Lihat sumber Geodesik

{{about||geodesik pada [[Bumi]]|geodesik pada sebuah elipsoid|geodesik dalam [[relativitas umum]]|geodesik dalam relativitas umum|kegunaan lainnya|Geodesik (disambiguasi)}}
[[Berkas:Spherical triangle.svg|jmpl|ka|150px|Sebuah segitiga geodesik pada bola. Geodesik adalah busur [[lingkaran besar]].]]
Dalam [[geometri diferensial]], '''geodesik''' ({{IPAc-en|ˌ|dʒ|iː|ə|ˈ|d|ɛ|s|ɪ|k|,_|ˌ|dʒ|iː|oʊ|-|,_|-|ˈ|d|iː|-|,_|-|z|ɪ|k}}{{refn|{{cite web |url=https://www.oxforddictionaries.com/definition/english/geodesic |title=geodesic – definition of geodesic in English from the Oxford dictionary |publisher=[[OxfordDictionaries.com]] |access-date=2016-01-20 |archive-date=2016-07-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160715034047/http://www.oxforddictionaries.com/definition/english/geodesic |dead-url=yes }}}}{{refn|{{MerriamWebsterDictionary|geodesic}}}})) adalah generalisasi gagasan "[[garis (matematika)|garis lurus]]" ke "[[manifold|ruang melengkung]]". Istilah "geodesik" berasal dari [[geodesi]], ilmu mengukur ukuran dan bentuk [[Bumi]]; Dalam pengertian aslinya, geodesik adalah rute terpendek antara dua titik di [[permukaan planet|permukaan]] Bumi, yaitu [[segmen garis|segmen]] [[lingkaran besar]]. Istilah ini telah digeneralisasi untuk mencakup pengukuran di ruang matematis yang jauh lebih umum; sebagai contoh, dalam [[teori graf]], seseorang dapat mempertimbangkan [[jarak (teori graf)|geodesik]] antara dua [[simpul (teori graf)|simpul]]/simpul dari sebuah [[grafik matematika diskrit)|grafik]].

== Pengantar ==	
Jalur terpendek antara dua titik yang diberikan dalam ruang diasumsikan sejenis diferensial dapat mendefinisikan dengan cara menggunakan persamaan untuk panjang dari [[kurva]] (fungsi f dari interval terbuka dari '''[[Bilangan Riil|R]]''' ke ruang dimensi lain) setelah itu kemudian meminimalkan panjang antara titik tersebut dengan menggunakan [[kalkulus variasi]]. Hal tersebut memiliki beberapa masalah teknis kecil karena ada [[Ruang (matematika)|ruang]] dengan berdimensi tak hingga dengan cara berbeda untuk membuat hasil keliling pada jalur terpendek. Lebih mudah untuk dibatasi beberapa pengumpulan [[kurva]] yang berparameter "dengan [[kecepatan]] konstan" {{math|''1''}} yang berarti jarak dari {{math|''f'' ( ''s'' ) ( ''t'' )}} sepanjang kurva sama dengan {{math|''s'' - ''t''}}. Secara setara, [[kuantitas]] yang berbeda dapat digunakan, disebut [[energi kurva]]; meminimalisasi kan [[energi]] yang menyebabkan persamaan yang sama untuk geodesik ("kecepatan konstan" adalah konsekuensi dari minimalisasi){{citation needed|date=Mei 2018}} Secara intuitif, seseorang dapat memahami formulasi kedua ini dengan mencatat bahwa sebuah pita [[elastis]] yang direntangkan di antara dua titik akan berkontraksi panjangnya, dan dengan demikian akan meminimalkan energinya. Bentuk pita yang dihasilkan adalah geodesik.

Ada kemungkinan bahwa beberapa [[kurva]] berbeda antara dua titik memperkecil jarak, seperti halnya dua titik yang berlawanan secara diametris pada sebuah [[Bola (matematika)|bola]]. Dalam kasus seperti itu, salah satu kurva ini adalah geodesik.

Segmen yang berdekatan dari geodesik lagi lagi merupakan geodesik.

Secara umum, geodesik tidak sama dengan "kurva terpendek" antara dua titik, meskipun kedua konsep tersebut berkaitan erat. Perbedaannya adalah bahwa geodesik hanya merupakan jarak terdekat antar titik secara lokal , dan diparameterisasi dengan "kecepatan konstan". Saat melakukan "jalan memutar" pada [[lingkara]]n besar antara dua titik pada sebuah bola adalah geodesik tetapi bukan jalur terpendek antar titik. Terdapat rumus peta <math>t \to t^2</math> dari interval satuan pada [[garis bilangan real]] ke dirinya sendiri memberikan jalur terpendek antara 0 dan 1, tetapi bukan merupakan geodesik karena kecepatan gerakan yang sesuai dari suatu titik tidak konstan.

Geodesik umumnya terlihat dalam studi [[Geometri Riemannian]] dan geometri metrik yang lebih umum. Dalam [[relativitas umum]], geodesik dalam [[ruangwaktu]] menggambarkan gerakan [[partikel titik]] di bawah pengaruh gravitasi saja. Secara khusus, jalur yang diambil oleh batu yang jatuh, [[satelit]] yang mengorbit, atau membentuk [[orbit planet]] semuanya geodesik dalam [[ruangwaktu]] melengkung. Secara lebih umum, [[topik geometri]] sub-[[Riemannian]] berkaitan dengan jalur yang diambil objek saat mereka tidak bebas, dan pergerakannya dibatasi dalam berbagai cara.

Artikel ini menyajikan formalisme [[matematika]] yang terlibat dalam mendefinisikan, menemukan, dan membuktikan keberadaan geodesik, dalam kasus [[Manifold Riemannian]] dan [[Pseudo-Riemannian]]. Artikel geodesik ([[relativitas umum]]) membahas kasus khusus [[relativitas]] umum secara lebih rinci.

=== Contoh ===
[[Berkas:Transpolar geodesic on a triaxial ellipsoid case A.svg|thumb|right|200px|
Sebuah [[geodesik pada ellipsoid triaksial]].]]
[[Berkas:Insect on a torus tracing out a non-trivial geodesic.gif|thumb|right|Jika seekor serangga ditempatkan di permukaan dan terus berjalan "maju", menurut definisi ia akan menelusuri geodesik.]]
Contoh yang paling dikenal adalah garis lurus dalam [[geometri Euclidean]]. Pada sebuah bola gambaran geodesik adalah lingkaran besar. Jalur terpendek dari titik ''A'' ke titik ''B'' pada sebuah bola diberikan oleh lebih pendek busur lingkaran besar yang melewati ''A'' dan ''B''. Ketika ''A'' dan ''B'' adalah titik antipodal, maka ada banyak jalur terpendek di antara keduanya. Geodesik pada ellipsoid berperilaku lebih rumit daripada pada bola; secara khusus, mereka tidak tertutup secara umum (lihat gambar).

== Geometri metrik ==	
Dalam [[geometri metrik]], geodesik adalah kurva yang di mana-mana secara lokal merupakan peminimal jarak. Lebih tepatnya, kurva {{math|''γ'' : ''I'' → ''M''}} dari interval {{math|''I''}} ke bilangan real ke ruang metrik {{math|''M''}} adalah geodesik jika ada konstanta {{math|''v'' ≥ ''0''}} sehingga untuk setiap {{math|''t'' ''∈'' ''I''}} ada lingkungan {{math|''J''}} dari {{math|''t''}} di {{math|''I''}} seperti bahwa untuk setiap {{math|''t''<sub>''1''</sub> ''t''<sub>2</sub> ''∈'' ''J''}} kita punya:
:<math>d(\gamma(t_1),\gamma(t_2)) = v \left| t_1 - t_2 \right| .</math>

Hal tersebut menggeneralisasi pengertian geodesik untuk lipatan Riemannian. Namun dalam geometri metrik, geodesi yang dipertimbangkan sering kali dilengkapi dengan parameterisasi natural, yaitu pada identitas {{math|''v''&nbsp;=&nbsp;1}} dan

:<math>d(\gamma(t_1),\gamma(t_2)) = \left| t_1 - t_2 \right| .</math>

Jika persamaan terakhir terpenuhi untuk semua {{math|''t''<sub>1</sub> ''t''<sub>2</sub> ''∈'' I''}}, maka geodesi disebut sebagai geodesik minimal atau jalur terpendek.

Secara umum, ruang metrik mungkin tidak memiliki geodesik, kecuali kurva konstan. Di sisi lain, dua titik dalam ruang metrik panjang digabungkan dengan urutan meminimalkan jalur yang dapat diperbaiki, meskipun urutan meminimalkan ini tidak perlu menyatu dengan geodesik.

== Geometri Riemannian ==
	
== Affine geodesics ==	

== Metode komputasi ==	
Pemecah yang efisien untuk masalah geodesik minimal pada permukaan yang dianggap sebagai persamaan eikonal telah diusulkan oleh Kimmel dan lainnya.<ref>{{cite journal |first=R. |last=Kimmel |first2=A. |last2=Amir |first3=A. M. |last3=Bruckstein |title=Finding shortest paths on surfaces using level sets propagation |journal=IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=17 |issue=6 |pages=635–640 |year=1995 |doi=10.1109/34.387512 }}</ref><ref>{{cite journal |first=R. |last=Kimmel |first2=J. A. |last2=Sethian |title=Computing Geodesic Paths on Manifolds |journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|Proceedings of the National Academy of Sciences]] |volume=95 |issue=15 |pages=8431–8435 |year=1998 |doi=10.1073/pnas.95.15.8431 |pmid=9671694 |bibcode=1998PNAS...95.8431K |doi-access=free }}</ref>

== Aplikasi ==

== Referensi ==
{{Reflist}}
=== Daftar pustaka ===
{{refbegin}}
* {{Citation | last1=Adler | first1=Ronald | last2=Bazin | first2=Maurice | last3=Schiffer | first3=Menahem | title=Introduction to General Relativity | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-07-000423-8 | year=1975}}. ''See chapter 2''.
* {{Citation | last1=Abraham | first1=Ralph H. | author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E. | author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of mechanics | publisher=Benjamin-Cummings | location=London | isbn=978-0-8053-0102-1 | year=1978}}. ''See section 2.7''.
* {{Citation | last1=Jost | first1=Jürgen | title=Riemannian Geometry and Geometric Analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-42627-1 | year=2002}}. ''See section 1.4''.
* {{citation | last1=Kobayashi|first1=Shoshichi|last2=Nomizu|first2=Katsumi | title = Foundations of Differential Geometry|volume=Vol. 1| publisher=Wiley-Interscience | year=1996|edition=New|isbn=0-471-15733-3}}.
* {{Citation | last1=Landau | first1=L. D. | author1-link=Lev Landau | last2=Lifshitz | first2=E. M. | author2-link=Evgeny Lifshitz | title=Classical Theory of Fields | publisher=Pergamon | location=Oxford | isbn=978-0-08-018176-9 | year=1975}}. ''See section 87''.
* {{Citation | last1=Misner | first1=Charles W. | author1-link=Charles W. Misner | last2=Thorne | first2=Kip | author2-link=Kip Thorne | last3=Wheeler | first3=John Archibald | author3-link=John Archibald Wheeler | title=[[Gravitation (book)|Gravitation]] | publisher=W. H. Freeman | isbn=978-0-7167-0344-0 | year=1973}}
* {{Citation | last1=Ortín | first1=Tomás | title=Gravity and strings | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-82475-0 | year=2004}}. Perhatikan terutama halaman 7 dan 10.
* {{springer|first=Yu.A.|last=Volkov|title=Geodesic line|id=G/g044120}}.
* {{Citation | last1=Weinberg | first1=Steven | author1-link=Steven Weinberg | title=Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-92567-5 | year=1972}}. ''See chapter 3''.
{{refend}}

== Pranala luar ==
* [http://www.cmsim.eu/papers_pdf/january_2012_papers/25_CMSIM_2012_Pokorny_1_281-298.pdf Geodesics Revisited] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130203013321/http://www.cmsim.eu/papers_pdf/january_2012_papers/25_CMSIM_2012_Pokorny_1_281-298.pdf |date=2013-02-03 }} — Pengantar geodesik termasuk dua cara turunan dari persamaan geodesik dengan aplikasi dalam geometri (geodesik pada bola dan [[torus]]), mekanika ([[brakistokron]]) dan optik (berkas cahaya dalam medium non-homogen).
* [http://wiki.sagemath.org/interact/geometry#Geodesics_on_a_parametric_surface Geodesics on a parametric surface -- sage interact] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230530220133/https://wiki.sagemath.org/interact/geometry#Geodesics_on_a_parametric_surface |date=2023-05-30 }} — Lembar kerja interaktif [[SageMath]] untuk menghitung dan menggambarkan geodesik pada permukaan parametrik.
* [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Totally_geodesic_submanifold Totally geodesic submanifold] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150810004925/http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Totally_geodesic_submanifold |date=2015-08-10 }} di Manifold Atlas

[[Kategori:Geodesik (matematika)| ]]