Lihat sumber Grup Abelian

{{short description|Grup komutatif (matematika)}}
{{For|grup yang dijelaskan oleh penggunaan kuno dari istilah terkait "grup linear Abelian"|Grup simplektik}}

{{Group theory sidebar|Basics}}

Dalam [[matematika]], '''grup Abelian''', juga disebut '''grup komutatif''', adalah [[grup (matematika)|grup]] dimana hasil penerapan grup [[Operasi (matematika)|operasi]] ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya. Artinya, operasi grup adalah [[komutatif]]. Dengan tambahan sebagai operasi, [[bilangan bulat]] dan [[bilangan riil]] membentuk grup abelian, dan konsep grup abelian dapat dilihat sebagai generalisasi dari contoh ini. Grup Abelian dinamai matentikawan awal abad ke-19 [[Niels Henrik Abel]].<ref>Jacobson 2009, p. 41</ref>

Konsep grup abelian mendasari [[struktur aljabar]] fundamental, seperti [[bidang (matematika)|bidang]], [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], [[ruang vektor]], dan [[aljabar di atas bidang|aljabar]]. Teori grup abelian umumnya lebih sederhana dari teori rekan [[grup non-abelian|non-abelian]], dan grup abelian hingga sangat dipahami dan [[#Klasifikasi|diklasifikasikan]].

{{Struktur aljabar |Group}}

== Definisi ==
{{Group-like structures}}
Grup abelian adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] <math> A </math> dengan [[Operasi biner|operasi]] <math>\cdot</math> yang menggabungkan dua [[elemen (matematika)|elemen]] <math>a</math> dan <math>b</math> dari <math>A</math> untuk membentuk elemen lain dari <math>A</math> dilambangkan <math>a \cdot b</math>. Simbol <math>\cdot</math> adalah ''placeholder'' umum untuk operasi diberikan secara konkret. Untuk memenuhi syarat sebagai grup abelian, himpunan dan operasi <math>(A, \cdot)</math> harus memenuhi lima persyaratan yang dikenal sebagai ''aksioma grup abelian'':

;Penutupan: Untuk <math>a</math>, <math>b</math> dengan <math>A</math>, hasil operasi <math>a \cdot b</math> dengan <math>A</math>.
;Asosiatif: Untuk <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> dalam <math>A</math>, persamaan <math>(a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)</math>.
; Elemen identitas: Elemen <math>e</math> dalam <math>A</math>, maka untuk semua elemen <math>a</math> dengan <math>A</math> adalah persamaan <math>e \cdot a = a \cdot e = a</math>.
; Elemen invers: Untuk <math>a</math> dengan <math>A</math>, elemen <math>b</math> dalam <math>A</math> maka <math>a \cdot b = b \cdot a = e</math>, dimana <math>e</math> adalah [[elemen identitas]].
; Komutatif: Untuk <math>a</math>, <math>b</math> dengan <math>A</math>, <math>a \cdot b = b \cdot a</math>.

Grup operasi merupakan grup tersebut tidak komutatif disebut "grup non-abelian" atau "grup non-komutatif".

== Fakta ==

=== Notasi ===
{{see also|Grup aditif|Grup perkalian}}
Ada dua ketentuan notasi utama untuk grup abelian pada aditif dan perkalian.

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|-
! Konvensi
! Operasi
! Identitas
! Pangkat
! Invers
|-
! Penambahan
| <math>x + y</math> || 0 || <math>nx</math> || <math>-x</math>
|-
! Perkalian
| <math>x \cdot y</math> atau <math>xy</math> || 1
| <math>x^n</math>
| <math>x^{-1}</math>
|}

Umumnya, notasi perkalian adalah notasi umum untuk grup, sedangkan notasi penjumlahan adalah notasi umum untuk [[modul (matematika)|modul]] dan [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Notasi aditif digunakan untuk menekankan bahwa grup tertentu adalah abelian, setiap kali grup abelian dan non-abelian beberapa pengecualian penting adalah [[dekat gelanggang]] dan [[grup terurut sebagian]], dimana operasi ditulis secara aditif bahkan ketika non-abelian.

=== Tabel perkalian ===
Untuk memverifikasi bahwa [[grup hingga]] adalah abelian dengan tabel (matriks) yang dikenal sebagai [[tabel Cayley]]. Dengan cara menggunakan [[tabel perkalian]]. Jika grup <math>G = \{g_1 = e, g_2, \dots, g_n \}</math> di bawah {{nowrap|operasi <math>\cdot</math>,}} {{nowrap|ke <math>(i, j)</math>}} entri tabel ini menggunakan produk <math>g_i \cdot g_j</math>.

Grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika tabel tersebut simetris dengan diagonal utama. Karena grup tersebut adalah abelian [[jika dan hanya jika]] <math>g_i \cdot g_j = g_j \cdot g_i</math> untuk <math>i, j = 1, ..., n</math>, jika di luar <math>(i, j)</math> entri tabel sama dengan <math>(j, i)</math> entri untuk <math>i, j = 1, ..., n</math>, yaitu tabel simetris dengan diagonal utama.

== Contoh ==
* Untuk [[bilangan bulat]] dan operasi [[penambahan]] <math>+</math> dilambangkan <math>(\mathbb{Z}, +)</math>, operasi + menggabungkan dua bilangan bulat untuk membentuk bilangan bulat ketiga, penambahan bersifat asosiatif, sedangkan nol adalah [[identitas aditif]], setiap bilangan bulat <math>n</math> dengan menggunakan [[aditif invers]], <math>-n </math> dan operasi penambahan bersifat komutatif karena <math>n + m = m + n</math> untuk dua bilangan bulat <math>m</math> dan <math>n</math>.
* Setiap [[grup siklik]] <math>G</math> adalah abelian, karena jika <math> </math>, <math>y</math> dengan <math>G</math>, maka <math>xy = a^ma^n = a^{m+n} = a^na^m = yx</math>. Maka [[bilangan bulat]], <math>\mathbb{Z}</math>, membentuk grup abelian dengan penambahan, sebagai contoh [[aritmetika modular|bilangan bulat modulo <math>n</math>]] dan <math>\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}</math>.
* Setiap [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan. Dalam [[gelanggang komutatif]] elemen invers atau [[unit (teori gelanggang)|unit]] membentuk abelian [[grup perkalian]]. Secara khusus, [[bilangan riil]] adalah grup abelian di bawah penjumlahan, dan bilangan riil bukan nol adalah grup abelian dalam perkalian.
* Setiap [[subgrup]] dari grup abelian adalah [[subgrup normal|normal]], maka setiap subgrup adalah [[grup hasil bagi]]. Subgrup, hasil, dan [[Jumlah langsung grup|jumlah langsung]] adalah grup abelian. Grup abelian [[grup sederhana|sederhana]] hingga merupakan grup siklik dari  [[urutan (teori grup)|urutan]] [[Bilangan prima|prima]].<ref>2012, [https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ&lpg=PP1&hl=de&pg=PA32 p. 32] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809122130/https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ&lpg=PP1&hl=de&pg=PA32 |date=2023-08-09 }}.</ref>
* Konsep grup abelian dan [[Modul (matematika)|modul]]-<math>\mathbb{Z}</math>. Lebih khusus, setiap modul-<math>\mathbb{Z}</math> adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan, dan setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat <math>\mathbb{Z}</math> dengan cara unik.

Secara umum, [[matriks (matematika)|matriks]] bahkan matriks invers, tidak membentuk grup abelian dalam perkalian karena [[perkalian matriks]] umumnya tidak komutatif. Namun, beberapa grup matriks adalah grup abelian dalam perkalian matriks, salah satu contohnya adalah grup <math>2 \times 2</math> pada [[matriks rotasi]].

== Catatan sejarah ==
<!-- Pernyataan khusus ini tampaknya mencurigakan, tetapi arahnya benar. Catatan: diperbarui dan diperbaiki pada 2 September 2012 -->
[[Camille Jordan]] menamai grup abelian setelah [[matematikawan]] asal [[Norwegia|norsk]] [[Niels Henrik Abel]], karena Abel menemukan bahwa komutatifitas grup [[polinomial]] bahwa akar polinomial dapat [[solvabilitas oleh radikal|dihitung dengan menggunakan akar]].<ref>[[David A. Cox|D. A.]], ''Galois Theory'' ([[Hoboken, New Jersey|Hoboken]]: [[Wiley (publisher)|John Wiley & Sons]], 2004), [https://books.google.com/books?id=96P8lsAF7fcC&pg=PA144 pp. 144–145] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809122128/https://books.google.com/books?id=96P8lsAF7fcC&pg=PA144|date=2023-08-09}}.</ref>{{rp|144–145}}

== Sifat ==
Jika <math>n</math> adalah [[bilangan asli]] dan <math>x</math> adalah elemen dari grup abelian <math>G</math> yang ditulis secara aditif, maka <math>nx</math> bisa didefinisikan sebagai <math>x + x + \cdots + x</math> (<math>n</math>) dan <math>(-n)x = -(nx)</math>. Dengan cara ini, <math>G</math> sebagai [[modul (matematika)|modul]] di atas [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] <math>\mathbb{Z}</math> dari bilangan bulat. Maka, modul lebih dari <math>\mathbb{Z}</math>  diidentifikasikan dengan grup abelian.

Teorema tentang grup abelian (yaitu [[modul (matematika)|modul]] di atas [[domain ideal utama]] <math>\mathbb{Z}</math>) digeneralisasikan ke teorema tentang modul melalui domain ideal prinsipal arbitrer. Contoh tipikal adalah klasifikasi [[grup abelian yang dihasilkan secara hingga]] merupakan spesialisasi dari [[teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga di atas domain ideal utama]]. Dalam kasus grup abelian yang dihasilkan secara hingga, teorema tersebut bahwa grup abelian terbagi sebagai [[jumlah langsung]] dari [[grup torsi]] dan [[grup abelian bebas]]. Yang pertama dapat ditulis sebagai jumlah langsung dari banyak grup bentuk tak hingga <math>\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}</math> untuk prima <math>p</math>, dan yang terakhir adalah jumlah langsung dari banyak salinan <math>\mathbb{Z}</math>.

Jika <math>f, g: G \to H</math> adalah dua [[homomorfisme grup]] di antara grup abelian, kemudian jumlah semua <math> f + g </math>, ditentukan oleh <math>(f + g)(x) = f(x) + g(x)</math> adalah homomorfisme (ini tidak tentu benar jika <math>H</math> adalah grup non-abelian). Himpunan <math>\text{Hom}(G,H)</math> dari semua homomorfisme grup dari <math>G</math> hingga <math>H</math> merupakan grup abelian dalam itu sendiri.

Agak mirip dengan [[Dimensi (ruang vektor)|dimensi]] dari [[ruang vektor]], setiap grup abelian memiliki ''[[peringkat grup abelian|peringkat]]''. Ini didefinisikan sebagai [[bilangan pokok|kardinalitas]] maksimal dari satu himpunan elemen [[bebas linear]] (di atas bilangan bulat) grup.<ref>Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., ''Linear Groups: The Accent on Infinite Dimensionality'' ([[Milton Park]], [[Abingdon-on-Thames]] & [[Oxfordshire]]: [[Taylor & Francis]], 2020), [https://books.google.com/books?id=fODaDwAAQBAJ&pg=PT49 pp. 49–50] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809122132/https://books.google.com/books?id=fODaDwAAQBAJ&pg=PT49|date=2023-08-09}}.</ref>{{rp|49–50}} Grup abelian hingga dan grup torsi memiliki peringkat nol, dan setiap grup abelian dengan peringkat nol adalah grup torsi. Bilangan bulat dan [[bilangan rasional]] memiliki peringkat satu, serta setiap bukan nol [[grup aditif|subgrup aditif]] dari rasio. Di sisi lain, [[grup perkalian]] dari rasio bukan nol memiliki pangkat tak hingga, karena ini adalah grup abelian bebas dengan himpunan [[bilangan prima]] sebagai basis (dari hasil dari [[teorema fundamental aritmetika]]).

[[Pusat (teori grup)|Pusat]] <math>Z(G)</math> dari grup <math>G</math> adalah himpunan elemen dengan setiap elemen <math>G</math>. Grup <math>G</math> adalah abelian jika dan hanya jika sama dengan pusatnya <math>Z(G)</math>. Pusat dari grup <math>G</math> merupakan [[subgrup karakteristik|karakteristik]] subgrup abelian dari <math> G </math>. Jika grup hasil bagi <math>G/Z(G)</math> grup dengan pusat siklik <math>G</math> adalah abelian.<ref>Rose 2012, [https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ&lpg=PP1&hl=de&pg=PA48 p. 48] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809122130/https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ&lpg=PP1&hl=de&pg=PA48 |date=2023-08-09 }}.</ref>

== Grup abelian hingga ==
Grup siklik dari [[aritmetika modular|bilangan bulat modulo <math> n </math>]], <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> termasuk di antara contoh pertama grup. Ternyata grup abelian hingga trivial adalah isomorfik dari sejumlah langsung grup siklik hingga dari tatanan pangkat utama, dan tatanan ini ditentukan secara unik, membentuk sistem invarian kompleks. [[Grup automorfisme]] dari grup abelian hingga dapat dijelaskan secara langsung dalam istilah invarian. Teori ini pertama kali dikembangkan pada makalah tahun 1879 oleh [[Georg Frobenius]], [[Ludwig Stickelberger]], dan kemudian disederhanakan dan digeneralisasikan untuk modul yang dihasilkan secara halus, membentuk bab penting dari [[aljabar linear]].

Setiap grup tatanan utama isomorfik ke grup siklik dan adalah abelian. Setiap grup yang urutannya adalah kuadrat dari bilangan prima juga adalah abelian.<ref>Rose 2012, [https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ&lpg=PP1&hl=de&pg=PA79 p. 79].</ref> Maka, untuk setiap bilangan prima <math>p</math> (isomorfisme hingga) tepat dua grup tatanan <math> p^2 </math>, yaitu <math>\mathbb{Z}_{p^2}</math> dan <math>\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p</math>.

=== Klasifikasi ===
'''Teorema fundamental dari grup abelian hingga''' menyatakan bahwa setiap grup abelian hingga <math>G</math> dapat diekspresikan sebagai jumlah langsung subgrup siklik dari [[bilangan prima|prima]] dengan urutan pangkat; hal tersebut dikenal sebagai '''teorema dasar untuk grup abelian hingga'''.<ref>[[:de:Hans Kurzweil|Kurzweil, H.]], & [[:de:Bernd Stellmacher|Stellmacher, B.]], ''The Theory of Finite Groups: An Introduction'' (New York, Berlin, Heidelberg: [[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]], 2004), [https://books.google.com/books?id=iebSBwAAQBAJ&lpg=PR1&pg=PA43 pp. 43–54].</ref> Digeneralisasikan dengan [[teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga]], dengan grup hingga menjadi kasus khusus ketika ''G'' memiliki nol [[peringkat grup abelian|peringkat]]; merujuk banyak generalisasi lebih lanjut.

Klasifikasi ini dibuktikan oleh [[Leopold Kronecker]] pada tahun 1870, meskipun tidak disebutkan dalam istilah teori-grup modern sampai sekarang, dan didahului oleh klasifikasi serupa dari bentuk kuadrat oleh [[Carl Friedrich Gauss]] pada tahun 1801; lihat [[Teorema dasar grup abelian yang dihasilkan tak hingga#Sejarah|sejarah]] untuk detailnya.

Grup siklik <math>\mathbb{Z}_{mn}</math> dengan urutan <math>mn</math> isomorfik dengan jumlah langsung dari <math>\mathbb{Z}_m</math> dan <math>\mathbb{Z}_n</math> jika dan hanya jika <math>m</math> dan <math>n</math> adalah [[koprima]]. Oleh karena itu, setiap grup abelian hingga <math>G</math> adalah isomorfik dengan jumlah langsung dari bentuk

:<math>\bigoplus_{i=1}^{u}\ \mathbb{Z}_{k_i}</math>

dengan salah satu cara kanonik berikut:
* bilangan <math>k_1, k_2, \dots, k_u</math> adalah pangkat bilangan prima (tidak harus berbeda),
* bilangan <math>k_1</math> [[pembagian|membagi]] <math>k_2</math>, dimana <math>k_3</math> dibagi <math>k_u</math>.

Sebagai contoh, <math>\mathbb{Z}_{15}</math> dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari dua subgrup siklik tatanan 3 dan 5: <math>\mathbb{Z}_{15} \cong  \{0,5,10\} \oplus \{0,3,6,9,12\}</math>. Hal yang sama dapat dikatakan untuk setiap grup abelian tatanan 15, yang mengarah pada kesimpulan bahwa semua grup abelian urutan 15 adalah [[grup isomorfisme|isomorfis]].

Untuk contoh lain, setiap grup abelian berorde 8 isomorfik untuk <math>\mathbb{Z}_8</math> (bilangan bulat 0 hingga 7 di bawah tambahan modulo 8), <math>\mathbb{Z}_4\oplus \mathbb{Z}_2</math> (bilangan bulat ganjil 1 sampai 15 dalam perkalian modulo 16), atau <math>\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2</math>.

Lihat pula [[daftar grup kecil]] untuk grup abelian hingga tatanan 30 atau kurang.

=== Automorfisme ===
Menerapkan [[#Klasifikasi|teorema fundamental]] untuk menghitung (dan terkadang menentukan) [[Isomorfisme grup#Automorfisme|automorfisme]] dari grup abelian terbatas yang diberikan <math>G</math>. Untuk menggunakan fakta bahwa jika <math>G</math> membagi sebagai jumlah langsung <math>H\oplus K</math> dari subgrup [[koprima]] urutan, maka <math>\text{Aut}(H\oplus K) \cong \text{Aut}(H)\oplus \text{Aut}(K)</math>.

Dengan ini, teorema fundamental menunjukkan bahwa untuk menghitung grup automorfisme dari <math> G </math> itu cukup untuk menghitung grup automorfisme dari [[Teorema Sylow|Sylow]] <math> p </math> subgrup secara terpisah (yaitu, semua jumlah langsung subkelompok siklik, masing-masing dengan urutan pangkat <math> p </math>). Perbaiki bilangan prima <math> p </math> dan anggaplah eksponen <math> e_i </math> dari faktor siklik dari subgrup Sylow <math> p </math> disusun dalam urutan yang meningkat:

:<math>e_1\leq e_2 \leq\cdots\leq e_n</math>

untuk beberapa <math> n> 0 </math>. Seseorang perlu menemukan automorfisme

:<math>\mathbf{Z}_{p^{e_1}} \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}_{p^{e_n}}.</math>

Satu kasus khusus adalah ketika <math> n = 1 </math>, maka hanya ada satu faktor daya utama siklik pada subgrup Sylow <math>p</math> dengan <math>P</math>. Dalam hal ini teori automorfisme [[grup siklik]] hingga digunakan. Kasus khusus lainnya adalah kapan <math>n</math> trivial tetapi <math> e_i = 1 </math> untuk <math> 1 \le i  \le n</math>. Mempertimbangkan <math> P </math> menjadi bentuk

:<math>\mathbf{Z}_p \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}_p,</math>

jadi elemen subgrup ini dapat dilihat sebagai terdiri dari ruang vektor berdimensi <math>n</math> di atas bidang hingga elemen <math>p</math> pada <math>\mathbb{F}_p</math>. Oleh karena itu, automorfisme subgrup ini diberikan oleh transformasi linear invers, maka

:<math>\operatorname{Aut}(P)\cong\mathrm{GL}(n,\mathbf{F}_p),</math>

dimana <math>\text{GL}</math> adalah [[grup linear umum]] yang sesuai, dengan mudah terbukti memiliki tatanan

:<math> \left|\operatorname{Aut}(P)\right|=(p^n-1)\cdots(p^n-p^{n-1}).</math>

Dalam kasus umum, dimana <math> e_i </math> dan <math> n </math> berubah-ubah, grup automorfisme lebih sulit ditentukan. Diketahui, bagaimanapun, bahwa jika mendefinisikan

:<math>d_k=\max\{r\mid e_r = e_k^{\,}\}</math>

dan

:<math>c_k=\min\{r\mid e_r=e_k\}</math>

maka seseorang memilikinya secara khusus <math>k \le d_k</math>, <math>c_k \le k</math>, dan

:<math> \left|\operatorname{Aut}(P)\right| = \prod_{k=1}^n (p^{d_k}-p^{k-1}) \prod_{j=1}^n (p^{e_j})^{n-d_j} \prod_{i=1}^n (p^{e_i-1})^{n-c_i+1}. </math>

Hal itu dapat memeriksa bahwa ini menghasilkan tatanan dalam contoh sebelumnya sebagai kasus khusus (lihat Hillar, C., & Rhea, D.).

== Grup abelian yang dihasilkan tak hingga ==
{{main|Grup abelian yang dihasilkan tak hingga}}
Grup abelian {{mvar|A}} tanpa batas jika himpunan elemen hingga (disebut ''generator'') <math>G=\{x_1, \ldots, x_n\}</math> sedemikian rupa maka setiap elemen grup adalah [[kombinasi linear]] dengan koefisien bilangan bulat elemen {{mvar|G}}.

Misalkan {{mvar|L}} menjadi [[grup abelian bebas]] dengan basis <math>B=\{b_1, \ldots, b_n\}.</math> 
[[Homomorfisme grup]] unik
<math>p\colon L \to A,</math> sebagai 
:<math>p(b_i) = x_i\quad \text{untuk } i=1,\ldots, n.</math>
Homomorfisme ini adalah [[Fungsi surjektif|surjektif]], dan [[kernel (aljabar linear)|kernel]]-nya dihasilkan secara halus (karena bilangan bulat membentuk [[gelanggang Noetherian]]). Pertimbangkan matriks {{mvar|M}} dengan entri bilangan bulat, sehingga entri dari kokernel ke {{mvar|j}} adalah koefisien dari generalisasi kernel {{mvar|j}}. Maka, grup abelian bersifat isomorfik terhadap [[kokernel]] dari peta linear yang ditentukan {{mvar|M}}. Sebaliknya, setiap [[matriks bilangan bulat]] mendefinisikan grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Oleh karena itu, studi tentang grup abelian yang dihasilkan hingga setara dengan studi tentang matriks bilangan bulat. Secara khusus, mengubah himpunan pembangkit {{mvar|A}} sama dengan mengalikan {{mvar|M}} sebelah kiri dengan [[matriks unimodular]] (yaitu, matriks bilangan bulat inversnya merupakan matriks bilangan bulat). Mengubah himpunan pembangkit kernel {{mvar|M}} sama dengan mengalikan {{mvar|M}} sebelah kanan dengan matriks unimodular.

[[Bentuk normal Smith]] dari {{mvar|M}} adalah sebuah matriks
:<math>S=UMV,</math>
dimana {{mvar|U}} dan {{mvar|V}} unimodular, dan {{mvar|S}} adalah matriks sehingga semua entri non-diagonal adalah nol, entri diagonal bukan-nol {{tmath|d_{1,1}, \ldots, d_{k,k} }} adalah yang pertama, dan {{tmath|d_{j,j} }} adalah pembagi dari {{tmath|d_{i,i} }} untuk {{math|''i'' > ''j''}}. Keberadaan dan bentuk normal Smith membuktikan bahwa grup abelian yang dihasilkan tak hingga {{mvar|A}} adalah [[jumlah langsung]] 
:<math>\Z^r \oplus \Z/d_{1,1}\Z \oplus \cdots \oplus \Z/d_{k,k}\Z,</math> 
dimana {{mvar|r}} adalah jumlah baris nol di bagian bawah {{mvar|r}} (dan [[Pangkat grup abelian|peringkat]] grup). Ini adalah [[teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga]].

Adanya algoritma untuk bentuk normal Smith menunjukkan bahwa dalil dasar grup abelian yang dihasilkan tak hingga bukan hanya dalil eksistensi abstrak, tetapi menyediakan cara untuk menghitung ekspresi grup abelian yang dihasilkan secara terbatas sebagai jumlah langsung.

== Grup abelian tak hingga ==
Grup abelian tak hingga paling sederhana adalah [[grup siklik tak hingga]] <math>\mathbb{Z}</math>. [[Grup abelian yang dihasilkan secara hingga]] <math>A</math> isomorfik jumlah langsung <math>r</math> salinan dari <math>\mathbb{Z}</math> dan grup abelian hingga, diuraikan menjadi jumlah langsung dari banyak [[grup siklik]] dari tatanan [[pangkat utama]]. Meskipun dekomposisinya tidak unik, bilangan <math>r</math> atau disebut [[Peringkat grup abelian|peringkat]] dari <math>A</math>, dan pangkat utama yang memberikan urutan puncak siklik hingga ditentukan secara unik.

Sebaliknya, klasifikasi grup abelian umum yang dihasilkan tanpa batas masih jauh dari lengkap. [[Grup divisibel]] yaitu grup abelian <math>A</math> dimana persamaan <math>nx = a</math> sebagai solusi <math>x \in A</math> untuk bilangan asli <math>n</math> dan elemen <math>a</math> dari <math>A</math>, merupakan satu kelas penting dari grup abelian tak hingga yang dapat sepenuhnya dicirikan. Setiap grup divisibel adalah isomorfik ke jumlah langsung, dengan penjumlahan isomorfik sebagai <math>\mathbb{Q}</math> dan [[grup Prüfer]] <math>\mathbb{Q}_p/Z_p</math> untuk berbagai bilangan prima <math>p</math>, dan kardinalitas penjumlahan dari setiap jenis ditentukan secara unik.<ref>Sebagai contoh, <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \cong \sum_p \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p</math>.</ref> Selain itu, jika grup yang dapat dibagi <math>A</math> adalah subgrup dari grup abelian <math>G</math> maka <math>A</math> sebagai pelengkap langsung: subgrup <math>C</math> dari <math>G</math> sedemikian rupa maka <math>G = A \oplus C</math>. Dengan demikian, grup yang dapat dibagi adalah [[modul injeksi]] dalam [[kategori grup abelian]], dan sebaliknya, setiap grup abelian injeksi dapat dibagi ([[kriteria Baer]]). Grup abelian tanpa subgrup yang dapat dibagi bukan nol disebut '''tereduksi'''.

Dua kelas khusus penting dari grup abelian tak hingga dengan sifat berlawanan secara diametris adalah ''grup torsi'' dan ''grup bebas torsi'', dicontohkan oleh grup <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> (periodik) dan <math>\mathbb{Q}</math> (bebas torsi).

=== Grup torsi ===
Grup abelian disebut '''[[grup periodik|periodik]]''' atau '''[[torsi (aljabar)|torsi]]''', jika setiap elemen memiliki terbatas [[tatanan (teori grup)|tatanan]]. Jumlah langsung dari grup siklik hingga bersifat periodik. Meskipun pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum, beberapa kasus khusus diketahui. [[Teorema Prüfer]] pertama dan kedua menyatakan bahwa jika <math>A</math> adalah grup periodik, dan memiliki '''eksponen terbatas''', yaitu <math>nA = 0</math> untuk beberapa bilangan asli <math>n</math>, atau dihitung dan [[tinggi (grup abelian)|tinggi-<math>p</math>]] elemen <math>A</math> terbatas untuk setiap <math>p</math>, maka <math>A</math> adalah isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik hingga.<ref>Asumsi hitungan dalam teorema Prüfer kedua tidak dapat dihilangkan: subgrup torsi dari [[produk langsung]] dari grup siklik <math>\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}</math> karena semua <math>m</math> natural bukanlah penjumlahan langsung dari grup siklik.</ref> 
Kardinalitas himpunan sumsum langsung isomorfik ke <math>\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}</math> dalam dekomposisi invarian dari <math>A</math>.<ref>Faith, C. C., ''Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra'' ([[Providence, Rhode Island|Providence]]: [[American Mathematical Society]], 2004), [https://books.google.com/books?id=H1TzBwAAQBAJ&pg=PA6 p. 6] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809122634/https://books.google.com/books?id=H1TzBwAAQBAJ&pg=PA6 |date=2023-08-09 }}.</ref>{{rp|6}} Teorema ini kemudian dimasukkan dalam '''kriteria Kulikov'''. Di arah yang berbeda, [[Helmut Ulm]] menemukan perluasan dari teorema Prüfer kedua menjadi abelian grup-<math>p</math> yang dapat dihitung dengan elemen ketinggian tak hingga: grup itu sepenuhnya diklasifikasikan melalui [[invarian Ulm]] mereka.

=== Grup bebas torsi dan campuran ===
Grup abelian disebut '''bebas torsi''' jika setiap elemen bukan nol memiliki urutan tak hingga. Beberapa kelas dari [[grup abelian bebas torsi]] telah dipelajari secara ekstensif:

* [[Grup abelian bebas]], yaitu jumlah langsung trivial <math>\mathbb{Z}</math>
* [[Grup kotorsion|Kotorsion]] dan [[modul kompak aljabar|kompak secara aljabar]] grup bebas torsi [[bilangan bulat p-adik|bilangan <math>p</math>-adik]]
* [[Grup tipis]]

Grup abelian tidak periodik atau bebas torsi disebut '''campuran'''. Jika <math>A</math> adalah grup abelian dan <math>T(A)</math> adalah [[subgrup torsi]], maka grup faktor <math>A/T(A)</math> bebas torsi. Namun, secara umum subgrup torsi bukan merupakan penjumlahan langsung dari <math>A</math>, jadi <math>A</math> adalah ''bukan'' isomorfik ke <math>T(A) \oplus A/T(A)</math>. Jadi teori grup campuran melibatkan lebih dari sekedar menggabungkan hasil tentang grup periodik dan bebas torsi. Grup aditif <math>\mathbb{Z}</math> bilangan bulat bebas torsi modul-<math>\mathbb{Z}</math>.<ref>Lal, R., ''Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier'' (Berlin, Heidelberg: Springer, 2017), [https://books.google.com/books?id=FwPNDgAAQBAJ&pg=PA206 p. 206] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809122635/https://books.google.com/books?id=FwPNDgAAQBAJ&pg=PA206 |date=2023-08-09 }}.</ref>{{rp|206}}

=== Invarian dan klasifikasi ===
Salah satu invarian dasar dari grup abelian tak hingga <math>A</math> adalah [[peringkat grup abelian|peringkat]]: kardinalitas dari himpunan [[independen linear]] maksimal dari <math>A</math>. Grup abelian dengan peringkat 0 merupakan grup periodik, sedangkan [[grup abelian bebas torsi peringkat 1]] harus merupakan subgrup dari <math>\mathbb{Q}</math> and can be completely described. Secara lebih umum, grup abelian bebas torsi dengan peringkat terbatas <math>r</math> adalah subgrup dari <math>\mathbb{Q}_r</math>. Di sisi lain, grup [[bilangan bulat p-adik|bilangan bulat <math>p</math>-adik]] <math>\mathbb{Z}_p</math> adalah grup abelian bebas torsi tanpa batas peringkat-<math>\mathbb{Z}</math> dan grup <math>\mathbb{Z}_p^n</math> dengan <math>n</math> yang berbeda adalah non-isomorfik, jadi invarian bahkan tidak sepenuhnya sifat dari beberapa grup yang sudah dikenal.

Teorema klasifikasi untuk periodik yang dihasilkan tak hingga, habis dibagi, dapat dihitung, dan grup abelian bebas torsi peringkat 1 yang dijelaskan di atas semuanya diperoleh sebelum tahun 1950 dan membentuk dasar klasifikasi grup abelian tak hingga yang lebih umum. Alat teknis penting yang digunakan dalam klasifikasi grup abelian tak terbatas adalah subgrup [[subgrup murni|murni]] dan [[subgrup dasar|dasar]]. Pengenalan berbagai invarian dari grup abelian bebas torsi telah menjadi salah satu jalan untuk kemajuan lebih lanjut. Lihat buku oleh [[Irving Kaplansky]], [[László Fuchs]], [[Phillip Griffith]], dan [[David Arnold (matentikawan)|David Arnold]], serta prosiding konferensi tentang Teori Grup Abelian yang diterbitkan di ''[[Catatan Kuliah di Matematika]]'' untuk temuan yang lebih baru.

=== Grup aditif gelanggang ===
Grup aditif dari sebuah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] adalah grup abelian, tetapi tidak semua kelompok abelian adalah grup aditif gelanggang (dengan perkalian nontrivial). Beberapa topik penting dalam bidang studi ini adalah:
* [[Produk Tensor]]
* Hasil sudut pada grup bebas torsi yang dihitung
* Selah bekerja untuk menghilangkan batasan kardinalitas.

== Catatan tentang tipografi ==
Di antara [[kata sifat]] matematika yang diturunkan dari [[nama diri]] dari seorang [[matematikawan]], Kata "abelian" jarang terjadi karena sering dieja dengan huruf kecil '''a''', bukan huruf besar '''A''', yang menunjukkan betapa konsep tersebut dalam matematika modern.<ref>{{cite web|url=http://www.maa.org/devlin/devlin_04_04.html|archive-url=https://web.archive.org/web/20121231055255/http://www.maa.org/devlin/devlin_04_04.html |archive-date=31 December 2012|url-status=dead|access-date=3 July 2016|title=Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel}}</ref>

== Lihat pula ==
*{{annotated link|Subgrup komutator}}
*{{annotated link|Abelianisasi}}
*{{annotated link|Grup dihedral tatanan 6}}, grup non-abelian terkecil
*{{annotated link|Grup abelian elementer}}
*{{annotated link|Dualitas pontriagin}}

== Catatan ==
{{Reflist}}

== Referensi ==
* {{cite book |last=Cox |first=David |author-link=David A. Cox|url=https://books.google.com/books?id=96P8lsAF7fcC |date=2004 |title=Galois Theory |publisher=[[Wiley-Interscience]] |isbn=9781118031339 |mr=2119052 }}
* {{cite book|last=Fuchs|first=László|authorlink=László Fuchs |date=1970 |title=Infinite Abelian Groups |series=Pure and Applied Mathematics |volume=36-I |publisher=[[Academic Press]] |mr=0255673 }}
* {{cite book |last=Fuchs |first=László |date=1973 |title=Infinite Abelian Groups |series=Pure and Applied Mathematics |volume=36-II |publisher=[[Academic Press]] |mr=0349869 }}
* {{cite book |first=Phillip A. |last=Griffith  |date=1970 |title=Infinite Abelian group theory |url=https://archive.org/details/infiniteabeliang0000grif |series=Chicago Lectures in Mathematics |publisher=[[University of Chicago Press]] |isbn=0-226-30870-7}}
* {{cite book |last=Herstein |first=I. N. |author-link=Israel Nathan Herstein |date=1975 |title=Topics in Algebra |url=https://archive.org/details/topicsinalgebra00hers |url-access=registration |edition=2nd |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=0-471-02371-X}}
* {{cite journal |last1=Hillar |first1=Christopher |last2=Rhea |first2=Darren |date=2007 |title=Automorphisms of finite abelian groups |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=114 |issue=10 |pages=917–923 |doi=10.1080/00029890.2007.11920485 |arxiv=math/0605185|jstor=27642365|bibcode=2006math......5185H |s2cid=1038507 }}
* {{Cite book| last=Jacobson| first=Nathan| authorlink=Nathan Jacobson| date=2009| title=Basic Algebra I| url=https://books.google.com/books?id=JHFpv0tKiBAC| edition=2nd| publisher=Dover Publications| isbn=978-0-486-47189-1| ref=harv| access-date=2020-12-14| archive-date=2023-08-09| archive-url=https://web.archive.org/web/20230809122637/https://books.google.com/books?id=JHFpv0tKiBAC| dead-url=no}}
* {{cite book |last=Rose |first=John S. |date=2012 |title=A Course on Group Theory |url=https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=978-0-486-68194-8 |ref=harv |access-date=2020-12-14 |archive-date=2023-08-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230809122641/https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ |dead-url=no }} Unabridged and unaltered republication of a work first published by the [[Cambridge University Press]], Cambridge, England, in 1978.
* {{cite journal|last=Szmielew|first=Wanda|authorlink=Wanda Szmielew|date=1955|title=Elementary properties of abelian groups|journal=[[Fundamenta Mathematicae]]|volume=41|issue=2|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm41/fm41122.pdf|pages=203–271|ref=harv|doi=10.4064/fm-41-2-203-271|mr=0072131|zbl=0248.02049|access-date=2020-12-14|archive-date=2023-01-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20230108055022/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm41/fm41122.pdf|dead-url=no}}

== Pranala luar ==
* {{springer|title=Abelian group|id=p/a010230}}
<!--{{Group navbox}}-->
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Abelian Group}}
[[Kategori:Teori grup Abelian]]
[[Kategori:Sifat grup]]
[[Kategori:Niels Henrik Abel]]