal ==
Kriteria intuitif untuk meregangkan, menekuk, memotong, dan merekatkan kembali membutuhkan sejumlah latihan untuk diterapkan dengan benar mungkin tidak jelas dari uraian di atas bahwa penggundulan. Oleh karena itu, penting untuk disadari bahwa definisi formal yang diberikan di atas lah yang diperhitungkan. Dalam kasus ini, misalnya, ruas garis memiliki banyak titik yang tak terhingga, dan oleh karena itu tidak dapat dimasukkan ke dalam bijection dengan himpunan yang hanya berisi sejumlah poin terbatas, termasuk satu poin.

Karakterisasi homeomorfisme ini sering menimbulkan kebingungan dengan konsep [[homotopi]], yang sebenarnya '' didefinisikan '' sebagai deformasi berkelanjutan, tetapi dari satu '' fungsi '' ke yang lain, daripada satu ruang ke ruang lainnya. Dalam kasus homeomorfisme, membayangkan deformasi berkelanjutan adalah alat mental untuk melacak titik mana pada ruang ''X'' sesuai dengan titik mana pada '' Y '' hanya mengikuti mereka sebagai '' X '' berubah bentuk. Dalam kasus homotopi, deformasi kontinu dari satu peta ke peta lainnya adalah yang terpenting, dan juga tidak terlalu ketat, karena tidak ada peta yang terlibat harus satu-ke-satu atau ke atas. Homotopi menyebabkan hubungan pada ruang: [[kesetaraan homotopi]].

Ada nama untuk jenis deformasi yang terlibat dalam memvisualisasikan homeomorfisme. Ini adalah (kecuali jika diperlukan pemotongan dan pengeleman) sebuah [[homotopi|isotop]] antara [[fungsi identitas|peta identitas]] pada '' X '' dan homeomorfisme dari '' X '' ke '' Y ''.

== Lihat pula ==

* {{annotated link|Homeomorfisme lokal}}
* {{annotated link|Difeomorfisme}}
* {{annotated link|Uniform isomorphism}} adalah isomorfisme antara [[ruang seragam]]
* {{annotated link|Isomorfisme isometrik}} adalah isomorfisme antara [[ruang metrik]]
* {{annotated link|Grup homeomorfisme}}
* {{annotated link|Dehn twist}}
* {{annotated link|Homeomorfisme (teori grafik)}} (terkait erat dengan subdivisi grafik)
* {{annotated link|Homotopi#Isotop}}
* {{annotated link|Memetakan grup kelas}}
* {{annotated link|Poincaré conjecture}}
* {{annotated link|Homeomorfisme universal}}

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pranala luar ==
{{Commonscat|Topology}}
*{{springer|title=Homeomorphism|id=p/h047600}}
*{{planetmath reference|id=912|title=Homeomorphism}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Homeomorfisme| ]]
[[Kategori:Fungsi matematika]]