Lihat sumber Grup berpenyelesaian

{{Periksa terjemahan|en|Solvable group}}{{Group theory sidebar |Basics}}

Dalam [[matematika]], lebih khusus lagi di medan [[teori grup]], '''grup berpenyelesaian''' ({{Lang-en|Solvable group}}) adalah [[grup (matematika) |grup]] yang dapat dibangun dari [[grup abelian|grup Abel]] menggunakan [[ekstensi grup |perluasan]].  Dengan kata lain, grup berpenyelesaian adalah grup yang [[deret jabaran]] berakhir di [[subgrup trivial]].

== Motivasi ==
Secara historis, kata "berpenyelesaian" muncul dari [[teori Galois]] dan [[Bukti matematika | bukti]] dari ketidakmampuan umum persamaan [[kuintik]]. Secara spesifik, [[persamaan polinomial]] dapat diselesaikan dalam [[akar ke-N |radikal]] jika dan hanya jika [[gugus Galois|grup Galois]] yang sesuai berpenyelesaian<ref>{{Cite book|last=Milne|url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf|title=Field Theory|pages=45|access-date=2020-12-17|archive-date=2023-04-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20230409120037/https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf|dead-url=no}}</ref> (perhatikan teorema ini hanya berlaku dalam karakteristik 0). Ini berarti terkait dengan polinomial <math>f \in F[x]</math> jika menara perluasan lapangan <blockquote><math>F = F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_m=K</math></blockquote>sehingga
# <math>F_i = F_{i-1}[\alpha_i]</math> dimana <math>\alpha_i^{m_i} \in F_{i-1}</math>, jadi <math>\alpha_i</math> adalah penyelesaian persamaan <math>x^{m_i} - a</math> dimana <math>a \in F_{i-1}</math>
# <math>F_m</math> berisi medan pemisahan untuk <math>f(x)</math>

=== Contoh ===
Misalnya, perluasan medan Galois terkecil dari <math>\mathbb{Q}</math> mengandung elemen<blockquote><math>a = \sqrt[5]{\sqrt{2} + \sqrt{3}}</math></blockquote>memberikan grup berpenyelesaian. Ini memiliki perluasan medan terkait<blockquote><math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \subset
\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\left(e^{2\pi i/ 5}\sqrt[5]{\sqrt{2} + \sqrt{3}}\right)</math></blockquote>memberikan grup berpenyelesaian merumuskan <math>\mathbb{Z}/5</math> (bertindak pada <math>e^{2\pi i/5}</math>) dan <math>\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2</math> (bertindak pada <math>\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>).

== Definisi ==
Grup <math>G</math> disebut '''berpenyelesaian''' jika memiliki [[deret subnormal]] yang [[grup faktor]] ([[grup hasil bagi]]) semuanya [[grup Abelian |grup Abel]], yaitu, jika ada [[subgrup]] <math>1 = G_0 < G_1 < \dots < G_k = G</math>, maka <math>G_{j - 1}</math> adalah [[subgrup normal]] di <math>G_j</math>, dan <math>G_j/G_{j-1}</math> adalah grup Abel, karena <math>j = 1, 2, \dots, k</math>. 

Atau setara, jika [[deret jabaran]], deret normal menurun
:<math>G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots</math>,
di mana setiap subgrup adalah [[subgrup komutator]] dari yang sebelumnya, akhirnya mencapai subgrup trivial dari <math>G</math>. Kedua definisi ini setara, karena untuk setiap grup <math>H</math> dan setiap [[subgrup normal]] <math>N</math> dari <math>H</math>, hasil bagi <math>H/N</math> adalah grup Abel [[jika dan hanya jika]] <math>N</math> termasuk subgrup komutator dari ''<math>H</math>''. Nilai <math>n</math> terkecil sehingga <math>G^{(n)} = 1</math> disebut '''panjang jabaran''' dari grup berpenyelesaian <math>G</math>.

Untuk grup berhingga, definisi ekuivalennya adalah bahwa grup berpenyelesaian adalah grup dengan [[deret komposisi]] yang semua faktornya adalah [[gugus siklik|grup siklik]] dari [[Urutan (teori grup)|urutan]] [[bilangan prima]]. Ini setara karena grup berhingga memiliki panjang komposisi berhingga, dan setiap grup Abel [[Grup sederhana|sederhana]] adalah siklik orde utama. [[Teorema Jordan–Hölder]] menjamin bahwa jika salah satu deret komposisi memiliki sifat ini, semua deret komposisi akan memiliki sifat ini juga. Untuk [[grup Galois]] dari polinomial, grup siklik ini berpadanan dengan akar <math>n</math> (radikal) di beberapa [[Bidang (matematika) | medan]]. Kesetaraan tidak selalu: sebagai contoh, karena setiap subgrup taktrivial dari grup <math>\Z</math> dari [[bilangan bulat]] di bawah penambahan adalah [[grup isomorfisme | isomorfis]] pada ''<math>\Z</math>'', tidak memiliki deret komposisi, tetapi deret normal <math>\{0,\Z\}</math>, dengan satu-satunya grup faktor isomorfik hingga ''<math>\Z</math>'', membuktikan bahwa ia berpenyelesaian.

== Contoh ==

=== Grup Abel ===
Contoh dasar grup berpenyelesaian adalah grup Abel. Mereka berpenyelesaian secara trivial karena rangkaian subnormal diberikan hanya oleh grup itu sendiri dan grup trivial. Tetapi grup takAbel mungkin atau mungkin tidak bisa dipecahkan.

=== Grup nilpoten ===
Secara umum, semua [[grup nilpoten]] berpenyelesaian. Secara khusus, [[grup-p]] hingga berpenyelesaian, karena semua [[grup-p]] hingga adalah nilpoten.

==== Grup kuaternion ====
Secara khusus, [[grup kuaternion]] adalah grup berpenyelesaian yang diberikan oleh perluasan grup<blockquote><math>1 \to \mathbb{Z}/4 \to Q \to \mathbb{Z}/2 \to 1</math></blockquote>dimana <math>\mathbb{Z}/4</math> adalah subgrup yang dihasilkan oleh <math> i </math>.

=== Perluasan grup ===
[[Ekstensi grup|Perluasan grup]] merupakan contoh prototip dari grup berpenyelesaian. Artinya, jika <math> G </math> dan <math>G'</math> adalah grup berpenyelesaian, maka suatu perluasan<blockquote><math>1 \to G \to G'' \to G' \to 1</math></blockquote>mendefinisikan grup berpenyelesaian <math> G'' </math>. Faktanya, semua grup berpenyelesaian dapat dibentuk dari perluasan grup tersebut.

=== Grup takAbel yang taknilpoten ===
Contoh kecil dari grup taknilpoten berpenyelesaian adalah [[grup simetrik]] <math>\mathrm S_3</math>. Faktanya, karena grup takAbel sederhana terkecil adalah <math>\mathrm A_5</math>, ([[grup selang-seling]] dengan derajat 5) mengikuti bahwa ''setiap'' grup dengan urutan lebih kecil dari 60 adalah berpenyelesaian. 

=== Grup hingga dari urutan ganjil ===
[[Teorema Feit–Thompson]] yang terkenal menyatakan bahwa setiap grup berhingga dari urutan ganjil adalah berpenyelesaian. Secara khusus ini menyiratkan bahwa jika grup hingga adalah grup sederhana, itu adalah grup siklik.

=== Bukan contoh ===
Grup <math>S_5</math> takberpenyelesaian, ia memiliki deret komposisi <math>\{E, A_5, S_6\}</math> (dan [[Teorema Jordan–Hölder]] menyatakan bahwa setiap deret komposisi setara dengan yang satu itu), memberikan grup faktor isomorfik pada <math>A_5</math> dan <math>C_2</math>; dan <math>A_5</math> bukan Abel. Menggeneralisasi argumen ini, ditambah dengan fakta bahwa <math>A_n</math> adalah subgrup normal, maksimal, sederhana takAbel <math>S_n</math> dari <math>n > 4</math>, <math>S_n</math> tidak berpenyelesaian untuk <math>n > 4</math>. Ini adalah langkah kunci dalam pembuktian bahwa untuk setiap <math>n > 4</math> ada [[polinomial]] derajat <math>n</math> yang takberpenyelesaian oleh radikal ([[Teorema Abel–Ruffini]]). Sifat ini juga digunakan dalam teori kompleksitas dalam pembuktian [[NC (kompleksitas) |teorema Barrington]].

=== Subgrup <math>\operatorname{GL}_2</math> ===
Andaikan subgrup

:<math>B = \left\{ \begin{bmatrix}
* & * \\
0 & *
\end{bmatrix} \right\} \text{, }
U = \left\{ \begin{bmatrix}
1 & * \\
0 & 1
\end{bmatrix} \right\}</math> pada <math>\operatorname{GL}_2(\mathbb{F})</math>

untuk suatu medan <math>\mathbb{F}</math>. Maka, hasil bagi grup <math> B/U </math> dapat ditemukan dengan mengambil sembarang elemen di <math> B,U </math>, mengalikannya, dan mencari tahu struktur apa yang diberikannya. Jadi

:<math>\begin{bmatrix}
a & b \\
0 & c 
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
1 & d \\
0 & 1 
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a & ad + b \\
0 & c
\end{bmatrix}

</math>

Perhatikan syarat [[determinan]] pada <math>\operatorname{GL}_2

</math> menyiratkan <math>ac \neq 0

:</math>, karenanya <math>\mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \subset B

</math> adalah subgrup (yang merupakan matriks di mana <math>b=0

</math>). Untuk <math>a,b

</math> yang ditetapkan, persamaan linear <math>ad + b = 0

</math> menyiratkan <math>d = -b/a

</math>, yang merupakan elemen sembarang pada <math>\mathbb{F}

</math> ketika <math>b \in \mathbb{F}

</math>. Karena kita dapat mengambil matriks pada <math>B

</math> dan mengalikannya dengan matriks

:<math>\begin{bmatrix}
1 & d \\
0 & 1
\end{bmatrix}

</math>

dengan <math>d = -b/a

</math>, kita bisa mendapatkan [[matriks diagonal]] pada <math>B

</math>. Ini menunjukkan grup hasil bagi <math>B/U \cong \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times</math>.

==== Kata ====
Perhatikan bahwa deskripsi ini memberikan penguraian <math>B

:</math> sebagai <math>\mathbb{F} \rtimes (\mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times) </math> dimana <math>(a,c) </math> bertindak pada <math> b </math> oleh <math>(a,c)(b) = ab </math>. Ini menyiratkan <math>(a,c)(b + b') = (a,c)(b) + (a,c)(b') = ab + ab' </math>. Juga, matriks dari bentuk

:<math>\begin{bmatrix}
a & b \\
0 & c
\end{bmatrix}</math>

berpadanan dengan elemen <math>(b) \times (a,c)</math> dalam grup.

=== Subgrup Borel ===
Untuk [[grup aljabar linear]] <math> G </math> [[subgrup Borel]] didefinisikan sebagai subgrup yang tertutup, terhubung, dan berpenyelesaian di <math> G </math>, dan ini adalah subgrup yang paling mungkin dengan sifat ini (perhatikan dua yang kedua adalah sifat topologi). Misalnya, dalam <math> \operatorname{GL}_n </math> dan <math> \operatorname{SL}_n </math>, grup [[matriks segitiga]] atas, atau segitiga bawah adalah dua subgrup Borel. Contoh yang diberikan di atas, subgrup <math> B </math> di <math> \operatorname{GL}_2 </math> adalah subgrup Borel.

==== Subgrup Borel pada <math> \operatorname{GL}_3 </math> ====
Pada <math> \operatorname{GL}_3 </math> terdapat subgrup

:<math>B = \left\{
\begin{bmatrix}
* & * & * \\
0 & * & * \\
0 & 0 & *
\end{bmatrix}
\right\}, \text{ }
U_1 = \left\{
\begin{bmatrix}
1 & * & * \\
0 & 1 & * \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\right\}</math>

Perhatikan bahwa <math>B/U_1 \cong \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times</math>, maka grup Borel memiliki bentuk

:<math>U\rtimes
(\mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times)

</math>
==== Subgrup Borel hasil perkalian grup aljabar linear sederhana ====
Dalam grup hasilkali <math>\operatorname{GL}_n \times \operatorname{GL}_m</math> subgrup Borel dapat diwakili oleh matriks dalam bentuk

:<math>\begin{bmatrix}
T & 0 \\
0 & S
\end{bmatrix}</math>

dimana <math>T</math> adalah matriks segitiga atas <math>n\!\times\!n</math> dan <math> S </math> adalah matriks segitiga atas <math>m\!\times\!m</math>.

=== Grup-Z ===
Setiap grup hingga yang [[grup Sylow |subgrup Sylow-''p'']] merupakan sikliknya, adalah [[produk setengah langsung]] dari dua grup siklik, khususnya grup berpenyelesaian. Grup tersebut disebut [[grup-Z]].

== Nilai OEIS ==
Jumlah grup berpenyelesaian dengan urutan <math>n</math> adalah (dimulai dengan <math>n = 0</math>)
:0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... {{OEIS|id=A201733}}

Urutan grup takberpenyelesaian adalah
:60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... {{OEIS|id=A056866}}

== Sifat ==

Solvabilitas tertutup terhadap sejumlah operasi.

* Jika <math>G</math> berpenyelesaian, dan <math>H</math> adalah subgrup dari <math>G</math>, maka <math>H</math> adalah berpenyelesaian.<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every subgroup H of a solvable group G is itself solvable|title=Theorem 5.15}}</ref>
* Jika <math>G</math> berpenyelesaian, dan terdapat [[Kehomomorfan grup|homomorfisme]] dari <math>G</math>[[surjektif | pada]] <math>H</math>, maka <math>H</math> adalah berpenyelesaian; setara (dengan [[Teorema isomorfisme#Teorema isomorfisme pertama |teorema isomorfisme pertama]]), jika <math>G</math> berpenyelesaian, dan <math>N</math> adalah subgrup normal dari <math>G</math>, maka <math>G / N</math> berpenyelesaian.<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every quotient of a solvable group is solvable|title=Theorem 5.16}}</ref>
* Sifat sebelumnya dapat diperluas menjadi sifat "tiga untuk harga dua" berikut: <math>G</math> dapat diselesaikan jika dan hanya jika <math>N</math> dan <math>G / N</math> keduanya berpenyelesaian.
* Secara khusus, jika <math>G</math> dan ''<math>H</math>'' berpenyelesaian, [[Hasilkali grup langsung|hasilkali langsung]] <math>G \times H</math> berpenyelesaian.

Solvabilitas tertutup terhadap [[ekstensi grup|perluasan grup]]:
* Jika <math>H</math> dan <math>G/H</math> berpenyelesaian, maka begitu juga dengan <math>G</math>; secara khusus, jika ''<math>N</math>'' dan ''<math>H</math>'' berpenyelesaian, [[produk setengah langsung]] mereka juga berpenyelesaian.

Itu juga ditutup di bawah [[produk karangan bunga]]:
* Jika <math>G</math> dan ''<math>H</math>'' berpenyelesaian, dan <math>X</math> adalah himpunan <math>G</math>, maka [[hasilkali karangan bunga]] dari <math>G</math> dan ''<math>H</math>'' terhadap <math>X</math> juga berpenyelesaian''.''

Untuk suatu bilangan bulat positif ''<math>N</math>'', grup berpenyelesaian dari [[panjang jabaran]] paling banyak ''<math>N</math>'' membentuk [[Variasi (aljabar universal) |subvarietas]] dari berbagai grup, karena mereka tertutup terhadap pengambilan citra [[homomorfik]], [[subaljabar]], dan [[Hasil kali grup langsung|hasil kali (langsung)]]. Hasil kali langsung dari urutan grup berpenyelesaian dengan panjang jabaran tak terbatas tidak berpenyelesaian, sehingga kelas semua grup berpenyelesaian bukanlah suatu varietas.

== Teorema Burnside ==
{{main|Teorema Burnside}}
Teorema Burnside menyatakan bahwa jika ''<math>G</math>'' adalah [[grup hingga]] dari [[Urutan (teori grup) |urutan]] <math>p^a q^b</math> di mana <math>p</math> dan <math>q</math> adalah [[bilangan prima]], dan <math>a</math> dan <math>b</math> adalah [[bilangan bulat]] [[bilangan negatif dan positif |taknegatif]], maka ''<math>G</math>'' adalah berpenyelesaian.

== Lihat pula ==
* [[Grup prosolvabel]]
* [[Subgrup parabola]]

== Catatan ==
{{Reflist}}

== Referensi ==
{{refimprove|date=Desember 2020}}
* {{Citation | last1=Malcev | first1=A. I. | author1-link=Anatoly Maltsev|title=Generalized nilpotent algebras and their associated groups | mr=0032644  | year=1949 | journal= [[Matematicheskii Sbornik|Mat. Sbornik N.S.]] | volume=25 | issue=67 | pages=347–366}}
* {{Citation |last1=Rotman |first1=Joseph J. |author-link1= Joseph J. Rotman |title=An Introduction to the Theory of Groups |edition=4 |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=148 |year=1995 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-94285-8  }}

== Pranala luar ==
* {{OEIS el|sequencenumber=A056866|name=Orders of non-solvable groups|formalname=Orders of non-solvable groups, i.e., numbers that are not solvable numbers}}
*[https://math.stackexchange.com/questions/3523759/can-any-solvable-finite-group-be-obtained-from-abelian-groups-and-combinations-o Solvable groups as iterated extensions] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210504094021/https://math.stackexchange.com/questions/3523759/can-any-solvable-finite-group-be-obtained-from-abelian-groups-and-combinations-o |date=2021-05-04 }}

{{DEFAULTSORT:Solvable Group}}
[[Kategori:Grup solvabel| ]]
[[Kategori:Sifat grup]]