Lihat sumber Grup Lie

{{short description|Grup yang juga berjenis berbeda dengan operasi grup yang lancar}}

{{Grup Lie}}{{Periksa terjemahan|en|Lie group}}{{Teori grup sidebar}}
{{confuse|Grup tipe Lie}}
Dalam [[matematika]], '''grup Lie''' ({{IPAc-en|l|iː}} "Lee") adalah [[grup (matematika)|grup]] yang merupakan [[lipatan berjenis]]. [[Lipatan]] adalah ruang lokal [[ruang Euklides]], sedangkan grup mendefinisikan abstrak, konsep umum perkalian dan pengambilan invers (pembagian). Menggabungkan dua ide ini, kita akan mendapatkan [[grup kontinu]] dimana poin dikalikan secara kebersamaan dan kebalikannya dapat diambil. Jika, sebagai penambahan, perkalian, dan pengambilan invers didefinisikan sebagai halus (terdiferensiasi), maka kita mendapatkan rumus grup Lie.

Grup Lie diberikan sebuah model alami untuk konsep [[simetri kontinu]], contohnya adalah simetri rotasi dalam tiga dimensi (diberikan oleh [[grup ortogonal khusus]] <math>\text{SO}(3)</math>). Grup Lie sering digunakan di banyak bagian matematika dan [[fisika]] modern.

Grup Lie pertama kali ditemukan dengan mempelajari subgrup [[matriks (matematika)|matriks]] <math>G</math> dalam <math>\text{GL}_n(\mathbb{R})</math> or <math>\text{GL}_{n}(\mathbb{C})</math>, [[Grup linear umum|grup dari <math>n\times n</math> matriks inver]] di atas <math>\mathbb{R}</math> atau <math>\mathbb{C}</math>. Ini disebut sebagai [[grup klasik]], karena konsepnya telah diperluas jauh melampaui asal-usulnya. Grup Lie dinamai menurut matematikawan asal Norwegia yaitu [[Sophus Lie]] (1842–1899) yang memberikan dasar teori [[grup transformasi]] kontinu. Motivasi asli Lie untuk memperkenalkan grup Lie adalah untuk model kesimetrian kontinu dengan [[persamaan diferensial]] yang sama bahwa grup hingga digunakan dalam [[teori Galois]] untuk model simetri diskrit [[persamaan aljabar]].

== Ikhtisar ==
[[Berkas:Circle as Lie group.svg|right|thumb|Himpunan semua [[bilangan kompleks]] dengan [[nilai absolut]] 1 (terkait dengan titik-titik pada [[lingkaran]] dari pusat 0 dan jari-jari 1 di [[medan kompleks]]) adalah grup Lie dalam perkalian kompleks: [[grup lingkaran]].]]
Grup Lie adalah [[lipatan berjenis]] [[kehalusan|halus]] dan dengan demikian dapat dipelajari menggunakan [[kalkulus diferensial]] berbeda dengan [[grup topologi]] umum. Salah satu ide kunci dalam teori grup Lie adalah mengganti objek ''global'' grup dengan versi ''lokal'' atau linierisasi. Grup Lie sendiri disebut sebagai "grup infinitesimal" dan dikenal sebagai [[aljabar Lie]].

Grup Lie memainkan peran yang sangat besar dalam [[geometri]] modern unruk beberapa tingkatan yang berbeda. [[Felix Klein]] berpendapat dalam [[program Erlangen]] dapat mempertimbangkan berbagai "geometri "dengan menentukan grup transformasi yang sesuai yang menghilangkan sifat geometris [[Invarian (matematika)|invarian]]. Jadi [[geometri Euklides]] dengan pilihan grup [[Grup Euklides|E(3)]] dari transformasi jarak ruang Euklides '''R'''<sup>3</sup> [[konformal geometri]] dengan memperbesar grup ke [[grup konformal]], sedangkan dalam [[geometri proyektif]] tertarik pada sifat invarian di bawah [[grup proyektif]]. Ide ini kemudian mengarah pada gagasan tentang sebuah [[struktur-G]], dimana ''G'' adalah grup Lie dari simetris "lokal" dari lipatan.

Grup Lie dan aljabar Lie memainkan peran utama dalam fisika modern, dengan grup Lie biasanya memainkan peran sebagai simetri sistem fisik. Di sini, [[grup Lie wakilan|wakilan]] dari grup Lie atau [[aljabar Lie wakilan|aljabar Lie]] sangat penting untuk penggunaannya. Teori representasi [[Fisika partikel dan teori wakilan|digunakan secara luas dalam fisika partikel]]. Grup wakilannya sangat penting untuk digunakan [[grup rotasi 3D|grup rotasi S(3)]] atau [[grup rotasi 3D#Koneksi antara SO(3) dan SU(2)|penutup ganda SU(2)]], [[Koefisien Clebsch–Gordan untuk SU(3)#Representasi dari grup SU.283.29|grup satuan khusus SU(3)]] dan [[Teori wakilan dalam grup Poincaré|grup Poincaré]].

Pada tingkat "global", setiap grup Lie [[grup aksi (matematika)|aksi]] pada objek geometris, yaitu [[lipatan Riemannian|Riemannian]] atau [[lipatan simplektis]], aksi ini memberikan ukuran dan menghasilkan [[struktur aljabar]] yang banyak. Adanya simetri kontinu yang diekspresikan melalui [[grup Lie aksi]] pada lipatan menempatkan batasan yang kuat pada geometrinya dan memfasilitasi [[analisis global|analisis]] pada lipatan. Grup Lie aksi sangat penting dalam penggunaannya, dan dipelajari dalam [[teori wakilan]].

Pada 1940-an-1950-an, [[Ellis Kolchin]], [[Armand Borel]], dan [[Claude Chevalley]] menyadari bahwa banyak hasil dasar mengenai grup Lie yang dikembangkan sepenuhnya secara aljabar sebagai teori [[grup aljabar]] yang ditentukan melalui sembarang [[medan (matematika)|medan]]. Wawasan ini membuka kemungkinan baru dalam aljabar murni, dengan memberikan konstruksi seragam untuk sebagian besar [[grup sederhana hingga]] serta dalam [[geometri aljabar]]. Teori [[bentuk automorfik]], cabang penting dari [[teori bilangan]] modern, berurusan secara ekstensif dengan analogi grup Lie selama [[gelanggang Adele]]; [[bilangan p-adik]] grup Lie memainkan peran penting dengan melalui koneksi dengan representasi Galois dalam teori bilangan.

== Definisi dan contoh ==
'''Grup Lie riil''' adalah [[grup (matematika)|grup]] merupakan berdimensi riil hingga [[lipatan berjenis#Definisi|lipatan halus]], dimana operasi grup [[perkalian]] dan inversi adalah [[peta halus]]. Maka perkalian grup, adalah

:<math> \mu:G\times G\to G\quad \mu(x,y)=xy</math>

jadi ''μ'' adalah pemetaan halus dari [[Lipatan#Produk Kartesius|produk berjenis]] {{nowrap|''G'' × ''G''}} sebagai ''G''. Kedua persyaratan ini dapat digabungkan menjadi satu persyaratan yaitu pemetaan
:<math>(x,y)\mapsto x^{-1}y</math>
sebagai pemetaan mulus dari produk berjenis yaitu ''G''.

=== Grup Matriks Lie ===

Maka <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math> sebagai grup <math>n\times n</math> matriks invers dengan entri dalam <math>\mathbb{C}</math>. [[Teorema subgrup tertutup|Subgrup tertutup]] dari <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math> adalah grup Lie<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Corollary 3.45</ref> yang disebut ''matriks grup Lie'' Karena sebagian besar contoh dari grup Lie direalisasikan sebagai matriks grup Lie, beberapa buku teks membatasi perhatian pada kelas ini, termasuk yang ada dalam Hall<ref name = Hall>{{harvnb|Hall|2015}}</ref> dan Rossmann.<ref>{{harvnb|Rossmann|2001}}</ref> Membatasi sebuah matriks grup Lie dengan cara menyederhanakan definisi aljabar Lie dan peta eksponensial. Berikut ini adalah contoh standar grup matriks Lie.
*[[Grup linear khusus]] di atas <math>\mathbb{R}</math> dan <math>\mathbb{C}</math> yaitu <math>\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})</math> dan <math>\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})</math> terdiri dari <math>n\times n</math> matriks dengan determinan satu dan entri dalam <math>\mathbb{R}</math> atau <math>\mathbb{C}</math>
*[[Grup unital]] dan grup uniter khusus yaitu <math>\text{U}(n)</math> dan <math>\text{SU}(n)</math>, terdiri dari <math>n\times n</math> matriks kompleks <math>U^*=U^{-1}</math> (dan <math>\det(U)=1</math> dalam kasus <math>\text{SU}(n)</math>)
*[[Grup ortogonal]] dan grup ortogonal khusus yaitu <math>\text{O}(n)</math> dan <math>\text{SO}(n)</math>, terdiri dari <math>n\times n</math> matriks <math>R^\mathrm{T}=R^{-1}</math> (dan <math>\det(R)=1</math> dalam kasus <math>\text{SO}(n)</math>)
Semua contoh sebelumnya termasuk dalam tajuk [[grup klasik]].

=== Konsep terkait ===
'''[[Grup Lie kompleks]]''' didefinisikan dengan cara yang sama menggunakan [[lipatan kompleks]] yang sebenarnya (contoh: <math>\operatorname{SL}(2, \mathbb{C})</math>), dan menggunakan alternatif [[Ruang metrik lengkap#Pelengkap|pelengkap metrik]] dari <math>\mathbb{Q}</math>, grup topologi dimana setiap titik memiliki lingkungan ''p''-adik.

[[Masalah kelima Hilbert]] menanyakan apakah untuk mengganti lipatan yang dibedakan dengan topologi atau analitik dapat menghasilkan contoh baru. Jawaban atas pertanyaan ini ternyata negatif: pada tahun 1952 matematikawan [[Andrew Gleason|Gleason]], [[Deane Montgomery|Montgomery]] dan [[Leo Zippin|Zippin]] menunjukkan bahwa jika ''G'' adalah lipatan topologi, maka tepat satu struktur analitik pada ''G'' yang mengubah menjadi grup Lie (lihat pula [[Konjektur Hilbert–Smith]]). Jika lipatan dasar yang berdimensi tak hingga (misalnya, [[lipatan Hilbert]]), maka sampai pada gagasan tentang grup Lie berdimensi tak hingga. Dimungkinkan untuk mendefinisikan analogi dari banyak [[grup tipe Lie|grup Lie di atas bidang hingga]], dan memberikan sebagian besar contoh [[grup sederhana hingga]].

=== Definisi topologi ===
Grup Lie dapat didefinisikan sebagai ([[ruang Hausdorff|Hausdorff]]) [[grup topologi]] dimana elemen tersebut adalah identitas, terlihat seperti grup transformasi, tanpa referensi ke lipatan yang dibedakan.<ref>{{harvnb|T. Kobayashi–T. Oshima|loc=Definition 5.3.}}</ref> Pertama, definisikan '''grup Lie linear jauh''' menjadi subgrup ''G'' dari grup linear umum <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math> maka
# untuk beberapa lingkungan ''V'' dari elemen identitas ''e'' dalam ''G'', topologi ''V'' adalah topologi subruang <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math> dan ''V'' sebagai penutupan dalam <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math>.
# ''G'' memiliki [[himpunan hitung|hitung]] komponen yang terhubung.
Misalnya, subgrup tertutup dari <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math>; yaitu, matriks grup Lie memenuhi kondisi di atas.

Maka ''grup Lie'' didefinisikan sebagai grup topologi (1) secara lokal isomorfik dekat identitas ke grup Lie linear dan (2) memiliki banyak komponen yang terhubung. Menunjukkan definisi topologi ekuivalen dengan yang biasa bersifat teknis (dan pembaca pemula harus melewatkan yang berikut) tetapi dilakukan sebagai berikut:
# Diberikan grup Lie '' G '' dalam arti berjenis biasa, [[korespondensi grup Lie–aljabar Lie]] (atau versi [[teorema ketiga Lie]]) membentuk subgrup Lie terbenam <math>G' \subset \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math> maka <math>G, G'</math> dibagikan aljabar Lie yang sama; dengan demikian, isomorfik secara lokal. Oleh karena itu, ''G'' memenuhi definisi topologi di atas.
# Maka ''G'' sebagai grup topologi yang merupakan grup Lie dalam pengertian topologis di atas dan grup Lie linear <math>G'</math> lokal isomorfik ke ''G''. Kemudian, dengan versi [[teorema subgrup tertutup]], <math>G'</math> adalah [[lipatan analitik-riil]] dan isomorfisme lokal, ''G'' memperoleh struktur lipatan ganda dekat [[elemen identitas]]. Maka ditunjukkan hukum grup ''G'' diberikan deret pangkat formal;<ref>Ini adalah pernyataan bahwa grup Lie adalah [[grup Lie formal]]. Untuk konsep terakhir, untuk saat ini, lihat F. Bruhat, [http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr14.pdf Ceramah tentang Grup Lie dan Grup Wakilan Lokal] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809143834/http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr14.pdf|date=2023-08-09}}.</ref> jadi operasi grup adalah analitik-riil dan ''G'' adalah lipatan analitik-riil.

Definisi topologi sebagai dua grup Lie isomorfik sebagai grup topologi, maka isomorfik adalah grup Lie. Faktanya, prinsip umum bahwa untuk sebagian besar, ''topologi grup Lie'' dengan hukum grup menentukan geometri grup.

=== Contoh pertama ===
* [[matriks invers|Matriks]] [[bilangan riil|riil]] 2 × 2  sebuah grup dalam perkalian, dilambangkan dengan {{nowrap|[[grup linear umum|GL(2, '''R''')]]}} atau dengan GL<sub>2</sub>('''R'''):

:: <math>\operatorname{GL}(2, \mathbf{R}) = \left\{A = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} :\, \det A = ad-bc \ne 0\right\}.</math>

: Ini disebut sebagai grup Lie riil empat dimensi [[ruang kompak|non-kompak]] adalah himpunan bagian dari <math>\mathbb R^4</math>. Grup ini [[ruang terhubung|menghubungkan]] dua komponen diantara nilai positif dan negatif dari [[determinan]].

* Matriks [[rotasi (matematika)|rotasi]] sebagai [[subgrup]] dari {{nowrap|GL(2, '''R''')}} yang dilambangkan dengan {{nowrap|SO(2, '''R''')}}. Ini disebut sebagai grup Lie dalam sendiri: khususnya, grup Lie menghubungkan kompak satu dimensi [[difeomorfik]] ke [[lingkaran]]. Menggunakan sudut rotasi <math>\varphi</math> sebagai parameter, grup ini dapat berupa [[persamaan parametrik|parametrized]] sebagai berikut:
:: <math>\operatorname{SO}(2, \mathbf{R}) = \left\{\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} :\, \varphi \in \mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z}\right\}.</math>

:Penjumlahan sudut sesuai dengan perkalian elemen {{nowrap|SO(2, '''R''')}}, dan mengambil sudut berlawanan sesuai dengan inversi. Jadi perkalian dan inversi adalah peta yang dapat dibedakan.

* [[Grup Affin#Matriks wakilan|Grup affin satu dimensi]] adalah grup Lie matriks dua dimensi yang terdiri dari <math>2 \times 2</math> matriks segitiga atas dengan entri diagonal pertama positif dan entri diagonal kedua adalah 1. Jadi, grup tersebut terdiri dari matriks formulir
::<math> A= \left( \begin{array}{cc} a & b\\ 0 & 1 \end{array}\right),\quad a>0,\, b \in \mathbb{R}.</math>

=== Bukan contoh ===
Untuk contoh grup dengan elemen [[himpunan tak terhitung|tak terhitung]] yang bukan grup Lie di bawah topologi tertentu. Grup diberikan oleh

:<math>H = \left\{\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi ia\theta}\end{matrix}\right) :\, \theta \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{T}^2 = \left\{\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi i\phi}\end{matrix}\right) :\, \theta, \phi \in \mathbb{R}\right\},</math>

dengan <math>a \in \mathbb R \setminus \mathbb Q</math> sebuah [[bilangan irasional]] adalah subgrup dari [[torus]] <math>\mathbb T^2</math> yang bukan grup Lie diberikan oleh [[topologi subruang]].<ref>{{harvnb|Rossmann|2001|loc=Chapter 2.}}</ref> Jika mengambil [[Persekitaran (matematika)|lingkungan]] <math>U</math> dari sebuah titik <math>h</math> dengan <math>H</math>: contoh, bagian dari <math>H</math> dalam <math>U</math> adalah terputus. Grup dengan rotasi <math>H</math> di sekitar torus tanpa mencapai titik spiral sebelumnya dan dengan demikian sebagai <math>\mathbb T^2</math>.

[[Berkas:Irrational line on a torus.png|thumb|right|Sebagian dari grup <math> H </math> dalam <math>\mathbb T^2</math>. Lingkungan kecil dari elemen terputus <math>h\in H</math> dalam himpunan bagian topologi dengan <math>H</math>]]

Grup <math>H</math> diberikan topologi yang berbeda, dimana jarak antara dua titik <math>h_1,h_2\in H</math> didefinisikan sebagai panjang dari jalur terpendek ''dalam grup'' <math>H</math> sebagai gabungan <math>h_1</math> dengan <math>h_2</math>. Dalam topologi ini, <math>H</math> diidentifikasi secara homeomorfis dengan garis riil untuk mengidentifikasi setiap elemen dengan bilangan <math>\theta</math> dalam definisi <math>H</math>. Dengan topologi ini, <math>H</math> sebagai grup bilangan riil yang ditambahkan, oleh karena itu merupakan grup Lie.

Grup <math>H</math> adalah contoh gelanggang dari "[[#Subgrup Lie|subgrup Lie]]" dari grup Lie yang tidak tertutup. Lihat pembahasan subgrup Lie di bawah ini pada bagian tentang konsep dasar.

== Lebih banyak contoh dari grup Lie ==
{{see also|Tabel grup Lie|Daftar grup Lie sederhana}}

Grup Lie terdapat di seluruh materi matematika dan fisika. [[Grup matriks]] atau [[grup aljabar]] adalah grup matriks, misalnya: [[grup ortogonal|ortogonal]] dan [[grup simplektis]], dan ini memberikan sebagian besar yang umum contoh dari Lie.

=== Dimensi satu dan dua ===
Salah satu grup Lie yang terhubung dengan dimensi satu adalah garis riil <math>\mathbb{R}</math> dengan operasi grup menjadi penjumlahan dan [[grup lingkaran]] <math>S^1</math> bilangan kompleks dengan nilai absolut satu dengan operasi grup menjadi perkalian. <math>S^1</math> grup dilambangkan sebagai <math>U(1)</math> sebagai grup matriks uniter <math>1\times 1</math>.

Dalam dua dimensi, jika membatasi hanya pada grup yang terhubung, maka diklasifikasikan oleh aljabar Lie. Ada (hingga isomorfisme) hanya dua aljabar Lie berdimensi dua. Grup Lie yang terhubung secara sederhana adalah <math>\mathbb{R}^2</math> dengan operasi grup sebagai penjumlahan vektor dan grup affin dalam dimensi satu, dijelaskan di sub-bagian sebelumnya di bawah "contoh pertama".

=== Contoh tambahan ===
* [[Grup uniter khusus#n .3D 2|Grup SU(2)]] adalah grup matriks uniter <math>2\times 2</math> dengan determinan <math>1</math>. Secara topologis, <math>\text{SU}(2)</math> adalah bola-<math>3</math> oleh <math>S^3</math>; sebagai grup diidentifikasikan dengan grup unit [[kuaternion]].
* [[Grup Heisenberg]] adalah grup dimensi [[grup nilpoten|nilpoten]] menghubungkan <math>3</math> yang memainkan peran kunci dalam [[mekanika kuantum]].
* [[Gru0 Lorentz]] adalah grup Lie 6 dimensi dari [[isometri]] dari [[ruang Minkowski]].
* [[Grup Poincaré]] adalah grup Lie 10 dimensi dari isometri [[transformasi affin|affin]] dari ruang Minkowski.
* [[Grup Lie eksepsional]] tipe [[G2 (matematika)|''G''<sub>2</sub>]], [[F4 (matematika)|''F''<sub>4</sub>]], [[E6 (matematika)|''E''<sub>6</sub>]], [[E7 (matematika)|''E''<sub>7</sub>]], [[E8 (matematika)|''E''<sub>8</sub>]] memiliki dimensi 14, 52, 78, 133, dan 248. Dengan deret A-B-C-D [[grup Lie sederhana]], grup eksepsional melengkapi daftar grup Lie sederhana.
* [[Grup simplektik]] <math>\text{Sp}(2n,\mathbb{R})</math> terdiri dari semua <math>2n \times 2n</math> matriks mempererat ''[[bentuk simplektis]]'' dalam <math>\mathbb{R}^{2n}</math>. Ini disebut sebagai grup dimensi Lie yang menghubungkan <math>2n^2 + n</math>.

=== Konstruksi ===
Ada beberapa cara standar untuk membentuk grup Lie yang baru dari lama:
* Produk dari dua grup Lie adalah grup Lie.
* Setiap subgrup [[himpunan tertutup|topologi tertutup]] dari grup Lie adalah grup Lie. Ini dikenal sebagai [[Teorema subgrup tertutup]] atau '''teorema Cartan'''.
* Hasil bagi dari grup Lie oleh subgrup normal tertutup adalah grup Lie.
* [[Sampul universal]] dari grup Lie yang terhubung adalah grup Lie. Misalnya, grup <math>\mathbb{R}</math> adalah sampul universal grup lingkaran <math>S^1</math>. Faktanya, setiap simpul dari lipatan yang dapat dibedakan juga merupakan lipatan yang dapat dibedakan, tetapi dengan menentukan sampul ''universal'' untuk struktur grup (kompatibel dengan struktur lainnya).

=== Pengertian terkait ===
Beberapa contoh grup yang ''bukan'' grup Lie (kecuali dalam pengertian solvabel bahwa setiap grup banyak<!-- menurut konvensi, lipatan dihitung kedua jadi kita perlu mengecualikan himpunan yang tidak dihitung --> dapat dilihat sebagai grup Lie 0 dimensi, dengan [[topologi diskrit]]), adalah:

* Gugus berdimensi tak hingga merupakan grup aditif [[ruang vektor]] riil berdimensi tak hingga, atau ruang fungsi halus dari lipatan <math>X</math> ke grup Lie <math>G</math>, <math>C^\infty(X,G)</math>. Ini bukan grup Lie karena bukan lipatan "berdimensi-hingga".
* Beberapa [[grup total putusan]] merupakan [[grup Galois]] dengan ekstensi tak hingga bidang, atau grup aditif dari bilangan ''p''-adik. Ini bukan grup Lie karena ruang dasarnya bukan lipatan riil. Beberapa dari grup ini adalah "grup Lie ''p''-adik". Secara umum, l grup topologi yang memiliki kesamaan [[sifat lokal]] '''R'''<sup>''n''</sup> untuk beberapa bilangan bulat positif ''n'' dapat berupa grup Lie (tentu harus memiliki struktur yang dibedakan).

== Konsep dasar ==
=== Peta eksponensial ===
{{Main|Peta eksponensial (teori Lie)}}
{{see also|Turunan dari peta eksponensial|koordinat normal}}

[[Peta eksponensial (teori Lie)|Peta eksponensial]] untuk aljabar Lie <math>M(n;\mathbb C)</math> dari [[grup linear umum]] <math>GL(n;\mathbb C)</math> ke <math>GL(n;\mathbb C)</math> ditentukan dengan [[matriks eksponensial]] yang diberikan oleh deret pangkat biasa untuk matriks <math>X</math>:

:<math>\exp(X) = 1 + X + \frac{X^2}{2!} + \frac{X^3}{3!} + \cdots </math>

Jika <math>G</math> adalah subgrup tertutup dari <math>GL(n;\mathbb C)</math>, maka peta eksponensial mengambil aljabar Lie dari <math>G</math> menjadi <math>G</math>; dengan demikian, memiliki peta eksponensial untuk semua grup matriks. Setiap elemen <math>G</math> yang hampir dekat dengan identitas adalah eksponensial matriks dalam aljabar Lie.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Theorem 3.42</ref>

Definisi di atas mudah digunakan, tetapi tidak ditentukan untuk grup Lie yang bukan grup matriks, dan tidak jelas bahwa peta eksponensial grup Lie tidak bergantung pada wakilannya. Kita dapat menyelesaikan kedua masalah tersebut menggunakan definisi yang abstrak dari peta eksponensial yang berfungsi untuk semua grup Lie, sebagai berikut.

Untuk setiap vektor <math> X </math> dalam aljabar Lie <math>\mathfrak{g}</math> dari <math>G </math> yaitu ruang bersinggungan <math>G</math> pada identitas, yang membuktikan bahwa  subgrup satu parameter unik <math>c:\mathbb R\rightarrow G</math> dirumuskan <math>c'(0)=X</math>. Bahwa <math>c</math> adalah subgrup satu parameter berarti  <math>c</math> adalah peta mulus <math>G</math> dan untuk semua <math>s</math> dan <math>t</math>:

:<math>c(s + t) = c(s) c(t)\ </math>

Operasi di sisi kanan adalah perkalian grup dalam <math>G</math>. Kesamaan formal rumus ini dengan yang valid untuk [[fungsi eksponensial]] membenarkan definisi tersebut

:<math>\exp(X) = c(1).\ </math>

Ini disebut '''peta eksponensial''', dan memetakan aljabar Lie <math>\mathfrak{g}</math> dalam grup Lie <math>G</math>. Ini memberikan [[diffeomorfisme]] antara [[lingkungan (topologi)|lingkungan]] dari 0 <math>\mathfrak{g}</math> dan lingkungan <math>e</math> dalam <math>G</math>. Peta eksponensial ini merupakan generalisasi dari fungsi eksponensial untuk bilangan riil, maka <math>\mathbb{R}</math> adalah aljabar Lie dari kelompok Lie [[bilangan riil positif]] dengan perkalian, untuk bilangan kompleks, maka <math>\mathbb{C}</math> adalah aljabar Lie dari grup Lie dari bilangan kompleks bukan nol dengan perkalian) dan untuk [[matriks (matematika)|matriks]] (karena <math>M(n, \mathbb{R})</math> dengan komutator biasa adalah aljabar Lie dari grup Lie <math>GL(n, \mathbb{R})</math> dari semua matriks invers).

Karena peta eksponensial bersifat konjektur di beberapa lingkungan <math>N</math> dari <math>e</math> adalah hal umum untuk elemen aljabar Lie '''infinitesimal generator''' dari grup <math>G</math>. Subgrup <math>G</math> sebagai <math>N</math> adalah komponen identitas <math>G</math>.

Peta eksponensial dan aljabar Lie menentukan ''struktur grup lokal'' dari setiap grup Lie yang terhubung, karena [[rumus Baker–Campbell–Hausdorff]]: lingkungan <math>U</math> dari elemen nol <math>\mathfrak{g}</math> yang dirumuskan <math>X,Y\in U</math>, maka

:<math> \exp(X)\,\exp(Y) = \exp\left(X + Y + \tfrac{1}{2}[X,Y] + \tfrac{1}{12}[\,[X,Y],Y] - \tfrac{1}{12}[\,[X,Y],X] - \cdots \right),</math>

dimana istilah yang dihilangkan diketahui dan melibatkan kurung Lie dari empat elemen atau lebih. Jika <math>X</math> dan <math>Y</math> komutator, rumus tersebut direduksi menjadi hukum eksponensial yang dikenal sebagai <math>\exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)</math>

Peta eksponensial menghubungkan homomorfisme grup Lie. Artinya, jika <math>\phi: G \to H</math> adalah homomorfisme grup Lie dan <math>\phi_*: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}</math> peta induksi aljabar Lie yang tepat, maka untuk semua <math>x\in\mathfrak g</math> yaitu
:<math>\phi(\exp(x)) = \exp(\phi_{*}(x)).\,</math>
Dengan kata lain, diagram berikut [[diagram komutatif|komutatif]],<ref group=Catatan>{{cite web|url=http://www.math.sunysb.edu/~vkiritch/MAT552/ProblemSet1.pdf |title=Archived copy |access-date=2014-10-11 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110928024044/http://www.math.sunysb.edu/~vkiritch/MAT552/ProblemSet1.pdf |archive-date=2011-09-28 }}</ref>
[[Berkas:ExponentialMap-01.png|center]]

Singkatnya, ''exp'' adalah [[transformasi alami]] dari functor Lie ke identitas funktor pada kategori grup Lie.

Peta eksponensial dari aljabar Lie ke grup Lie tidak selalu [[Fungsi ekspresif|ekspresif]], bahkan jika grup tersebut terhubung yang memetakan ke grup Lie untuk grup terhubung yang kompak atau nilpoten.

=== Subgrup Lie ===
'''Subgrup Lie''' <math>H</math> dari grup Lie <math>G</math> adalah grup Lie [[himpunan bagian]] dari <math>G</math> dan [[peta inklusi]] dari <math>H</math> ke <math>G</math> yang merupakan [[injektif]] [[Perendaman (matematika)|pencelupan]] dan [[homomorfisme grup]]. Menurut [[Teorema subgrup tertutup|teorema Cartan]], [[subgrup]] tertutup dari <math>G</math> mengetahui struktur halus unik yang menjadikannya sebuah subgrup [[penyematan|tancapan]] Lie dari <math>G</math>, yaitu sebuah subgrup Lie sedemikian rupa sehingga peta inklusi adalah penyematan mulus.

Banyak contoh subgrup non-tertutup; misalnya mengambil <math>G</math> sebagai torus berdimensi 2 atau lebih besar, dan <math>H</math> sebagai [[subgrup satu parameter]] dari ''lerengan irasional'', yaitu salah satu dalam ''G''. Maka grup Lie [[homomorfisme]] <math>\varphi:\mathbb{R}\to G</math> dengan <math> \mathrm{im}(\varphi) = H</math>. [[Penutupan (topologi)|penutupan]] dari <math>H</math> sebagai sub-torus <math>G</math>.

[[Peta eksponensial (teori Lie)|peta eksponensial]] menghasilkan [[korespondensi aljabar Lie–grup Lie#Korespondensi|korespondensi satu-ke-satu]] antara subgrup Lie  terhubung dari grup Lie yang terhubung <math>G</math> dan subaljabar dari aljabar Lie <math>G</math>.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Teorema 5.20</ref> Biasanya, subgrup yang sesuai dengan subaljabar bukanlah subgrup tertutup. Tidak ada kriteria yang didasarkan pada struktur <math>G</math> untuk menentukan subaljabar, dimana yang sesuai dengan subgrup tertutup.

== Wakilan ==
{{main|Wakilan dari grup Lie}}
{{see also|Grup kompak#Teori wakilan dari grup Lie kompak terhubung|Wakilan aljabar Lie}}
Salah satu aspek penting dari studi grup Lie adalah wakilan, yaitu cara bertindak (secara linear) pada ruang vektor. Dalam fisika, grup Lie sering kali menyandikan kesimetrian sistem fisik. Cara menggunakan simetri ini untuk membantu menganalisis sistem sering kali melalui teori wakilan. Pertimbangkan, misalnya, [[persamaan Schrödinger]] yang tidak bergantung waktu dalam mekanika kuantum, <math>\hat{H}\psi = E\psi</math>. Asumsikan sistem yang dimaksud [[grup rotasi SO(3)]] sebagai simetri, artinya operasi Hamiltonian <math>\hat{H}</math> komutatif dengan aksi SO(3) pada fungsi gelombang <math>\psi</math>. Salah satu contoh penting dari sistem hal itu adalah [[atom hidrogen]]. Asumsi tersebut tidak berarti bahwa solusi <math>\psi</math> adalah fungsi invarian secara rotasi. Sebaliknya, hal itu berarti bahwa ''ruang'' dari solusi <math>\hat{H}\psi = E\psi</math> adalah invarian dalam rotasi (untuk setiap nilai tetap <math>E</math>). Ruang ini, merupakan wakilan dari SO(3). Wakilan ini telah [[Wakilan grup Lie#Contoh: Grup rotasi SO.283.29|diklasifikasikan]] dan mengarah ke penyederhanaan [[atom bakhidrogen|penyederhanaan masalah]], pada dasarnya mengubah persamaan diferensial parsial tiga dimensi menjadi persamaan diferensial biasa satu dimensi.

Kasus grup Lie kompak terhubung ''K'' (termasuk kasus SO(3) yang baru saja disebutkan) sangat mudah ditangani.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Part III</ref> Dalam hal ini, setiap wakilan berdimensi-hingga dari ''K'' terurai sebagai jumlah langsung dari wakilan yang tidak direduksi. Wakilan yang tidak direduksi, pada gilirannya, diklasifikasikan oleh [[Hermann Weyl]]. [[Grup kompak#Teori wakilan dari grup Lie kompak yang terhubung|Klasifikasi]] adalah dalam istilah "bobot tertinggi" dari representasi. Klasifikasi ini terkait erat dengan [[Wakilan aljabar Lie#Klasifikasi wakilan berdimensi-hingga dari aljabar Lie|klasifikasi wakilan dari aljabar Lie semisederhana]].

Dengan mempelajari wakilan satuan (secara umum berdimensi-tak-hingga) dari suatu grup Lie yang berubah-ubah (tidak kompak). Misalnya, untuk memberikan deskripsi eksplisit yang relatif sederhana tentang [[Teori wakilan SL2(R)|wakilan dari grup SL(2,R)]] dan [[klasifikasi Wigner'|wakilan dari grup Poincaré]].

== Sejarah awal ==
Menurut sumber paling otoritatif pada sejarah awal grup Lie (Hawkins, hal. 1), [[Sophus Lie]] menganggap musim dingin tahun 1873–1874 sebagai tanggal lahir teorinya tentang grup kontinu. Namun, Hawkins menyatakan bahwa "aktivitas penelitian Lie yang luar biasa selama periode empat tahun dari musim gugur 1869 hingga musim gugur 1873" yang mengarah pada penciptaan teori (''ibid''). Beberapa ide awal Lie dikembangkan dalam kolaborasi erat dengan [[Felix Klein]]. Lie bertemu dengan Klein setiap hari dari Oktober 1869 hingga 1872 di Berlin dari akhir Oktober 1869 hingga akhir Februari 1870, dan di Paris, Göttingen dan Erlangen dalam dua tahun berikutnya (''ibid'', hal. 2). Lie menyatakan bahwa semua hasil utama diperoleh pada tahun 1884. Tetapi selama tahun 1870-an semua makalahnya (kecuali catatan pertama) diterbitkan di jurnal Norwegia yang menghambat pengakuan atas karya tersebut di seluruh Eropa (''ibid'', hal 76). Pada tahun 1884, matematikawan muda asal Jerman, [[Friedrich Engel (matematikawan)|Friedrich Engel]], datang untuk bekerja dengan Lie pada risalah sistematis untuk mengekspos teorinya tentang grup kontinu. Dari upaya ini dihasilkan tiga jilid Theorie der Transformationsgruppen, diterbitkan pada tahun 1888, 1890, dan 1893. Istilah ''groupes de Lie'' pertama kali muncul dalam bahasa Prancis pada tahun 1893 dalam tesis murid Lie, Arthur Tresse.<ref>{{cite journal|title=Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations|author=Arthur Tresse|journal=Acta Mathematica|volume=18|year=1893|pages=1–88|doi=10.1007/bf02418270|url=https://zenodo.org/record/2273334|doi-access=free|access-date=2021-01-01|archive-date=2023-04-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20230417161043/https://zenodo.org/record/2273334|dead-url=no}}</ref>

Ide Lie tidak terpisah dari matematika lainnya. Faktanya, ketertarikannya pada geometri persamaan diferensial pertama kali dimotivasi oleh karya [[Carl Gustav Jacobi]], pada teori [[persamaan diferensial parsial]] orde pertama dan pada persamaan [[mekanika klasik]]. Banyak dari karya Jacobi diterbitkan secara anumerta pada tahun 1860-an, membangkitkan minat yang sangat besar di Prancis dan Jerman (Hawkins, hal.43). ''Idée fixe'' Lie adalah pengembangan teori kesimetrian persamaan diferensial yang diselesaikan oleh [[Évariste Galois]] untuk persamaan aljabar: yaitu, untuk mengklasifikasikannya dalam teori grup. Lie dan matematikawan lainnya menunjukkan persamaan yang paling penting untuk [[fungsi khusus]] dan [[polinomial ortogonal]] cenderung muncul dari kesimetrian teoretis grup. Dalam karya awal Lie, idenya adalah untuk membangun teori ''grup kontinu'', untuk melengkapi teori [[kelompok diskrit]] yang telah dikembangkan dalam teori [[bentuk modular]], di tangan [[Felix Klein]] dan [[Henri Poincaré]]. Aplikasi awal yang ada dalam pikiran Lie adalah teori [[persamaan diferensial]]. Pada model [[teori Galois]] dan [[persamaan polinomial]], konsep penggeraknya adalah teori yang mampu menyatukan, dengan mempelajari [[simetri]], seluruh luas [[persamaan diferensial biasa]]. Namun, harapan bahwa Teori Kebohongan akan menyatukan seluruh bidang persamaan diferensial biasa tidak terpenuhi. Metode simetri untuk ODE terus dipelajari, namun tidak mendominasi materi. Ada [[teori Galois diferensial]], tetapi dikembangkan oleh orang lain, seperti Picard dan Vessiot, dan ini memberikan teori [[kuadratur (matematika)|kuadratur]], [[integral tak hingga]].

Dorongan tambahan untuk mempertimbangkan kelompok berkelanjutan berasal dari gagasan [[Bernhard Riemann]], pada dasar-dasar geometri, dan pengembangan lebih lanjut mereka di tangan Klein. Jadi tiga tema utama dalam matematika abad ke-19 digabungkan oleh Lie dalam menciptakan teori barunya: ide simetri, seperti yang dicontohkan oleh Galois melalui pengertian aljabar dari [[grup (matematika)|grup]]; teori geometri dan solusi eksplisit dari [[persamaan diferensial]] mekanika, dikerjakan oleh [[Siméon Denis Poisson|Poisson]] dan Jacobi; dan pemahaman baru tentang [[geometri]] yang muncul dalam karya [[Julius Plücker|Plücker]], [[August Ferdinand Möbius|Möbius]], [[Grassmann]] dan lainnya, dan berpuncak pada visi revolusioner Riemann tentang subjek tersebut.

Meskipun saat ini Sophus Lie diakui sebagai pencipta teori kelompok berkelanjutan, langkah besar dalam pengembangan teori struktur mereka, yang memiliki pengaruh besar pada perkembangan matematika selanjutnya, dibuat oleh [[Wilhelm Killing]], yang pada tahun 1888 menerbitkan makalah pertama dalam seri berjudul ''Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen'' (''Komposisi grup transformasi hingga kontinu'') (Hawkins, hlm. 100). Pekerjaan Pembunuhan, kemudian disempurnakan dan digeneralisasikan oleh [[Élie Cartan]], mengarah ke klasifikasi [[aljabar Lie setengah sederhana]], Teori Cartan tentang [[ruang simetris Riemannian|ruang simetris]], dan deskripsi [[Hermann Weyl]] tentang [[representasi kelompok|representasi]] dari grup Lie yang kompak dan setengah sederhana.

Pada tahun 1900 [[David Hilbert]] menantang ahli teori Lie dengan [[Masalah kelima Hilbert|Masalah Kelima]] yang dipresentasikan pada [[Kongres Internasional Ahli Matematika]] di Paris.

Weyl membawa periode awal perkembangan teori kelompok Lie membuahkan hasil, karena tidak hanya dia mengklasifikasikan representasi tak tersederhanakan dari kelompok Lie semisimple dan menghubungkan teori grup dengan mekanika kuantum, tetapi dia juga menempatkan teori Lie itu sendiri pada pijakan yang lebih kokoh dengan secara jelas menyatakan perbedaan antara '' grup sangat kecil '' Lie (yaitu, Lie algebras) dan grup Lie yang sesuai, dan mulai menyelidiki topologi grup Lie.{{sfnp|Borel|2001}} Teori kelompok Lie secara sistematis dikerjakan ulang dalam bahasa matematika modern dalam sebuah monograf oleh [[Claude Chevalley]].
<!--
Perlu referensi khusus dari buku Borel untuk karya Weyl, khususnya perbedaan yang disebutkan dalam teks
-->

== Konsep grup Lie, dan kemungkinan klasifikasi ==
Grup Lie dianggap sebagai grup kesimetrian yang bervariasi dengan polos. Contoh kesimetrian termasuk rotasi di sekitar sumbu. Yang harus dipahami adalah sifat transformasi 'kecil', misalnya, rotasi melalui sudut-sudut kecil, yang menghubungkan transformasi di dekatnya. Objek matematika yang menangkap struktur ini disebut aljabar Lie ([[Sophus Lie|Lie]] sendiri menyebutnya "grup infinitesimal"). Dapat didefinisikan karena grup Lie adalah lipatan polos, sehingga memiliki [[ruang tangen]] pada setiap titik.

Aljabar Lie dari setiap grup Lie kompak (kira-kira: salah satu yang kesimetriannya membentuk himpunan hingga) dapat didekomposisi sebagai [[Jumlah langsung modul|jumlah langsung]] dari [[aljabar Lie Abelian]] dan sejumlah [[grup Lie sederhana|sederhana]]. Struktur aljabar Lie abelian secara matematis tidak menarik, karena tanda kurung Lie identik dengan nol, minatnya terdapat pada ringkasan sederhana. Karenanya muncul pertanyaan, sebagai berikut: Apa [[grup Lie sederhana|aljabar Lie sederhana]] dari grup kompak? Ternyata mereka kebanyakan ke dalam empat keluarga tak hingga, "aljabar Lie klasik" A<sub>''n''</sub>, B<sub>''n''</sub>, C<sub>''n''</sub> dan D<sub>''n''</sub>, yang dimiliki deskripsi sederhana dalam hal kesimetrian ruang Euklides. Tetapi hanya ada lima "aljabar Lie eksepsional" yang tidak termasuk dalam salah satu keluarga ini. E<sub>8</sub> adalah yang terbesar.

Grup Lie diklasifikasikan menurut sifat aljabar, yaitu [[grup sederhana|sederhana]], [[grup semisederhana|semi-sederhana]], [[grup berpenyelesaian|berpenyelesaian]], [[grup nilpoten|nilpoten]], [[grup abelian|abelian]], [[keterhubungan]], yaitu [[ruang terkoneksi|terkoneksi]] atau [[ruang terkoneksi sederhana|terhubung sederhana]], dan [[ruang kompak|kekompakan]].

Hasil utama pertama adalah [[dekomposisi Levi]] yang mengatakan bahwa setiap grup Lie yang terhubung sederhana adalah produk semilangsung dari subgrup normal yang dapat dipecahkan dan subgrup semisederhana.

* [[Grup Lie kompak]] yang terhubung yang diketahui: pusat hasil bagi hingga dari produk salinan grup lingkaran '''S'''<sup>1</sup> dan grup Lie kompak sederhana, yang sesuai dengan [[diagram Dynkin]] yang terhubung.
* Setiap gugus Lie berpenyelesaian secara sederhana adalah isomorfik ke subgrup tertutup dari grup matriks segitiga atas invers dari beberapa peringkat, dan wakilan tak tersederhanakan berdimensi-hingga dari grup seperti itu adalah 1-dimensi. Grup berpenyelesaian terlalu berantakan untuk diklasifikasikan kecuali dalam beberapa dimensi kecil.
* Setiap grup Lie nilpoten yang terhubung sederhana adalah isomorfik ke sungrup tertutup dari grup matriks segitiga atas yang dapat dibalik dengan 1 dalam diagonal dari beberapa peringkat, dan wakilan tak tersederhanakan berdimensi-hingga dari grup adalah 1-dimensi. Seperti grup berpenyelesaian, grup nilpoten untuk diklasifikasikan kecuali dalam beberapa dimensi kecil.
* [[Grup Lie sederhana]] terkadang didefinisikan sebagai grup yang sederhana sebagai grup abstrak, dan terkadang didefinisikan sebagai grup Lie yang terhubung dengan aljabar Lie sederhana. Misalnya, [[SL2(R)|SL(2, '''R''')]] sederhana menurut definisi kedua tetapi tidak menurut definisi pertama. Seluruhnya telah [[daftar grup Lie sederhana|diklasifikasikan]] (untuk kedua definisi).
* Grup Lie [[Grup semisederhana|Semisederhana]] adalah grup Lie yang aljabar Lie merupakan produk dari aljabar Lie sederhana.<ref>{{cite book |first=Sigurdur |last=Helgason |title=Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces |url=https://archive.org/details/differentialgeom00helg_172 |location=New York |publisher=Academic Press |year=1978 |page=[https://archive.org/details/differentialgeom00helg_172/page/n145 131] |isbn=978-0-12-338460-7 }}</ref> Seluruhnya adalah perluasan utama dari produk grup Lie sederhana.

[[Komponen identitas]] dari setiap grup Lie adalah [[subgrup normal]] terbuka, dan [[grup hasil bagi]] adalah [[grup diskrit]]. Sampul universal dari setiap grup Lie yang terhubung adalah grup Lie yang terhubung secara sederhana, dan sebaliknya setiap grup Lie yang terhubung adalah hasil bagi dari grup Lie yang terhubung secara sederhana oleh subgrup normal diskrit dari pusat. Setiap grup Lie ''G'' diuraikan menjadi grup diskrit sederhana, dan abelian dengan cara kanonik sebagai berikut. Ditulis sebagai:
:''G''<sub>con</sub> untuk komponen identitas yang terhubung
:''G''<sub>sol</sub> untuk subgrup berpenyelesaian normal terbesar yang terhubung
:''G''<sub>nil</sub> untuk subgrup nilpoten normal terbesar yang terhubung
maka, memiliki urutan subgrup normal
:1 ⊆ ''G''<sub>nil</sub> ⊆ ''G''<sub>sol</sub> ⊆ ''G''<sub>con</sub> ⊆ ''G''.
Kemudian
:''G''/''G''<sub>con</sub> yang bersifat diskrit
:''G''<sub>con</sub>/''G''<sub>sol</sub> adalah [[ekstensi grup|ekstensi pusat]] dari produk [[daftar grup Lie sederhana|grup Lie terhubung sederhana]].
:''G''<sub>sol</sub>/''G''<sub>nil</sub> yang bersifat abelian. [[Grup Lie Abelian]] yang terhubung bersifat isomorfik ke produk salinan '''R''' dan [[grup lingkaran]] ''S''<sup>1</sup>.
:''G''<sub>nil</sub>/1 adalah nilpoten, dan oleh karena itu deret pusat menaiknya memiliki semua hasil bagi abelian.

Ini digunakan untuk mengurangi beberapa masalah tentang grup Lie (seperti menemukan wakilan uniter) untuk masalah yang sama untuk grup sederhana yang terhubung dan sungrup nilpoten dan dipecahkan dengan dimensi yang lebih kecil.

* [[Difeomorfisme|Grup difeomorfisme]] dari grup Lie bertindak secara transitif pada grup Lie
* Setiap grup Lie adalah [[parallelizabel]], dan karenanya [[lipatan berorientasi]] (terdapat [[berkas serat|isomorfisma berkas]] antara [[berkas tangen]] dan produk dengan [[ruang tangen]] pada identitasnya)

== Lihat pula ==
{{Div col}}
* [[Wakilan adjoin dari grup Lie]]
* [[Grup kompak]]
* [[Ukuran Haar]]
* [[Ruang homogen]]
* [[Aljabar Lie]]
* [[Daftar topik grup Lie]]
* [[Wakilan grup Lie]]
* [[Simetri dalam mekanika kuantum]]
{{Div col end}}

== Catatan ==

=== Catatan penjelasan ===
{{reflist|group=Catatan}}

=== Kutipan ===
{{Reflist}}

== Referensi ==
* {{citation|author-link=John Frank Adams|first=John Frank|last= Adams|title=Lectures on Lie Groups|series=Chicago Lectures in Mathematics|isbn= 978-0-226-00527-0|year=1969|publisher=Univ. of Chicago Press|location=Chicago | mr=0252560}}.
*{{cite book|last1=Bäuerle|first1=G.G.A|last2=de Kerf|first2=E.A.|last3=ten Kroode|first3=A. P. E.|title=Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics|year=1997|series=Studies in mathematical physics|volume=7|editor1=A. van Groesen|editor2=E.M. de Jager|publisher=North-Holland|isbn=978-0-444-82836-1|url=http://www.sciencedirect.com/science/bookseries/09258582|via=[[ScienceDirect]]|url-access=subscription|access-date=2021-01-01|archive-date=2017-07-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20170704154138/http://www.sciencedirect.com/science/bookseries/09258582|dead-url=no}}
*{{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Essays in the history of Lie groups and algebraic groups | url=https://books.google.com/books?isbn=0821802887 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=History of Mathematics | isbn=978-0-8218-0288-5 | mr=1847105 | year=2001 | volume=21}}
* {{citation|first=Nicolas|last= Bourbaki|author-link=Nicolas Bourbaki|title=Elements of mathematics: Lie groups and Lie algebras}}. Chapters 1–3 {{isbn|3-540-64242-0}}, Chapters 4–6 {{isbn|3-540-42650-7}}, Chapters 7–9 {{isbn|3-540-43405-4}}
* {{citation|last=Chevalley|first=Claude|title=Theory of Lie groups|isbn=978-0-691-04990-8|year=1946|publisher=Princeton University Press|location=Princeton}}.
* [[P. M. Cohn]] (1957) ''Lie Groups'', Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
* [[J. L. Coolidge]] (1940) ''A History of Geometrical Methods'', pp 304–17, [[Oxford University Press]] ([[Dover Publications]] 2003).
* {{Fulton-Harris}}
* Robert Gilmore (2008) ''Lie groups, physics, and geometry: an introduction for physicists, engineers and chemists'', [[Cambridge University Press]] {{isbn|9780521884006}} {{doi|10.1017/CBO9780511791390}}.
* {{citation|first=Brian C.|last=Hall|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition= 2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222 |publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666|doi=10.1007/978-3-319-13467-3}}.
* F. Reese Harvey (1990) ''Spinors and calibrations'', [[Academic Press]], {{isbn|0-12-329650-1}}.
*{{Citation | last1=Hawkins | first1=Thomas | title=Emergence of the theory of Lie groups | url=https://books.google.com/books?isbn=978-0-387-98963-1 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences | isbn=978-0-387-98963-1 | mr=1771134 | year=2000 | doi=10.1007/978-1-4612-1202-7| doi-access=free }} [https://www.jstor.org/stable/2695575 Borel's review] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190427090037/https://www.jstor.org/stable/2695575 |date=2019-04-27 }}
*{{Citation | last1=Helgason | first1=Sigurdur | author-link=Sigurður Helgason (mathematician) | title=Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-2848-9 |mr=1834454 | year=2001 | volume=34 | doi=10.1090/gsm/034}}
* {{citation|last=Knapp|first=Anthony W.|author-link=Anthony Knapp|title=Lie Groups Beyond an Introduction|edition= 2nd|series=Progress in Mathematics|volume=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|year= 2002|isbn=978-0-8176-4259-4}}.
* T. Kobayashi and T. Oshima, Lie groups and Lie algebras I, Iwanami, 1999 (in Japanese)
* {{cite journal |author=Nijenhuis, Albert |author-link=Albert Nijenhuis |title=Review: ''Lie groups'', by P. M. Cohn |journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |year=1959  |volume=65 |issue=6 |pages=338–341 |doi=10.1090/s0002-9904-1959-10358-x|doi-access=free }}
* {{citation|last=Rossmann|first= Wulf |title=Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups|series= Oxford Graduate Texts in Mathematics|publisher= Oxford University Press|isbn= 978-0-19-859683-7|year=2001}}. The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.
*{{cite book |first=David H. |last=Sattinger |first2=O. L. |last2=Weaver |year=1986 |title=Lie groups and algebras with applications to physics, geometry, and mechanics |url=https://archive.org/details/liegroupsalgebra0061satt |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-96240-3 | mr=0835009 |doi=10.1007/978-1-4757-1910-9}}
* {{citation|author-link=J.-P. Serre|first=Jean-Pierre|last=Serre|title= Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University|series=Lecture notes in mathematics|volume= 1500|publisher=Springer|isbn= 978-3-540-55008-2|year=1965}}.
*{{cite book |author-link=John Stillwell |first=John |last=Stillwell |year=2008 |title=Naive Lie Theory |url=https://archive.org/details/naivelietheory0000stil |publisher=Springer |isbn=978-0387782140 |doi=10.1007/978-0-387-78214-0|series=Undergraduate Texts in Mathematics }}
* Heldermann Verlag [http://www.heldermann.de/JLT/jltcover.htm Journal of Lie Theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230608104226/https://www.heldermann.de/JLT/jltcover.htm |date=2023-06-08 }}
*{{Citation | last1=Warner | first1=Frank W. | title=Foundations of differentiable manifolds and Lie groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=New York Berlin Heidelberg | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-90894-6 |mr=0722297 | year=1983 | volume=94|doi=10.1007/978-1-4757-1799-0}}
* {{citation|first=Willi-Hans|last=Steeb|title=Continuous Symmetries, Lie algebras, Differential Equations and Computer Algebra: second edition | publisher=World Scientific Publishing | year=2007|isbn=978-981-270-809-0 | mr=2382250 | doi=10.1142/6515}}.
*[http://www.math.upenn.edu/~wziller/math650/LieGroupsReps.pdf Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230416100215/https://www2.math.upenn.edu/~wziller/math650/LieGroupsReps.pdf |date=2023-04-16 }} Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010

{{Authority control}}

[[Kategori:Grup Lie| ]]
[[Kategori:Lipatan]]
[[Kategori:Simetri]]