Lihat sumber Grup dasar

{{periksa terjemahan|en|Fundamental group}}
{{short description|Grup matematika dari kelas homotopi loop dalam ruang topologi}}
{{For|grup dasar suatu faktor|Aljabar von Neumann}}

Dalam bidang [[matematika]] dan [[topologi aljabar]], '''grup dasar''' dari [[ruang topologi]] adalah [[grup (matematika)|grup]] [[kelas kesetaraan]] di bawah [[homotopi]] dengan [[Gelung (topologi)|gelung]] dalam ruang. Informasi tentang bentuk dasar, atau lubang, dari [[ruang topologi]]. Grup dasar adalah [[grup homotopi]] yang pertama dan yang sederhana. Grup dasar adalah [[homotopi invarian]] dari ruang topologi [[setara homotopi]] (atau dalam kasus dari [[Homeomorfisme|homeomorfik]]) dengan [[Isomorfisme grup|isomorfik]].

== Intuisi ==
{{Refimprove}}
Dimulai dari ruang (misalnya, permukaan), dan beberapa titik, dan semua gelung dan titik jalur ke titik awal. Dua gelung dapat digabungkan dengan: gelung pertama ke gelung kedua.
Dua gelung setara jika salah satu dapat dideformasi menjadi gelung lainnya tanpa putus. Himpunan gelung dengan metode penggabungan dan ekuivalen di antara grup dasar untuk ruang.

== Sejarah ==
[[Henri Poincaré]] mendefinisikan grup dasar pada tahun 1895 dalam makalah "[[Situs Analisis (makalah)|Situs Analisis]]".<ref>{{cite journal|last=Poincaré|first=Henri|author-link=Henri Poincaré|year=1895|title=Analysis situs|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4337198/f7.image|journal=Journal de l'École Polytechnique|series=(2)|language=fr|volume=1|pages=1–123|ref=Poincaré 1895|access-date=2021-02-09|archive-date=2023-08-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20230801105815/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4337198/f7.image|dead-url=no}} Diterjemahkan dalam bahasa {{cite book|last=Poincaré|first=Henri|title=Papers on Topology: Analysis Situs and Its Five Supplements|others=Diterjemahkan oleh [[John Stillwell]]|year=2009|pages=18–99|chapter=Analysis situs|chapter-url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/poincare2009.pdf|access-date=2021-02-09|archive-date=2012-03-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20120327043041/http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/poincare2009.pdf|dead-url=no}}</ref> Konsep tersebut muncul dalam teori [[permukaan Riemann]], dalam karya [[Bernhard Riemann]], Poincaré, dan [[Felix Klein]]. Sifat [[monodromi]] dari [[fungsi bernilai kompleks]], serta [[klasifikasi permukaan|klasifikasi permukaan tertutup]] topologi lengkap.

== Definisi ==
[[Berkas:Double_torus_illustration.png|thumb]]
''X'' adalah ruang topologi, contoh tipikal adalah permukaan digambarkan di sebelah kanan. Selain itu, <math> x_0 </math> adalah titik di ''X'' yang disebut ''titik dasar''. Gagasan dari definisi grup homotopi adalah untuk mengukur berapa kurva pada ''X'' yang dideformasi satu sama lain. Definisi tergantung pada pengertian homotopi gelung, yang akan dijelaskan terlebih dahulu.

=== Homotopi gelung ===
Ruang topologi ''X'' dari ''[[Jalur (topologi)|gelung]] berbasis <math> x_0 </math>'' didefinisikan sebagai [[fungsi kontinu (topologi)|fungsi kontinu]] (juga dikenal sebagai [[peta kontinu]])
:<math>\gamma \colon [0, 1] \to X</math>
sehingga titik awal <math>\gamma(0)</math> dan titik akhir <math>\gamma(1)</math> adalah <math>x_0</math>.

[[Berkas:Homotopy_of_pointed_circle_maps.png|Homotopi gelung|thumb]]
''[[Homotopi]]'' adalah interpolasi kontinu antara dua gelung. Lebih tepatnya, homotopi antara dua gelung <math>\gamma, \gamma' \colon [0, 1] \to X</math> (berbasis titik <math> x_0 </math>) adalah peta kontinu
:<math>h \colon [0, 1] \times [0, 1] \to X,</math>
maka
* <math>h(0, t) = x_0</math> untuk <math>t \in [0, 1],</math> bagian titik awal homotopi adalah <math> x_0 </math> untuk <math>t</math> (sebagai parameter waktu). 
* <math>h(1, t) = x_0</math> untuk <math>t \in [0, 1],</math> bagian titik akhir tetap <math> x_0 </math> untuk <math>t</math>.
* <math>h(r, 0) = \gamma(r), h(r, 1) = \gamma'(r)</math> untuk <math>r \in [0, 1]</math>.

Jika homotopi ''h'' dari <math>\gamma</math> dan <math>\gamma'</math> adalah ''homotopik''. Relasi "<math>\gamma</math> adalah homotopik <math>\gamma'</math>" dengan [[hubungan setara]] pada himpunan [[kelas kesetaraan]] dengan:
:<math>\pi_1(X, x_0) := \{ \text{semua gelung }\gamma \text{ berdasarkan }x_0 \} / \text{homotopi}</math>.
Himpunan (dengan struktur grup yang dijelaskan di bawah) tersebut adalah ''grup dasar'' dari ruang topologi <math>X</math> pada titik dasar <math> x_0 </math>. Tujuan dari kelas kesetaraan dari gelung hingga homotopi, sebagai lawan dari himpunan gelung (yang disebut [[ruang loop|ruang gelung]] dari ''X'') adalah titik akhir, meskipun berguna untuk berbagai tujuan dari objek yang besar dan berat.

=== Struktur grup ===
[[Berkas:Homotopy_group_addition.svg|Penambahan gelung|thumb]]
Dengan definisi di atas, <math>\pi_1(X, x_0)</math> adalah satu himpunan, grup (dan karena ''grup'' dasar) menggunakan rangkaian gelung. Lebih tepatnya, dua gelung <math>\gamma_0, \gamma_1</math>, hasilkali didefinisikan sebagai gelung
:<math>\begin{align}
  \gamma_0 \cdot \gamma_1 \colon [0, 1] &\to X \\
  (\gamma_0 \cdot \gamma_1)(t) &= \begin{cases}
        \gamma_0(2t) & 0 \leq t \leq \tfrac{1}{2} \\
    \gamma_1(2t - 1) & \tfrac{1}{2} \leq t \leq 1.
  \end{cases}
\end{align}</math>
Dengan demikian, gelung <math>\gamma_0 \cdot \gamma_1</math> pertama mengikuti gelung <math>\gamma_0</math> dengan "dua kali kecepatan" dan kemudian mengikuti <math> \gamma_1 </math> dengan "dua kali kecepatan".

hasilkali dari dua kelas homotopi gelung <math>[\gamma_0]</math> dan <math>[\gamma_1]</math> kemudian didefinisikan sebagai <math>[\gamma_0 \cdot \gamma_1]</math>. Dapat ditunjukkan, hasilkali tidak bergantung pada pilihan perwakilan dan oleh karena itu operasi yang terdefinisi dengan himpunan <math>\pi_1(X, x_0)</math>. Operasi <math>\pi_1(X, x_0)</math> ke dalam grup [[elemen netral]] gelung konstan <math> x_0 </math> untuk ''t''. Invers dari gelung (kelas homotopi) adalah gelung yang sama, tetapi dilintasi dalam oposisi
:<math>\gamma^{-1} (t) := \gamma(1-t)</math>.
Tiga gelung berbasis <math>\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2,</math> hasilkali
:<math>(\gamma_0 \cdot \gamma_1) \cdot \gamma_2</math> 
adalah gabungan dari gelung <math>\gamma_0</math> sehingga <math>\gamma_1</math> dengan kecepatan kuadurupel, maka <math>\gamma_2</math> dengan kecepatan ganda,
:<math>\gamma_0 \cdot (\gamma_1 \cdot \gamma_2)</math> 
melintasi ke lintasan yang sama (dalam urutan yang sama), tetapi <math>\gamma_0</math> dengan kecepatan ganda, dan <math>\gamma_1, \gamma_2</math> dengan kecepatan rangkap empat. Jadi, karena perbedaan kecepatan, kedua jalur tersebut tidak identik. Aksioma [[asosiatif]]
:<math>[\gamma_0] \cdot \left([\gamma_1] \cdot [\gamma_2]\right) = \left([\gamma_0] \cdot [\gamma_1]\right) \cdot [\gamma_2]</math>
oleh karena itu sangat bergantung pada jalur homotopi. Kedua komposit di atas adalah homotopik, misalnya, pada gelung yang melintasi ketiga gelung <math>\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2</math> dengan kecepatan tripel. Himpunan gelung berbasis hingga homotopi, digunakan dengan operasi di atas karenanya <math>\pi_1(X, x_0)</math> ke grup.

=== Ketergantungan pada titik dasar ===
Meskipun grup dasar pada umumnya bergantung pada pilihan titik dasar, ternyata [[hingga]] [[isomorfisme]] (sebenarnya, bahkan hingga isomorfisme ''dalam''), pilihan tidak bedanya dengan ruang ''X'' adalah [[Ruang koneksi|jalan koneksi]]. Untuk ruang terhubung dengan jalur, banyak penulis menggunakan <math>\pi_1(X)</math> dari <math>\pi_1(X, x_0)</math>.

== Contoh konkret ==
[[Berkas:Star_domain.svg|thumb|left|Domain bintang terhubung dengan gelung konkret ke pusat domain, dilambangkan dengan <math> x_0 </math>.]]
Bagian ini mencantumkan beberapa contoh dasar dari kelompok dasar. Pertama, [[ruang Euklides]] (<math>\R^n</math>) atau [[himpunan konveks|himpunan bagian cembung]] dari <math> \R^n, </math> kelas gelung homotopi dan karena grup dasar adalah [[grup trivial]] dengan satu elemen. Maka, [[domain bintang]] dan [[ruang kontras]] memiliki grup dasar trivial. Dengan demikian, grup dasar tidak membedakan antara ruang.

{{clear}}

=== Bola-2 ===
[[Berkas:P1S2all.jpg|upright=1.8|thumb|Lingkaran [[Bola-2]] (permukaan bola) dari konkret ke suatu titik]]
Ruang koneksi dengan grup dasar trivial disebut [[ruang koneksi sederhana|koneksi sederhana]]. 
Misalnya, bola-2 <math>S^2 = \left\{(x, y, z) \in \R^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1\right\}</math> digambarkan di sebelah kanan, dan juga bidang berdimensi tinggi koneksi dengan mudah. Gambar tersebut mengilustrasikan homotopi satu gelung tertentu ke gelung konstan. gelung <math>\gamma</math> sehingga <math>(x, y, z) \in S^2</math> yaitu {{em|tidak}} pada gambar <math>\gamma.</math> Namun, karena gelung <math>\gamma([0, 1]) = S^2</math> (dari [[kurva Peano]], misalnya), bukti lengkap analisis cermat dengan alat dari topologi aljabar dengan [[Teorema Seifert–van Kampen]] atau [[Teorema pendekatan seluler]].

=== Lingkaran ===
[[Berkas:Fundamental_group_of_the_circle.svg|Elemen dari grup homotopi lingkaran|thumb]]
[[Lingkaran]] (juga dikenal sebagai bola-1)
:<math>S^1 = \left\{(x, y) \in \R^2 \mid x^2 + y^2 = 1\right\}</math>
Sebaliknya, kelas homotopi dari gelung lingkaran (positif atau negatif, bergantung pada arah belitan). Hasil kali gelung sekitar ''m'' dan gelung sekitar ''n'' adalah gelung sekitar <math> m + n </math>. Oleh karena itu, grup dasar dari lingkaran adalah [[isomorfik]] grup aditif dari [[bilangan bulat]] <math>(\Z, +),</math>. Fakta ini dapat digunakan untuk memberikan pembuktian [[teorema titik tetap Brouwer]]<ref>{{harvtxt|May|1999|loc=Ch. 1, §6}}</ref> dan teorema Borsuk–Ulam di dimensi 2.<ref>{{harvtxt|Massey|1991|loc=Ch. V, §9}}</ref>

=== Gambar delapan ===
[[File:Wedge_of_Two_Circles.png|thumb|Grup dasar dari angka delapan adalah grup bebas pada dua pembangkit ''a'' dan ''b''.]]
Grup dasar dari [[Mawar (topologi)|gambar delapan]] adalah [[grup bebas]] pada dua huruf. Gagasan untuk membuktikannya adalah sebagai berikut: memilih titik dasar untuk menjadi titik pertemuan kedua lingkaran (bertitik hitam pada gambar di sebelah kanan), buhul <math>\gamma</math> diuraikan sebagai
:<math>\gamma = a^{n_1} b^{m_1} \cdots a^{n_k} b^{m_k}</math>
dimana ''a'' dan ''b'' adalah dua gelung di sekitar setengah gambar seperti yang digambarkan, dan eksponen <math>n_1, \dots, n_k, m_1, \dots, m_k</math> adalah bilangan bulat. Maka <math>\pi_1\left(S^1\right),</math> grup dasar dari gambar delapan adalah ''bukan'' [[grup abelian|abelian]]: dua cara ''a'' dan ''b'' tidak homotopik:
:<math>[a] \cdot [b] \ne [b] \cdot [a]</math>.

Secara lebih umum, grup dasar dari lingkaran [[Mawar (topologi)|buket]] dari lingkaran ''r'' adalah grup bebas pada huruf ''r''.

Grup dasar dari [[jumlah baji]] dari dua ruang terhubung jalur ''X'' dan ''Y'' dihitung sebagai [[produk bebas|hasilkali bebas]] dari grup dasar:
:<math>\pi_1(X \vee Y) \cong \pi_1(X) * \pi_1(Y)</math>.
Dirampat dengan pengamatan diatas karena gambar delapan adalah jumlah irisan dua lingkaran.

Grup dasar dari [[gambar bidang|gambar bidang titik ''n'']] merupakan grup bebas dengan pembangkit <math>n</math>. pembangkit ke-<math>i</math> adalah kelas gelung yang menuju di sekitar lubang ke-<math>i</math> dengan tampa menuju ke lubang lainnya.

=== Grafik ===
Grup dasar didefinisikan untuk struktur diskret. Secara khusus, pertimbangkan [[Konektivitas (teori grafik)|graf terhubung]] <math>G(V,E)</math>, dengan verteks <math>v_0</math> dengan <math>V</math>. Gelung dalam <math>G</math> adalah siklus yang dimulai dan diakhiri <math>v_0</math>.<ref>{{Cite web|title=Meaning of Fundamental group of a graph|url=https://math.stackexchange.com/questions/515896/meaning-of-fundamental-group-of-a-graph|access-date=2020-07-28|website=Mathematics Stack Exchange|archive-date=2023-04-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20230409184320/https://math.stackexchange.com/questions/515896/meaning-of-fundamental-group-of-a-graph|dead-url=no}}</ref> Misalkan <math>T</math> menjadi [[pohon rentangan]] dari <math>G</math>. Gelung sederhana <math>G</math> tepat satu sisi <math>E \setminus T</math>; gelung <math>G</math> adalah rangkaian gelung sederhana tersebut. Oleh karena itu, grup dasar dari [[grafik (matematika diskrit)|grafik]] adalah [[grup bebas]], dimana jumlah pembangkit persis dengan jumlah sisi <math>E \setminus T</math> .Bilangan sama dengan <math>|E| - |V| + 1</math>.<ref>{{Cite web|last=Simon|first=J|date=2008|title=Example of calculating the fundamental group of a graph G|url=http://homepage.divms.uiowa.edu/~jsimon/COURSES/M201Fall08/HandoutsAndHomework/Graph1.pdf|access-date=2021-02-09|archive-date=2021-01-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20210125225755/http://homepage.divms.uiowa.edu/~jsimon/COURSES/M201Fall08/HandoutsAndHomework/Graph1.pdf|dead-url=yes}}</ref>

Misalnya, <math>G</math> memiliki 16 verteks yang disusun dalam 4 baris terdiri dari 4 verteks, dengan sisi yang menghubungkan verteks berdekatan secara horizontal atau vertikal. Maka <math>G</math> memiliki 24 sisi secara keseluruhan, dan jumlah sisi pohon rentangan adalah <math>16 - 1 = 15</math>, jadi grup dasar dari <math>G</math> adalah grup bebas dengan 9 pembangkit.<ref>{{Cite web|title=The Fundamental Groups of Connected Graphs - Mathonline|url=http://mathonline.wikidot.com/the-fundamental-groups-of-connected-graphs|access-date=2020-07-28|website=mathonline.wikidot.com|archive-date=2023-06-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230606151224/http://mathonline.wikidot.com/the-fundamental-groups-of-connected-graphs|dead-url=no}}</ref> Perhatikan bahwa <math>G</math> memiliki 9 "lubang", dengan [[mawar (topologi)|buket]] dari 9 lingkaran, memiliki grup dasar yang sama.

=== Grup buhul ===
[[Berkas:Trefoil_knot_left.svg|thumb|[[Simpul trefoil|buhul trefoil]].]]
''[[Grup buhul]]'' adalah definisi grup dasar dari [[komplemen (teori himpunan)|komplemen]] dari buhul <math>K</math> dengan <math>\R^3.</math> Misalnya, grup buhul dari buhul semanggi dikenal sebagai [[grup kepangan]] <math> B_3, </math> contoh lain dari grup dasar takabelian. [[Presentasi Wirtinger]] secara eksplisit mendeskripsikan grup buhul dalam istilah pembangkit dan relasi berdasarkan diagram buhul. Oleh karena itu, grup buhul memiliki beberapa kegunaan dalam [[teori simpul|teori buhul]] untuk membedakan buhul: jika <math>\pi_1\left(\R^3 \setminus K\right)</math> bukan isomorfik untuk beberapa grup buhul <math>\pi_1\left(\R^3 \setminus K'\right)</math> dari buhul lain <math>K'</math>, maka <math>K</math> tidak diubah menjadi <math>K'.</math> Jadi buhul semanggi tidak berubah menjadi lingkaran (juga dikenal sebagai [[buhul trivial]]), karena buhul terakhir memiliki grup buhul <math>\Z</math>. Namun, buhul tidak dideformasi menjadi satu, tetapi memiliki grup buhul isomorfik.

=== Permukaan berorientasi ===
Grup dasar dari [[genus (matematika)#Permukaan orientasi|permukaan orientasi genus ''n'']] dapat dihitung dalam istilah [[generator dan relasi|pembangkit dan relasi]] sebagai
:<math>\left\langle A_1, B_1, \ldots, A_n, B_n \left| A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1} \cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1} \right. \right\rangle</math>.

[[torus (matematika)|Torus]] menjadi genus 1 grup dasarnya adalah
:<math>\left\langle A_1, B_1 \left| A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1} \right. \right\rangle \cong \Z^2</math>.

=== Grup topologi ===
Grup dasar dari [[grup topologi]] ''X'' (dengan titik dasar sebagai elemen netral) selalu komutatif. Secara khusus, kelompok dasar dari [[grup Lie]] adalah komutatif. Maka, struktur grup pada ''X'' ke <math>\pi_1(X)</math> dengan struktur grup: dua gelung <math>\gamma</math> dan <math>\gamma'</math> dengan <math>X</math>, gelung <math>\gamma \star \gamma'</math> dapat ditentukan dengan menggunakan perkalian grup dalam <math>X</math>: 
:<math>\left(\gamma \star \gamma'\right)(x) = \gamma(x) \cdot \gamma'(x)</math>.
Operasi biner <math>\star</math> himpunan gelung adalah bebas ''priori'' dari yang dijelaskan di atas. Namun, [[argumen Eckmann–Hilton]] menunjukkan bahwa sebenarnya setuju dengan rangkaian gelung atas.<ref>{{harvtxt|Strom|2011|loc=Problem 9.30, 9.31}}, {{harvtxt|Hall|2015|loc=Exercise 13.7}}</ref><ref>Bukti: dua loop <math>\alpha, \beta: [0, 1] \to  G</math> dalam <math>\pi_1(G),</math> tentukan pemetaan <math>A\colon [0, 1] \times [0, 1] \to G</math> oleh <math>A(s, t) = \alpha(s)\cdot\beta(t),</math> dikalikan dengan <math>G.</math> Pertimbangkan grup jalur homotopi dalam persegi panjang dari <math>(s, t) = (0, 0)</math> ke <math>(1, 1)</math> yang dimulai dengan jalur horizontal-kemudian-vertikal, bergerak melalui berbagai jalur diagonal, dan diakhiri dengan jalur vertikal-kemudian-horizontal. Menyusun grup dengan <math> A </math> memberikan homotopi <math>\alpha * \beta \sim \beta * \alpha,</math> menunjukkan grup fundamental adalah abelian.</ref>

Pemeriksaan bukti menunjukkan <math>\pi_1(X)</math> adalah abelian untuk setiap [[ruang-H]] dari <math>X</math>, yaitu perkalian tidak menggunakan invers takasosiatif. Sebagai contoh, grup dasar dari sebuah [[ruang lingkaran]] dari ruang topologi ''Y'', <math>X = \Omega(Y),</math> adalah abelian. Ide terkait mengarah pada perhitungan Heinz Hopf dari [[Aljabar Hopf#Kohomologi grup Lie|kohomologi grup Lie]].

== Kefungtorialan ==
Jika <math>f\colon X \to Y</math> adalah peta kontinu, <math>x_0 \in X</math> dan <math>y_0 \in Y</math> dengan <math>f(x_0) = y_0</math>, maka gelung <math>X</math> dengan titik dasar <math> x_0 </math> dengan <math>f</math> ke gelung <math>Y</math> dengan titik dasar <math>y_0</math>. Operasi serasi dengan hubungan kesetaraan homotopi dan dengan komposisi gelung. [[Homomorfisme kelompok]] yang dihasilkan, disebut [[homomorfisme terinduksi (grup fundamental)|homomorfisme terinduksi]], sebagai <math>\pi(f)</math> maka:

:<math>f_* \colon \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, y_0).</math>

Pemetaan dari peta kontinu hingga [[Kehomomorfan grup|homomorfisme grup]] serasi dengan komposisi peta dan morfisme identitas. Dalam [[kategori teori]], pembentukan asosiasi ke ruang topologi grup dasar adalah [[funktor]]

:<math>\begin{align}
   \pi_1 \colon \mathbf{Top}_* &\to \mathbf{Grp} \\
   (X, x_0) &\mapsto \pi_1(X, x_0)
 \end{align}</math>

dari [[kategori ruang citra|kategori ruang topologi dengan titik dasar]] ke [[kategori grup]]. Funktor peta [[homotopik]] relatif terhadap titik dasar: jika <math>f,g \colon X \to Y</math> adalah peta kontinu dengan <math>f(x_0) = g(x_0) = y_0</math>, serta <math>f</math> dan <math>g</math> adalah homotopik <math>\{x_0\}</math>, maka <math>f_* = g_*</math>. Sebagai akibatnya, dua ruang terhubung lintasan setara memiliki grup dasar isomorfik:

:<math>X \simeq Y \Rightarrow \pi_1(X, x_0) \cong \pi_1(Y, y_0).</math>

Misalnya, penyertaan lingkaran di [[bidang citra]]
:<math>S^1 \subset \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}</math>
adalah [[kesetaraan homotopi]] dan isomorfisme grup dasarnya.

Funktor grup dasar dari [[produk (teori kategori)|hasilkali]] ke [[Hasilkali langsung dari grup|produk]] dan [[koproduk]] ke kohasilkali. Artinya, jika <math>X</math> dan <math>Y</math> adalah terhubung lintasan, maka

:<math>\pi_1 (X \times Y, (x_0, y_0)) \cong \pi_1(X, x_0) \times \pi_1(Y, y_0).</math>

== Lihat pula ==
* [[orbifold#grup fundamental|Grup dasar Orbifold]]

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==

*{{Citation | last1=Adams | first1=John Frank | author-link=Frank Adams | title=Infinite loop spaces | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies | isbn=978-0-691-08207-3 | mr=505692 | year=1978 | volume=90 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/infiniteloopspac0000adam }}
* {{Citation|isbn=1-4196-2722-8|title=Topology and Groupoids|last1=Brown|first1=Ronald|year=2006|url=http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/topgpds.html|publisher=Booksurge|author-link=Ronald Brown (mathematician)|accessdate=2021-02-09|archive-date=2016-03-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20160312041246/http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/topgpds.html|dead-url=no}} 
* {{Citation|isbn= 978-1-4614-8023-5 |doi=10.1007/978-1-4614-8024-2|title=Lie Groups|volume=225|last1=Bump|first1=Daniel|author1-link=Daniel Bump|publisher=Springer|year=2013|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics}}
* {{Citation|last1=Crowell|first=Richard H.|last2=Fox|first2=Ralph|author2-link=Ralph Fox|title=Introduction to Knot Theory|publisher=Springer|year=1963}}
* {{Citation|isbn = 978-3-0346-0208-2|title = Arrangements, Local Systems and Singularities: CIMPA Summer School, Galatasaray University, Istanbul, 2007|last1 = El Zein|first1 = Fouad|last2 = Suciu|first2 = Alexander I.|last3 = Tosun|first3 = Meral|last4 = Uludağ|first4 = Muhammed|last5 = Yuzvinsky|first5 = Sergey|year=2010}}
* {{Citation|isbn=0-387-90617-7|title=Lectures on Riemann Surfaces|last1=Forster|first1=Otto|date=1981}}
* {{Citation|isbn= 9780387943275|title= Algebraic Topology: A First Course|last1= Fulton|first1= William|author1-link= William Fulton (mathematician)|date= 1995|publisher= Springer|url-access= registration|url= https://archive.org/details/algebraictopolog00fult}}
* {{Citation | last1=Goerss | first1=Paul G. | author1-link=Paul Goerss|last2=Jardine | first2=John F. | author-link2=Rick Jardine | title=Simplicial Homotopy Theory | publisher=Birkhäuser | location=Basel, Boston, Berlin | series=Progress in Mathematics | isbn=978-3-7643-6064-1 | year=1999 | volume=174 }}
* {{Citation | last1=Grothendieck | first1=Alexandre | author1-link=Alexandre Grothendieck | last2=Raynaud | first2=Michèle | title=Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques '''3''') | orig-year=1971 | arxiv=math.AG/0206203 | publisher=[[Société Mathématique de France]] | location=Paris | isbn=978-2-85629-141-2 | year=2003 | pages=xviii+327, see Exp. V, IX, X.}}
* {{Citation| last=Hall|first=Brian C.|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666}}
* {{Citation|isbn=0-521-79540-0|title=Algebraic Topology|last1=Hatcher|first1=Allen|author-link=Allen Hatcher|year=2002|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|publisher=Cambridge University Press|accessdate=2021-02-09|archive-date=2012-02-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20120206155217/http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|dead-url=no}}
* [[Peter Hilton]] and [[Shaun Wylie]], ''Homology Theory'', [[Cambridge University Press]] (1967) [warning: these authors use ''contrahomology'' for [[cohomology]]]
* {{Citation|isbn=9780387901084|title=Linear Algebraic Groups|last1=Humphreys|first1=James E.|date=2004|publisher=Springer|series=Graduate Texts in Mathematics|issue=21|author1-link=James E. Humphreys}}
* {{Citation|isbn=0-387-90052-7|title=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|last1=Humphreys|first1=James E.|year=1972}}
* {{Citation|isbn=0-486-69131-4|title=Algebraic Topology|last1=Maunder|first1=C. R. F.|date=January 1996|publisher=[[Dover Publications]]}}
* {{Citation|last=Massey|first=William S.|author-link=William S. Massey|title=A Basic Course in Algebraic Topology|year=1991|publisher=Springer|isbn=038797430X}}
* {{Citation|isbn=9780226511832|title=A Concise Course in Algebraic Topology|last1=May|first1=J. Peter|author1-link=J. Peter May|date=1999}}
* [[Deane Montgomery]] and Leo Zippin, ''Topological Transformation Groups'', Interscience Publishers (1955)
* {{Citation|isbn=0-13-181629-2|title=Topology|last1=Munkres|first1=James R.|author-link = James R. Munkres|year=2000|publisher=[[Prentice Hall]]}}
* {{Citation|isbn=0-387-96678-1|title=An Introduction to Algebraic Topology|last1=Rotman|first1=Joseph|date=1998-07-22|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoal0000rotm}}
* {{Citation | last1=Rubei | first1=Elena |  title=Algebraic Geometry, a concise dictionary | publisher=Walter De Gruyter | location=Berlin/Boston | isbn=978-3-11-031622-3 | year=2014}}
* {{Citation|last1=Seifert|first1=Herbert|author1-link=Herbert Seifert|first2=William|last2=Threlfall|title=A Textbook of Topology|translator-last=Heil|translator-first=Wolfgang|publisher=[[Academic Press]]|year=1980|isbn=0-12-634850-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/seifertthrelfall0000seif}}
* {{Citation|isbn=0-387-90202-3|title=Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry|last1=Singer|first1=Isadore. M.|author1-link=Isadore Singer|last2=Thorpe|first2=J. A.|date=1976-12-10}}
* {{Citation|isbn=0-387-94426-5|title=Algebraic Topology|last1=Spanier|first1=Edwin H.|author1-link=Edwin Spanier|publisher=Springer|year=1989}}
* {{Citation|title=Modern Classical Homotopy Theory| last=Strom|first=Jeffrey|isbn=9780821852866|publisher=AMS|year=2011}}

== Pranala luar ==
*{{Mathworld | urlname=FundamentalGroup  | title=Fundamental group  }}
* Dylan G.L. Allegretti, [http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGREREU2008.html ''Simplicial Sets and van Kampen's Theorem''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210303055016/http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGREREU2008.html |date=2021-03-03 }}: A discussion of the dasar groupoid of a topological space and the dasar groupoid of a simplicial set
* [https://web.archive.org/web/20111002003232/http://www.istia.univ-angers.fr/~delanoue/topo_alg/ Animations to introduce dasar group by Nicolas Delanoue]
* [https://mathoverflow.net/q/40945 Sets of base points and dasar groupoids: mathoverflow discussion] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809151721/https://mathoverflow.net/questions/40945/compelling-evidence-that-two-basepoints-are-better-than-one |date=2023-08-09 }}
* [http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/gpdsweb.html Groupoids in Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160305053009/http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/gpdsweb.html |date=2016-03-05 }}

{{Commons category}}

[[Kategori:Topologi aljabar]]
[[Kategori:Teori homotopi]]