Lihat sumber Grup sederhana

{{Group theory sidebar |Basics}}

Dalam [[matematika]], '''grup sederhana''' adalah sebuah nontrivial [[Grup (matematika)|grup]] yang hanya [[subgrup normal]] adalah [[grup trivial]] dan grup itu sendiri.  Suatu grup yang tidak sederhana dapat dipecah menjadi dua grup yang lebih kecil, yaitu subgrup normal nontrivial dan [[grup hasil bagi]] yang sesuai. Proses ini dapat diulangi, dan untuk [[grup terbatas]] seseorang akhirnya sampai pada grup sederhana yang ditentukan secara unik, dengan [[teorema Jordan–Hölder]].

[[Klasifikasi grup sederhana hingga]] yang lengkap, diselesaikan pada tahun 2004, merupakan tonggak penting dalam sejarah matematika.

== Contoh ==

=== Grup sederhana hingga ===
[[Grup siklik]] ''G'' = '''Z'''/3'''Z''' dari [[kongruensi kelas]] es [[operasi modulo|modulo]] 3 (lihat [[aritmatika modular]]) sederhana. Jika '' H '' adalah subgrup dari grup ini, nya [[Urutan (teori grup)|urutan]] (jumlah elemen) harus menjadi [[pembagi]] dari urutan '' G '' yaitu 3. Karena 3 adalah bilangan prima, satu-satunya pembagi adalah 1 dan 3, jadi baik '' H '' adalah '' G '', atau '' H '' adalah grup trivial. Di sisi lain, grup ''G'' = '''Z'''/12'''Z''' tidak sederhana. Himpunan '' H '' dari kelas-kelas kesesuaian dari 0, 4, dan 8 modulo 12 adalah subgrup berorde 3, dan ini adalah subkelompok normal karena setiap subkelompok dari [[grup abelian]] adalah normal. Demikian pula, grup aditif '''Z''' dari [[integer]] s tidak sederhana; himpunan bilangan bulat genap adalah subgrup normal non-trivial yang tepat.<ref>Knapp (2006), [{{Google books|plainurl=y|id=KVeXG163BggC|page=170|text=Z is not simple, having the nontrivial subgroup 2Z}} p. 170]</ref>

Seseorang dapat menggunakan jenis penalaran yang sama untuk setiap grup abelian, untuk menyimpulkan bahwa satu-satunya grup abelian sederhana adalah grup siklik dari urutan [[bilangan prima|prima]]. Klasifikasi kelompok sederhana nonabelian jauh lebih sepele. Kelompok sederhana non abelian terkecil adalah [[grup bergantian]] ''A''<sub>5</sub> dari orde 60, dan setiap grup orde 60 sederhana adalah [[Isomorfisme grup|isomorfis]] pafa ''A''<sub>5</sub>.<ref>Rotman (1995), [{{Google books|plainurl=y|id=lYrsiaHSHKcC|page=226|text=simple groups of order 60 are isomorphic}} p. 226]</ref> Kelompok sederhana nonabelian terkecil kedua adalah kelompok linier khusus proyektif [[PSL(2,7)]] dengan orde 168, dan adalah mungkin untuk membuktikan bahwa setiap kelompok orde 168 sederhana isomorfik ke [[PSL(2,7)]].<ref>Rotman (1995), p. 281</ref><ref>Smith & Tabachnikova (2000), [{{Google books|plainurl=y|id=DD0TW28WjfQC|page=144|text=any two simple groups of order 168 are isomorphic}} p. 144]</ref>

=== Grup sederhana tak terbatas ===
Grup bergantian tak terbatas, yaitu grup permutasi yang didukung bahkan hingga bilangan bulat, <math>A_\infty</math>. Grup ini dapat ditulis sebagai penyatuan yang meningkat dari grup sederhana hingga <math> A_n </math> sehubungan dengan embedding standar <math>A_n\to A_{n+1}.</math> Keluarga contoh lain dari kelompok sederhana tak terbatas diberikan oleh <math>\mathrm{PSL}_n(F),</math> where <math>F</math> adalah bidang tak terbatas dan <math>n \geq 2.</math>

Jauh lebih sulit untuk membangun grup sederhana tanpa batas yang '' dihasilkan secara terbatas ''. Hasil keberadaan pertama tidak eksplisit; hal ini disebabkan oleh [[Graham Higman]] dan terdiri dari quotients sederhana dari [[grup Higman]].<ref>{{Citation | last1=Higman | first1=Graham | author1-link=Graham Higman | title=A finitely generated infinite simple group | doi=10.1112/jlms/s1-26.1.59  |mr=0038348 | year=1951 | journal=Journal of the London Mathematical Society |series=Second Series | issn=0024-6107 | volume=26 | issue=1 | pages=61–64}}</ref> Contoh eksplisit, yang ternyata disajikan secara halus, termasuk [[gruo Thompson]] '' T '' dan '' V '' yang tidak terbatas. Grup sederhana tak terbatas yang disajikan dengan sempurna [[Torsi (aljabar)|bebas torsi]] dibuat oleh Burger-Moze.<ref>{{cite journal | last1 = Burger | first1 = M. | last2 = Mozes | first2 = S. | year = 2000 | title = Lattices in product of trees | journal = Publ. Math. IHES | volume = 92 | pages = 151–194 | doi=10.1007/bf02698916}}</ref>

== Klasifikasi ==
Belum ada klasifikasi yang diketahui untuk kelompok sederhana umum (tak terbatas), dan klasifikasi semacam itu diharapkan tidak ada.

=== Grup sederhana hingga ===
{{main|daftar grup sederhana hingga}}
{{details|Klasifikasi grup sederhana hingga}}
[[Daftar grup sederhana hingga|grup sederhana hingga]] penting karena dalam arti tertentu mereka adalah "blok bangunan dasar" dari semua grup hingga, agak mirip dengan cara [[bilangan prima]] adalah blok bangunan dasar dari [[bilangan bulat]]. Hal ini diungkapkan oleh [[Teorema Jordan–Hölder]] yang menyatakan bahwa dua [[rangkaian komposisi]] dari grup tertentu memiliki panjang yang sama dan faktor yang sama, [[hingga]] [[permutasi]] dan [[isomorfisme]]. Dalam upaya kolaboratif yang besar, [[klasifikasi kelompok sederhana hingga]] dinyatakan diselesaikan pada tahun 1983 oleh [[Daniel Gorenstein]], meskipun beberapa masalah muncul (khususnya dalam klasifikasi [[grup kuasithin]], yang dipasang pada tahun 2004).

Secara singkat, kelompok sederhana hingga diklasifikasikan sebagai tergeletak dalam salah satu dari 18 keluarga, atau menjadi salah satu dari 26 pengecualian:
* Z<sub>''p''</sub> – [[grup siklik]] dari urutan utama
* ''A''<sub>''n''</sub> - [[grup bergantian]] untuk <math>n \geq 5</math>
*:Grup alternatif dapat dianggap sebagai grup jenis Lie di atas [[bidang dengan satu elemen]], yang menyatukan keluarga ini dengan yang berikutnya, dan dengan demikian semua keluarga dari kelompok terbatas sederhana non-abelian dapat dianggap sebagai tipe Lie.
* Satu dari 16 keluarga [[grup jenis Lie]]
*:[[Grup Tits]] secara umum dianggap dari bentuk ini, meskipun secara tegas itu bukan dari tipe Lie, melainkan indeks 2 dalam grup tipe Lie.
* Salah satu dari 26 pengecualian, [[grup sporadis]], 20 di antaranya adalah subkelompok atau [[sub-hasil bagi]] dari [[grup monster]] dan disebut sebagai "Keluarga Bahagia", sedangkan 6 sisanya disebut sebagai [[grup paria|paria]].

== Struktur grup sederhana berhingga ==
[[Teorema Feit – Thompson|teorema]] dari [[Walter Feit|Feit]] dan [[John G. Thompson|Thompson]] menyatakan bahwa setiap kelompok berorde ganjil adalah [[grup solvabel|dapat dipecahkan]]. Oleh karena itu, setiap kelompok sederhana hingga memiliki urutan genap kecuali jika itu adalah siklus orde utama.

[[Konjektur Schreier]] menegaskan bahwa grup [[automorfisme luar]] dari setiap grup sederhana hingga dapat dipecahkan. Ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema klasifikasi.

== Sejarah untuk kelompok sederhana hingga ==
Ada dua alur dalam sejarah kelompok sederhana hingga, penemuan dan konstruksi kelompok dan keluarga sederhana tertentu, yang berlangsung dari karya Galois pada tahun 1820-an hingga pembangunan Monster pada tahun 1981; dan bukti bahwa daftar ini lengkap, yang dimulai pada abad ke-19, paling signifikan terjadi pada 1955 hingga 1983 (ketika kemenangan pada awalnya diumumkan), tetapi secara umum hanya disetujui untuk menjadi final. {{as of|2010}}, bekerja untuk meningkatkan bukti dan pemahaman terus berlanjut; Lihat {{Harv|Silvestri|1979}} untuk sejarah abad ke-19 tentang kelompok sederhana.

=== Konstruksi ===
Grup sederhana telah dipelajari setidaknya sejak awal [[teori Galois]], di mana [[Évariste Galois]] menyadari bahwa fakta bahwa [[kelompok pengganti]] pada lima atau lebih adalah sederhana (dan karenanya tidak dapat dipecahkan), yang dibuktikannya pada tahun 1831. Galois juga membangun [[grup linear khusus proyektif]] dari sebuah bidang di atas bidang berhingga prima, PSL(2,''p''), dan mengatakan bahwa mereka sederhana untuk '' p '' bukan 2 atau 3. Ini terkandung dalam surat terakhirnya kepada Chevalier,<ref name="chevalier-letter">{{Citation
 | last = Galois
 | first = Évariste
 | year = 1846
 | title = Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier
 | journal = [[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]
 | volume = XI
 | pages = 408–415
 | url = http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-16390&I=416&M=tdm
 | access-date = 2009-02-04
 | postscript = , PSL(2,''p'') dan kesederhanaan dibahas pada hal. 411; tindakan luar biasa pada 5, 7, atau 11 poin yang dibahas pada hlm. 411–412; GL(''ν'',''p'') dibahas di hal. 410
 | archive-date = 2022-11-26
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20221126151915/http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-16390&I=416&M=tdm
 | dead-url = no
 }}</ref> dan merupakan contoh berikutnya dari grup sederhana hingga.<ref name="raw">{{citation
|first=Robert
|last=Wilson
|author-link=Robert Arnott Wilson
|date=October 31, 2006
|url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html
|title=The finite simple groups
|chapter=Chapter 1: Introduction
|chapter-url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs_files/intro.ps
|accessdate=2020-12-12
|archive-date=2011-05-22
|archive-url=https://web.archive.org/web/20110522121819/http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html
|dead-url=no
}}</ref>

The next discoveries were by [[Camille Jordan]] in 1870.<ref>{{citation
|first=Camille
|last=Jordan
|author-link=Camille Jordan
|title=[[List of important publications in mathematics#Trait.C3.A9 des substitutions et des .C3.A9quations alg.C3.A9briques|Traité des substitutions et des équations algébriques]]
|year=1870
}}</ref> Jordan telah menemukan 4 famili dari grup matriks sederhana di atas [[bidang hingga]] orde utama, yang sekarang dikenal sebagai [[grup klasik]].

Pada waktu yang hampir bersamaan, diperlihatkan bahwa sebuah keluarga terdiri dari lima kelompok, disebut [[grup Mathieu]] dan pertama kali dijelaskan oleh [[Émile Léonard Mathieu]] pada tahun 1861 dan 1873, juga sederhana. Karena kelima kelompok ini dibangun dengan metode yang tidak menghasilkan banyak kemungkinan yang tak terhingga, mereka disebut "[[grup sporadis|sporadis]]" oleh [[William Burnside]] dalam buku teksnya tahun 1897.

Kemudian hasil Jordan pada kelompok klasik digeneralisasikan ke bidang terbatas sewenang-wenang oleh [[Leonard Dickson]], mengikuti klasifikasi [[aljabar Lie sederhana kompleks]] berdasarkan [[Wilhelm Killing]]. Dickson juga membangun grup pengecualian tipe G<sub>2</sub> dan [[E6 (matematika)|E<sub>6</sub>]] juga, tapi bukan tipe F<sub>4</sub>, E<sub>7</sub>, atau E<sub>8</sub> {{harv|Wilson|2009|p=2}}. Pada 1950-an pekerjaan kelompok tipe Lie dilanjutkan, dengan [[Claude Chevalley]] memberikan konstruksi seragam dari kelompok klasik dan kelompok jenis luar biasa dalam kertas 1955. Ini menghilangkan kelompok tertentu yang diketahui (kelompok kesatuan proyektif), yang diperoleh dengan "memutar" konstruksi Chevalley. Kelompok tipe Lie yang tersisa diproduksi oleh Steinberg, Tits, dan Herzig (yang memproduseri <sup>3</sup>''D''<sub>4</sub>(''q'') and <sup>2</sup>''E''<sub>6</sub>(''q'')) dan oleh Suzuki dan Ree ([[grup Suzuki–Ree]]).

Grup ini (grup tipe Lie, bersama dengan kelompok siklik, kelompok bergantian, dan lima kelompok Mathieu yang luar biasa) diyakini sebagai daftar lengkap, tetapi setelah jeda hampir satu abad sejak karya Mathieu, pada tahun 1964 [[gruo Janko]] pertama ditemukan, dan sisa 20 grup sporadis ditemukan atau diduga pada tahun 1965–1975, berpuncak pada tahun 1981, ketika [[Robert Griess]] mengumumkan bahwa ia telah membangun "[[grup Monster]]" milik [[Bernd Fischer (matematikawan)|Bernd Fischer]] ". Monster adalah grup sederhana sporadis terbesar yang memiliki urutan 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000. Monster memiliki representasi 196.883 dimensi yang setia dalam [[Aljabar Griess]] dimensi 196.884, yang berarti bahwa setiap elemen Monster dapat diekspresikan sebagai matriks 196.883 x 196.883.

=== Klasifikasi ===
Klasifikasi lengkap secara umum diterima sebagai dimulai dengan [[Teorema Feit–Thompson]] tahun 1962/63, sebagian besar berlangsung hingga tahun 1983, tetapi baru selesai pada tahun 2004.

Segera setelah pembangunan Monster pada tahun 1981, menjadi bukti, berjumlah lebih dari 10.000 halaman, asalkan ahli teori grup telah berhasil [[Daftar grup sederhana hingga|mendaftar semua grup sederhana hingga]], dengan kemenangan diumumkan pada tahun 1983 oleh Daniel Gorenstein. Ini terlalu dini, beberapa celah kemudian ditemukan, terutama dalam klasifikasi [[grup kuasithin]], yang akhirnya diganti pada tahun 2004 oleh klasifikasi grup quasithin 1.300 halaman, yang sekarang secara umum diterima sebagai lengkap.

== Tes untuk kesederhanaan ==
''[[Teorema Sylow#Contoh aplikasi|Pengujian Sylow]]'': Misalkan '' n '' adalah bilangan bulat positif yang bukan prima, dan misalkan '' p '' menjadi pembagi prima dari '' n ''. Jika 1 adalah satu-satunya pembagi dari '' n '' yang sama dengan 1 modulo p, maka tidak ada grup orde sederhana '' n ''.

Bukti: Jika '' n '' adalah kekuatan-prima, maka segrup urutan '' n '' memiliki nontrivial [[pusat (teori grup)|pusat]]<ref>Lihat bukti di [[grup-p]], misalnya.</ref> dan, oleh karena itu, tidaklah sederhana. Jika '' n '' bukan pangkat utama, maka setiap subkelompok Sylow adalah tepat, dan, menurut [[Teorema Sylow|Teorema Ketiga Sylow]], kita tahu bahwa jumlah subgrup p Sylow dari kelompok orde '' n '' sama dengan 1 modulo '' p '' dan membagi '' n ''. Karena 1 adalah satu-satunya bilangan tersebut, subgrup p Sylow unik, dan oleh karena itu normal. Karena ini adalah subkelompok non-identitas yang tepat, kelompok ini tidak sederhana.

''Burnside'': Grup sederhana hingga non-Abelian memiliki urutan yang habis dibagi oleh setidaknya tiga bilangan prima yang berbeda. Ini mengikuti dari [[Teorema Burnside|Teorema p-q Burnside]].

== Lihat pula ==
* [[Grup hampir sederhana]]
* [[Grup dengan karakteristik sederhana]]
* Grup sederhana
* [[Grup semi-sederhana]]
* [[Daftar grup sederhana hingga]]

== Referensi ==

=== Catatan ===
{{reflist}}

=== Buku teks ===
{{refbegin}}
*{{Citation | last1=Wilson | first1=Robert A. | author-link = Robert Arnott Wilson | title=The finite simple groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] 251 | isbn=978-1-84800-987-5 | doi=10.1007/978-1-84800-988-2 | zbl=1203.20012 | year=2009 | postscript =, [http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html 2007 preprint]. | volume=251 }}
* {{Citation | last1=Burnside | first1=William | author1-link=William Burnside | title=Theory of groups of finite order | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1897}}
{{refend}}
* {{Citation |last1=Knapp |first1=Anthony W. |title=Basic algebra |year=2006 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-3248-9 }}
* {{Citation |last1=Rotman |first1=Joseph J. |title=An introduction to the theory of groups |series=Graduate texts in mathematics |volume=148 |year=1995 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-94285-8 }}
* {{Citation |last1=Smith |first1=Geoff |last2=Tabachnikova |first2=Olga |title=Topics in group theory |edition=2 |series=Springer undergraduate mathematics series |year=2000 |publisher=Springer |isbn=978-1-85233-235-8 }}

=== Dokumen ===
{{refbegin}}
* {{Citation 
| doi = 10.1007/BF00327738 
| title = Simple groups of finite order in the nineteenth century 
| date=September 1979 | last = Silvestri | first = R.
| journal = Archive for History of Exact Sciences 
| volume = 20
| pages = 313–356 
| issue = 3–4
}}
{{refend}}

== Pranala luar ==
* {{planetmath reference|id=3569|title=The alternating group A_n is simple}}

[[Kategori:Sifat grup]]