Lihat sumber Gelanggang Boolean

Dalam [[matematika]], sebuah '''gelanggang Boolean''' ''R'' adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] ''x''<sup>2</sup> = ''x'' untuk semua ''x'' di ''R'',<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=200}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=130}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1968|p=46}}</ref> yaitu, gelanggang yang terdiri dari [[elemen idempoten (teori gelanggang)|elemen idempoten]].<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=25}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=268}}</ref> Contohnya adalah gelanggang dari [[aritmetika modular#Bilangan modulo n|bilangan bulat modulo 2]].

Setiap gelanggang Boolean menghasilkan [[Aljabar Boolean (struktur)|aljabar Boolean]], dengan perkalian gelanggang yang sesuai dengan [[konjungsi logis|konjungsi]] atau [[bertemu (matematika)|bertemu]] ∧, dan penambahan ring ke [[eksklusif atau|disjungsi eksklusif]] atau [[perbedaan simetris]] (bukan [[logika disjungsi|disjungsi]] ∨,<ref>{{Cite web |url=https://math.stackexchange.com/q/1621618 |title=Salinan arsip |access-date=2021-07-02 |archive-date=2023-07-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230729212348/https://math.stackexchange.com/questions/1621618/disjunction-as-sum-operation-in-boolean-ring |dead-url=no }}</ref> dalam bentuk [[semigelanggang]]). Gelanggang Boolean dinamai menurut penemu aljabar Boolean, [[George Boole]].

== Notasi ==
Setidaknya ada empat sistem notasi yang berbeda dan tidak kompatibel untuk gelanggang dan aljabar Boolean:
* Dalam [[aljabar komutatif]] notasi standarnya adalah menggunakan ''x'' + ''y'' = (''x'' ∧ ¬ ''y'') ∨ (¬ ''x'' ∧ ''y'') untuk jumlah gelanggang ''x'' dan ''y'', dan menggunakangunakan ''xy'' = ''x'' ∧ ''y'' untuk produknya.
* Dalam [[Logika matematika|logika]], notasi yang umum adalah menggunakan ''x'' ∧ ''y'' untuk pertemuan (sama seperti produk gelanggang) dan menggunakan ''x'' ∨ ''y'' untuk sambungan, diberikan dalam notasi gelanggang (diberikan di atas) oleh ''x'' + ''y'' + ''xy''.
* Dalam [[teori himpunan]] dan logika, juga umum untuk menggunakan ''x'' · ''y'' untuk pertemuan, dan ''x'' + ''y'' untuk sambungan ''x'' ∨ ''y''. Penggunaan + ini berbeda dengan penggunaan dalam teori gelanggang.
* Sebuah konvensi langka adalah menggunakan ''xy'' untuk produk dan ''x'' ⊕ ''y'' untuk jumlah gelanggang, dalam upaya untuk menghindari ambiguitas +.

Secara historis, istilah "gelanggang Boolean" telah digunakan untuk mengartikan "menggunakan gelanggang Boolean tanpa identitas", dan "aljabar Boolean" telah digunakan untuk mengartikan gelanggang Boolean dengan identitas. Keberadaan identitas diperlukan untuk mempertimbangkan gelanggang sebagai aljabar pada [[GF(2)|bidang dua elemen]]: jika tidak, tidak mungkin ada homomorfisme gelanggang (unital) dari medan dua elemen dalam gelanggang Boolean (ini sama dengan penggunaan lama istilah "gelanggang" dan "aljabar" dalam [[teori pengukuran]]{{efn|Ketika gelanggang Boolean memiliki identitas, maka operasi komplemen menjadi terdefinisi padanya, dan karakteristik kunci dari definisi modern dari aljabar Boolean dan [[aljabar sigma]] adalah bahwa mereka memiliki operasi komplemen.}}).

== Contoh ==
Salah satu contoh ring Boolean adalah [[himpunan kuasa]] dari sembarang himpunan ''X'', dimana penjumlahan pada ring adalah [[perbedaan simetris]], dan perkaliannya adalah [[irisan (teori himpunan)|irisan/persimpangan]]. Sebagai contoh lain, apabila mempertimbangkan himpunan semua [[himpunan hingga|hingga]] atau [[himpunan bagian]] kohingga dari ''X'', dengan perbedaan simetris dan irisan sebagai operasi. Lebih umum dengan operasi ini setiap [[medan himpunan]] adalah gelanggang Boolean. Dengan [[Teorema wakilan Stone untuk aljabar Boolean|teorema wakilan Stone]] setiap gelanggang Boolean isomorfik pada [[medan himpunan]] (sebagai gelanggang dengan operasi ini).

== Relasi dengan aljabar Boolean ==

[[Berkas:Vennandornot.svg|center|500px|thumb|[[Diagram Venn]] untuk operasi Boolean dari konjungsi, disjungsi, dan komplemen]]
Karena operasi sambungan ∨ dalam aljabar Boolean ditulis secara aditif, maka dalam konteks ini untuk menyatakan penambahan gelanggang dengan ⊕, sebuah simbol yang sering digunakan untuk menyatakan [[eksklusif atau]].

Diberikan gelanggang Boolean ''R'', untuk ''x'' dan ''y'' di ''R'' maka didefinisikan

:''x'' ∧ ''y'' = ''xy'',

:''x'' ∨ ''y'' = ''x'' ⊕ ''y'' ⊕ ''xy'',

:¬''x'' = 1 ⊕ ''x''.

Operasi ini kemudian memenuhi semua [[aksioma]] untuk pertemuan, sambungan, dan melengkapi dalam [[Aljabar Boolean (struktur)|aljabar Boolean]]. Jadi setiap gelanggang Boolean sebagai aljabar Boolean. Demikian pula, setiap aljabar Boolean sebagai gelanggang Boolean sebagai berikut:

:''xy'' = ''x'' ∧ ''y'',

:''x'' ⊕ ''y'' = (''x'' ∨ ''y'') ∧ ¬(''x'' ∧ ''y'').

Jika gelanggang Boolean ditranslasikan dalam aljabar Boolean dengan cara ini, dan kemudian aljabar Boolean ditranslasikan dalam gelanggang, hasilnya adalah gelanggang asli. Hasil analogi dimulai dengan aljabar Boolean.

Peta antara dua gelanggang Boolean adalah [gelanggang [homomorfisme]] [[jika dan hanya jika]] adalah homomorfisme dari aljabar Boolean yang sesuai. Selanjutnya, sebuah himpunan bagian dari gelanggang Boolean adalah [[gelanggang ideal]] (ideal gelanggang prima, gelanggang ideal maksimal) jika dan hanya jika adalah [[urutan ideal]] (urutan ideal prima, urutan ideal maksimal) dari aljabar Boolean. [[Gelanggang hasil bagi]] dari modulo gelanggang ideal Boolean sesuai dengan aljabar faktor dari modulo aljabar Boolean urutan ideal yang sesuai.

== Sifat gelanggang Boolean ==

Setiap gelanggang Boolean ''R'' memenuhi ''x'' ⊕ ''x'' = 0 untuk semua ''x'' dalam ''R'', maka

:''x'' ⊕ ''x'' = (''x'' ⊕ ''x'')<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> ⊕ ''x''<sup>2</sup> ⊕ ''x''<sup>2</sup> ⊕ ''x''<sup>2</sup> = ''x'' ⊕ ''x'' ⊕ ''x'' ⊕ ''x''

dan karena (''R'',⊕) adalah [[Grup Abelian|grup abelian]], apabila mengurangkan ''x'' ⊕ ''x'' dari kedua ruas persamaan ini, yang menghasilkan ''x'' ⊕ ''x'' = 0. Bukti serupa menunjukkan bahwa setiap gelanggang Boolean adalah [[komutatif]]:

:''x'' ⊕ ''y'' = (''x'' ⊕ ''y'')<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> ⊕ ''xy'' ⊕ ''yx'' ⊕ ''y''<sup>2</sup> = ''x'' ⊕ ''xy'' ⊕ ''yx'' ⊕ ''y''

dan ini menghasilkan ''xy'' ⊕ ''yx'' = 0, yang berarti ''xy'' = ''yx'' (menggunakan sifat pertama di atas).

Properti ''x'' ⊕ ''x'' = 0 menunjukkan bahwa sembarang gelanggang Boolean adalah [[aljabar asosiatif]] atas [[medan (matematika)|medan]] '''F'''<sub> 2</sub> dengan dua elemen, dengan tepat satu cara. Secara khusus, setiap ring Boolean berhingga memiliki [[kardinalitas]] dari sebuah [[dua pangkat]]. Tidak setiap aljabar asosiatif satuan atas '''F'''<sub>2</sub> adalah gelanggang Boolean: misalnya [[gelanggang polinomial]] '''F'''<sub>2</sub >[''X''].

Gelanggang hasil bagi ''R''/''I'' dari setiap gelanggang Boolean ''R'' modulo setiap ideal ''I'' salah satu dari gelanggang Boolean. Demikian pula, setiap [[subgelanggang]] dari gelanggang Boolean adalah ring Boolean.

Setiap [[lokalisasi gelanggang|lokalisasi]] <math>RS^{-1}</math> dari gelanggang Boolean ''R'' dengan himpunan <math>S\subseteq R</math> adalah gelanggang Boolean, karena setiap elemen dalam lokalisasi adalah idempoten.

Gelanggang maksimal hasil bagi <math>Q(R)</math> (dalam pengertian Utumi dan [[Joachim Lambek|Lambek]]) dari gelanggang Boolean ''R'' adalah gelanggang Boolean, karena setiap endomorfisme parsial dengan sifat idempoten.<ref>{{cite journal|last1=B. Brainerd, J. Lambek|title=On the ring of quotients of a Boolean ring|journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]] |date=1959|volume=2|page=25–29|doi=10.4153/CMB-1959-006-x}} Corollary 2.</ref>

Setiap [[ideal prima]] ''P'' dalam gelanggang Boolean ''R'' adalah [[ideal maksimal|maksimal]]: [[gelanggang hasil bagi]] ''R''/''P'' adalah [[domain integral]] dan juga gelanggang Boolean, jadi isomorfik ke [[medan (matematika)|medan]] '''F'''<sub>2</sub>, yang menunjukkan maksimum ''P''. Karena ideal maksimal adalah prima, ideal prima dan ideal maksimal bertepatan dalam gelanggang Boolean.

Gelanggang Boolean adalah [[cincin beraturan von Neumann]].

Gelanggang Boolean memiliki sifat datar: ini berarti bahwa setiap modul di atasnya adalah [[modul datar|datar]].

Setiap ideal gelanggang Boolean dibangun hingga adalah [[ideal utama|prinsipal]] (bahkan, (''x'',''y'') = (''x'' + ''y'' + ''xy '')).

== Unifikasi/Penyatuan ==
[[unifikasi (logika)|Unifikasi]] pada gelanggang Boolean adalah [[desidabilitas (logika)|desidabilitas]],<ref>{{cite book|author1=Martin, U. |author2=Nipkow, T. | chapter=Unification in Boolean Rings| title=Proc. 8th CADE| year=1986| volume=230| pages=506–513| publisher=Springer| editor=Jörg H. Siekmann| series=LNCS|doi=10.1007/3-540-16780-3_115 |isbn=978-3-540-16780-8 }}</ref> yaitu, algoritma untuk menyelesaikan persamaan arbitrer pada gelanggang Boolean. Baik penyatuan dan pencocokan dalam [[aljabar hingga|hingga]] gelanggang Boolean bebas adalah [[kelengkapan-NP]], dan keduanya [[NP-hard]] dalam [[aljabar kesajian-hingga|kesajian-hingga]] ring Boolean.<ref>{{Cite book |doi = 10.1007/3-540-15976-2_17|chapter = Pendekatan teori-ideal untuk masalah kata dan masalah penyatuan atas aljabar komutatif kesajian-hingga|title = Rewriting Techniques and Applications|volume = 202|pages = 345–364|series = Lecture Notes in Computer Science|year = 1985|last1 = Kandri-Rody|first1 = Abdelilah|last2 = Kapur|first2 = Deepak|last3 = Narendran|first3 = Paliath|isbn = 978-3-540-15976-6}}</ref> (faktanya, karena setiap masalah penyatuan ''f''(''X'') = ''g''(''X'') dalam gelanggang Boolean apabila ditulis sebagai masalah pencocokan ''f''(' 'X'') + ''g''(''X'') = 0, soalnya ekuivalen).

Unifikasi dalam gelanggang Boolean adalah satuan jika semua simbol fungsi yang tidak diinterpretasikan adalah nullari dan finiter jika tidak (yaitu jika simbol fungsi yang tidak muncul dalam tanda tangan gelanggang Boolean semuanya adalah konstanta, maka apabila [[unifikasi generalisasi umum]], dan jika tidak, [[unifikasi (ilmu komputer)#masalah unifikasi, himpunan solusi|himpunan kelengkapan minimal unifikasi]] hingga).<ref>{{cite journal| author=A. Boudet| author2=J.-P. Jouannaud| author2-link=J.-P. Jouannaud| author3=M. Schmidt-Schauß| title=Unification of Boolean Rings and Abelian Groups| journal=[[Journal of Symbolic Computation]] | year=1989| volume=8| issue=5| pages=449–477 | doi=10.1016/s0747-7171(89)80054-9}}</ref>

== Lihat pula ==
* [[Gelanggang bentuk normal jumlah]]

== Catatan ==
{{notelist}}

==Referensi==
{{Reflist}}

==Bacaan lebih lanjut==
*{{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author-link1=Michael Atiyah | last2=Macdonald | first2=I. G. | author-link2=Ian G. Macdonald | title=Introduction to Commutative Algebra | publisher=Westview Press | isbn=978-0-201-40751-8 | year=1969}}
*{{citation | first = John B. | last = Fraleigh | year = 1976 | isbn = 978-0-201-01984-1 | title = A First Course In Abstract Algebra | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]]  }}
*{{citation | first = I. N. | last = Herstein | author-link= Israel Nathan Herstein | year = 1975 | title = Topics In Algebra | edition= 2nd | publisher = [[John Wiley & Sons]] }}
*{{citation | first=Neal H. |last=McCoy |year=1968 |title=Introduction To Modern Algebra | edition = Revised |publisher=[[Allyn and Bacon]] |lccn=68015225}}
*{{eom |title=Boolean ring |oldid=18972 |first=Yu. M. |last=Ryabukhin}}

== Pranala luar ==
*John Armstrong, [http://unapologetic.wordpress.com/2010/08/04/boolean-rings Gelanggang Boolean] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20221205124944/https://unapologetic.wordpress.com/2010/08/04/boolean-rings/ |date=2022-12-05 }}

{{Authority control}}

[[Kategori:Teori gelanggang]]
[[Kategori:Aljabar Boolean]]