Lihat sumber Grup siklik

{{short description|Grup matematika yang bisa dihasilkan sebagai himpunan kekuatan dari satu elemen}}
{{Group theory sidebar |Finite}}
Dalam [[teori grup]], cabang dari [[aljabar abstrak]], '''grup siklik''' atau '''grup monogen''' adalah [[Grup (matematika) | grup]] yaitu [[Menghasilkan himpunan grup | dihasilkan]] oleh satu elemen.<ref name="eom">{{springer|title=Cyclic group|id=p/c027510}}</ref> Artinya, ini adalah [[himpunan (matematika) | himpunan]] dari [[elemen terbalik | dapat dibalik]] elemen dengan satu [[asosiatif]] [[operasi biner]], dan itu berisi elemen '' g '' sedemikian rupa sehingga setiap elemen grup dapat diperoleh dengan berulang kali menerapkan operasi grup ke '' g '' atau kebalikannya. Setiap elemen dapat ditulis sebagai pangkat '' g '' dalam notasi perkalian, atau sebagai kelipatan '' g '' dalam notasi aditif.  Elemen '' g '' ini disebut '' [[Menghasilkan himpunan grup | generator]] '' grup.<ref name="eom"/>

Setiap grup siklik tak terbatas adalah [[isomorfik]] pada [[grup aditif]] dari '''Z''', [[bilangan bulat]]. Setiap grup siklik hingga [[urutan (teori grup) | urutan]] '' n '' isomorfik ke grup aditif dari [[grup hasil bagi|'''Z'''/''n'''''Z''']], bilangan bulat [[aritmatika modular | modulo]] '' n ''. Setiap grup siklik adalah [[grup abelian]] (artinya operasi grupnya adalah [[sifat komutatif | komutatif]]), dan setiap grup abelian [[grup yang dihasilkan secara hingga | dihasilkan secara terbatas]] adalah [[Produk langsung dari grup | produk langsung]] dari grup siklik.

Setiap kelompok siklik dari urutan [[bilangan prima | prime]] adalah [[kelompok sederhana]] yang tidak dapat dipecah menjadi kelompok-kelompok yang lebih kecil. Di [[klasifikasi grup sederhana hingga]], salah satu dari tiga kelas tak hingga terdiri dari gugus siklik orde utama. Dengan demikian, grup siklik dari orde utama berada di antara blok-blok penyusun dari mana semua grup dapat dibangun.

== Definisi dan notasi ==
[[Berkas:Cyclic group.svg|left|thumb|160px|Kompleks keenam keenam [[akar persatuan]] membentuk kelompok siklik dalam perkalian. Di sini '' z '' adalah generator, tetapi ''z''<sup>2</sup> bukan, karena kekuatannya gagal menghasilkan pangkat ganjil '' z ''.]]

Untuk setiap elemen '' g '' dalam grup '' G '', seseorang dapat membentuk [[subgrup]] dari semua pangkat bilangan bulat ⟨''g''⟩ =  {''g''<sup>''k''</sup> {{!}} ''k'' ∈ '''Z'''}, disebut '' 'subgrup siklik' '' dari '' g ''. [[Urutan (teori grup) | urutan]] dari '' g '' adalah jumlah elemen dalam ⟨''g''⟩; yaitu, urutan elemen sama dengan urutan subgrup sikliknya.

'' Grup siklik '' adalah grup yang sama dengan salah satu subgrup sikliknya: {{nowrap|1=''G'' = ⟨''g''⟩}} untuk beberapa elemen '' g '', disebut [[Menghasilkan himpunan grup | '' generator '']].

Untuk '''grup siklik hingga''' '' G '' dengan urutan '' n '' kami memiliki '' G '' = {''e'', ''g'', ''g''<sup>2</sup>, ... , ''g''<sup>''n''&minus;1</sup>}, di mana '' e '' adalah [[elemen identitas]] dan ''g''<sup>''i''</sup> = ''g''<sup>''j''</sup> jika '' i '' ≡ '' j '' ([[aritmetika modular | mod]] '' n ''); khususnya ''g''<sup>''n''</sup> = ''g''<sup>0</sup> = ''e'', dan ''g''<sup>&minus;1</sup> = ''g''<sup>''n''&minus;1</sup>. Grup abstrak yang ditentukan oleh perkalian ini sering dilambangkan dengan C'' <sub> n </sub>, '' dan kami mengatakan bahwa '' G '' adalah [[Isomorfisme | isomorfis]] ke grup siklik standar C''<sub>n</sub>''. Grup seperti itu juga isomorfik '''Z'''/''n'''''Z''', grup bilangan bulat modulo '' n '' dengan operasi penjumlahan, yang merupakan grup siklik standar dalam notasi aditif. Di bawah isomorfisme '' χ '' yang didefinisikan oleh ''&chi;''(''g''<sup>''i''</sup>) = ''i'' elemen identitas '' e '' sesuai dengan 0, hasil kali sesuai dengan jumlah, dan pangkat sesuai dengan kelipatan.

Misalnya, himpunan kompleks ke-6 [[Akar persatuan | akar kesatuan]] <blockquote><math>G = \left\{\pm 1, \pm{\left(\tfrac12{+} \tfrac{\sqrt 3}{2}i\right)}, \pm{\left(\tfrac12{-} \tfrac{\sqrt 3}{2}i\right)}\right\}</math>   </blockquote>membentuk grup di bawah perkalian. Ini siklik, karena dihasilkan oleh [[Akar persatuan#Definisi umum |
akar primitif]] <math>z=\tfrac12 +\tfrac{\sqrt 3}{2}i=e^{2\pi i/6}:</math> itu adalah, ''G'' = ⟨''z''⟩ = { 1, ''z'', ''z''<sup>2</sup>, ''z''<sup>3</sup>, ''z''<sup>4</sup>, ''z''<sup>5</sup> } dengan ''z''<sup>6</sup> = 1. Di bawah perubahan huruf, ini isomorfik ke (secara struktural sama dengan) kelompok siklik standar orde 6, didefinisikan sebagai C<sub>6</sub> = ⟨''g''⟩ = { ''e'', ''g'', ''g''<sup>2</sup>, ''g''<sup>3</sup>, ''g''<sup>4</sup>, ''g''<sup>5</sup> } dengan perkalian ''g<sup>j</sup>'' · ''g<sup>k</sup>'' = ''g<sup>j+k</sup>'' <sup>(mod 6)</sup>, seperti ''g''<sup>6</sup> = ''g''<sup>0</sup> = e.  Grup pada isomorfik '''Z'''/6'''Z''' = {0,1,2,3,4,5} dengan operasi penambahan [[aritmetika modular | modulo]] 6, dengan ''z<sup>k</sup>'' dan ''g<sup>k</sup>'' sesuai dengan '' k ''. Sebagai contoh, {{nowrap|1 + 2 ≡ 3 (mod 6)}} sesuai dengan {{nowrap|1=''z''<sup>1</sup> · ''z''<sup>2</sup> = ''z''<sup>3</sup>}}, dan {{nowrap|2 + 5 ≡ 1 (mod 6)}} corresponds to {{nowrap|1=''z''<sup>2</sup> · ''z''<sup>5</sup> = ''z''<sup>7</sup> = ''z''<sup>1</sup>}}, dan seterusnya. Setiap elemen menghasilkan subgrup sikliknya sendiri, seperti ⟨''z''<sup>2</sup>⟩ = { ''e'', ''z''<sup>2</sup>, ''z''<sup>4</sup> } dari urutan 3, isomorfik pada C<sub>3</sub> dan '''Z'''/3'''Z'''; dan ⟨''z''<sup>5</sup>⟩ = { ''e'', ''z''<sup>5</sup>, ''z''<sup>10</sup> = ''z''<sup>4</sup>, ''z''<sup>15</sup> = ''z''<sup>3</sup>, ''z''<sup>20</sup> = ''z''<sup>2</sup>, ''z''<sup>25</sup> = ''z'' } = ''G'', sehingga '' z ''<sup> 5 </sup> memiliki urutan 6 dan merupakan generator alternatif '' G ''.

Alih-alih notasi [[grup hasil bagi | hasil bagi]] '''Z'''/''n'''''Z''', '''Z'''/(''n''), atau '''Z'''/''n'', beberapa penulis menunjukkan grup siklik berhingga sebagai '''Z'''''<sub>n</sub>'', tetapi ini bertentangan dengan notasi [[teori bilangan]], di mana '''Z'''''<sub>p</sub>'' menunjukkan gelanggang [[bilangan p-adic |bilangan '' p ''-adic]], atau [[lokalisasi gelanggang | pelokalan]] pada [[prime ideal]].


{| class=wikitable align=left width=240
|+ Grup siklik tak hingga
!p1, ([[Notasi orbifold|*∞∞]])
!p11g, (22∞)
|-
|[[Berkas:Frieze group 11.png|120px]]
|[[Berkas:Frieze group 1g.png|120px]]
|- valign=top
|[[Berkas:Frieze example p1.png|120px]]<br>[[Berkas:Frieze hop.png|120px]]
|[[Berkas:Frieze example p11g.png|120px]]<br>[[Berkas:Frieze step.png|120px]]
|-
|colspan=2|Dua [[grup dekorasi]] bersifat isomorfik terhadap '''Z'''. Dengan satu generator, p1 memiliki terjemahan dan p11g memiliki pantulan luncuran.
|}
On the other hand, in an '''infinite cyclic group''' ''G ='' ⟨''g''⟩'','' the powers ''g''<sup>''k''</sup> give distinct elements for all integers ''k'', so that ''G'' = { ... , ''g''<sup>&minus;2</sup>, ''g''<sup>&minus;1</sup>, ''e'', ''g'', ''g''<sup>2</sup>, ... }, and ''G'' is isomorphic to the standard group C = C<sub>∞</sub>  and to '''Z''', the additive group of the integers. An example is the first [[Frieze group#Descriptions of the seven frieze groups|frieze group]]. Here there are no finite cycles, and the name "cyclic" may be misleading.<ref>{{Harv|Lajoie|Mura|2000|pp=29–33}}.</ref>

Untuk menghindari kebingungan ini, [[Nicolas Bourbaki | Bourbaki]] memperkenalkan istilah '''grup monogen''' untuk grup dengan generator tunggal dan "grup siklik" yang dibatasi berarti grup monogen terbatas, menghindari istilah "grup siklik tak terbatas".{{refn|group=note|name="algebra1.§4.10"|DEFINISI 15. '' Sebuah grup disebut '' monogenous '' jika ia menerima sistem generator yang terdiri dari satu elemen. Grup monogen terbatas disebut '' siklik.<ref>{{Harv|Bourbaki|1998|p=49}} or {{Google books|STS9aZ6F204C|Algebra I: Chapters 1–3|page=49}}.</ref>}}
{{Clear}}

== Contoh ==
{| class=wikitable align=right
|+Contoh grup siklik dalam simetri rotasi
|-
| [[Berkas:Triangle.Scalene.svg|120px]]
| [[Berkas:Hubble2005-01-barred-spiral-galaxy-NGC1300.jpg|120px]]
| [[Berkas:The armoured triskelion on the flag of the Isle of Man.svg|120px]]
|-
![[Segitiga skalen|C<sub>1</sub>]]
![[NGC 1300|C<sub>2</sub>]]
![[Bendera Pulau Man|C<sub>3</sub>]]
|-
|[[Berkas:Circular-cross-decorative-knot-12crossings.svg|120px]]
| [[Berkas:Flag of Hong Kong.svg|120px]]
|[[Berkas:Olavsrose.svg|120px]]
|-
![[Simpul Celtic|C<sub>4</sub>]]
![[Bendera Hong Kong|C<sub>5</sub>]]
![[:de:Olavsrose|C<sub>6</sub>]]
|}

=== Bilangan bulat dan penambahan modular ===
Himpunan [[bilangan bulat]] '''Z''', dengan operasi penjumlahan, membentuk grup.<ref name="eom"/> Ini adalah '''grup siklik tak terbatas''', karena semua bilangan bulat dapat ditulis dengan menambahkan atau mengurangkan bilangan tunggal 1 berulang kali. Dalam grup ini, 1 dan −1 adalah satu-satunya generator. Setiap grup siklik tak terbatas isomorfik untuk '''Z'''.

Untuk setiap bilangan bulat positif '' n '', himpunan bilangan bulat [[aritmatika modular | modulo]] '' n '', sekali lagi dengan operasi penjumlahan, membentuk grup siklik hingga, dilambangkan '''Z'''/''n'''''Z'''.<ref name="eom"/>
Bilangan bulat modular '' i '' adalah generator grup ini jika '' i '' [[relatif prima]] hingga '' n '', karena elemen ini dapat menghasilkan semua elemen lain dari grup melalui penambahan bilangan bulat.
(Jumlah generator tersebut adalah '' φ ''('' n ''), di mana '' φ '' adalah [[Fungsi total Euler]].)
Setiap grup siklik hingga '' G '' isomorfik '''Z'''/''n'''''Z''', where ''n'' = |''G''| adalah urutan grup.

Operasi penambahan pada integer dan integer modular, digunakan untuk mendefinisikan grup siklik, adalah operasi penambahan [[cincin komutatif]], juga dilambangkan dengan '''Z''' dan '''Z'''/''n'''''Z''' atau '''Z'''/(''n''). Jika '' p '' adalah [[bilangan prima | prima]], maka '''Z'''/''p'''Z''''' adalah [[bidang terbatas]], dan biasanya dilambangkan dengan '' 'F' ''<sub>'' p ''</sub> atau GF('' p '') untuk bidang Galois.

=== Perkalian modular ===
{{main|Grup perkalian bilangan bulat modulo n}}
Untuk setiap bilangan bulat positif '' n '', himpunan bilangan bulat modulo '' n '' yang relatif prima ke '' n '' ditulis sebagai ('''Z'''/''n'''''Z''')<sup>×</sup>; itu [[grup perkalian bilangan bulat modulo n | membentuk grup]] di bawah operasi perkalian. Grup ini tidak selalu siklik, tetapi menjadi begitu setiap kali '' n '' adalah 1, 2, 4, sebuah [[pangkat utama | pangkat dari bilangan prima ganjil]], atau dua kali pangkat dari bilangan prima ganjil {{OEIS|A033948}}.<ref>{{Harv|Motwani|Raghavan|1995|p=401}}.</ref><ref>{{Harv|Vinogradov|2003|loc=§ VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES|pp=105–132}}.</ref>
Ini adalah kelompok perkalian dari [[Satuan (teori gelanggang) | satuan]] dari cincin '''Z'''/''n'''''Z'''; ada '' φ ''('' n '') di antaranya, di mana lagi '' φ '' adalah [[fungsi total Euler]]. Sebagai contoh, ('''Z'''/6'''Z''')<sup>×</sup> = {1,5}, dan karena 6 adalah dua kali bilangan prima ganjil, ini adalah grup siklik. Sebaliknya, ('''Z'''/8'''Z''')<sup>×</sup> = {1,3,5,7} adalah [[grup empat Klein | grup Klein 4]] dan bukan siklik. Dimana ('''Z'''/''n'''''Z''')<sup>×</sup> berbentuk siklik, generatornya disebut [[akar modulo n | akar primitif modulo '' n '']].

Untuk bilangan prima '' p '', grup ('''Z'''/''p'''''Z''')<sup>×</sup> selalu siklik, terdiri dari elemen bukan nol dari [[bidang terbatas]] dengan urutan '' p ''. Lebih umum lagi, setiap [[subkelompok]] terbatas dari kelompok perkalian dari [[bidang (matematika) | bidang]] adalah siklik.<ref>{{Harv|Rotman|1998|p=65}}.</ref>

=== Rotasi simetri ===
{{main|Simetri rotasi}}
Himpunan [[simetri rotasi]] dari sebuah [[poligon]] membentuk grup siklik berhingga.<ref>{{Harv|Stewart|Golubitsky|2010|pp=47–48}}.</ref> Jika ada '' n '' cara berbeda untuk memindahkan poligon ke dirinya sendiri dengan rotasi (termasuk rotasi nol) maka grup simetri ini isomorfik ke '''Z'''/''n'''''Z'''. Dalam tiga dimensi atau lebih tinggi terdapat [[Grup titik dalam tiga dimensi#Grup simetri 3D siklik | grup simetri hingga siklik]], tapi yang tidak semuanya rotasi di sekitar sumbu, melainkan [[rotoreflection]].

Grup dari semua rotasi dari [[lingkaran]] ''S''<sup>1</sup> ([[grup lingkaran]], juga dilambangkan dengan ''S''<sup>1</sup>) adalah '' bukan '' siklik, karena tidak ada rotasi tunggal yang kekuatan integernya menghasilkan semua rotasi. Faktanya, grup siklik tak terbatas C<sub>∞</sub> adalah [[dapat dihitung]], sedangkan '' S ''<sup> 1 </sup> tidak. Kelompok rotasi menurut sudut rasional '' dapat '' dihitung, tetapi tetap tidak siklik.

=== Teori Galois ===
Sebuah '' n'' [[akar persatuan]] adalah [[bilangan kompleks]] yang pangkat '' n '' nya adalah 1, [[akar polinomial | akar]] dari [[polynomial] ] ''x''<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1. Himpunan semua akar kesatuan '' n'' membentuk kelompok urutan siklik '' n '' dalam perkalian.<ref name="eom"/> Misalnya, polinomial {{nowrap|1=''z''<sup>3</sup> − 1}} factors as {{nowrap|1=(''z'' − 1)(''z'' − ''ω'')(''z'' − ''ω''<sup>2</sup>)}}, dimana {{nowrap|1=''ω'' = ''e''<sup>2''πi''/3</sup>}}; the set {1, ''ω'', ''ω''<sup>2</sup>} = {''ω''<sup>0</sup>, ''ω''<sup>1</sup>, ''ω''<sup>2</sup>} membentuk kelompok siklik dalam perkalian. [[Grup Galois]] dari [[ekstensi bidang]] dari [[bilangan rasional]] yang dihasilkan oleh akar kesatuan '' n'' membentuk grup yang berbeda, isomorfik ke grup perkalian ('''Z/'''''n'''''Z''')<sup>×</sup> urutan [[fungsi total Euler | '' φ ''('' n '')]], yang merupakan siklus untuk beberapa tetapi tidak semua '' n '' (lihat di atas).

Ekstensi bidang disebut [[ekstensi siklik]] jika grup Galoisnya adalah siklik. Untuk bidang [[Karakteristik (aljabar) | karakteristik nol]], ekstensi tersebut adalah subjek [[teori Kummer]], dan terkait erat dengan [[solvabilitas oleh radikal]]. Untuk perpanjangan [[bidang hingga]] karakteristik '' p '', grup Galoisnya selalu terbatas dan siklik, yang dihasilkan oleh kekuatan [[Endomorfisme Frobenius | Frobenius mapping]].<ref>{{Harv|Cox|2012|loc = Theorem&nbsp;11.1.7|p=294}}.</ref> Sebaliknya, diberi bidang hingga '' F '' dan grup siklik hingga '' G '', ada ekstensi bidang hingga '' F '' yang grup Galoisnya adalah '' G ''.<ref>{{Harv|Cox|2012|loc=Corollary 11.1.8 and Theorem 11.1.9|p=295}}.</ref>

== Subgrup ==
{{main|Teorema dasar grup siklik}}
Semua [[subgrup]] dan [[grup hasil bagi]] dari grup siklik adalah siklik. Secara khusus, semua subgrup '''Z''' berbentuk ⟨''m''⟩ = ''m'''''Z''', dengan '' m '' bilangan bulat positif. Semua subgrup ini berbeda satu sama lain, dan terpisah dari grup trivial {0} = 0'''Z''', mereka semua [[isomorfik]] sampai '''Z'''. [[Kisi subgrup]] dari '''Z''' isomorfik dengan [[Dualitas (teori urutan) | ganda]] dari kisi bilangan asli yang diurutkan oleh [[terbagi]].<ref>{{Harv|Aluffi|2009|pp=82–84|loc=6.4 Example: Subgroups of Cyclic Groups}}.</ref> Jadi, karena bilangan prima '' p '' tidak memiliki pembagi nontrivial, ''p'''''Z''' adalah subgrup yang tepat maksimal, dan grup hasil bagi '''Z'''/''p'''''Z''' adalah [[grup sederhana | sederhana]]; sebenarnya, sebuah gugus siklik adalah sederhana [[jika dan hanya jika]] urutannya adalah bilangan prima.<ref>{{Harv|Gannon|2006|p=18|}}.</ref>

Semua grup hasil bagi '''Z'''/''n'''''Z''' terbatas, dengan pengecualian {{nowrap|1='''Z'''/0'''Z''' = '''Z'''/{0}.}} Untuk setiap pembagi positif '' d '' dari '' n '', grup hasil bagi '''Z'''/''n'''''Z''' memiliki tepat satu subgrup orde '' d '', yang dihasilkan oleh [[aritmetika Modular#Kelas kesesuaian | kelas residu]] dari '' n ''/'' d ''. Tidak ada subgrup lain.

== Properti tambahan ==
Setiap grup siklik adalah [[grup abelian | abelian]].<ref name="eom"/> Artinya, operasi grupnya adalah [[sifat komutatif | komutatif]]: {{nowrap|1=''gh'' = ''hg''}} (untuk '' g '' dan '' h '' pada '' G ''). Ini jelas untuk grup penambahan integer dan modular karena {{nowrap|''r'' + ''s'' ≡ ''s'' + ''r'' (mod ''n'')}}, dan mengikuti untuk semua grup siklik karena semuanya isomorfik untuk grup standar ini.
Untuk grup urutan siklik terbatas '' n '', ''g''<sup>''n''</sup> adalah elemen identitas untuk setiap elemen '' g ''. Ini lagi mengikuti dengan menggunakan isomorfisma ke penambahan modular, karena {{nowrap|''kn'' ≡ 0 (mod ''n'')}} untuk setiap integer '' k ''. (Ini juga berlaku untuk kelompok umum ordo '' n '', karena [[Teorema Lagrange (teori grup) | Teorema Lagrange]].)

Untuk [[kekuatan utama]] ''p<sup>k</sup>,'' grup '''Z'''/''p<sup>k</sup>'''''Z''' disebut [[grup siklik primer]]. [[Teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara terbatas | teorema fundamental dari grup abelian]] menyatakan bahwa setiap [[grup abelian yang dihasilkan tak hingga]] adalah produk langsung hingga dari grup siklik tak hingga dan utama.

Karena grup siklik adalah abelian, setiap [[kelas konjugasi]] nya terdiri dari satu elemen. Oleh karena itu, sekelompok siklik urutan '' n '' memiliki kelas konjugasi '' n ''.

Jika '' d '' adalah [[pembagi]] dari '' n '', maka jumlah elemen dalam '''Z'''/''n'''''Z''' yang memiliki urutan '' d '' adalah '' φ ''('' d ''), dan jumlah elemen yang urutannya membagi '' d '' persis '' d ''.
Jika '' G '' adalah grup terbatas di mana, untuk setiap {{nowrap|''n'' > 0}}, ''G'' berisi paling banyak '' n '' elemen urutan yang membagi '' n '', lalu '' G '' harus siklik.{{refn|group=note|Implikasi ini tetap benar meskipun hanya nilai prima dari '' n '' yang dipertimbangkan.<ref>{{Harv|Gallian|2010|loc = Exercise&nbsp;43|p=84}}.</ref> (Dan amati bahwa ketika '' n '' adalah bilangan prima, terdapat tepat satu elemen yang urutannya merupakan pembagi yang tepat dari '' n '', yaitu identitas.)}}
Urutan elemen '' m '' pada '''Z'''/''n'''''Z''' adalah ''n''/[[pembagi persekutuan terbesar | gcd]](''n'',''m'').

Jika '' n '' dan '' m '' adalah [[coprime]], maka [[produk langsung dari grup | produk langsung]] dari dua grup siklik '''Z'''/''n'''''Z''' dan '''Z'''/''m'''''Z''' isomorfik ke grup siklik '''Z'''/''nm'''''Z''', dan kebalikannya juga berlaku: ini adalah salah satu bentuk [[Teorema sisa Tionghoa]]. Sebagai contoh, '''Z'''/12'''Z''' isomorfik terhadap produk langsung '''Z'''/3'''Z''' × '''Z'''/4'''Z''' di bawah isomorfisme ('' k '' mod 12) → (''k'' mod 3, ''k'' mod 4); tetapi tidak isomorfik '''Z'''/6'''Z''' × '''Z'''/2'''Z''', di mana setiap elemen memiliki keteraturan paling banyak 6.

Jika '' p '' adalah [[bilangan prima]], maka setiap grup dengan elemen '' p '' adalah isomorfik ke grup sederhana '''Z'''/''p'''''Z'''.
Bilangan '' n '' disebut [[bilangan siklik (teori grup) | bilangan siklik]] jika '''Z'''/''n'''''Z''' adalah satu-satunya kelompok urutan '' n '', yang benar kapan tepatnya {{nowrap|1=gcd(''n'',''φ''(''n'')) = 1}}.<ref>{{Harv|Jungnickel|1992|pp=545–547}}.</ref> Bilangan siklik mencakup semua bilangan prima, tetapi ada juga yang [[bilangan komposit | komposit]] seperti 15. Namun, semua bilangan siklik adalah ganjil kecuali 2. Bilangan siklik tersebut adalah:

:1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... {{OEIS|id=A003277}}

Definisi segera menyiratkan bahwa grup siklik memiliki [[presentasi grup]] {{nowrap|1=C<sub>∞</sub> = {{langle}}''x'' {{!}} {{rangle}}}} and {{nowrap|1=C<sub>''n''</sub> = {{langle}}''x'' {{!}} ''x''<sup>''n''</sup>{{rangle}}}} untuk hingga '' n ''.<ref>{{Harv|Coxeter|Moser|1980|p=1}}.</ref>

== Objek terkait ==

=== Representasi ===
[[Teori representasi grup hingga | teori representasi]] dari kelompok siklik adalah kasus dasar penting untuk teori representasi dari grup hingga yang lebih umum.  Dalam [[teori karakter | kasus kompleks]], representasi grup siklik terurai menjadi [[jumlah langsung]] dari karakter linear, membuat hubungan antara teori karakter dan teori representasi menjadi transparan. Dalam [[teori representasi modular | kasus karakteristik positif]], representasi tak terurai dari kelompok siklik membentuk model dan dasar induktif untuk teori representasi kelompok dengan [[subgrup Sylow]] siklik dan lebih umum representasi.

=== Grafik Cyle ===
{{Further|Grafik Cyle (aljabar)}}
{{anchor|Z_sub2}}
'''Grafik Cyle''' mengilustrasikan berbagai siklus [[grup (matematika) | grup]] dan sangat berguna dalam memvisualisasikan struktur [[grup hingga]] kecil. Grafik siklus untuk grup siklik hanyalah [[grafik melingkar]], dengan urutan grup sama dengan jumlah node. Generator tunggal mendefinisikan grup sebagai jalur arah pada grafik, dan generator terbalik mendefinisikan jalur mundur. Jalur sepele (identitas) dapat digambar sebagai [[Loop (teori grafik) | loop]] tetapi biasanya disembunyikan. Z<sub>2</sub> terkadang digambar dengan dua tepi melengkung sebagai [[multigraf]].<ref>{{MathWorld|title=Cycle Graph|id=CycleGraph}}</ref>

Grup siklik Z<sub> '' n '' </sub>, orde '' n '', adalah satu siklus yang digambarkan secara sederhana sebagai poligon bersisi '' n '' dengan elemen pada simpulnya.
{| class="wikitable"
|+ Grafik Cyle hingga urutan 24
|- align=center
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC1.svg|40px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC2.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC3.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC4.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC5.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC6.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC7.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC8.svg|60px]]
|- align=center
| Z<sub>1</sub>|| Z<sub>2</sub>|| Z<sub>3</sub>|| Z<sub>4</sub>|| Z<sub>5</sub>|| Z<sub>6</sub> = Z<sub>3</sub>×Z<sub>2</sub>|| Z<sub>7</sub>|| Z<sub>8</sub>
|- align=center
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC9.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC10.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC11.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC12.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC13.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC14.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC15.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC16.svg|60px]]
|- align=center
| Z<sub>9</sub>||Z<sub>10</sub> = Z<sub>5</sub>×Z<sub>2</sub>||Z<sub>11</sub>||Z<sub>12</sub> = Z<sub>4</sub>×Z<sub>3</sub>||Z<sub>13</sub>||Z<sub>14</sub> = Z<sub>7</sub>×Z<sub>2</sub>||Z<sub>15</sub> = Z<sub>5</sub>×Z<sub>3</sub>||Z<sub>16</sub>
|- align=center
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC17.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC18.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC19.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC20.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC21.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC22.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC23.svg|60px]]
| [[Berkas:GroupDiagramMiniC24.svg|60px]]
|- align=center
| Z<sub>17</sub>||Z<sub>18</sub> = Z<sub>9</sub>×Z<sub>2</sub>||Z<sub>19</sub>||Z<sub>20</sub> = Z<sub>5</sub>×Z<sub>4</sub>||Z<sub>21</sub> = Z<sub>7</sub>×Z<sub>3</sub>||Z<sub>22</sub> = Z<sub>11</sub>×Z<sub>2</sub>||Z<sub>23</sub>||Z<sub>24</sub> = Z<sub>8</sub>×Z<sub>3</sub>
|}

=== Grafik Cayley ===
{{main|Grafik melingkar}}
[[Berkas:Paley13.svg|thumb|240px|[[Grafik Paley]] urutan 13, grafik melingkar yang dibentuk sebagai grafik Cayley dari '''Z'''/13 dengan genset {1,3,4}]]
[[Grafik Cayley]] adalah grafik yang ditentukan dari pasangan ('' G '', '' S '') di mana '' G '' adalah grup dan '' S '' adalah kumpulan generator untuk grup; itu memiliki simpul untuk setiap elemen grup, dan tepi untuk setiap produk elemen dengan generator. Dalam kasus grup siklik hingga, dengan generator tunggalnya, grafik Cayley adalah [[grafik Cycle]], dan untuk grup siklik tak hingga dengan generatornya, grafik Cayley adalah [[grafik jalur]] tak terhingga ganda. Namun, grafik Cayley juga dapat ditentukan dari kumpulan generator lain. Grafik Cayley dari grup siklik dengan genset sembarang disebut [[grafik sirkulant]].<ref>{{Harv|Alspach|1997|pp=1–22}}.</ref> Grafik ini dapat direpresentasikan secara geometris sebagai satu set titik yang berjarak sama pada lingkaran atau garis, dengan setiap titik terhubung ke tetangga dengan jarak yang sama satu sama lain. Mereka adalah persis [[grafik verteks-transitif]] yang [[Grafik automorfisme | grup simetri]] termasuk grup siklik transitif.<ref>{{Harv|Vilfred|2004|pp=34–36}}.</ref>

=== Endomorfisme ===
[[Gelanggang endomorfisme]] dari grup abelian '''Z'''/''n'''''Z''' adalah [[gelanggang homomorfisme | isomorfis]] menjadi '''Z'''/''n'''''Z''' dirinya sebagai [[gelanggang (aljabar) | gelanggang]].<ref name="ks">{{Harv|Kurzweil|Stellmacher|2004|p=50}}.</ref> Di bawah isomorfisme ini, angka '' r '' sesuai dengan endomorfisme '''Z'''/''n'''''Z''' yang memetakan setiap elemen ke jumlah salinan '' r '' darinya. Ini adalah bijeksi jika dan hanya jika '' r '' coprime dengan '' n '', jadi [[grup automorfisme]] dari '''Z'''/''n'''''Z''' isomorfik ke grup unit ('''Z'''/''n'''''Z''')<sup>×</sup>.<ref name="ks"/>

Demikian pula, gelanggang endomorfisme dari grup aditif '''Z''' isomorfik ke gelanggang '''Z'''.  Kelompok automorfismenya adalah isomorfik terhadap kelompok satuan gelanggang '''Z''', yaitu untuk {{nowrap|({−1, +1}, ×) ≅ C<sub>2</sub>}}.

=== Produk Tensor dan Hom dari grup siklik ===
[[Produk tensor]] {{nowrap|'''Z'''/''m'''''Z''' ⊗ '''Z'''/''n'''''Z'''}} dapat ditunjukkan menjadi isomorfik {{nowrap|'''Z''' / gcd(''m'', ''n'')'''Z'''}}. Sehingga kita bisa membentuk kumpulan group [[Homomorfisme grup | homomorfisme]] dari '''Z'''/''m'''''Z''' pada '''Z'''/''n'''''Z''', dilambangkan {{nowrap|hom('''Z'''/''m'''''Z''', '''Z'''/''n'''''Z''')}}, yang merupakan grup.

Untuk produk tensor, ini adalah konsekuensi dari fakta umum bahwa {{nowrap|''R''/''I'' ⊗<sub>''R''</sub> ''R''/''J'' ≅ ''R''/(''I'' + ''J'')}}, di mana '' R '' adalah komutatif [[gelanggang (matematika) | gelanggang]] dengan satuan dan '' I '' dan '' J '' adalah [[Ideal (teori cincin) | ideal]] dari gelanggang. Untuk kelompok Hom, ingatlah bahwa itu isomorfik ke subgrup {{nowrap|'''Z''' / ''n'''''Z'''}} terdiri dari unsur-unsur urutan membagi '' m ''. Subkelompok itu adalah siklus keteraturan {{nowrap|gcd(''m'', ''n'')}}, yang melengkapi buktinya.

== Lihat pula ==
* [[Grafik Cycle (grup)]]
* [[Modul siklik]]
* [[Pengayak siklik]]
* [[Grup Prüfer]] ([[Himpunan terhitung | analog tak terhingga]])
* [[Grup lingkaran]] ([[Himpunan terhitung | tak terhitung tak terbatas]] analog)

== Catatan Kaki ==

=== Catatan ===
{{reflist|group=note}}

=== Kutipan ===
{{reflist|30em}}

=== Referensi ===
*{{citation | display-authors = etal | last1 = Alonso | first1 = J. M. | at = Corollary&nbsp;3.6 | contribution = Notes on word hyperbolic groups | mr = 1170363 | publisher = World Scientific | location = River Edge, NJ | title = Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990) | url = http://www.cmi.univ-mrs.fr/~hamish/Papers/MSRInotes2004.pdf | year = 1991 | access-date = 2013-11-26 | archive-url = https://web.archive.org/web/20130425163632/http://www.cmi.univ-mrs.fr/~hamish/Papers/MSRInotes2004.pdf | archive-date = 2013-04-25 | url-status = dead }}
*{{citation | last = Alspach | first = Brian | author-link = Brian Alspach | contribution = Isomorphism and Cayley graphs on abelian groups | location = Dordrecht | mr = 1468786 | pages = 1–22 | publisher = Kluwer Acad. Publ. | series = NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. | title = Graph symmetry (Montreal, PQ, 1996) | url = https://books.google.com/books?id=-tIaXdII8egC&pg=PA1 | volume = 497 | year = 1997 | isbn = 978-0-792-34668-5}}
*{{citation|title=Algebra, Chapter 0|volume=104|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|first=Paolo|last=Aluffi|publisher=American Mathematical Society|year=2009|isbn=978-0-8218-4781-7|url=https://books.google.com/books?id=deWkZWYbyHQC&pg=PA82|pages=82–84|contribution=6.4 Example: Subgroups of Cyclic Groups}}
*{{Citation |last=Bourbaki |first=Nicolas |author-link=Nicolas Bourbaki |orig-year=1970 |date=1998-08-03 |title=Algebra I: Chapters 1-3 |publisher=Springer Science & Business Media |edition=softcover reprint |series=Elements of Mathematics |volume=1 |url={{Google books|STS9aZ6F204C|Algebra I: Chapters 1-3|page=49|plainurl=yes}} |isbn=978-3-540-64243-5}}
*{{citation | last1=Coxeter | first1 = H. S. M. |author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter|last2= Moser|first2= W. O. J.  | title=Generators and Relations for Discrete Groups | location=New York | publisher=Springer-Verlag | year=1980 | isbn=0-387-09212-9|page=1}}
*{{citation |last1=Lajoie |first1=Caroline |last2=Mura |first2=Roberta |date=November 2000 |title=What's in a name? A learning difficulty in connection with cyclic groups |journal=For the Learning of Mathematics |volume=20 |issue=3 |pages=29–33 |jstor=40248334}}
*{{citation | last = Cox | first = David A. | author-link = David A. Cox | doi = 10.1002/9781118218457 | at = Theorem&nbsp;11.1.7, p.&nbsp;294 | edition = 2nd | isbn = 978-1-118-07205-9 | publisher = John Wiley & Sons | series = Pure and Applied Mathematics | title = Galois Theory | year = 2012}}
*{{citation | last1=Gallian | first1=Joseph | title=Contemporary Abstract Algebra | publisher=Cengage Learning | edition=7th | isbn= 978-0-547-16509-7 | year=2010 | at = Exercise&nbsp;43, p.&nbsp;84|url=https://books.google.com/books?id=CnH3mlOKpsMC&pg=PA84}}
*{{Citation |last1=Gannon |first1=Terry |title=Moonshine beyond the monster: the bridge connecting algebra, modular forms and physics |series=Cambridge monographs on mathematical physics |year=2006 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-83531-2|page=18|url=https://books.google.com/books?id=ehrUt21SnsoC&pg=PA18|quotation='''Z'''<sub>''n''</sub> is simple iff ''n'' is prime.}}
*{{citation | last = Jungnickel | first = Dieter |author-link=Dieter Jungnickel| doi = 10.2307/2324062 | issue = 6 | journal = [[American Mathematical Monthly]] | mr = 1166004 | pages = 545–547 | title = On the uniqueness of the cyclic group of order ''n'' | volume = 99 | year = 1992| jstor = 2324062 }}
*{{citation|title=Partially Ordered Algebraic Systems|volume=28|series=International series of monographs in pure and applied mathematics|first=László|last=Fuchs|author-link=László Fuchs|publisher=Courier Dover Publications|year=2011|isbn=978-0-486-48387-0|page=63|url=https://books.google.com/books?id=V_k79sVPcqYC&pg=PA63}}
*{{citation|title=The Theory of Finite Groups: An Introduction|series=Universitext|first1=Hans|last1=Kurzweil|first2=Bernd|last2=Stellmacher|publisher=Springer|year=2004|isbn=978-0-387-40510-0|page=50|url=https://books.google.com/books?id=6foucBXceC4C&pg=PA50}}
*{{citation|title=Randomized Algorithms|first1=Rajeev|last1=Motwani|author1-link=Rajeev Motwani|first2=Prabhakar|last2=Raghavan|publisher=Cambridge University Press|year=1995|isbn=978-0-521-47465-8|url=https://books.google.com/books?id=QKVY4mDivBEC&pg=PA401|at=Theorem&nbsp;14.14, p.&nbsp;401}}
*{{citation | last = Ore | first = Øystein | author-link = Øystein Ore | doi = 10.1215/S0012-7094-38-00419-3 | mr = 1546048 | issue = 2 | journal = Duke Mathematical Journal | pages = 247–269 | title = Structures and group theory. II | volume = 4 | year = 1938| hdl = 10338.dmlcz/100155 | hdl-access = free }}
*{{citation|title=Galois Theory|series=Universitext|first=Joseph J.|last=Rotman|publisher=Springer|year=1998|isbn=978-0-387-98541-1|url=https://books.google.com/books?id=M32GNlFkmHgC&pg=PA65|at=Theorem&nbsp;62, p.&nbsp;65}}
*{{citation | last = Stallings | first = John | contribution = Groups of cohomological dimension one | location = Providence, R.I. | mr = 0255689 | pages = 124–128 | publisher = Amer. Math. Soc. | title = Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, New York, 1968) | year = 1970}}
*{{citation|title=Fearful Symmetry: Is God a Geometer?|first1=Ian|last1=Stewart|author1-link=Ian_Stewart_(mathematician)|first2=Martin|last2=Golubitsky|author2-link=Marty Golubitsky|publisher=Courier Dover Publications|year=2010|isbn=978-0-486-47758-9|pages=47–48|url=https://books.google.com/books?id=7x_MF83tTKQC&pg=PA47}}
*{{citation|first=V.|last=Vilfred|contribution=On circulant graphs|title=Graph Theory and its Applications (Anna University, Chennai, March 14–16, 2001)|publisher=Alpha Science|editor1-first=R.|editor1-last=Balakrishnan|editor2-first=G.|editor2-last=Sethuraman|editor3-first=Robin J.|editor3-last=Wilson|year=2004|url=https://books.google.com/books?id=wG-08Lv8E-0C&pg=PA34|pages=34–36|isbn=8173195692}}
*{{citation|last1=Vinogradov|first1=I. M.|author1-link=Ivan_Matveyevich_Vinogradov|year=2003|title=Elements of Number Theory|publisher=Dover Publications|location=Mineola, NY|isbn=0-486-49530-2|chapter=§ VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES|pages=105–132|chapter-url=https://books.google.com/books?id=xlIfdGPM9t4C&pg=PA105|accessdate=2020-12-16|archive-date=2023-08-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20230809154231/https://books.google.com/books?id=xlIfdGPM9t4C&pg=PA105|dead-url=no}}

=== Bacaan lebih lanjut ===
*{{Citation | last1=Herstein | first1=I. N. | title=Abstract algebra | publisher=[[Prentice Hall]] | edition=3rd | isbn=978-0-13-374562-7 | mr=1375019  | year=1996 | pages=53–60}}

== Pranala luar ==
*Milne, Group theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230531101538/https://jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html |date=2023-05-31 }}
* [http://members.tripod.com/~dogschool/cyclic.html An introduction to cyclic groups] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090202153822/http://members.tripod.com/~dogschool/cyclic.html |date=2009-02-02 }}
*{{MathWorld|title=Cyclic Group|urlname=CyclicGroup}}
* [http://groupnames.org/#?cyclic Cyclic groups of small order on GroupNames] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809151837/https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/GroupNames/#?cyclic |date=2023-08-09 }}

{{DEFAULTSORT:Cyclic Group}}
[[Kategori:Teori grup Abelian]]
[[Kategori:Sifat grup]]