Lihat sumber Geometri kompleks

{{Use American English|date = Maret 2019}}
{{Short description|Studi tentang lipatan kompleks dan beberapa variabel kompleks}}
[[Berkas:RiemannKugel.svg|thumb|Contoh tipikal dari ruang kompleks adalah [[garis proyektif kompleks]]. Ini dapat dilihat baik sebagai [[bola]], lipatan halus yang timbul dari [[geometri diferensial]], atau [[bola Riemann]], perpanjangan dari bidang kompleks dengan menambahkan [[titik tak terhingga]].]]{{Periksa terjemahan|en|Complex geometry}}{{General geometry}}
Dalam [[matematika]], '''geometri kompleks''' adalah studi tentang [[manifold kompleks]], [[Variasi aljabar kompleks|varietas aljabar kompleks]], dan fungsi [[beberapa variabel kompleks]]. Penerapan metode transendental ke [[geometri aljabar]] termasuk dalam kategori ini, bersama dengan lebih banyak aspek geometris [[analisis kompleks]].

Secara umum, geometri kompleks berkaitan dengan [[Ruang (matematika)|ruang]] dan [[Geometri objek geometris]] yang dimodelkan, dalam arti tertentu, pada [[bidang kompleks]]. Fitur bidang kompleks dan [[analisis kompleks]] variabel tunggal, seperti gagasan intrinsik [[orientabilitas]] (yaitu, mampu secara konsisten memutar 90 derajat berlawanan arah jarum jam di setiap titik dalam bidang kompleks), dan kekakuan [[Holomorphic function|fungsi holomorfik]] (yaitu, keberadaan turunan kompleks tunggal menyiratkan diferensiabilitas kompleks untuk semua ordo) terlihat terwujud. Sebagai contoh, setiap lipatan kompleks dapat diorientasikan secara kanonik, dan bentuk [[Teorema Liouville (analisis kompleks)|Teorema Liouville]] berpegang pada [[Ruang kompak|kompak]] lipatan kompleks atau [[ragam proyektif|proyektif]] varietas aljabar kompleks.

== Manifold Kähler ==

Lipatan kompleks dapat dipelajari dari perspektif geometri diferensial, di mana lipatan tersebut dilengkapi dengan struktur geometris tambahan seperti [[metrik Riemannian]] atau [[bentuk simplektis]]. Agar struktur tambahan ini relevan dengan geometri kompleks, seseorang harus memintanya agar kompatibel dengan struktur kompleks dalam pengertian yang sesuai. A [[Manifol Kähler]] adalah lipatan kompleks dengan metrik Riemannian dan struktur simplektis yang kompatibel dengan struktur kompleks. Setiap submanifold kompleks dari lipatan Kähler adalah Kähler, dan secara khusus setiap affine non-singular atau variasi kompleks proyektif adalah Kähler, setelah membatasi metrik Hermitian standar pada <math>\mathbb{C}^n</math> or the [[Fubini-Study metric]] on <math>\mathbb{CP}^n</math> respectively.

Contoh penting lainnya dari lipatan Kähler termasuk permukaan Riemann, [[permukaan K3]] s, dan [[lipatan Calabi-Yau]].

== Manifold Stein ==

Teorema GAGA Serre menegaskan bahwa varietas analitik kompleks proyektif sebenarnya adalah aljabar. Walaupun ini tidak sepenuhnya benar untuk varietas affine, ada kelas lipatan kompleks yang bertindak sangat mirip dengan varietas aljabar kompleks affine, yang disebut [[manifold Stein]]. A berjenis <math>X</math> adalah Stein jika secara holomorfis cembung dan dapat dipisahkan secara holomorfis (lihat artikel tentang manifold Stein untuk definisi teknisnya). Namun dapat ditunjukkan bahwa ini setara dengan <math>X</math> menjadi submanifold yang kompleks <math>\mathbb{C}^n</math> untuk beberapa <math> n </math>. Cara lain di mana manifold Stein serupa dengan variasi aljabar kompleks affine adalah bahwa [[Teorema Cartan A dan B]] berlaku untuk lipatan Stein.

Contoh manifold Stein termasuk permukaan Riemann non-kompak dan varietas aljabar kompleks affine non-singular.

== Lipatan Hiper-Kähler ==

Kelas khusus lipatan kompleks adalah [[lipatan hiper-Kähler]], yang merupakan lipatan Riemannian yang memiliki tiga kompatibilitas berbeda [[Lipatan-lipatan hampir kompleks#Struktur-struktur hampir kompleks yang dapat diintegrasikan|Struktur-struktur yang hampir kompleks yang dapat diintegrasikan]] <math>I,J,K</math> which satisfy the [[Quaternion|quaternionic relations]] <math>I^2 = J^2 = K^2 = IJK = -\operatorname{Id}</math>. Jadi lipatan hyper-Kähler adalah lipatan Kähler dalam tiga cara berbeda, dan selanjutnya memiliki struktur geometris yang kaya.

== Manifold Calabi-Yau ==

[[Berkas:CalabiYau5.jpg|thumb|Sepotong dua dimensi nyata dari lipatan Calabi-Yau kuintik tiga]] Seperti disebutkan, kelas tertentu lipatan Kähler diberikan oleh lipatan Calabi-Yau. Ini diberikan oleh lipatan Kähler dengan bundel kanonik sepele <math>K_X = \Lambda^n T_{1,0}^* X</math>. Biasanya definisi manifold Calabi-Yau juga membutuhkan <math> X </math> agar ringkas. Dalam hal ini bukti [[Shing-Tung Yau|Yau]] dari [[konjektur Calabi]] menyiratkan bahwa <math>X</math> mengakui metrik Kähler dengan [[kelengkungan Ricci]] menghilang, dan ini dapat dianggap sebagai definisi yang setara untuk Calabi-Yau.

Manifol Calabi-Yau telah digunakan dalam [[teori string]] dan [[Simetri cermin (teori pita)|simetri cermin]], di mana mereka digunakan untuk memodelkan ruangwaktu 6 dimensi ekstra dalam model teori string 10 dimensi. Contoh lipatan Calabi-Yau diberikan oleh [[kurva elips]] s, permukaan K3, dan kompleks [[varietas Abelian]].

== Lihat pula ==
* [[Bivector (complex)]]
* [[Calabi–Yau manifold]]
* [[Cartan's theorems A and B]]
* [[Complex analytic space]]
* [[Complex Lie group]]
* [[Complex polytope]]
* [[Complex projective space]]
* [[Cousin problems]]
* [[Deformation Theory#Deformations of complex manifolds]]
* [[Enriques–Kodaira classification]]
* [[GAGA]]
* [[Hartogs' extension theorem]]
* [[Hermitian symmetric space]]
* [[Hodge decomposition]]
* [[Hopf manifold]]
* [[Imaginary line (mathematics)]]
* [[Kobayashi metric]]
* [[Kobayashi–Hitchin correspondence]]
* [[Kähler manifold]]
* [[Lelong number]]
* [[List of complex and algebraic surfaces]]
* [[Mirror symmetry (string theory)|Mirror symmetry]]
* [[Multiplier ideal]]
* [[Projective variety]]
* [[Pseudoconvexity]]
* [[Several complex variables]]
* [[Stein manifold]]

== Referensi ==
{{Reflist}}

*{{cite book |title=Complex Geometry: An Introduction|first=Daniel|last=Huybrechts |author-link=Daniel Huybrechts
|publisher=Springer|year=2005|isbn=3-540-21290-6}}
* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | author1-link=Phillip Griffiths | last2=Harris | first2=Joseph | author2-link=Joe Harris (mathematician) | title=Principles of algebraic geometry | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 | mr=1288523 | year=1994}}
* {{Citation
  | last = Hörmander
  | first = Lars 
  | author-link = Lars Hörmander
  | title = An Introduction to Complex Analysis in Several Variables
  | place = Amsterdam–London–New York–Tokyo
  | publisher = [[Elsevier|North-Holland]]
  | origyear = 1966
  | year = 1990
| series = North–Holland Mathematical Library
  | volume = 7
  | edition = 3rd (Revised)
  | url = 
  | doi = 
  | mr = 1045639 
  | zbl = 0685.32001
  | isbn = 0-444-88446-7
}}
* {{Kobayashi-Nomizu}}
* [[E. H. Neville]] (1922) ''Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions'', [[Cambridge University Press]].

{{Authority control}}

[[Kategori:Lipatan kompleks]]
[[Kategori:Beberapa variabel kompleks]]