Lihat sumber Grup selang-seling

{{More footnotes|date=Desember 2020}}
{{Group theory sidebar |Finite}}
Dalam [[matematika]], '''grup selang-seling''' ({{Lang-en|Alternating group}}) adalah [[Grup (matematika)|grup]] dari [[permutasi genap]] dari [[himpunan hingga]]. Grup selang-seling pada himpunan elemen <math>n</math> disebut '''grup selang-seling derajat''' <math>n</math>, atau '''grup selang-seling pada huruf''' <math>n</math> dan dilambangkan dengan <math>\mathrm{A}_n</math> or <math>\operatorname{Alt}(n)</math>.

== Sifat dasar ==
Untuk <math>n > 1</math>, grup <math>\operatorname{A}_n</math> adalah [[subgrup komutator]] dari [[Grup simetrik|grup simetris]] <math>S_n</math> dengan [[Indeks subkelompok|indeks]] 2 dan karena itu memiliki <math>\frac{n!}{2}</math> elemen (dimana <math>!</math> melambangkan [[faktorial]]). Ini adalah [[kernel (aljabar)|kernel]] dari tanda tangan [[kehomomorfan grup]] <math>\sgn \colon S_n \to \{1, -1\} </math> dijelaskan di bawah [[grup simetrik]].

Grup <math>\mathrm{A}_n</math> adalah [[grup abelian|abelian]] [[jika dan hanya jika]] <math>n \le 3</math> dan [[grup sederhana|sederhana]] jika dan hanya jika <math>n = 3</math> atau <math>n \ge 5</math>.<!-- Catatan A3 sebenarnya adalah grup sederhana dari urutan 3. A1 dan A2 adalah grup urutan 1, jadi biasanya tidak disebut sederhana, dan A4 memiliki subgrup normal non-identitas yang tepat sehingga tidak sederhana. -->  <math>\mathrm {A}_5</math> adalah [[grup sederhana]] takAbel terkecil, memiliki urutan 60, dan [[Grup terpecahkan|grup takterpecahkan]] terkecil.

Grup <math>\mathrm A_4</math> memiliki [[grup empat Klein]] <math>V</math> sebagai [[subgrup normal]] wajar, yaitu identitas dan transposisi ganda <math>\{(), (12)(34), (13)(24), (14,23)\}</math>, itulah kernel dari surjeksi <math>\mathrm A_4</math> ke <math>\mathrm A_3 = \mathrm Z_3</math>. Kita memiliki [[urutan persis]] <math>V \to \mathrm A_4 \to \mathrm A_3 = \mathrm Z_3</math>. Dalam [[Teori Galois]], peta ini, atau lebih tepatnya peta berpadanan <math>\mathrm S_4 \to \mathrm S_3</math>, berpadanan dengan mengasosiasikan [[Penyelesai Lagrange]] kubik ke kuartik, yang memungkinkan [[polinomial kuartik]] untuk diselesaikan dengan radikal, seperti yang ditetapkan oleh [[Lodovico Ferrari]].

== Kelas konjugasi ==
Seperti dalam [[grup simetris]], dua elemen <math>\mathrm{A}_n</math> yang sekawan oleh elemen <math>\mathrm{A}_n</math> harus memiliki [[Penguraian siklus (teori grup)|bentuk siklus]] yang sama. Kebalikannya belum tentu benar. Jika bentuk siklus hanya terdiri dari siklus dengan panjang ganjil tanpa ada dua siklus yang panjangnya sama, dimana siklus dengan panjang satu dimasukkan ke dalam tipe siklus, maka tepat ada dua kelas konjugasi untuk bentuk siklus ini {{harv|Scott|1987|loc=§11.1, p299}}.

Contoh:
* Kedua [[permutasi]] <math>(123)</math> dan <math>(132)</math> tidak sekawan dalam <math>\mathrm A_3</math>, meskipun mereka memiliki bentuk siklus yang sama, dan oleh karena itu sekawan di <math>\mathrm S_3</math> .
*Permutasi (123) (45678) tidak sekawan dengan kebalikannya <math>(132)(48765)</math> pada <math>\mathrm A_8</math>, meskipun kedua permutasi tersebut memiliki bentuk siklus yang sama, sehingga keduanya sekawan dalam <math>\mathrm S_8</math>.

== Hubungan dengan grup simetrik ==
:''Lihat [[Grup simetrik#Hubungan dengan grup alternatif|Grup simetris]]''.

== Pembangkit dan relasi ==
<math>\mathrm{A}_n</math> dihasilkan oleh siklus-3, karena siklus-3 dapat diperoleh dengan menggabungkan pasangan transposisi. Himpunan pembangkit ini sering digunakan untuk membuktikan bahwa <math>\mathrm{A}_n</math> adalah sederhana untuk <math>n \ge 5</math>.

== Grup automorfisme ==
{{details|Grup automorfisme simetrik dan selang-seling}}
{| align="right" class=wikitable
|-
! <math>n</math>
! <math>\operatorname{Aut}(\mathrm{A}_n)</math>
! <math>\operatorname{Out}(\mathrm{A}_n)</math>
|- align=center
| <math>n\geq 4, n\neq 6</math>
| <math>\mathrm{S}_n</math>
| <math>\mathrm{Z}_2</math>
|- align=center
| <math>n=1,2</math>
| <math>\mathrm{Z}_1</math>
| <math>\mathrm{Z}_1</math>
|- align=center
| <math>n=3</math>
| <math>\mathrm{Z}_2</math>
| <math>\mathrm{Z}_2</math>
|- align=center
| <math>n=6</math>
| <math>\mathrm{S}_6 \rtimes \mathrm{Z}_2</math>
| <math>\mathrm{V}=\mathrm{Z}_2 \times \mathrm{Z}_2</math>
|}

Untuk <math>n > 3</math>, kecuali untuk <math>n = 6</math>, [[grup automorfisme]] dari <math>\mathrm{A}_n</math> adalah grup simetris <math>\mathrm S_n</math>, dengan [[grup automorfisme dalam]] <math>\mathrm{A}_n</math> dan [[grup automorfisme luar]] <math>\mathrm Z_n</math>; automorfisme luar berasal dari konjugasi oleh permutasi ganjil.

Untuk <math>n = 1</math> dan <math>n = 2</math>, grup automorfisme adalah trivial. Untuk <math>n = 3</math> grup automorfisme adalah <math>\mathrm Z_2</math>, dengan grup automorfisme dalam dan grup automorfisme luar trivial <math>\mathrm Z_2</math>.

Grup automorfisme luar <math>\mathrm A_6</math> adalah [[grup empat Klein]] <math>V = \mathrm Z_2 \times \mathrm Z_2</math>, dan terkait dengan [[Grup simetrik#Grup automorfisme|automorfisme luar]] <math>\mathrm S_6</math>. Automorfisme luar ekstra di <math>\mathrm A_6</math> menukar siklus-3 (seperti <math>(123)</math>) dengan elemen bentuk <math>3^2</math> (seperti <math>(123)(456)</math>).

== Isomorfisme istimewa ==
Terdapat beberapa [[isomorfisme istimewa]] antara beberapa grup kecil bergantian dan [[grup tipe Lie]] kecil, khususnya [[grup linear khusus proyektif]]. Ini adalah:
* <math>\mathrm A_4</math> isomorfik untuk <math>\operatorname{PSL}_2 (3)</math><ref name="Robinson-p78">Robinson (1996), [{{Google books|plainurl=y|id=lqyCjUFY6WAC|page=78|text=PSL}} p. 78]</ref> and [[grup simetrik]]
*dari [[simetri tetrahedrai]] kiral
* <math>\mathrm A_5</math> isomorfik untuk <math>\operatorname{PSL}_2 (4)</math>, <math>\operatorname{PSL}_2 (5)</math>, dan kelompok simetri kiral [[simetri icosahedral|simetri ikosahedral]]. (Lihat<ref name="Robinson-p78" /> untuk isomorfisme taklangsung dari <math>\operatorname {PSL} _{2}(\mathrm F_5) \to \mathrm A_5</math> menggunakan klasifikasi grup sederhana berorde 60, dan [[Grup linear proyektif#Aksi pada poin p|di sini]] untuk bukti langsung).
* <math>\mathrm A_6</math> isomorfik untuk <math>\operatorname{PSL}_2 (9)</math> dan <math>\operatorname{PSp}_4 (2)^\prime</math>.
* <math>\mathrm A_8</math> isomorfik untuk <math>\operatorname{PSL}_4 (2)</math>.

Lebih jelasnya, <math>\mathrm A_3</math> isomorfik bagi [[grup siklik]] <math>\mathrm Z_3</math>, dan <math>\mathrm A_0</math>, <math>\mathrm A_1</math>, dan <math>\mathrm A_2</math> isomorfik ke [[grup trivial]] (yang juga <math>\operatorname{SL}_1(q) = \operatorname{PSL}_1(q)</math> untuk <math>q</math>).
<!-- Bagian ini memiliki beberapa kesalahan, beri komentar hingga diperbaiki. A4 tidak sempurna, SL (4,2) = PSL (4,2) = A8 bukan penutup Schur dari A8 -->
<!--
Ekstensi terkait <math>\operatorname{SL}_n(q) \to \operatorname{PSL}_n(q)</math> adalah [[ekstensi pusat universal sempurna]] untuk <math>\mathrm{A}_4,\mathrm{A}_5,\mathrm{A}_8</math>, dengan keunikan perluasan pusat universal yang sempurna;
untuk <math>\operatorname{PSL}_2(9) \cong \mathrm{A}_6</math>, ekstensi terkait adalah ekstensi sentral yang sempurna, tetapi tidak universal: ada 3 kali lipat [[Pengganda Schur|grup penutup]].
-->

== Contoh <math>\mathrm S_4</math> dan <math>\mathrm A_4</math> ==
{| style="margin:auto;" cellspacing="0" cellpadding="0"
| style="padding:0 1em" |[[Berkas:Symmetric group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|350px|[[Tabel Cayley]] dari [[grup simetrik]] <math>\mathrm S_4</math><br><br>[[Paritas permutasi|Permutasi ganjil]] diberi warna:<br>[[Transposisi (matematika)|Transposisi]] dalam warna hijau dan [[Siklus dan titik tetap|siklus-4]] dalam warna jingga]]
| style="padding:0 1em" |
| style="padding:0 1em" |[[Berkas:Symmetric group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|350px|[[Tabel Cayley]] dari [[grup simetrik]] <math>\mathrm S_4</math><br><br>[[Paritas permutasi|Permutasi ganjil]] diberi warna:<br>[[Transposisi (matematika)|Transposisi]] dalam warna hijau dan [[Siklus dan titik tetap|siklus-4]] dalam warna jingga

Subgrup:<br>[[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px|Klein empat grup]]<br>[[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svg|60px|Grup siklik Z3]]  [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg|60px|Grup siklik Z3]]  [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg|60px|Grup siklik Z3]]  [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg|60px|Grup siklik Z3]]]]
|}
{| style="margin:auto;"  cellspacing="0" cellpadding="0"
|+ '''[[Grafik siklus (aljabar)|Grafik siklus]]'''
|- align=center valign=top
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniC3.svg|200px]]<br><math>\mathrm A_3 = \mathrm Z_3</math> (urutan 3)
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniA4.svg|200px]]<br><math>\mathrm A_4</math> (urutan 12)
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniA4xC2.png|200px]]<br><math>\mathrm A_4 \times \mathrm Z_2</math> (urutan 24)
|- align=center valign=top
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniD6.svg|200px]]<br><math>\mathrm S_3 = \operatorname{Dih}_3</math> (urutan 6)
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:Symmetric group 4; cycle graph.svg|200px]]<br><math>\mathrm S_4</math> (urutan 24)
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:Alternating group 4; cycle graph; subgroup of S4.svg|200px]]<br><math>\mathrm A_4</math> di <math>\mathrm S_4</math> di kiri
|}

== Contoh <math>\mathrm A_5</math> sebagai subgrup rotasi ruang-3 ==
[[Berkas:A5_in_SO(3).gif|thumb|<math>\mathrm A_5 < \operatorname{SO}_3(\mathbb{R})</math>
{{legend|gray|[[bola (matematika)|bola]] – jari-jari <math> \pi </math> – [[ruang homogen prinsip]] dari <math> \operatorname{SO}(3) </math>}}
 {{legend|yellow|[[ikosidodehahedron]] – jari-jari <math> \pi </math> – kelas sekawan siklus-2-2}}
 {{legend|purple|[[ikosahedron]] – jari jari <math> \frac{4 \pi}{5} </math> – setengah dari [https://groupprops.subwiki.org/wiki/Splitting_criterion_for_conjugacy_classes_in_the_alternating_group membagi] kelas sekawan siklus-5}}
 {{legend|green|[[dodekahedron]] – jari-jari <math> \frac{2 \pi}{3} </math> – kelas sekawan siklus-3}}
 {{legend|red|ikosahedron – jari jari <math> \frac{2 \pi}{5} </math> – setengah detik dari pembagian siklus-5}}
]]
[[Berkas:Compound of five tetrahedra.png|thumb|Senyawa lima tetrahedra. <math> \mathrm A_5 </math> bekerja pada dodekahedron dengan mengubah 5 tetrahedra yang tertulis. Bahkan permutasi tetrahedra ini adalah persis rotasi simetrik dari dodekahedron dan mencirikan pemadanan <math>\mathrm A_5 < \operatorname{SO}_3(\mathbb{R})</math>.]]

<math>\mathrm A_5</math> adalah grup isometri dodekahedron dalam 3 ruang, jadi ada wakilan <math>\mathrm A_5 \to \operatorname{SO}_3(\mathbb{R})</math>

Dalam gambar ini verteks polihedra mewakili elemen grup, dengan pusat bola mewakili elemen identitas. Setiap verteks mewakili rotasi pada sumbu yang menunjuk dari pusat ke verteks tersebut, dengan sudut yang sama dengan jarak dari titik asal, dalam radian. Verteks dalam polihedron yang sama berada dalam kelas sekawan yang sama. Karena persamaan kelas sekawan untuk <math> \mathrm A_5 </math> adalah <math>1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60</math>, kita mendapatkan empat polihedra (taktrivial) berbeda.

Simpul dari setiap polihedron berada dalam korespondensi bijektif dengan elemen kelas sekawannya, dengan pengecualian kelas sekawan siklus-<math>(2,2)</math>, yang diwakili oleh sebuah ikosidodekahedron di permukaan luar, dengan verteks antipodal yang diidentifikasi satu sama lain. Alasan redundansi ini adalah bahwa rotasi terkait oleh <math> \pi </math> radian, sehingga dapat diwakili oleh vektor dengan panjang <math> \pi </math> di salah satu dari dua arah. Jadi kelas dari siklus-<math>(2,2)</math> mengandung 15 elemen, sedangkan ikosidodekahedron memiliki 30 verteks.

Dua kelas sekawan dari dua belas siklus-5 dalam <math> \mathrm A_5 </math> diwakili oleh dua ikosahedra, dari jari-jari berturut-turut, <math>\frac{2\pi}{5}</math> dan <math>\frac{4\pi}{5}</math>. Automorfisme luar taktrivial pada <math>\operatorname{Out}(\mathrm A_5)\simeq \mathrm Z_2</math> mempertukarkan kedua kelas ini dan ikosahedra berpadanan.

== Catatan ==
{{Reflist}}

== Referensi ==
{{Refbegin}}
* {{Citation |last1=Robinson |first1=Derek John Scott |title=A course in the theory of groups |edition=2 |series=Graduate texts in mathematics |volume=80 |year=1996 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-94461-6 }}
*{{citation
|first=Issai
|last=Schur
|title=Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen
|journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
|volume=139
|year=1911
|pages=155–250
|author-link=Issai Schur
|doi=10.1515/crll.1911.139.155
}}
*{{Citation | last1=Scott | first1=W.R. | title=Group Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-65377-8 | year=1987 }}

{{Refend}}

== Pranala luar ==
* {{mathworld | urlname = AlternatingGroup  | title = Alternating group }}
* {{mathworld | urlname = AlternatingGroupGraph  | title = Alternating group graph}}

{{DEFAULTSORT:Grup selang-seling}}
[[Kategori:Grup hingga]]
[[Kategori:Grup permutasi]]