Lihat sumber Grupoid

Dalam [[matematika]], terutama dalam [[teori kategori]] dan [[Teori kategori|teori]] [[Teori homotopi|homotopi]], '''grupoid''' (disebut juga '''grupoid Brandt''' atau '''grup virtual''' ) menggeneralisasi pengertian [[Grup (matematika)|grup]] dalam beberapa cara yang setara. Grupoid dapat dilihat sebagai:

* ''[[Grup (matematika)|Grup]]'' dengan [[fungsi parsial]] menggantikan [[operasi biner]];
* ''[[Teori kategori|Kategori]]'' dimana setiap [[morfisme]] invers. Kategori dilihat sebagai ditambah dengan [[operasi uner]], yang disebut ''invers'' dengan analogi [[teori grup]].<ref name="dicks-ventura-962">{{Cite book|last=Dicks & Ventura|year=1996|url={{Google books|plainurl=y|id=3sWSRRfNFKgC|page=6|text=G has the structure of a graph}}|title=The Group Fixed by a Family of Injective Endomorphisms of a Free Group|page=6}}</ref> Grupoid dimana terdapat satu objek adalah grup biasa.

Dengan [[Tipe dependen|pengetikan dependen]], kategori secara umum dilihat sebagai jenis [[monoid]], dan demikian pula, grupoid dilihat sebagai grup diketik. Morfisme satu dari satu objek ke objek lain, dan membentuk keluarga tipe dependen, sehingga morfisme dapat ditulis<math>g:A \rightarrow B</math>, <math>h:B \rightarrow C</math>. Komposisi kemudian menjadi fungsi total: <math>\circ : (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow A \rightarrow C </math>, maka <math>h \circ g : A \rightarrow C </math>.

Kasus khusus meliputi:

* ''[[Setoid]]'': [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dengan [[Relasi ekuivalensi|relasi ekivalensi]],
* ''[[Tindakan grup (matematika)|himpunan-G]]'' : himpunan dengan grup [[Tindakan grup (matematika)|aksi]] <math>G</math>.

Grupoid digunakan untuk bernalar tentang objek [[geometri]]s dengan [[Lipatan (matematika)|lipatan]]. {{harvs|txt|first=Heinrich|last=Brandt|authorlink=Heinrich Brandt|year=1927}}   memperkenalkan grupoid secara implisit melalui [[Brandt semigroup|semigrup Brandt]].<ref>[http://eom.springer.de/b/b017600.htm Brandt semigroup] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110827113508/http://eom.springer.de/b/b017600.htm |date=2011-08-27 }} in Springer Encyclopaedia of Mathematics - {{ISBN|1-4020-0609-8}}</ref>

== Definisi ==

=== Aljabar ===
Grupoid adalah satu himpunan <math>G</math> dengan [[operasi uner]]<math>{}^{-1}:G\to G,</math> dan [[fungsi parsial]] <math>*:G\times G \rightharpoonup G</math> . * bukan [[operasi biner]] karena tidak harus ditentukan untuk semua pasangan elemen <math>G</math>. Kondisi yang tepat di bawahnya <math>*</math> didefinisikan tidak diartikulasikan dan berbeda menurut situasi.

<math>\ast</math> dan <sup>−1</sup> memiliki sifat aksiomatik berikut: Untuk semua <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> dalam <math>G</math>,

# ''[[Sifat asosiatif|Asosiatif]]'': Jika <math>a*b</math> dan <math>b*c</math> didefinisikan, lalu <math>(a * b) * c</math> dan <math>a * (b * c)</math> didefinisikan ekuivalensi. Sebaliknya, jika <math>(a * b) * c</math> dan <math>a * (b * c)</math> didefinisikan, maka keduanya pula<math>a*b</math> dan <math>b*c</math> sebaik <math>(a * b) * c</math> = <math>a * (b * c)</math> .
# ''[[Invers perkalian|Invers]]'': <math>a^{-1} * a</math> dan <math>a*{a^{-1}}</math> harus ditentukan.
# ''[[Identitas (matematika)|Identitas]]'': Jika <math>a*b</math> didefinisikan, lalu <math>a*b*{b^{-1}} = a</math>, dan <math>{a^{-1}} * a * b = b</math>. (Dua aksioma sebelumnya sudah menunjukkan bahwa ekspresi ini didefinisikan dan tidak ambigu.)

Dua sifat mudah dengan aksioma berikut:

* <math>(a^{-1})^{-1} = a</math> ,
* Jika <math>a*b</math> didefinisikan ke <math>(a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}</math>.<ref>Bukti sifat pertama: dari 2. dan 3. kita memperoleh a − 1 = a − 1 * a * a − 1 dan (a − 1) −1 = (a − 1) −1 * a − 1 * (a− 1) −1. Mensubstitusikan yang pertama ke yang kedua dan menerapkan 3. dua kali lagi menghasilkan (a − 1) −1 = (a − 1) −1 * a − 1 * a * a − 1 * (a − 1) −1 = (a −1) −1 * a − 1 * a = a. ✓

Bukti properti kedua: karena a * b didefinisikan, demikian juga (a * b) −1 * a * b. Oleh karena itu (a * b) −1 * a * b * b − 1 = (a * b) −1 * a juga didefinisikan. Selain itu, karena a * b didefinisikan, demikian juga dengan a * b * b − 1 = a. Oleh karena itu a * b * b − 1 * a − 1 juga didefinisikan. Dari 3. kita mendapatkan (a * b) −1 = (a * b) −1 * a * a − 1 = (a * b) −1 * a * b * b − 1 * a − 1 = b − 1 * a − 1. ✓</ref>

=== Kategori teoretis ===
Grupoid adalah [[Kategori (matematika)|kategori kecil]] dimana [[morfisme]] adalah [[isomorfisme]], yaitu invertibel.<ref name="dicks-ventura-962"/> Lebih tepatnya, grupoid ''G'' adalah:

* Satu himpunan ''G'' <sub>0</sub> dari ''objek'';
* Untuk setiap pasangan objek ''x'' dan ''y'' di ''G'' <sub>0</sub>, terdapat himpunan ''G''( ''x'', ''y'' ) ''morfisme'' (atau ''panah'') dari ''x'' ke ''y'' . Kami menulis ''f'' : ''x'' → ''y'' untuk menunjukkan bahwa ''f'' adalah elemen dari ''G'' ( ''x'', ''y'' ).
* Untuk setiap objek ''x'', elemen yang ditentukan <math>\mathrm{id}_x</math> dari ''G'' ( ''x'', ''x'' );
* Untuk setiap tiga objek ''x'', ''y'', dan ''z'', [[Fungsi (matematika)|fungsi]] <math>\mathrm{komp}_{x,y,z} : G(y, z)\times G(x, y) \rightarrow G(x, z): (g, f) \mapsto gf</math> ;
* Untuk setiap pasangan objek ''x'', ''y'' fungsi <math>\mathrm{inv}: G(x, y) \rightarrow G(y, x): f \mapsto f^{-1}</math> ;

untuk setiap ''f'' : ''x'' → ''y'', ''g'' : ''y'' → ''z'', dan ''h'' : ''z'' → ''w'' :

* <math>f\ \mathrm{id}_x = f</math> dan <math>\mathrm{id}_y\ f = f</math> ;
* <math>(h g) f = h (g f)</math> ;
* <math>f f^{-1} = \mathrm{id}_y</math> dan <math>f^{-1} f = \mathrm{id}_x</math> .

Jika ''f'' merupakan unsur dari ''G''( ''x'', ''y'' ) maka ''x'' disebut '''sumber''' ''f'', ditulis ''s''( ''f'' ), dan ''y'' disebut '''target''' ''f'', ditulis ''t''( ''f'').

Secara lebih umum, seseorang dapat mempertimbangkan [[Objek groupoid|objek grupoid]] dalam kategori arbitrer yang menerima produk serat hingga.

=== Membandingkan definisi ===
Definisi aljabar dan teori kategori adalah ekuivalen, sebagai contoh di atas tunjukkan. Diberikan grupoid dalam pengertian teori-kategori, misalkan ''G'' adalah [[gabungan lepas|satuan disjoin]] dari semua himpunan ''G''( ''x'', ''y'' ) (yaitu himpunan morfisme dari ''x'' ke ''y''). Kemudian <math>\mathrm{komp}</math> dan <math>\mathrm{inv}</math> menjadi operasi parsial pada ''G'', dan <math>\mathrm{inv}</math> sebenarnya akan ditentukan dimana. Mendefinisikan ∗ menjadi <math>\mathrm{komp}</math> dan <sup>−1</sup> menjadi <math>\mathrm{inv}</math>, memberikan grupoid dalam arti aljabar. Referensi eksplisit ke ''G'' <sub>0</sub> (dan karena <math>\mathrm{id}</math>) bisa dijatuhkan.

Sebaliknya, jika diberikan grupoid ''G'' dalam pengertian aljabar, definisikan relasi ekuivalen <math>\sim</math> pada elemen <math>a \sim b</math> iff ''a'' ∗ ''a'' <sup>−1</sup> = ''b'' ∗ ''b'' <sup>−1</sup>. Misalkan ''G'' <sub>0</sub> adalah himpunan kelas ekiuvalensi <math>\sim</math>, yaitu <math>G_0:=G/\!\!\sim</math> . Maka ''a'' ∗ ''a'' <sup>−1</sup> dengan <math>1_x</math> jika <math>a\in x</math> dengan <math>x\in G_0</math>.

Sebaliknya, jika diberikan grupoid ''G'' dalam pengertian aljabar, definisikan relasi ekuivalen <math>\sim</math> pada elemen <math>a \sim b</math> iff ''a'' ∗ ''a'' <sup>−1</sup> = ''b'' ∗ ''b'' <sup>−1</sup>. Misalkan ''G'' <sub>0</sub> adalah himpunan kelas ekiuvalensi <math>\sim</math>, yaitu <math>G_0:=G/\!\!\sim</math> . Maka ''a'' ∗ ''a'' <sup>−1</sup> dengan <math>1_x</math> jika <math>a\in x</math> dengan <math>x\in G_0</math>.

Sekarang jelaskan <math>G(x, y)</math> sebagai himpunan dari semua elemen ''f'' sedemikian rupa <math>1_x*f*1_y</math>. Diberikan <math>f \in G(x,y)</math> dan <math>g \in G(y, z),</math> komposit didefinisikan sebagai <math>gf:=f*g \in G(x,z)</math>. Untuk melihat bahwa ini didefinisikan dengan baik, amati <math>(1_x*f)*1_y</math> dan <math>1_y*(g*1_z)</math>, begitu pula <math>(1_x*f*1_y)*(g*1_z)=f*g</math> . Morfisme identitas pada ''x'' kemudian <math>1_x</math>, dan kebalikan teori kategori dari ''f'' adalah ''f'' <sup>−1</sup> .

''Himpunan'' dalam definisi di atas dapat diganti dengan [[kelas]], seperti yang umumnya terjadi dalam teori kategori.

=== Grup verteks ===
Diberikan grupoid ''G'', '''grup verteks''' atau '''grup isotropi'''      atau '''grupobjek''' di ''G'' adalah [[himpunan bagian]] dari bentuk ''G'' ( ''x'', ''x'' ), dimana ''x'' adalah sembarang objek dari ''G.'' Dengan mudah dari aksioma di atas bahwa ini memang kelompok, karena setiap pasangan elemen dapat disusun dan invers berada dalam kelompok titik yang sama.

=== Kategori grupoids ===
Sebuah '''subgrupoid''' adalah [[subkategori]] yang merupakan grupoid. '''Morfisme grupoid''' sebuah fungsi antara dua grupoid (teori-kategori). Kategori dimana objek grupoid dan morfismenya adalah morfisme groupoid disebut '''kategori grupoid''', atau '''kategori grupoids''', dilambangkan dengan '''Grpd'''.

Kategori dengan kategori kecil, [[Kategori penutupan Kartesius|penutupan Kartesius]]. Artinya, dengan grupoids <math>H,K</math> sebuah grupoid <math>\operatorname{GPD}(H,K)</math> dimana objeknya adalah morfisme <math> H \to K </math> dan panahnya merupakan padanan alami dari morfisme. Maka, jika <math> H,K </math> adalah grup, panah tersebut adalah konjugasi morfisme. Hasil utamanya adalah untuk grupoids <math> G,H,K </math> bijeksi alami.

<math>\operatorname{Grpd}(G \times H, K) \cong \operatorname{Grpd}(G, \operatorname{GPD}(H,K)).</math>

Hasil ini bahkan jika semua grupoids <math> G,H,K </math> adalah grup.

=== Fibrasi dan kovergelanggang ===
Jenis morfisme tertentu dari grupoids adalah interist. Morfisme  <math>p: E \to B</math> grupoids disebut [[fibrasi]] jika untuk setiap objek <math>x</math> dari <math>E</math> dan setiap morfisme <math>b</math> dari <math>B</math> ke <math>p(x)</math> adalah morfisme <math>e</math> dari <math>E</math> mulai dari <math>x</math> seperti yang <math>p(e)=b</math> . Fibrasi disebut  kovergelanggang [[Kovergelanggang morfisme|morfisme]] atau [[Penutupan groupoids|kovergelanggang grupoid]] jika <math>e</math> adalah unik. Kovergelanggang morfisme dari grupoids sangat berguna karena dapat digunakan untuk memodelkan [[Kovergelanggang peta|peta]].<ref>J.P. May, ''A Concise Course in Algebraic Topology'', 1999, The University of Chicago Press {{ISBN|0-226-51183-9}} (''see chapter 2'')</ref>

Bahwa kategori morfisme kovergelanggang grupoid tertentu <math>B</math> adalah ekuivalen dengan kategori aksi grupoid tersebut <math>B</math> di antara himpunan.

== Contoh ==

=== Topologi ===
Diberikan [[ruang topologi]] <math>X</math>, maka <math>G_0</math> adalah himpunan <math>X</math>. Morfisme dari inti <math>p</math> ke titik <math>q</math> adalah [[kelas kesetaraan]] dari [[Jalur (topologi)|jalur]] [[Fungsi kontinu|kontinu]] dari <math>p</math> untuk <math>q</math>, dengan dua jalur ekuivalen jika [[Homotopik|homotopi]]. Dua morfisme disusun dengan jalur pertama, maka kedua; ekuivalen homotopi bahwa komposisi bersifat [[Sifat asosiatif|asosiatif]]. Grupoid disebut [[Groupoid fundamental|grupoid fundamental]] dari <math>X</math>, dilambangkan <math>\pi_1(X)</math> (atau terkadang, <math>\Pi_1(X)</math> ).<ref>{{Cite web|title=fundamental groupoid in nLab|url=https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+groupoid|website=ncatlab.org|access-date=2017-09-17|archive-date=2023-04-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230406133929/https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+groupoid|dead-url=no}}</ref> Grup fundamental biasa <math>\pi_1(X,x)</math> kemudian grup puncak untuk titik tersebut <math>x</math>. Untuk ruang yang terhubung dengan jalur, grupoid fundamental dan grup fundamental bertepatan, dan operasi komposisi ditentukan untuk semua pasangan kelas kesetaraan.

Perpanjangan penting dari gagasan ini adalah dengan mempertimbangkan grupoid fundamental <math>\pi_1(X,A)</math> dimana <math>A\subset X</math> adalah himpunan "titik dasar" yang dipilih. Hanya mempertimbangkan jalur yang memiliki titik akhir <math>A</math> . <math>\pi_1(X,A)</math> adalah sub-grupoid dari <math>\pi_1(X)</math>. Himpunan <math>A</math> dapat dipilih sesuai dengan geometri situasi yang dihadapi.

=== Relasi ekuivalen ===
Jika <math>X</math> adalah himpunan dengan [[Relasi ekuivalensi|relasi ekuivalen]] dilambangkan dengan [[Sisipan|infiks]] <math>\sim</math>, maka grupoid yang "mewakili" relasi ekuivalensi dibentuk sebagai berikut:

* Objek grupoid adalah elemen <math>X</math>;
* Untuk dua elemen apa pun <math>x</math> dan <math>y</math> di <math>X</math>, ada satu morfisme dari <math>x</math> untuk <math>y</math> [[jika dan hanya jika]] <math>x\sim y</math> .

=== Tindakan grup ===
Jika [[Grup (matematika)|grup]] <math>G</math> di lokasi <math>X</math>, maka kita dapat membentuk '''aksi grupoid''' (atau '''transformasi grupoid''' ) yang merepresentasikan [[Tindakan grup (matematika)|tindakan grup]] ini sebagai berikut:

* Objek adalah elemen <math>X</math> ;
* Untuk dua elemen <math>x</math> dan <math>y</math> di <math>X</math>, [[morfisme]] dari <math>x</math> untuk <math>y</math> sesuai dengan elemen <math>g</math> dari <math>G</math> dengan <math>gx = y</math> ;
* [[Komposisi fungsi|Komposisi]] morfisme menafsirkan [[operasi biner]] <math>G</math> .

Lebih jelasnya, ''aksi grupoid'' adalah kategori kecil dengan <math>\mathrm{ob}(C)=X</math> dan <math>\mathrm{hom}(C)=G\times X</math> dengan peta sumber target <math>s(g,x) = x</math> dan <math>t(g,x) = gx</math> . Dilambangkan dengan <math>G \ltimes X</math> (atau <math>X\rtimes G</math> ). Perkalian (atau komposisi) di grupoid kemudian <math>(h,y)(g,x) = (hg,x)</math> ditentukan dengan <math>y=gx</math> .

Untuk <math>x</math> di <math>X</math>, grup puncak terdiri dari <math>(g,x)</math> dengan <math>gx=x</math>, merupakan subgrup isotropi di <math>x</math> untuk aksi diberikan grup simpul (juga disebut grup isotropi).

Cara lain untuk mendeskripsikan himpunan-<math>G</math> adalah [[Kategori Functor|kategori funktor]] <math>[\mathrm{Gr},\mathrm{Himpunan}] </math>, dimana <math>\mathrm{Gr}</math> adalah grupoid (kategori) dengan satu elemen dan [[Isomorfisme|isomorfik]] ke grup <math>G</math>. Memang, setiap funktor <math>F</math> dari kategori mendefinisikan satu himpunan <math>X=F(\mathrm{Gr})</math> dan untuk setiap <math>g</math> di <math>G</math> (yaitu untuk setiap morfisme dalam <math>\mathrm{Gr}</math> ) dari [[bijeksi]] <math>F_g</math> : <math>X\to X</math> . Struktur kategoris dari funktor <math>F</math> meyakinkan kami bahwa <math>F</math> mendefinisikan aksi-<math>G</math> di lokasi syuting <math>G</math>. [[Functor resentabel|Funktor]] (unik) diwakili <math>F</math> : <math>\mathrm{Gr}</math> → <math>\mathrm{Himpunan}</math> adalah [[Teorema Cayley|representasi Cayley]] dari <math>G</math>. Faktanya, fungsi isomorfik <math>\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},-)</math> dan <math>\mathrm{ob}(\mathrm{Gr})</math> ke himpunan <math>\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},\mathrm{Gr})</math> menurut definisi "himpunan" <math>G</math> dan morfisme <math>g</math> dari <math>\mathrm{Gr}</math> (yaitu elemen <math>g</math> dari <math>G</math>) ke permutasi <math>F_g</math> himpunan <math>G</math>. Menyimpulkan dari [[Lemma Yoneda|embedding Yoneda]] grup <math>G</math> isomorfik ke grup <math>\{F_g\mid g\in G\}</math>, [[Subgrup]] dari grup [[Grup permutasi|permutasi]] <math>G</math>.

=== Himpunan hingga ===
Pertimbangkan himpunan hingga <math>X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}</math>, membentuk aksi grup <math>\mathbb{Z}/2</math> aksi <math>X</math> dengan membuat setiap bilangan menjadi negatif, maka <math>-2 \mapsto 2</math> dan <math>1 \mapsto -1</math>. Grupoid hasil bagi <math>[X/G]</math> adalah himpunan kelas kesetaraan dari aksi grup <math>\{[0],[1],[2]\}</math>, dan <math>[0]</math> aksi grup <math>\mathbb{Z}/2</math> di atasnya.

=== Variasi hasil bagi ===
Dalam <math>
\mathbb{A}^n
</math>, [[grup hingga]] dimana <math>
G
</math> yang memetakan ke <math>
GL(n)
</math> diberikan aksi grup <math>
\mathbb{A}^n
</math> (karena ini adalah grup automorfisme). Kemudian, grupoid hasil bagi dibentuk <math>
[\mathbb{A}^n/G]
</math>, yang memiliki satu titik dengan stabilizer <math>
G
</math>. Contoh membentuk dasar teori [[orbifold]]. Keluarga orbifold lain yang umum dipelajari adalah [[ruang proyektif berbobot]] <math>\mathbb{P}(n_1,\ldots, n_k)</math> dan subruangnya, dengan [[Lipatan Calabi–Yau|orbifold Calabi-Yau]].

=== Produk fiber grupoids ===
Diberikan diagram grupoid dengan morfisme grupoid

<math>
\begin{align}
 & & X \\
 & & \downarrow \\
Y &\rightarrow & Z 
\end{align}
</math>

dimana <math>
f:X\to Z
</math> dan <math>
g:Y\to Z
</math>, membentuk grupoid <math>
X\times_ZY
</math> objeknya tiga kali lipat <math>
(x,\phi,y)
</math>, dimana <math>
x \in \text{Ob}(X)
</math>, <math>
y \in \text{Ob}(Y)
</math>, dan <math>
\phi: f(x) \to g(y)
</math> di <math>
Z
</math>. Morfisme dapat diartikan sebagai sepasang morfisme <math>
(\alpha,\beta)
</math> dimana <math>
\alpha: x \to x'
</math> dan <math>
\beta: y \to y'
</math> untuk tiga kali lipat <math>
(x,\phi,y), (x',\phi',y')
</math>, diagram komutatif di <math>
Z
</math> dari <math>
f(\alpha):f(x) \to f(x')
</math>, <math>
g(\beta):g(y) \to g(y')
</math> dan <math>
\phi,\phi'
</math>.<ref>{{Cite web|title=Localization and Gromov-Witten Invariants|url=https://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf|page=9|archive-url=https://web.archive.org/web/20200212202830/https://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf|archive-date=February 12, 2020|url-status=live}}</ref>

=== Aljabar homologis ===
Kompleks dua istilah

<math>
C_1 \overset{d}{\rightarrow}C_0
</math>

objek dalam [[Kategori konkret|kategori Abelian komkret]] digunakan untuk membentuk grupoid. Objek himpunan <math>C_0</math> dan panah <math>C_1\oplus C_0</math> dimana morfisme sumber proyeksi di atas <math>C_0</math> sedangkan morfisme target adalah penambahan proyeksi ke atas <math>C_1</math> disusun dengan <math>d</math> dan proyeksi ke <math>C_0</math>. Artinya, diberikan <math>c_1 + c_0 \in C_1\oplus C_0</math> dirumuskan

<math>
t(c_1 + c_0) = d(c_1) + c_0
</math>

Tentu saja, jika kategori abelian adalah kategori berkas gandum yang koheren pada suatu skema, maka konstruksi ini dapat digunakan untuk membentuk lembaran awal groupoids.

=== Teka-teki ===
Sementara teka-teki seperti [[Kubus Rubik]] dapat dimodelkan menggunakan teori grup (lihat [[grup Kubus Rubik]] ), teka-teki tertentu lebih dimodelkan sebagai grupoids.<ref>[https://www.crcpress.com/An-Introduction-to-Groups-Groupoids-and-Their-Representations/Ibort-Rodriguez/p/book/9781138035867 An Introduction to Groups, Groupoids and Their Representations: An Introduction] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200113011150/https://www.crcpress.com/An-Introduction-to-Groups-Groupoids-and-Their-Representations/Ibort-Rodriguez/p/book/9781138035867 |date=2020-01-13 }}; Alberto Ibort, Miguel A. Rodriguez; CRC Press, 2019.</ref>

Transformasi dari [[lima belas teka-teki]] membentuk groupoid (bukan grup, karena tidak semua gerakan dapat disusun).<ref>Jim Belk (2008) [https://cornellmath.wordpress.com/2008/01/27/puzzles-groups-and-groupoids/ Puzzles, Groups, and Groupoids] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230310133517/https://cornellmath.wordpress.com/2008/01/27/puzzles-groups-and-groupoids/ |date=2023-03-10 }}, The Everything Seminar</ref><ref>[http://www.neverendingbooks.org/the-15-puzzle-groupoid-1 The 15-puzzle groupoid (1)] {{Webarchive}}, Never Ending Books</ref><ref>[http://www.neverendingbooks.org/the-15-puzzle-groupoid-2 The 15-puzzle groupoid (2)] {{Webarchive}}, Never Ending Books</ref> [[Tindakan grup (matematika)|Grupoid]] bekerja dengan konfigurasi.

=== Grupoid Mathieu ===
[[Grupoid Mathieu]] adalah grupoid diperkenalkan oleh [[John Horton Conway]] bekerja pada 13 titik sedemikian rupa sehingga unsur-unsur yang menetapkan titik membentuk salinan dari [[grup Mathieu]] M<sub>12</sub>.

== Relasi dengan grup ==
{{Group-like structures}}
Jika sebuah grupoid memiliki satu objek, maka himpunan morfismenya membentuk sebuah [[Grup (matematika)|grup]]. Menggunakan definisi aljabar, grupoid seperti itu secara harfiah hanyalah sebuah grup.<ref>Mapping a group to the corresponding groupoid with one object is sometimes called delooping, especially in the context of [[Homotopi|homotopy theory]], see {{Cite web|title=delooping in nLab|url=https://ncatlab.org/nlab/show/delooping#delooping_of_a_group_to_a_groupoid|website=ncatlab.org|archive-url=https://web.archive.org/web/20230405134256/https://ncatlab.org/nlab/show/delooping#delooping_of_a_group_to_a_groupoid|archive-date=2023-04-05|dead-url=no|access-date=2017-10-31}}.</ref> Banyak konsep [[teori grup]] digeneralisasi menjadi grupoids, dengan gagasan dari [[Funktor|functor]] menggantikan yang dari [[Grup homomorfisme|grup homomofisme]].

Setiap [[Koneksi (teori kategori)|grupoid koneksi]] yaitu, dimana dua objek terhubung oleh setidaknya satu morfisme, isomorfik ke aksi grupoid (seperti yang didefinisikan di atas) <math>(G, X)</math>. Dengan keterhubungan, hanya akan ada satu [[Tindakan grup (matematika)|orbit di]] bawah aksi. Jika grupoid tidak terhubung, maka isomorfik [[Satuan disjoin|gabungan]] grupoids terputus dari tipe di atas (dengan grup yang berbeda. <math>G</math> dan himpunan <math>X</math> untuk setiap komponen yang terhubung).

Perhatikan bahwa isomorfisme yang dijelaskan di atas tidak unik, dan tidak ada pilihan [[Transformasi alami|alami]]. Memilih isomorfisme semacam itu untuk groupoid yang terhubung pada dasarnya sama dengan memilih satu objek <math>x_0</math>, [[grup isomorfisme]] <math>h</math> dari <math>G(x_0)</math> untuk <math>G</math>, dan untuk <math>x</math>. Selain <math>x_0</math>, morfisme dalam <math>G</math> dari <math>x_0</math> untuk <math>x</math>.

Dalam istilah teori-kategori, setiap komponen yang terhubung dari groupoid adalah [[Kategori ekuivalen|ekuivalen]] (tetapi tidak [[Kategori isomorfik|isomorfik]]) dengan grupoid dengan satu objek, yaitu satu grup. Jadi grupoid dengan rkuivalen [[multi himpunan]] grup yang tidak terkait. Dengan kata lain, untuk ekuivalen dan bukan isomorfisme, menentukan himpunan <math>X</math>, hanya grup <math>G.</math> Sebagai contoh,

* Grupoid fundamental dari <math>X</math> dengan himpunan ekuivalen [[grup fundamental]] dari setiap [[Ruang terhubung|komponen koneksi ke jalur]] <math>X</math>, tetapi isomorfisme membutuhkan penetapan himpunan titik di setiap komponen;
* Himpunan <math>X</math> dengan relasi ekuivalen <math>\sim</math> (sebagai grupoid) dengan satu salinan dari [[grup trivial]] untuk setiap [[kelas kesetaraan]]si, tetapi isomorfisma membutuhkan penspesifikasian apa setiap kelas ekivalen:
* Himpunan <math>X</math> dengan [[Tindakan grup (matematika)|aksi]] grup ekuivalen <math>G</math>(sebagai grupoid) dengan satu salinan <math>G</math> untuk setiap [[Tindakan grup (matematika)|orbit]] aksi, tetapi [[isomorfisme]] membutuhkan penentuan himpunan setiap orbit.

Grupoid menjadi himpunan grup saja kehilangan beberapa informasi, bahkan dari sudut pandang teori-kategori, karena itu tidak [[Alami (teori kategori)|wajar]]. Jadi, ketika grupoid dari segi struktur lain, contoh di atas, akan membantu untuk mempertahankan grupoid penuh. Jika, dengan cara untuk melihat masing-masing <math>G(x)</math> dalam hal satu grup, dan pilihan ini bisa berubah. Dalam contoh dari [[topologi]], Anda harus membuat pilihan jalur yang koheren (atau kelas ekivalensi jalur) dari setiap titik <math>p</math> ke setiap poin <math>q</math> di komponen yang terhubung ke jalur yang sama.

Sebagai contoh yang lebih mencerahkan, klasifikasi grupoids dengan satu [[endomorfisme]] tidak direduksi menjadi pertimbangan teoritis grup murni. Hal ini dengan fakta bahwa klasifikasi [[ruang vektor]] dengan satu endomorfisme bersifat nontrivial.

Morfisme grupoids dalam jenis grup: misalnya, [[fibrasi]], [[kovering morfisme]], [[Sifat universal|morfisme universal]], dan [[morfisme hasil bagi]] . Jadi subgrup <math>H</math> dari sebuah grup <math>G</math> menghasilkan aksi <math>G</math> di [[kohimpunan]] dari <math>H</math> di <math>G</math> dan karenanya morfisme yang menutupi <math>p</math> dari, <math>K</math> untuk <math>G</math>, dimana <math>K</math> adalah grupoid dengan [[Grupoid#Grup verteks|grup verteks]] isomorfik <math>H</math>. Dengan cara ini, presentasi grup <math>G</math> dapat "diangkat" ke presentasi grupoid <math>K</math>, dan ini adalah cara yang berguna untuk memperoleh informasi tentang presentasi subgrup <math>H</math> . Untuk informasi lebih lanjut, lihat buku oleh Higgins dan oleh Brown dalam Referensi.

== Sifat dari kategori Grpd ==

* '''Grpd''' adalah sifat kompleks dan kompleks
* '''Grpd''' adalah kategori tertutup kartesius

=== Relasi dengan [[Kategori dari kategori kecil|Kat]] ===
Inklusi <math>i : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{Kat}</math> memiliki adjoint kiri dan kanan:

<math> \hom_{\mathbf{Grpd}}(C[C^{-1}], G) \cong \hom_{\mathbf{Kat}}(C, i(G)) </math>

<math> \hom_{\mathbf{Kat}}(i(G), C) \cong \hom_{\mathbf{Grpd}}(G, \mathrm{Kore}(C)) </math>

Maka, <math>C[C^{-1}]</math> menunjukkan [[lokalisasi kategori]] yang membalikkan setiap morfisme, dan <math>\mathrm{Kore}(C)</math> menunjukkan subkategori semua isomorfisme.

=== Relasi dengan [[Himpunan sederhana|hHimpunan]] ===
Fungsi [[Saraf (teori kategori)|saraf]] <math>N : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{hHimpunan}</math> embed '''Grpd''' sebagai subkategori kompleks dari kategori himpunan sederhana. Saraf grupoid selalu Kan kompleks.

Saraf memiliki adjoin kiri

<math> \hom_{\mathbf{Grpd}}(\pi_1(X), G) \cong \hom_{\mathbf{hHimpunan}}(X, N(G)) </math>

Maka, <math>\pi_1(X)</math> menunjukkan grupoid fundamental dari himpunan sederhana X.

=== Grupoids di Grpd ===
Terdapat struktur tambahan yang dapat diturunkan dari grupoid internal ke kategori grupoids, '''double-groupoids'''.<ref>{{Cite arXiv}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Ehresmann|first=Charles|date=1964|title=Catégories et structures : extraits|url=http://www.numdam.org/item/?id=SE_1964__6__A8_0|journal=Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle|language=en|volume=6|pages=1–31|access-date=2021-02-24|archive-date=2023-06-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20230604102652/http://www.numdam.org/item/?id=SE_1964__6__A8_0|dead-url=no}}</ref> Karena '''Grpd''' adalah kategori 2, objek membentuk kategori 2 daripada kategori 1 karena terdapat struktur tambahan. Pada dasarnya, ini adalah grupoids <math>\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_0</math> dengan funktors<blockquote><math>s,t: \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_0</math></blockquote>dan embedding yang diberikan oleh sebuah fungsi identitas<blockquote><math>i:\mathcal{G}_0 \to\mathcal{G}_1</math></blockquote>Salah satu cara untuk memikirkan tentang 2-grupoids ini adalah objek, morfisme, dan persegi yang dapat disusun bersama secara vertikal dan horizontal. Misalnya, persegi yang diberikan<blockquote><math>\begin{matrix}
\bullet & \to & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet
\end{matrix}
</math> dan <math>\begin{matrix}
\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \to & \bullet
\end{matrix}</math></blockquote>dengan <math>a</math> morfisme yang sama, digabungkan secara vertikal memberikan diagram<blockquote><math>\begin{matrix}
\bullet & \to & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \to & \bullet
\end{matrix}</math></blockquote>yang dapat diubah menjadi persegi lain dengan menyusun panah vertikal. Tedapat hukum komposisi serupa untuk lampiran persegi horizontal.

== Grupoid Lie dan Aljabroid Lie ==
Saat mempelajari objek geometris, grupoids dengan beberapa [[struktur diferentiabel]], mengubah menjadi [[grupoid Lie]]. Dipelajari dalam istilah [[aljabroid Lie]], dalam analogi relasi antara [[Grup Lie|grup]] Lie dan [[aljabar Lie]] .

== Lihat pula ==

* [[Grupoid-∞]]
* [[Grup-2]]
* [[Teori tipe homotopi]]
* [[Kategori invers]]
* [[Aljabar grupoid]] (jangan disamakan dengan [[aljabarik grupoid]] )
* [[Aljabroid-R]]

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==

* {{Citation|title=Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes|journal=Mathematische Annalen|volume=96|number=1|pages=360–366|year=1927|doi=10.1007/BF01209171|first=H|last=Brandt}}
* Brown, Ronald, 1987, " Dari kelompok ke groupoids: survei singkat ," ''Bull.'' ''Matematika London.'' ''Soc.'' '''19''' : 113-34. Meninjau sejarah groupoids hingga tahun 1987, dimulai dengan karya Brandt pada bentuk kuadrat. Versi yang dapat diunduh memperbarui banyak referensi.
* &#x2014;, 2006. ''Topologi dan groupoids.'' Bookurge. Edisi revisi dan diperpanjang dari buku yang sebelumnya diterbitkan pada tahun 1968 dan 1988. Groupoids diperkenalkan dalam konteks aplikasi topologi mereka.
* &#x2014;, Teori kelompok berdimensi lebih tinggi Menjelaskan bagaimana konsep groupoid telah menyebabkan groupoid berdimensi lebih tinggi, memiliki aplikasi dalam [[teori homotopi]] dan dalam [[kohomologi]] kelompok. Banyak referensi.
* {{Citation|last=Dicks|first=Warren|last2=Ventura|first2=Enric|title=The group fixed by a family of injective endomorphisms of a free group|series=Mathematical Surveys and Monographs|volume=195|year=1996|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-0564-0}}
* {{Cite journal|last=Dokuchaev|first=M.|last2=Exel|first2=R.|last3=Piccione|first3=P.|year=2000|title=Partial Representations and Partial Group Algebras|journal=Journal of Algebra|publisher=Elsevier|volume=226|pages=505–532|arxiv=math/9903129|doi=10.1006/jabr.1999.8204|issn=0021-8693}}
* F. Borceux, G. Janelidze, 2001, ''teori Galois.'' [[Universitas Cambridge]] Tekan. Menunjukkan bagaimana generalisasi [[teori Galois]] mengarah pada [[Groupoid galois|groupoids Galois]] .
* [[Ana Cannas da Silva|Cannas da Silva, A.]], dan [[Alan Weinstein|A. Weinstein]], ''Model Geometris untuk Aljabar Nonkomutatif.'' Terutama Bagian VI.
* [[Marty Golubitsky|Golubitsky, M.]], Ian Stewart, 2006, " Dinamika jaringan nonlinier: formalisme groupoid ", ''Bull.'' ''Amer.'' ''Matematika.'' ''Soc.'' '''43''' : 305-64
* {{SpringerEOM|title=Groupoid}}
* Higgins, PJ, "Groupoid fundamental dari [[grafik kelompok]] ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145—149.
* Higgins, PJ dan Taylor, J., "Groupoid fundamental dan kompleks persilangan homotopy dari [[Tindakan grup (matematika)|ruang orbit]] ", dalam teori Kategori (Gummersbach, 1981), Catatan Kuliah dalam Matematika., Volume 962. Springer, Berlin (1982), 115—122.
* Higgins, PJ, 1971. ''Kategori dan groupoids.'' Catatan Van Nostrand dalam Matematika. Diterbitkan ulang dalam ''Cetak Ulang dalam Teori dan Aplikasi Kategori'', No. 7 (2005) hal.&nbsp;1–195; dapat diunduh secara bebas . Pengenalan substansial untuk [[teori kategori]] dengan penekanan khusus pada groupoids. Mempresentasikan aplikasi groupoid dalam teori grup, misalnya untuk generalisasi [[teorema Grushko]], dan dalam topologi, misalnya [[groupoid fundamental]] .
* Mackenzie, KCH, 2005. ''Teori umum dari Lie groupoids dan Lie algebroids.'' Universitas Cambridge Tekan.
* Weinstein, Alan, " Groupoids: pemersatu simetri internal dan eksternal &#x2014; Sebuah tur melalui beberapa contoh. " Juga tersedia dalam Postscript., Pemberitahuan AMS, Juli 1996, hal.&nbsp;744–752.
* Weinstein, Alan, " The Geometry of Momentum " (2002)
* RT Zivaljevic. "Groupoids dalam kombinatorika &#x2014; aplikasi teori kesimetrian lokal". Dalam ''kombinatorika Aljabar dan geometris'', volume 423 dari ''Contemp.'' ''Matematika'' ., 305–324. Amer. Matematika. Soc., Providence, RI (2006)
* {{Nlab|title=fundamental groupoid}}
* {{Nlab|title=core}}

[[Kategori:Teori homotopi]]
[[Kategori:Teori kategori]]
[[Kategori:Struktur aljabar]]