Lihat sumber Himpunan terurut parsial

{{Short description|Himpunan objek matematika yang dilengkapi dengan urutan}}{{stack|{{Relasi biner}}}}
[[Gambar:Hasse diagram of powerset of 3.svg|thumb|[[Diagram Hasse]] dari [[himpunan kuasa]] dari himpunan berisi tiga elemen <math>\{x, y, z\},</math> dengan relasi [[Himpunan bagian|subset]]. Himpunan-himpunan yang terhubung lewat panah-panah yang menaik, seperti <math>\emptyset</math> dan <math>\{x,y\}</math>, dapat dibandingkan; sedangkan <math>\{x\}</math> dan <math>\{y\}</math> tidak.]]Dalam [[matematika]], terutama [[teori urutan]], '''himpunan terurut parsial''' ({{Lang-en|partially ordered set}}) atau '''poset''' memformalkan dan memperumum konsep intuitif dari suatu urutan, pengurutan, atau susunan elemen-elemen dari sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan]]. Poset terdiri dari sebuah himpunan bersama dengan [[relasi biner]] yang menunjukkan, untuk pasangan elemen-elemen tertentu dalam himpunan, salah satu elemen mendahului elemen yang lain dalam urutan. Relasi itu sendiri disebut "urutan parsial". Kata ''parsial ''digunakan untuk menandakan bahwa semua pasangan elemen tidak perlu dibandingkan. Artinya, mungkin saja ada pasangan elemen yang tidak mendahului satu sama yang lain di dalam poset. Urutan parsial memperumum konsep [[urutan total]], yakni urutan di mana setiap pasangan dapat dibandingkan.

Satu contoh familiar dari himpunan yang tersusun sebagian adalah sekumpulan orang yang diurutkan berdasarkan [[Genealogi|silsilah keturunan]]. Beberapa pasang orang memiliki relasi keturunan, tetapi pasangan orang lainnya (misal, sesama saudara kandung) tidak dapat dibandingkan, karena tidak ada yang menjadi keturunan dari yang lain.

== Definisi ==
Urutan parsial mendefinisikan konsep [[Keterbandingan|perbandingan]]. Dua elemen <math>x</math> dan <math>y</math> dapat berada di salah satu dari empat hubungan yang [[disjoin]] satu sama lainnya: antara <math>x<y,</math> <math>x=y,</math> <math>x>y,</math> atau <math>x</math> dan <math>y</math> tidak dapat dibandingkan.<ref>{{cite web|title=Finite posets|url=http://match.stanford.edu/reference/combinat/sage/combinat/posets/posets.html#sage.combinat.posets.posets.FinitePoset.compare_elements|website=Sage 9.2.beta2 Reference Manual: Combinatorics|access-date=5 January 2022|quote=compare_elements(x, y): Compare x and y in the poset. If x<y, return -1. If x=y, return 0. If x>y, return 1. If x and y are not comparable, return None.}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Chen|first1=Peter|last2=Ding|first2=Guoli|last3=Seiden|first3=Steve|title=On Poset Merging|url=https://www.math.lsu.edu/~ding/poset.pdf|page=2|access-date=5 January 2022|quote=A comparison between two elements s, t in S returns one of three distinct values, namely s≤t, s>t or s<nowiki>|</nowiki>t.}}</ref>

Sebuah himpunan yang dilengkapi urutan parsial disebut ''himpunan terurut parsial'' (juga disebut ''poset''). Istilah "himpunan terurut" terkadang digunakan, selama konteks urutan yang dimaksud jelas. Alasannya, [[himpunan terurut total]] juga dapat disebut "himpunan terurut", khususnya di bidang matematika yang lebih lazim menemui struktur tersebut ketimbang poset. Relasi urutan pada sebuah poset dapat divisualisasikan lewat [[diagram Hasse]] poset tersebut.<ref>{{cite book|last1=Merrifield|first1=Richard E.|last2=Simmons|first2=Howard E.|year=1989|url=https://archive.org/details/topologicalmetho00merr/page/28|title=Topological Methods in Chemistry|location=New York|publisher=John Wiley & Sons|isbn=0-471-83817-9|pages=[https://archive.org/details/topologicalmetho00merr/page/28 28]|quote=A partially ordered set is conveniently represented by a ''Hasse diagram''...|author-link2=Howard Ensign Simmons Jr.|access-date=27 July 2012|url-access=registration}}</ref>

Secara formal, relasi urutan parsial adalah sebuah [[relasi homogen]] yang bersifat [[Relasi transitif|transitif]] dan [[Relasi antisimetris|antisimetris]].<ref name="Wallis">{{cite book|last1=Wallis|first1=W. D.|date=14 March 2013|url=https://www.google.com/books/edition/A_Beginner_s_Guide_to_Discrete_Mathemati/ONgRBwAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&dq=%22partial%20order%20relation%22&pg=PA100&printsec=frontcover&bsq=%22partial%20order%20relation%22|title=A Beginner's Guide to Discrete Mathematics|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4757-3826-1|page=100|language=en}}</ref> Ada dua subdefinisi umum untuk relasi urutan parsial, yakni relasi urutan parsial yang reflektif dan yang tak-reflektif, yang masing-masing disebut dengan "tak-tegas" dan "tegas". Kedua definisi ini dapat digabungkan dalam [[Korespondensi satu-satu|korespodensi satu-satu]]; sehingga setiap urutan parsial tegas berhubungan dengan tepat satu urutan parsial tak-tegas, dan sebaliknya. Istilah ''urutan parsial'' umumnya mengacu pada versi tak-tegas dari relasi urutan.

=== Urutan parsial tak-tegas ===
Urutan parsial ''reflektif'', ''lemah'',<ref name="Wallis" /> atau ''tak-tegas'',<ref>{{cite book|author1=Simovici, Dan A.|author2=Djeraba, Chabane|year=2008|title=Mathematical Tools for Data Mining: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics|publisher=Springer|isbn=9781848002012|chapter=Partially Ordered Sets|chapter-url=https://books.google.com/books?id=6i-F3ZNcub4C&pg=PA127|name-list-style=amp}}</ref> adalah [[relasi homogen]] ≤ pada sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>P</math> yang bersifat [[Relasi reflektif|reflektif]], [[Relasi antisimetris|antisimetris]], dan [[Relasi transitif|transitif]]. Dengan kata lain, untuk setiap <math>a, b, c \in P,</math> akan berlaku:

# [[Relasi reflektif]]: <math>a \leq a</math>, maksudnya, setiap elemen berelasi dengan dirinya sendiri.
# [[Relasi antisimetri]]: jika <math>a \leq b</math> dan <math>b \leq a</math> maka <math>a = b</math>, mengartikan tidak ada dua elemen berbeda yang saling mendahului.
# [[Relasi transitif]]: jika <math>a \leq b </math> dan <math>b \leq c</math> maka <math>a \leq c</math>.

Urutan parsial tak-tegas juga dikenal sebagai [[pratatanan]] antisimetris.

=== Urutan parsial tegas ===
Urutan parsial ''irreflektif'', ''kuat'',<ref name="Wallis" /> atau ''tegas'', adalah relasi homogen < pada sebuah himpunan <math>P</math> yang bersifat [[Relasi reflektif|reflektif]], [[Relasi antisimetris|antisimetris]], dan [[Relasi transitif|transitif]]. Dengan kata lain, urutan ini memenuhi sifat-sifat berikut, untuk semua <math>a, b, c \in P:</math> 

# [[Relasi anti-reflektif|Relasi irreflektif]]: Tidak <math>a < a</math>, maksudnya, tidak ada elemen yang berelasi dengan dirinya sendiri (relasi ini juga disebut anti-reflektif).
# [[Relasi antisimetri]]: Jika <math>a < b</math> maka tidak <math>b < a</math>.
# [[Relasi transitif]]: Jika <math>a < b</math> dan <math>b < c</math> maka <math>a < c</math>.

Sifat irreflektif dan transitif bersamaan mengimplikasikan sifat asimetri. Selain itu, sifat asimetri juga menyebabkan sifat irreflektif. Dengan kata lain, relasi yang transitif bersifat asimetri [[jika dan hanya jika]] juga bersifat irreflektif.<ref name="Flaška 2007">{{cite journal|last1=Flaška|first1=V.|last2=Ježek|first2=J.|last3=Kepka|first3=T.|last4=Kortelainen|first4=J.|year=2007|title=Transitive Closures of Binary Relations I|url=http://dml.cz/dmlcz/142762|journal=Acta Universitatis Carolinae. Mathematica et Physica|location=Prague|publisher=School of Mathematics - Physics Charles University|volume=48|issue=1|pages=55–69}} Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".</ref> Hal ini mengakibatkan definisi diatas tidak berubah bahkan jika relasi irreflektif atau asimetri (namun tidak keduanya) tidak disertakan. Urutan parsial tegas juga dikenal sebagai pratatanan tegas.

=== Korespodensi relasi tegas dan tak-tegas ===
[[File:PartialOrders redundencies svg.svg|thumb|upright=1.25|'''Fig.2''' [[Diagram komutatif]] tentang koneksi antara relasi tegas/tak-tegas dan dual mereka, lewat operasi ''reflexive closure'' (''cls''), ''irreflexive kernel'' (''ker''), dan ''converse relation'' (''cnv''). Setiap relasi ditunjukkan dengan [[matriks biner]] untuk poset yang [[diagram Hasse]]nya digambarkan di bagian tengah ilustrasi. Sebagai contoh, <math>3 \not\leq 4</math> mengartikan elemen di baris-3 kolom-4 pada matriks di sisi kiri bawah kosong.]]

Urutan parsial tegas dan tak-tegas pada himpunan <math>P</math> memiliki hubungan yang erat. Urutan parsial tak-tegas <math>\leq</math> dapat diubah menjadi urutan parsial tegas dengan menghilangkan semua hubungan yang memiliki bentuk <math>a \leq a;</math> artinya, himpunan parsial tegas adalah himpunan <math>< \; := \ \leq\  \setminus \  \Delta_P,</math> dengan <math>\Delta_P := \{ (p, p) : p \in P \}</math> adalah [[relasi identitas]] pada <math>P \times P</math> dan <math>\;\setminus\;</math> menyatakan operasi pengurangan pada himpunan. Urutan parsial tegas <math><</math> pada <math>P</math> dapat diubah menjadi urutan parsial tak-tegas dengan menggabungkannya dengan realsi identitas; yakni <math>\leq\; := \;\Delta_P\; \cup \;<\;</math>. Akibatnya, jika <math>\leq</math> adalah urutan parsial tak-tegas, maka urutan parsial tegas <math><</math> yang berkorespodensi dengannya adalah  ''[[irreflexive kernel]]'':<math display=block>a < b \text{ if } a \leq b \text{ dan } a \neq b.</math>Sebalinya, jika < adalah urutan parsial tegas, maka urutan parsial tak-tegas <math>\leq</math> yang berkorespodensi dengannya ''[[reflexive closure]]'':<math display="block">a \leq b \text{ if } a < b \text{ atau } a = b.</math>

== Notasi ==
Poset dapat disajikan sebagai [[rangkap]]-3 <math>(P,\leq,<)</math>,<ref>{{cite book|last1=Avigad|first1=Jeremy|last2=Lewis|first2=Robert Y.|last3=van Doorn|first3=Floris|date=29 March 2021|url=https://leanprover.github.io/logic_and_proof/relations.html#more-on-orderings|title=Logic and Proof|edition=Release 3.18.4|chapter=13.2. More on Orderings|quote=So we can think of every partial order as really being a pair, consisting of a weak partial order and an associated strict one.|access-date=24 July 2021}}</ref> dengan <math>\leq</math> adalah relasi parsial tak-tegas pada <math>P</math>, <math> < </math> adalah relasi parsial tegas yang berkorespodensi pada <math>P</math> (''[[irreflexive kernel]]'' dari <math>\leq</math>). Simbol <math>\geq</math> digunakan untuk menunjukkan dual dari <math>\leq</math>, dan <math> > </math> untuk menunjukkan dual dari <math> < </math>.

Salah satu dari empat relasi parsial <math>\leq, <, \geq, \text{ dan } ></math> pada suatu himpunan akan secara unik menentukan tiga relasi yang lain. Akibatnya, bentuk <math>(P,\leq)</math> atau <math>(P,<)</math> dapat digunakan sebagai notasi, dan berasumsi bahwa relasi-relasi yang lain akan didefinisikan secara wajar. Pendefinisian menggunakan urutan parsial tak-tegas <math>\leq</math> adalah yang paling umum. Beberapa penulis menggunakan simbol selain <math>\leq</math>, seperti <math>\sqsubseteq</math><ref>{{cite web|last1=Rounds|first1=William C.|date=7 March 2002|title=Lectures slides|url=http://www.eecs.umich.edu/courses/eecs203-1/203-Mar7.pdf|website=EECS 203: DISCRETE MATHEMATICS|access-date=23 July 2021}}</ref> dan <math>\preceq</math>,<ref>{{cite book|last1=Kwong|first1=Harris|date=25 April 2018|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/A_Spiral_Workbook_for_Discrete_Mathematics_(Kwong)/07%3A_Relations/7.04%3A_Partial_and_Total_Ordering|title=A Spiral Workbook for Discrete Mathematics|language=en|chapter=7.4: Partial and Total Ordering|access-date=23 July 2021}}</ref> untuk membedakannya dengan urutan total.

Ketika mengacu pada urutan parsial, <math>\leq</math> sebaiknya tidak dianggap sebagai [[Relasi komplemen|komplemen]] dari <math> > </math>. Relasi <math> > </math> adalah konvers ''irreflexive kernel'' dari <math>\leq</math>, yang akan selalu berupa subset komplemen dari <math>\leq</math>, namun <math> > </math> sama dengan komplemen dari <math>\leq</math>  [[Jika dan hanya jika|jika, dan hanya jika]], <math>\leq</math> adalah urutan total.{{efn|A proof can be found [[:File:PartialOrders redundencies.pdf|here]].}}

== Contoh ==

=== Urutan pada produk Kartesius dari himpunan urutan sebagian ===
[[Berkas:Strict product order on pairs of natural numbers.svg|thumb|Penutupan refleksif atas pesanan produk langsung yang ketat pada ℕ × ℕ. Elemen [[#Definisi formal|tertutup]] oleh (3,3) dan penutup (3,3) disorot dalam warna hijau dan merah, masing-masing.]][[Berkas:Lexicographic order on pairs of natural numbers.svg|thumb|Urutan leksikografik pada ℕ×ℕ]]Untuk meningkatkan kekuatan, yaitu, penurunan set pasangan, tiga dari kemungkinan pesanan parsial pada [[Produk Kartesius]] dari dua set yang dipesan sebagian adalah (lihat gambar):
*[[urutan leksikografis]]: (''a'',''b'') ≤ (''c'',''d'') jika ''a'' < ''c'' atau (''a'' = ''c'' dan ''b'' ≤ ''d'');
*[[urutan produk]]: (''a'',''b'') ≤ (''c'',''d'') jika ''a'' ≤ ''c'' dan ''b'' ≤ ''d'';
*[[penutupan refleksif]] dari [[Produk langsung#Produk langsung dari relasi biner|produk langsung]] dari pesanan ketat yang sesuai:  &nbsp; (''a'',''b'') ≤ (''c'',''d'') jika (''a'' < ''c'' dan ''b'' < ''d'') atau (''a'' = ''c'' dan ''b'' = ''d'').

Ketiganya dapat didefinisikan secara serupa untuk produk Kartesius lebih dari dua himpunan.

Diterapkan ke [[ruang vektor terurut]] di atas [[Bidang (matematika)|bidang]] yang sama, hasilnya dalam setiap kasus juga merupakan [[ruang vektor]] terurut.

Lihat pula [[Total urutan#Urutan pada produk Kartesius dari himpunan berurutan total|urutan pada produk Kartesius dari himpunan berurutan total]].

=== Jumlah himpunan yang diurutkan sebagian ===
[[Berkas:Series-parallel partial order.svg|thumb|upright=1.35|[[Diagram Hasse]] dari [[urutan parsial deret-paralel]], dibentuk sebagai jumlah ordinal dari tiga ordo parsial yang lebih kecil.]]
Cara lain untuk menggabungkan dua poset adalah '''jumlah ordinal'''<ref>{{citation|last1=Neggers|first1=J.|last2=Kim|first2=Hee Sik|contribution=4.2 Product Order and Lexicographic Order|isbn=9789810235895|pages=62–63|publisher=World Scientific|title=Basic Posets|year=1998}}</ref> (or '''jumlah linear'''<ref>{{cite book|last1=Davey|first1=B. A.|last2=Priestley|first2=H. A.|year=2002|url=https://books.google.com/books?id=vVVTxeuiyvQC&pg=PA17|title=Introduction to Lattices and Order|location=New York|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-78451-4|edition=Second|pages=17–18|via=[[Google Books]]}}</ref>), ''Z'' = ''X'' ⊕&thinsp;''Y'', ditentukan pada penyatuan himpunan yang mendasari '' X '' dan '' Y '' berdasarkan urutan ''a'' ≤<sub>''Z''</sub> ''b'' jika dan hanya jika:
* ''a'', ''b'' ∈ ''X'' dengan ''a'' ≤<sub>''X''</sub> ''b'', atau
* ''a'', ''b'' ∈ ''Y'' dengan ''a'' ≤<sub>''Y''</sub> ''b'', atau
* ''a'' ∈ ''X'' dan ''b'' ∈ ''Y''.

Jika dua poset [[urutan rapi]], maka jumlah ordinalnya juga.<ref>{{cite book|author=P. R. Halmos|year=1974|url=https://archive.org/details/naivesettheory0000halm_r4g0|title=Naive Set Theory|publisher=Springer|isbn=978-1-4757-1645-0|page=[https://archive.org/details/naivesettheory0000halm_r4g0/page/82 82]|url-access=registration}}</ref>
Operasi penjumlahan ordinal adalah salah satu dari dua operasi yang digunakan untuk membentuk [[urutan parsial deret-paralel]], dan dalam konteks ini disebut komposisi seri. Operasi lain yang digunakan untuk membentuk tatanan ini, penyatuan dua himpunan yang terurut sebagian (tanpa hubungan keteraturan antara unsur satu himpunan dan unsur himpunan lainnya) disebut dalam komposisi paralel konteks ini.

== Pemetaan antar poset ==
[[Berkas:N-Quadrat, gedreht.svg|thumb|Pesanan produk pada ℕ × ℕ]]Diberikan dua set yang dipesan sebagian (''S'', ≤) dan (''T'', ≤), sebuah fungsi ''f'': ''S'' → ''T'' disebut '''[[pengawetan urutan]]''', atau '''[[Fungsi monotonik#Monotonisitas dalam teori urutan|monoton]]''', atau '''isoton''', jika untuk '' x '' dan '' y '' pada '' S '', ''x'' ≤ ''y'' menyiratkan ''f''(''x'') ≤ ''f''(''y'').
Jika (''U'', ≤) juga merupakan himpunan yang dipesan sebagian, dan keduanya ''f'': ''S'' → ''T'' dan ''g'': ''T'' → ''U'' menjaga keteraturan, [[komposisi fungsi|komposisi]] mereka ''g''∘''f''&thinsp;: ''S'' → ''U'' juga menjaga ketertiban.
Sebuah fungsi ''f'': ''S'' → ''T'' disebut '''urutan refleksi''' jika untuk '' x '' dan '' y '' pada '' S '', ''f''(''x'') ≤ ''f''(''y'') menyiratkan ''x'' ≤ ''y''.
Jika '' f '' baik untuk menjaga ketertiban maupun mencerminkan ketertiban, maka ini disebut '''[[urutan pembenaman]]''' dari (''S'', ≤) menjadi (''T'', ≼).
Dalam kasus terakhir, '' f '' harus [[injektif]], karena ''f''(''x'') = ''f''(''y'') menyiratkan ''x'' ≤ ''y'' dan ''y'' ≤ ''x''. Jika ada urutan pembenaman antara dua himpunan terurut parsial'' S ''dan'' T'', satunya dikatakan bahwa ''S ''dapat menjadi '''terbenam''' ke dalam'' T ''. Jika urutan pembenaman ''f'': ''S'' → ''T'' adalah [[bijektif]], ini disebut '' '[[isomorfisme tatanan]]' '', dan urutan parsial (''S'',≤) dan (''T '',≤) dikatakan menjadi '''isomorfik'''. Ordo isomorfik memiliki struktur serupa [[diagram Hasse]] (lih. Gambar kanan). Dapat ditunjukkan bahwa jika peta pelestarian pesanan ''f'': ''S'' → ''T'' dan ''g'': ''T'' → ''S'' dirumuskan ''g''∘''f'' dan ''f''∘''g'' menghasilkan [[fungsi identitas]] pada ''S '' dan ''T '', lalu ''S'' dan'' T'' adalah urutan-isomorfik.
<ref name="dp02">{{Cite book|last1=Davey|first1=B. A.|last2=Priestley|first2=H. A.|year=2002|title=Introduction to Lattices and Order|location=New York|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-78451-4|edition=2nd|pages=23–24|contribution=Maps between ordered sets|mr=1902334|chapter-url=https://books.google.com/books?id=vVVTxeuiyvQC&pg=PA23}}.</ref>[[Berkas:Birkhoff120.svg|thumb|Isomorfisme urutan antara pembagi 120 (sebagian diurutkan berdasarkan pembagian) dan himpunan bagian tertutup pembagi dari {{nowrap|{2, 3, 4, 5, 8}}} (diurutkan sebagian oleh penyertaan himpunan)]]Misalnya, pemetaan ''f'': ℕ → ℙ(ℕ) dari himpunan bilangan asli (diurutkan berdasarkan pembagian) ke [[himpunan daya]] dari bilangan asli (diurutkan berdasarkan set inklusi) dapat ditentukan dengan mengambil setiap bilangan ke himpunan [[pembagi utama]]. Ini menjaga keteraturan: jika '' x '' membagi '' y '', maka setiap pembagi utama dari '' x '' juga merupakan pembagi utama dari '' y ''. Namun, ini bukan injektif (karena memetakan 12 dan 6 ke {2, 3}) atau mencerminkan urutan (karena 12 tidak membagi 6). Mengambil alih-alih setiap bilangan ke himpunan [[pangkat utama]] -nya mendefinisikan peta ''g'': ℕ → ℙ(ℕ) yaitu memelihara ketertiban, mencerminkan ketertiban, dan karenanya merupakan penyematan pesanan. Ini bukan [[isomorfisme]] urutan (karena misalnya tidak memetakan nomor apa pun ke himpunan {4}), tapi bisa dibuat dengan [[Fungsi injektif#Injektif dapat dibuat tidak dapat diubah|membatasi kodomain]] menjadi ''g''(ℕ). Gambar kanan menunjukkan subhimpunan dari ℕ dan gambar isomorfiknya di bawah '' g ''. Konstruksi isomorfisme-tatanan semacam itu ke dalam himpunan daya dapat digeneralisasikan ke kelas luas tatanan parsial, disebut [[kekisi distributif]], lihat "[[Teorema wakilan Birkhoff]]".

== Konsep yang berkaitan ==

=== Ekstrema ===
[[Berkas:Infinite lattice of divisors.svg|thumb|Bilangan bulat nonnegatif, diurutkan berdasarkan pembagian]]Ada beberapa pengertian tentang elemen "terbesar" dan "terkecil" dalam sebuah poset '' P '', terutama:
* [[Elemen terbesar]] dan elemen terkecil: Sebuah elemen '' g '' dalam '' P '' adalah elemen terbesar jika untuk setiap elemen '' a '' dalam '' P '', ''a''&nbsp;≤&nbsp;''g''. Sebuah elemen '' m '' dalam '' P '' adalah elemen terkecil jika untuk setiap elemen '' a '' dalam '' P '', '' a '' ≥ '' m ''. Poset hanya dapat memiliki satu elemen terbesar atau terkecil.
* [[Elemen maksimal]] dan elemen minimal: Elemen '' g '' di P adalah elemen maksimal jika tidak ada elemen '' a '' di '' P '' sehingga '' a ''> '' g ''. Demikian pula, elemen '' m '' di '' P '' adalah elemen minimal jika tidak ada elemen '' a '' di P sehingga '' a '' < '' m ''. Jika poset memiliki elemen terbesar, itu harus menjadi elemen maksimal yang unik, tetapi jika tidak, bisa ada lebih dari satu elemen maksimal, dan juga untuk elemen terkecil dan elemen minimal.
* [[Batas atas dan bawah]]: Untuk subset '' A '' dari '' P '', elemen '' x '' dalam '' P '' adalah batas atas dari '' A '' if '' a '' ≤ ''x'', untuk setiap elemen ''a'' pada ''A''. Secara khusus, '' x '' tidak perlu berada di '' A '' untuk menjadi batas atas dari '' A ''. Demikian pula, elemen '' x '' dalam '' P '' adalah batas bawah dari '' A '' jika ''a'' ≥ ''x'', untuk setiap elemen '' a '' di '' A ''. Unsur terbesar dari '' P '' adalah batas atas '' P '', dan unsur terkecil adalah batas bawah '' P ''.
[[Berkas:Hasse diagram of powerset of 3 no greatest or least.svg|thumb|Gambar di atas dengan elemen terbesar dan terkecil dihilangkan. Dalam poset yang diperkecil ini, baris teratas dari elemen adalah semua elemen '' maksimal '', dan baris paling bawah adalah semua elemen '' minimal '', tetapi tidak ada elemen '' terbesar '' dan tidak ada elemen '' terkecil ''. Himpunan {''x'', ''y''} adalah '' batas atas '' untuk kumpulan elemen {{nowrap|{{''x''}, {''y''}}}}.]]Misalnya, perhatikan [[bilangan bulat positif]], yang diurutkan berdasarkan dapat dibagi: 1 adalah elemen terkecil, karena [[pembagi|membagi]] semua elemen lainnya; di sisi lain poset ini tidak memiliki elemen terbesar (meskipun jika seseorang akan menyertakan 0 dalam poset, yang merupakan kelipatan dari bilangan bulat, itu akan menjadi elemen terbesar; lihat gambar). Kumpulan yang diurutkan sebagian ini bahkan tidak memiliki elemen maksimal, karena ada '' g '' yang terbagi misalnya 2''g'', yang berbeda dari itu, lagu '' tidak maksimal''. Jika angka 1 dikecualikan, sambil menjaga agar dapat dibagi sebagai urutan pada elemen yang lebih besar dari 1, maka poset yang dihasilkan tidak memiliki elemen terkecil, tetapi [[bilangan prima]] adalah elemen minimal untuk itu. Dalam poset ini, 60 adalah batas atas (meskipun bukan [[Infimum dan supremum|batas atas terkecil]]) dari subset {2, 3, 5, 10}, yang tidak memiliki batas bawah (karena 1 tidak ada di poset); di sisi lain 2 adalah batas bawah dari himpunan bagian dari pangkat 2, yang tidak memiliki batas atas.

== Banyaknya urutan parsial ==
Urutan [{{fullurl:OEIS:A001035}} A001035] di [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]] memberikan jumlah urutan parsial pada satu himpunan unsur dinamakan ''n '':

{{Bilangan relasi}}

Jumlah urutan parsial ketat sama dengan jumlah pesanan parsial.

Jika hitungan dilakukan hanya [[hingga]] isomorfisme, urutan 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318,… {{OEIS|A000112}} diperoleh.

== Ekstensi linear ==
[[Berkas:Monotonic but nonhomomorphic map between lattices.gif|thumb|Memelihara pesanan, tetapi tidak mencerminkan pesanan (karena ''f''(''u'') ≤ ''f''(''v''), tapi tidak ''u'' ≤ ''v'') peta.]]Urutan parsial ≤<sup>*</sup> pada himpunan '' X '' adalah '''ekstensi''' dari urutan parsial lain ≤ on '' X '' asalkan untuk semua elemen '' x '' dan '' y '' dari '' X '' , setiap kali '' x '' ≤ '' y '', hal itu juga terjadi ''x''&nbsp;≤<sup>*</sup>&nbsp;''y''. A [[ekstensi linier]] adalah ekstensi yang juga merupakan tatanan [[Lincoln Near-Earth Asteroid Research|linear]] (yaitu total). Setiap pesanan parsial dapat diperpanjang menjadi pesanan total ([[prinsip perpanjangan urutan]]).<ref>{{cite book |last=Jech |first=Thomas |author-link=Thomas Jech |title=The Axiom of Choice |year=2008 |orig-year=1973 |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=978-0-486-46624-8}}</ref>

Dalam [[ilmu komputer]], Algoritma untuk menemukan ekstensi linier dari urutan parsial (diwakilkan sebagai [[jangkauan]] urutan [[grafik asiklik terarah]]) disebut [[penyortiran topologis]].

== Dalam teori kategori ==
Setiap poset (dan setiap [[Preorder|set praorder]]) dapat dianggap sebagai [[kategori (matematika)|kategori]] di mana, untuk objek '' x '' dan '' y '', paling banyak ada satu [[morfisme]] dari '' x '' hingga '' y ''. Lebih eksplisit lagi, maka hom(''x'', ''y'') = {(''x'', ''y'')} if ''x'' ≤ ''y'' (dan sebalik [[himpunan kosong]]) dan (''y'', ''z'')∘(''x'', ''y'') = (''x'', ''z''). Kategori seperti itu kadang disebut ''[[Kategori posetal|posetal]] ''.

Poset adalah [[Kesetaraan kategori|ekuivalen]] satu sama lain jika dan hanya jika poset tersebut [[Isomorfisme kategori|isomorfik]]. Dalam poset, elemen terkecil, jika ada, adalah [[objek awal]], dan elemen terbesar, jika ada, adalah [[objek terminal]]. Selain itu, setiap set yang dipesan sebelumnya setara dengan poset. Akhirnya, setiap subkategori poset adalah [[isomorfisme tertutup]].

== Urutan parsial dalam ruang topologi ==
{{Main|Ruang urutan sebagian}}
Jika '' P '' adalah himpunan terurut parsial yang juga telah diberi struktur [[ruang topologi]], maka biasanya diasumsikan bahwa <math> \{ (a,b) : a \le b \} </math> adalah subhimpunan[[tertutup (matematika)|tertutup]] dari topologi [[ruang produk]] <math>P \times P</math>. Di bawah asumsi ini, hubungan urutan parsial berperilaku baik pada [[Limit urutan|batas]] dalam arti jika <math>a_i \to a</math>, dan <math>b_i \to b</math>, dan untuk <math> i </math>, &thinsp; <math> a_i \le b_i </math>, kemudian <math> a \le b </math>.<ref name="ward-1954">{{Cite journal|first=L. E. Jr|last=Ward|title=Partially Ordered Topological Spaces|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=5 |year=1954|pages= 144–161|issue= 1|doi=10.1090/S0002-9939-1954-0063016-5|hdl=10338.dmlcz/101379|doi-access=free}}</ref>

== Lihat pula ==
{{div col|colwidth=22em}}
* [[Antimatroid]], formalisasi urutan pada satu set yang memungkinkan kelompok urutan yang lebih umum daripada poset
* [[Himpunan kausal]], pendekatan berbasis poset untuk gravitasi kuantum
* [[Grafik komparabilitas]]
* [[Urutan kompleks]]
* [[Himpunan terarah]]
* [[Poset dinilai]]
* [[Aljabar insiden]]
* [[Kisi (urutan)|kisi]]
* [[Poset hingga secara lokal]]
* [[Aljabar insidensi|Fungsi Mbius pada posets]]
* [[Himpunan nested#Definisi formal|Himpunan nested]]
* [[Politico urutan]]
* [[Grup urutan]]
* [[Topologi poset]], sejenis ruang topologi yang dapat didefinisikan dari poset manapun
* [[Kontinuitas Scott]] - kontinuitas fungsi antara dua orde parsial.
* [[Semikisi]]
* [[Semiorder]]
* [[Dominasi stokastik]]
* [[Pengurutan lemah]] – urutan parsial ketat "<" di mana relasi {{nowrap|"neither ''a'' < ''b''}} {{nowrap|nor ''b'' < ''a''"}} bersifat transitif.
* [[Total urutan]]
* [[Pohon (struktur data)#Using set inclusion|Pohon]] (struktur data set inclusion)
* [[Lemma Zorn]]
{{div col end}}

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==
* {{Cite journal|first=Jayant V. |last=Deshpande|title= On Continuity of a Partial Order|journal= Proceedings of the American Mathematical Society|volume= 19|year= 1968|pages= 383–386|issue= 2|doi=10.1090/S0002-9939-1968-0236071-7|doi-access= free}}
* {{cite book|first=Gunther|last=Schmidt|author-link=Gunther Schmidt|year= 2010|title=Relational Mathematics|series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|volume= 132|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-76268-7}}
* {{cite book|author=Bernd Schröder|title=Ordered Sets: An Introduction with Connections from Combinatorics to Topology|url=https://books.google.com/books?id=66oqDAAAQBAJ&q=%22Partially+ordered+set%22+OR+poset|date=11 May 2016|publisher=Birkhäuser|isbn=978-3-319-29788-0}}
* {{cite book|first=Richard P.|last=Stanley|author-link=Richard P. Stanley|title=Enumerative Combinatorics 1|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|volume=49|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-66351-2|year=1997}}

== Pranala luar ==
{{Commons|Hasse diagram}}

* {{OEIS el|1=A001035|2= Number of posets with ''n'' labeled elements|formalname=Number of partially ordered sets ("posets") with n labeled elements (or labeled acyclic transitive digraphs)}}
* {{OEIS el|1=A000112|2=Number of partially ordered sets ("posets") with n unlabeled elements.}}

[[Kategori:Teori order]]
[[Kategori:Relasi biner]]

<!--[[de:Ordnungsrelation#Halbordnung]]-->{{Himpunan berdasarkan cabang matematika}}