Lihat sumber Himpunan kuasa

{{Infobox mathematical statement|name=Himpunan kuasa|image=Hasse diagram of powerset of 3.svg|caption=Anggota dari himpunan kuasa <math>\{x, y, z\}</math>  [[Teori order|diurut]] terhadao [[Inklusi (teori himpunan)|inklusi]].|type=[[Himpunan (matematika)#Operasi dasar|Operasi himpunan]]|field=[[Himpunan (matematika)|Teori himpunan]]|statement=Himpunan kuasa adalah himpunan yang mengandung semua subhimpunan dari himpunan yang diketahui.|symbolic statement=<math>x\in P(S) \iff x\subseteq S</math>}}

Dalam [[matematika]], '''himpunan kuasa''' ({{Lang-en|power set}}) dari [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>S</math> adalah himpunan dari semua [[subhimpunan]] <math>S</math> yang memuat [[himpunan kosong]] dan <math>S</math> itu sendiri.<ref name="Weisstein">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Power Set|url=https://mathworld.wolfram.com/PowerSet.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-09-05}}</ref> Dalam [[Teori himpunan|teori himpunan aksiomatik]] (saat dikembangkan, sebagai contoh, dalam aksioma [[teori himpunan Zermelo–Fraenkel]]), keberadaan himpunan kuasa dari setiap himpunan [[Aksioma|didalilkan]] melalui [[aksioma himpunan kuasa]].<ref>{{harvnb|Devlin|1979|page=50}}</ref> Notasi dari himpunan kuasa <math>S</math> dinyatakan dengan berbagai cara, yaitu: <math>\mathcal{P}(S)</math>, <math>P(S)</math>, <math>\mathbb{P}(S)</math>, <math>\wp(S)</math> atau <math>2^S</math>. Notasi <math>2^S</math> mengartikan bahwa himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari <math>S</math> ke himpunan yang mempunyai dua anggota. Penggunaan notasi tersebut dipakai sebab himpunan kuasa dari <math>S</math> dapat diidentifikasi dengan, ekuivalen dengan, atau bijektif dengan himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari <math>S</math> ke himpunan yang mempunyai dua himpunan anggota.<ref name="Weisstein" />

Sebarang subhimpunan dari <math>\mathcal{P}(S)</math> disebut sebagai ''[[keluarga himpunan]]'' atas <math>S</math>.

== Contoh ==
Jika <math>S</math> adalah himpunan <math>\{x,y,z\}</math>, maka subhimpunan dari <math>S</math> adalah

* <math>\{\}</math> (juga dilambangkan <math>\varnothing</math> atau <math>\emptyset</math>, [[himpunan kosong]] atau himpunan nol)<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-04-11|title=Comprehensive List of Set Theory Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/set-theory-symbols/|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2020-09-05}}</ref>
* <math>\{x\}</math>
* <math>\{y\}</math>
* <math>\{z\}</math>
* <math>\{x,y\}</math>
* <math>\{x,z\}</math>
* <math>\{y,z\}</math>
* <math>\{x,y,z\}</math>

Oleh karena itu, himpunan kuasa dari <math>S</math> adalah <math>\{ \{\} , \{x\} , \{y\}, \{z\}, \{x,y\}, \{x,z\}, \{y,z\}, \{x,y,z\} \}</math>.<ref>{{harvnb|Puntambekar|2007|pages=1–2}}</ref>

== Sifat-sifat ==
Jika <math>S</math> adalah sebuah himpunan terhingga dengan [[kardinalitas]] <math>\left|S\right| = n</math>, maka jumlah subhimpunan dari <math>S</math> adalah <math>\left| \mathcal{P}(S) \right| = 2^n</math>. Fakta tadi menjelaskan alasan pemakaian notasi <math>2^S</math>, dan ini dapat diperlihatkan di bawah berikut:

{{Cquote|1=[[Fungsi indikator]] atau fungsi karakteristik dari subhimpunan <math> A </math> dari himpunan <math> S </math> dengan kardinalitas <math> |S| = n </math> adalah sebuah fungsi yang dipetakan dari <math> S </math> ke himpunan yang mempunyai dua anggota <math>\{0, 1\}</math>. Hal tersebut dinyatakan sebagai <math>I_A(x) \colon S \rightarrow \{0, 1\}</math>, dan juga menyatakan apakah anggota dari <math>S</math> merupakan milik himpunan <math>A</math> atau bukan. Jika <math> x </math> di <math> S </math> milik himpunan <math> A </math>, maka <math> I_A(x) = 1</math>, tetapi jika tidak, maka <math> I_A(x) = 0 </math>. Masing-masing subhimpunan <math>A </math> dari <math>S</math> diidentifikasi oleh, atau ekuivalen dengan fungsi indikator <math>I_A</math>, dan <math>\{0,1\}^S</math> yang dinyatakan sebagai himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari <math>S</math> ke <math>\{0,1\}</math> terdiri dari semua fungsi indikator dari semua subhimpunan dari <math>S</math>. Dengan kata lain, <math>\{0,1\}^S</math> ekuivalen atau [[Fungsi bijektif|bijektif]] dengan himpunan kuasa <math>\mathcal{P}(S)</math>. Karena masing-masing anggota di <math>S</math> korespondensi dengan 0 ataupun 1 terhadap sebarang fungsi di <math>\{0,1\}^S</math>, maka jumlah semua fungsi di <math>\{0,1\}^S</math> sama dengan <math>2^n</math>. Karena bilangan 2 dapat didefinisikan sebagai <math>\{0,1\}</math>, maka <math>\mathcal{P}(S)</math> juga dilambangkan sebagai <math>2^S</math>, dan demikian berlaku <math> 2^S = 2^{|S|}</math>. Secara umum, <math>X^Y</math> adalah himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari <math>Y</math> ke <math>X</math> dan <math>\left|X^Y\right| = X^{|Y|}</math>.}}

[[Argumen diagonal Cantor]] memperlihatkan bahwa himpunan kuasa dari himpunan (tak terhingga atau terhingga) selalu memiliki [[kardinalitas]] tertinggi sempurna daripada himpunan itu sendiri (atau secara informal, himpunan kuasa harus lebih besar daripada himpunan asli). Secara khusus, [[teorema Cantor]] memperlihatkan bahwa himpunan kuasa dari himpunan [[Himpunan tercacahkan|takhingga tercacahkan]] merupakan himpunan tak terhingga yang [[Himpunan tak tercacahkan|tak tercacahkan]]. Sebagai contoh, himpunan kuasa dari himpunan [[bilangan asli]] dapat [[Fungsi bijektif|korespondensi satu-ke-satu]] dengan himpunan [[bilangan real]] (lihat [[Kardinalitas dari kontinum]]).

Himpunan kuasa dari himpunan <math>S</math>, bersama dengan operasi-operasinya seperti [[Gabungan (teori himpunan)|gabungan]], [[Irisan (teori himpunan)|irisan]], dan [[Komplemen (teori himpunan)|komplemen]], dapat diperlihatkan sebagai contoh dari [[aljabar Boole]]. Bahkan, seseorang dapat memperlihatkan bahwa sebarang aljabar Boole ''terhingga'' [[Isomorfisme|isomorfik]] dengan aljabar Boole himpunan kuasa dari himpunan terhingga. Hal tersebut tak berlaku benar untuk aljabar Boole ''tak terhingga'', tetapi setiap aljabar Boole tak terhingga dapat dinyatakan sebagai [[subaljabar]] dari aljabar Boole himpunan kuasa (lihat [[teorema representasi Stone]]).

Himpunan kuasa dari <math>S</math> akan membentuk suatu [[grup Abel]] ketika dianggap mempunyai operasi [[beda simetrik]] (dengan himpunan kosong sebagai [[elemen identitas]] dan masing-masing himpunan adalah invers dari himpunan itu sendiri), dan himpunan kuasa dari <math>S</math> akan membentuk [[monoid]] [[komutatif]] ketika dianggap mempunyai operasi irisan. Ini disebabkan dengan membuktikan [[Sifat distributif|hukum distributif]], bahwa himpunan kuasa yang dianggap mempunyai kedua operasi tersebut akan membentuk suatu gelanggang Boole.

== Menyatakan subhimpunan sebagai fungsi ==
Dalam [[teori himpunan]], notasi {{math|[[Fungsi (matematika)#Ruang fungsi|''X''<sup>''Y''</sup>]]}} menyatakan himpunan dari semua [[Fungsi (matematika)|fungsi]] yang dipetakan dari <math>Y</math> ke <math>X</math>. Karena "2" dapat didefinisikan sebagai <math>\{0,1\}</math> (lihat, sebagai contoh, [[Bilangan ordinal#Ordinal von Neumann|ordinal von Neumann]]), <math>2^S</math> (atau <math>\{0,1\}^S</math>) merupakan himpunan dari semua [[Fungsi (matematika)|fungsi]] yang dipetakan dari <math>S</math> ke <math>\{0,1\}</math>. Seperti yang diperlihatkan [[Himpunan kuasa#Sifat-sifat|sebelumnya]], <math>2^S</math> dan himpunan kuasa dari <math>S</math>, <math>\mathcal{P}(S)</math>, dianggap sama.

Gagasan ini dapat berlaku untuk contoh [[Himpunan kuasa#Contoh|sebelumnya]], dengan <math>S = \{x,y,z\}</math> [[Isomorfisme|isomorfik]] dengan representasi bilangan biner dari <math>0</math> ke <math>2^n - 1</math>, dengan <math>n</math> adalah sebuah jumlah anggota dalam himpunan <math>S </math>, yaitu <math>|S|</math>, Himpunan terenumerasi <math>\{(x,1), (y,2), (z,3)\}</math> terdefinisi dengan jumlah pasangan terurut menyatakan posisi anggota berpasangan dari <math>S </math> dalam bentuk sebarang barisan biner. Sebagai contoh, <math>\{x,y\} = 011_{(2)}</math>, sebab <math>x</math> dari <math>S</math> terletak di bagian pertama dari kanan barisan dan sedangkan <math>y</math> terletak di bagian kedua dari kanan barisan. Digit 1 di barisan biner menyatakan bahwa anggota dari <math>S</math> yang korespondensi dengan posisi darinya di barisan ada di dalam subhimpunan dari <math>S</math>, sedangkan 0 menyatakan sebaliknya.

Untuk semua anggota dari himpunan kuasa <math>S </math>, didapati:
{| class="wikitable"
!Subhimpunan
!Barisan digit biner
!Dalam bentuk bilangan biner
!Dalam bentuk desimal
|-
|<math>\{\} </math>
|<math>0,0,0</math>
|<math>000_{(2)}</math>
|<math>0_{(10)}</math>
|-
|<math>\{x\} </math>
|<math>0,0,1</math>
|<math>001_{(2)}</math>
|<math>1_{(10)}</math>
|-
|<math>\{y\}</math>
|<math>0,1,0</math>
|<math>010_{(2)}</math>
|<math>2_{(10)}</math>
|-
|<math>\{x,y\} </math>
|<math>0,1,1</math>
|<math>011_{(2)}</math>
|<math>3_{(10)}</math>
|-
|<math>\{z\}</math>
|<math>1,0,0</math>
|<math>100_{(2)}</math>
|<math>4_{(10)}</math>
|-
|<math>\{x,z\}</math>
|<math>1,0,1</math>
|<math>101_{(2)}</math>
|<math>5_{(10)}</math>
|-
|<math>\{y,z\}</math>
|<math>1,1,0</math>
|<math>110_{(2)}</math>
|<math>6_{(10)}</math>
|-
|<math>\{x,y,z\}</math>
|<math>1,1,1</math>
|<math>111_{(2)}</math>
|<math>7_{(10)}</math>
|}
[[Fungsi bijektif]] yang dipetakan dari <math>\mathcal{P}(S) </math> ke bilangan bulat bersifat sebarang, sehingga representasi subhimpunan dari <math>S </math> tidak tunggal, tetapi urutan pemilahan dari himpunan terenumerasi tidak mengubah kardinalitasnya. Akan tetapi, representasi barisan biner terhingga hanya dapat terjadi jika <math>S </math> dapat dienumerasi. Enumerasi tersebut bahkan dapat dilakukan jika <math>S </math> mempunyai kardinalitas tak terhingga (dalam artian bahwa anggota di <math>S </math> mempunyai jumlah tak terhingga), seperti himpunan bilangan bulat atau himpunan [[bilangan rasional]]. Sebaliknya, enumerasi tak dapat dilakukan jika, sebagai contoh, <math>S </math> adalah himpunan bilangan real, sebab jumlah anggota [[bilangan irasional]] di <math>S </math> tak dapat dihitung.

== Relasi dengan teorema binomial ==
Himpunan kuasa berkaitan dengan [[teorema binomial]]. Jumlah subhimpunan dengan <math>k</math> anggota dalam himpunan kuasa dari himpunan dengan <math>n</math> anggota dinyatakan dengan jumlah [[kombinasi]], <math>\mathrm{C}(n,k)</math>, yang juga disebut [[koefisien binomial]].

Sebagai contoh, himpunan kuasa dari himpunan yang mengandung tiga anggota, mempunyai:

* <math>\mathrm{C}(3,0) = 1</math> subhimpunan dengan 0 anggota (subhimpunan kosong),
* <math>\mathrm{C}(3,1) = 3</math> subhimpunan dengan 1 anggota (subhimpunan singleton),
* <math>\mathrm{C}(3,2) = 3</math> subhimpunan dengan 2 anggota (komplemen dari subhimpunan singleton),
* <math>\mathrm{C}(3,3) = 1</math> subhimpunan dengan 3 anggota (himpunan asal itu sendiri).

Dengan adanya kaitan tersebut, maka kardinalitas dari himpunan kuasa <math>\left| 2^S \right|</math> dapat dihitung dengan menggunakan rumus:<math display="block">\left|2^S \right | = \sum_{k=0}^{|S|} \binom{|S|}{k}</math>

Oleh karena itu, identitas berikut dapat disimpulkan dengan mengasumsi <math>\left| S \right| = n</math>.

<math display="block">\left |2^S \right| = 2^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}</math>

== Definisi rekursif ==
Jika <math>S </math> suatu [[himpunan hingga]], maka [[definisi rekursif]] <math>P(S)</math> dijelaskan sebagai berikut:

* Jika <math>S = \{\}</math>, maka <math>P(S) = \{ \{\} \}</math>.
* Jika tidak, misalkan <math>e \in S</math> dan <math>T = S \setminus \{ e \}</math>, maka <math>P(S) = P(T)\cup \{t\cup \{e\} : t\in P(T)\}</math>

Dengan kata lain:

* Himpunan pangkat dari [[himpunan kosong]] adalah [[Singleton (matematika)|singleton]] dengan anggotanya merupakan himpunan kosong.
* Untuk himpunan takkosong <math>S </math>, misalkan <math>e</math> adalah sebarang anggota dari himpunan dan <math>T</math> adalah [[komplemen relatif|komplemen rel]]<nowiki/>[[komplemen relatif|a]]<nowiki/>[[komplemen relatif|tif]]<nowiki/>nya, maka himpunan kuasa dari <math>S </math> adalah [[Gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dari himpunan kuasa dari <math>T</math> dan himpunan kuasa dari <math>T</math> yang setiap anggota dapat diperluas dengan anggota <math>e</math>.

== Subhimpunan kardinalitas terbatas ==
Himpunan dari subhimpunan dari <math>S </math> dengan [[kardinalitas]] yang lebih kecil atau sama dengan <math>\kappa</math> terkadang dinyatakan dengan notasi <math>\mathcal{P}_\kappa (S)</math> atau <math>[S]^\kappa</math>, sedangkan himpunan dari subhimpunan dengan kardinalitas yang tepat lebih kecil daripada <math>\kappa</math> terkadang dinyatakan dengan notasi <math>\mathcal{P}_{< \kappa}(S)</math> atau <math>[S]^{< \kappa}</math>. Dengan cara yang serupa, himpunan dari subhimpunan takkosong <math>S </math> dapat dinyatakan dengan notasi <math>\mathcal{P}_{\ge 1}(S)</math> atau <math>\mathcal{P}^+(S)</math>.<!--== Objek kuasa ==
Suatu himpunan dapat dianggap sebagai aljabar yang tak mempunyai operasi non-trivial atau mendefinisikan persamaan. Dari perspektif ini, gagasan himpunan kuasa <math>X </math> sebagai himpunan dari subhimpunan <math>X </math> memperumum ke subaljabar dari [[struktur aljabar]] atau aljabar.

Ketika diurutkan berdasarkan inklusi, maka himpunan kuasa dari himpunan selalu berupa aljabar Boole atomik lengkap, dan setiap aljabar Boole atomik lengkap muncul sebagai [[Kekisi (tatanan)|kekisi]] subhimpunan dari beberapa himpunan. Rampatnya ke aljabar sembarang adalah bahwa himpunan subaljabar dari sebuah aljabar, lagi terurut oleh inklusi, selalu sebuah [[kekisi aljabar]], dan setiap kekisi aljabar muncul sebagai kekisi subaljabar dari suatu aljabar. Jadi dalam kaitan tersebut, subaljabar berperilaku sejalan dengan subhimpunan.

Namun, terdapat dua sifat yang penting mengenai subhimpunan yang tidak terbawa ke subaljabar secara umum. Pertama, meskipun subhimpunan dari sebuah himpunan membentuk sebuah himpunan (serta sebuah kekisi), dalam suatu kelas tidak dapat menjadi mungkin mengatur subaljabar dari sebuah aljabar sebagai sendirinya sebuah aljabar dalam kelas, meskipun mereka dapat selalu teratur sebagai sebuah kekisi. Kedua, sedangkan subhimpunan dari sebuah himpunan ada di bijeksi dengan fungsi dari himpunan tersebut ke himpunan <math>\{0,1\} = 2</math>, tidak ada jaminan bahwa sebuah kelas dari aljabar berisi sebuah aljabar yang dapat memainkan peran 2 dalam hal ini.

Kelas aljabar tertentu menikmati kedua sifat-sifat ini. Sifat pertama lebih umum, kasus memiliki keduanya cukup langka. Salah satu kelas yang memiliki keduanya karena [[multigraf]]. Diberikan dua multigraf <math>G</math> dan <math>H</math>, sebuah [[kehomomorfan]] <math>h \colon G \to H</math> terdiri dari dua fungsi, salah satunya memetakan puncak ke puncak dan lainnya memetakan sisi ke sisi. Himpunan <math>H^G</math> kehomomorfan dari <math>G</math> ke <math>H</math> dapat kemudian diatur sebagai graf yang puncak dan sisi masing-masing adalah fungsi puncak dan sisi muncul dalam himpunan itu. Selain itu, subgraf sebuah mutligraf <math>G</math> ada di dalam bijeksi dengan kehomomorfan graf dari <math>G</math> ke multigraf <math>\Omega</math> didefinisikan sebgai [[Graf lengkap|graf berarah lengkap]] pada dua puncak (karena itu empat sisi, yaitu dua gelung-diri dan dua sisi lagi membentuk sebuah siklus) ditambahkan dengan sebuah sisi kelima, yaitu sebuah gelung-diri kedua pada salah satu dari puncak. Oleh karena itu, kita dapat menyusun subgraf <math>G</math> sebagai multigraf <math>\Omega^G</math>, disebut '''objek pangkat <math>G</math>'''.

Apa yang khusus mengenai sebuah multigraf sebagai sebuah aljabar adalah bahwa operasinya adalah uner. Sebuah multigraf memiliki dua pemilahan unsur membentuk sebuah himpunan <math>V</math> dari puncak dan <math>E</math> dari sisi, dan memiliki dua operasi uner <math>s,t \colon E \to V</math> memberikan sumber puncak (awal) dan sasaran (akhir) dari setiap sisi. Sebuah aljabar semua yang operasi-operasinya adalah uner disebut sebuah [[pragemal]]. Setiap kelsa mengenai pragemal berisi sebuah pragemal <math>\Omega </math> yang memainkan peran untuk subaljabar yang 2 memainkan untuk subhimpunan. Seperti kelas merupakan sebuah kasus yang khusus dari gagasan umum lainnya mengenai [[topos elementer]] sebagai sebuah [[Kategori (matematika)|kategori]] itu adalah [[Kategori tertutup|tertutup]] (dan selain itu [[Kategori tertutup Cartesius|tertutup Cartesius]]) dan memiliki sebuah objek <math>\Omega </math>, disebut sebuah [[penggolongan subobjek]]. Meskipun istilah "objek pangkat" terkadang digunakan secara muradif dengan [[objek eksponensial]] <math>Y^X</math>, dalam teori topos <math>Y </math> diperlukan menjadi <math>\Omega </math>.
-->

== Fungtor dan kuantor ==
Dalam [[teori kategori]] dan teori [[Topos elementer|topoi elementer]],[[kuantor semesta]] dapat dipahami sebagai [[adjoin kanan]] fungtor di antara himpunan kuasa, fungtor [[Citra (matematika)#Citra balikan|citra invers]] dari fungsi di antara himpunan, sedangkan [[kuantifikasi eksistensial]] dapat dipahami sebagai [[adjoin kiri]] fungtor di antara himpunan kuasa.<ref>[[Saunders Mac Lane]], [[Ieke Moerdijk]], (1992) ''Sheaves in Geometry and Logic'' Springer-Verlag. {{isbn|0-387-97710-4}} ''See page 58''</ref>

== Lihat pula ==

* [[Teorema Cantor]]
* [[Keluarga himpunan]]
* [[Medan himpunan]]
* [[Kombinasi]]

== Referensi ==
<references />

== Daftar pustaka ==

* {{cite book|last=Devlin|first=Keith J.|year=1979|title=Fundamentals of contemporary set theory|url=https://archive.org/details/fundamentalsofco0000devl|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=0-387-90441-7|series=Universitext|zbl=0407.04003|author-link=Keith Devlin}}
* {{cite book|last=Halmos|first=Paul R.|year=1960|url=https://archive.org/details/naivesettheory00halm|title=Naive set theory|publisher=van Nostrand Company|series=The University Series in Undergraduate Mathematics|zbl=0087.04403|author-link=Paul Halmos|url-access=registration}}
* {{cite book|last=Puntambekar|first=A. A.|year=2007|title=Theory Of Automata And Formal Languages|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-193-8}}

== Pranala luar ==

* {{PlanetMath|urlname=powerset|title=Power set}}
* {{nlab|id=power+set|title=Power set}}
* {{nlab|id=power+object|title=Power object}}
* [http://www.programminglogic.com/powerset-algorithm-in-c/ Power set Algorithm] in [[:en:C++|C++]]

{{Teori himpunan}}
{{Himpunan berdasarkan cabang matematika}}

[[Kategori:Operasi pada himpunan]]