Lihat sumber Grup abelian yang dihasilkan tak hingga

{{short description|Grup komutatif A4 di mana setiap elemen adalah jumlah elemen dari satu himpunan bagian hingga}}
Dalam [[aljabar abstrak]], [[grup abelian]] {{nowrap|(''G'', +)}} disebut '''dihasilkan hingga''' jika terdapat banyak elemen hingga ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''s''</sub> para '' G '' sedemikian rupa sehingga setiap '' x '' dan '' G '' bisa ditulis dalam bentuk
:''x'' = ''n''<sub>1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''n''<sub>2</sub>''x''<sub>2</sub> + ... + ''n''<sub>''s''</sub>''x''<sub>''s''</sub>
dengan [[bilangan bulat]]
''n''<sub>1</sub>, ..., ''n''<sub>''s''</sub>. Dalam hal ini, kami mengatakan bahwa himpunan {{nowrap|1={''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''s''</sub>}{{null}}}} adalah '' [[himpunan pembangkit grup|himpunan pembangkit]] '' dari '' G '' atau itu ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''s''</sub> ''menghasilkan'' ''G''.

Setiap grup abelian hingga dihasilkan secara tak terbatas. Grup abelian yang dihasilkan secara terbatas dapat diklasifikasikan sepenuhnya.

== Contoh ==
* [[Bilangan bulat]], <math>\left(\mathbb{Z},+\right)</math>, adalah grup abelian yang dihasilkan tanpa batas.
* [[Aritmetika modular|Bilangan bulat modulo <math>n</math>]], <math>\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)</math>, adalah gruo abelian yang terbatas (maka dihasilkan secara terbatas).
* Setiap [[Jumlah langsung grup|jumlah langsung]] dari banyak grup abelian yang dihasilkan tak terbatas lagi-lagi grup abelian yang dihasilkan tak terbatas.
* Setiap [[Kisi (grup)|kisi]] membentuk [[grup abelian bebas]] yang dihasilkan tanpa batas.

Tidak ada contoh lain (hingga isomorfisme). Secara khusus, grup <math>\left(\mathbb{Q},+\right)</math> dari [[bilangan rasional]] tidak dihasilkan secara terbatas:<ref name="Silverman-Tate-1992">Silverman & Tate (1992), [{{Google books|plainurl=y|id=mAJei2-JcE4C|page=102|text=not finitely generated}} p. 102]</ref> jika <math>x_1,\ldots,x_n</math> adalah bilangan rasional, pilih [[bilangan asli]] <math> k </math> [[coprime]] untuk semua penyebut; maka <math> 1/k </math> tidak dapat disebu <math>x_1,\ldots,x_n</math>. The group <math>\left(\mathbb{Q}^*,\cdot\right)</math> bilangan rasional bukan nol juga tidak dihasilkan secara terbatas. Kelompok bilangan real di bawah penambahan <math> \left(\mathbb{R},+\right)</math> dan bilangan riil bukan nol dalam perkalian <math>\left(\mathbb{R}^*,\cdot\right)</math> juga tidak dihasilkan secara terbatas.<ref name="Silverman-Tate-1992" /><ref>de la Harpe (2000), [{{Google books|plainurl=y|id=60fTzwfqeQIC|page=46|text=The multiplicative group Q}} p. 46]</ref>

== Klasifikasi ==
'''Teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga''' dapat dinyatakan dengan dua cara, menggeneralisasi dua bentuk [[teorema fundamental grup abelian hingga|teorema fundamental grup abelian '' hingga '']]. Teorema, dalam kedua bentuk, pada gilirannya menggeneralisasi ke [[teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga melalui domain ideal utama]], yang pada gilirannya mengakui generalisasi lebih lanjut.

=== Dekomposisi primer ===
Formulasi dekomposisi primer menyatakan bahwa setiap grup abelian '' G '' yang dihasilkan tak terbatas isomorfik ke [[Jumlah langsung grup|jumlah langsung]] dari [[grup siklik prima]] dan [[grup siklik]] tak terbatas. Grup siklik primer adalah grup yang [[urutan grup|urutan]] adalah pangkat dari [[bilangan prima|prima]]. Artinya, setiap grup abelian yang dihasilkan tak terbatas bersifat isomorfik ke grup bentuk
:<math>\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{q_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{q_t},</math>
di mana '' n '' ≥ 0 adalah '' [[Peringkat grup abelian|peringkat]] '', dan angka ''q''<sub>1</sub>, ..., ''q''<sub>''t''</sub> adalah kekuatan dari bilangan prima (tidak harus berbeda). Secara khusus, '' G '' terbatas jika dan hanya jika '' n '' = 0. Nilai '' n '', ''q''<sub>1</sub>, ..., ''q''<sub>''t''</sub> adalah ([[hingga]] menyusun ulang indeks) secara unik ditentukan oleh '' G '', yaitu, hanya ada satu dan satu cara untuk merepresentasikan '' G '' sebagai dekomposisi semacam itu.

=== Dekomposisi faktor invarian ===
Kita juga dapat menulis grup abelian '' G '' yang dihasilkan secara terbatas sebagai [[jumlah langsung]] dari formulir
:<math>\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u},</math>
di mana '' k '' <sub> 1 </sub> [[pembagian|membagi]] ''k''<sub>2</sub>, yang membagi ''k''<sub>3</sub> dan seterusnya sampai ''k''<sub>''u''</sub>.  Sekali lagi, peringkat '' n '' dan '' [[faktor invarian]] '' ''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>''u''</sub> ditentukan secara unik oleh '' G '' (di sini dengan urutan unik). Pangkat dan urutan faktor invarian menentukan kelompok hingga isomorfisme.

=== Kesetaraan ===
Pernyataan ini setara sebagai hasil dari [[Teorema sisa bahasa Cina]], yang menyiratkan bahwa <math>\mathbb{Z}_{jk}\simeq \mathbb{Z}_{j} \oplus \mathbb{Z}_{k}</math> if and only if ''j'' and ''k'' are [[coprime]].

=== Sejarah ===
Sejarah dan penghargaan untuk teorema fundamental diperumit oleh fakta bahwa itu terbukti ketika [[teori grup]] tidak mapan, dan dengan demikian bentuk awal, sementara pada dasarnya hasil dan bukti modern, sering dinyatakan untuk kasus tertentu. Singkatnya, bentuk awal dari kasus hingga terbukti di {{harv|Gauss|1801}}, kasus yang terbatas telah dibuktikan {{harv|Kronecker|1870}}, dan dinyatakan dalam istilah teori-grup oleh {{harv|Frobenius|Stickelberger|1878}}. Kasus [[Grup yang disajikan secara terbatas|'' disajikan '']] diselesaikan dengan [[bentuk normal Smith]], dan karenanya sering dikreditkan ke {{harv|Smith|1861}},<ref name="fuchs"/> meskipun kasus '' dihasilkan '' yang tidak terbatas terkadang malah dikreditkan oleh {{harv|Poincaré|1900}}; detail ikuti.

Teori grup [[László Fuchs]] menyatakan:<ref name=fuchs>{{cite book
|title=Abelian Groups
|first=László
|last=Fuchs
|author-link=László Fuchs
|isbn=978-3-319-19422-6
|year=2015
|orig-year=Originally published 1958
|page=[https://books.google.com/books?id=2KMvCwAAQBAJ&pg=PA85 85]
}}</ref>
{{quote|Sejauh menyangkut teorema fundamental tentang kelompok abelian hingga, tidak jelas seberapa jauh ke masa lalu seseorang perlu menelusuri asal-usulnya.. ... butuh waktu lama untuk merumuskan dan membuktikan teorema fundamental dalam bentuknya yang sekarang ...}}

Teorema fundamental untuk kelompok abelian '' terbatas '' dibuktikan oleh [[Leopold Kronecker]] oleh {{harv|Kronecker|1870}}, menggunakan bukti teori-grup,<ref name=stillwell175>{{cite book 
|title=Classical Topology and Combinatorial Group Theory
|first=John
|last=Stillwell
|author-link=John Stillwell
|year=2012
|section=5.2 The Structure Theorem for Finitely Generated 
|page=[https://books.google.com/books?id=WtcRBwAAQBAJ&pg=PA175 175]
}}</ref> though without stating it in group-theoretic terms;<ref name=wussing67>{{cite book
|first=Hans
|last=Wussing
|author-link=Hans Wussing
|title=Die Genesis des abstrackten Gruppenbegriffes. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie.
|orig-year=1969
|trans-title=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory.
|year=2007
|page=[https://books.google.com/books?id=Xp3JymnfAq4C&pg=PA67 67]
}}</ref> presentasi modern dari bukti Kronecker diberikan {{harv|Stillwell|2012}}, 5.2.2 Teorema Kronecker, [https://books.google.com/books?id=WtcRBwAAQBAJ&pg=PA176 176–177]. Ini menggeneralisasikan hasil sebelumnya dari [[Carl Friedrich Gauss]] dari '' [[Disquisitiones Arithmeticae]] '' (1801), yang mengklasifikasikan bentuk kuadrat; Kronecker mengutip hasil dari Gauss. Teorema tersebut dinyatakan dan dibuktikan dalam bahasa kelompok oleh [[Ferdinand Georg Frobenius]] dan [[Ludwig Stickelberger]] pada tahun 1878.<ref>G. Frobenius, L. Stickelberger, Uber Grubben von vertauschbaren Elementen, J. reine u. angew. Math., 86 (1878), 217-262.</ref><ref>Wussing (2007), hal. [https://books.google.com/books?id=Xp3JymnfAq4C&pg=PA234 234–235]</ref> Formulasi teori-kelompok lain diberikan oleh murid Kronecker [[Eugen Netto]] pada tahun 1882.<ref>''Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra'',
Eugen Netto, 1882</ref><ref>Wussing (2007), pp. [https://books.google.com/books?id=Xp3JymnfAq4C&pg=PA234 234–235]</ref>

Teorema fundamental untuk [[Grup yang disajikan secara hingga|'' disajikan secara terbatas '']] grup abelian dibuktikan oleh [[Henry John Stephen Smith]] oleh {{harv|Smith|1861}},<ref name="fuchs"/> sebagai matriks integer sesuai dengan presentasi terbatas dari kelompok abelian (ini menggeneralisasi untuk modul yang disajikan secara halus di atas domain ideal utama), dan [[Bentuk normal Smith]] sesuai dengan klasifikasi grup abelian yang disajikan secara terbatas.

Teorema fundamental untuk kelompok abelian '' yang dihasilkan secara terbatas '' dibuktikan oleh [[Henri Poincaré]] oleh {{harv|Poincaré|1900}}, menggunakan bukti matriks (yang menggeneralisasi domain ideal utama). Ini dilakukan dalam konteks komputasi
[[Homologi (matematika)|homologi]] dari sebuah kompleks, khususnya [[Bilangan Betti]] dan [[Koefisien torsi (topologi)|koefisien torsi]] dari dimensi kompleks, di mana bilangan Betti sesuai dengan peringkat bagian bebas.<ref name=stillwell175 />

Bukti Kronecker digeneralisasikan menjadi grup abelian yang '' dihasilkan secara halus '' oleh [[Emmy Noether]] pada {{harv|Noether|1926}}.<ref name=stillwell175 />

== Korelasi ==
Dinyatakan secara berbeda, teorema fundamental mengatakan bahwa grup abelian yang dihasilkan secara terbatas adalah jumlah langsung dari [[grup abelian gratis]] dari [[peringkat grup abelian|peringkat]] dan grup abelian hingga, masing-masing unik hingga isomorfisme. Grup abelian terbatas hanyalah [[subgrup torsi]] dari '' G ''. Pangkat '' G '' didefinisikan sebagai pangkat bagian bebas torsi dari '' G ''; ini hanyalah angka '' n '' pada rumus di atas.

Sebuah [[korelasi]] pada teorema fundamental adalah bahwa setiap [[grup abelian bebas torsi]] adalah abelian bebas. Kondisi yang dihasilkan tak terbatas sangat penting di sini: <math>\mathbb{Q}</math> bebas torsi tetapi bukan abelian gratis.

Setiap [[subgrup]] dan [[grup faktor]] dari grup abelian yang dihasilkan tak terbatas lagi-lagi dihasilkan abelian tak terhingga. Grup abelian yang dihasilkan tak terbatas, bersama dengan [[homomorfisme grup]], membentuk [[kategori abelian]] yang merupakan [[Subkategori#Jenis subkategori|Serre subkategori]] dari [[kategori grup abelian]].

== Grup abelian yang dibuat tidak terbatas ==
Perhatikan bahwa tidak setiap grup abelian dengan peringkat terbatas dihasilkan secara terbatas; kelompok peringkat 1 <math>\mathbb{Q}</math> adalah salah satu contoh berlawanan, dan grup peringkat-0 diberikan oleh jumlah langsung [[himpunan tak hingga|terhitung tak terhingga banyak]] salinan dari <math>\mathbb{Z}_{2}</math> adalah satu sama lain.

== Lihat pula ==
* [[Teorema Jordan–Hölder]] adalah generalisasi non-abelian

== Catatan ==
{{Reflist}}

== Referensi ==
{{refbegin}}
* {{cite journal |last=Smith |first=Henry J. Stephen |author-link=Henry John Stephen Smith |year=1861 |title=On systems of linear indeterminate equations and congruences |journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society of London|Phil. Trans. R. Soc. Lond.]] |volume=151 |issue=1 |pages=293–326 |jstor=108738 |doi=10.1098/rstl.1861.0016 }} Reprinted (pp. [https://archive.org/stream/collectedmathema01smituoft#page/366/mode/2up 367–409]) in [https://archive.org/details/collectedmathema01smituoft ''The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith'', Vol. I], edited by [[James Whitbread Lee Glaisher|J. W. L. Glaisher]]. Oxford: Clarendon Press (1894), ''xcv''+603 pp.
* {{cite book |last1=Silverman |first1=Joseph H. |last2=Tate |first2=John Torrence |title=Rational points on elliptic curves |series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] |year=1992 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-97825-3 }}
* {{cite book |last1=de la Harpe |first1=Pierre |title=Topics in geometric group theory |series=Chicago lectures in mathematics |year=2000 |publisher=University of Chicago Press |isbn=978-0-226-31721-2 }}
{{refend}}

{{DEFAULTSORT:Finitely Generated Abelian Group}}
[[Kategori:Teori grup Abelian]]
[[Kategori:Struktur aljabar]]