Lihat sumber Gelanggang (matematika)

{{short description|Struktur aljabar dengan penjumlahan dan perkalian}}
{{about|struktur aljabar|gelanggang geometris|Annulus (matematika)|konsep teori himpunan|gelanggang himpunan}}

{{Teori gelanggang sidebar}}

Dalam [[matematika]], '''gelanggang''' ({{asal kata|Inggris|ring}}) merupakan salah satu [[struktur aljabar]] yang dibahas dalam [[aljabar abstrak]]. Sebuah gelanggang terdiri dari sebuah himpunan dan dua [[operasi biner]] yang didasarkan pada [[operasi aritmetika]] [[penjumlahan]] dan [[perkalian]]. Pendasaran tersebut memudahkan teorema-teorema yang berlaku pada [[aritmetika]] diterapkan juga dalam objek-objek non-numerik, seperti [[polinomial]], [[Deret (matematika)|deret]], [[Matriks (matematika)|matriks]], dan [[Fungsi (matematika)|fungsi]].

Gelanggang adalah [[grup abelian]] dengan operasi biner kedua yang bersifat [[asosiatif]], [[distributif]] terhadap operasi dari grup tersebut, dan memiliki [[unsur identitas]]. Mengambil istilah aritmetika, operasi yang berasal dari grup disebut ''penjumlahan'' dan operasi yang kedua disebut ''perkalian''.

Berlaku atau tidaknya sifat [[komutatif]] dalam suatu gelanggang memiliki akibat yang besar pada objek tersebut. Oleh karena itu, teori gelanggang komutatif, atau sering disebut juga [[aljabar komutatif]], adalah topik penting dalam [[teori gelanggang]]. Perkembangannya dipengaruhi oleh permasalahan dan ide yang berasal dari [[teori bilangan aljabar]] dan [[geometri aljabar]].

Konseptualisasi gelanggang dimulai pada 1870-an dan diselesaikan pada 1920-an. Kontributor utama di antaranya [[Richard Dedekind|Dedekind]], [[David Hilbert|Hilbert]], [[Abraham Fraenkel|Fraenkel]], dan [[Emmy Noether|Noether]]. Gelanggang pertama kali dirumuskan sebagai bentuk umum dari [[domain Dedekind]] yang terdapat di [[teori bilangan]], dan dari [[gelanggang polinomial]] dan gelanggang invarian yang terdapat di [[geometri aljabar]] dan [[teori invarian]]. Selanjutnya, gelanggang dipergunakan di cabang-cabang matematika yang lain seperti [[geometri]] dan [[analisis matematis]].

== Definisi ==
[[Berkas:Number-line.svg|alt=|jmpl|410x410px|[[Bilangan bulat]], dengan operasi [[penjumlahan]] dan [[perkalian]], membentuk contoh prototipikal dari gelanggang.]]Sebuah '''gelanggang''' adalah sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] ''R'' dengan dua [[operasi biner]] + dan '''·''' yang memenuhi ketiga aksioma berikut, juga disebut '''aksioma gelanggang'''<ref>{{cite book|author=Nicolas Bourbaki|title=Algebra|publisher=Springer-Verlag|section=§I.8|year=1970}}</ref><ref>{{cite book|title=Algebra|author1=Saunders MacLane|author2=Garrett Birkhoff|publisher=AMS Chelsea|page=85|year=1967|author1-link=Saunders MacLane}}</ref><ref>{{cite book|author=Serge Lang|title=Algebra|url=https://archive.org/details/algebra00slan_986|publisher=Springer-Verlag|page=[https://archive.org/details/algebra00slan_986/page/n97 83]|year=2002|edition=Third|author-link=Serge Lang}}</ref>

# ''R'' merupakan [[grup abelian]] terhadap penjumlahan, artinya:
#* (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'') untuk setiap ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''R''&nbsp;&nbsp;&nbsp;(dengan kata lain, + bersifat [[asosiatif]]).
#* ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' untuk setiap ''a'', ''b'' dalam ''R''&nbsp;&nbsp;&nbsp;(dengan kata lain, + bersifat [[komutatif]]).
#* Terdapat sebuah unsur 0 dalam ''R'' yang menyebabkan ''a'' + 0 = ''a'' untuk setiap ''a'' dalam ''R''&nbsp;&nbsp;&nbsp;(dengan kata lain, terdapat 0 sebagai [[identitas aditif]]).
#* Untuk setiap ''a'' dalam ''R'' terdapat −''a'' dalam ''R'' yang menyebabkan ''a'' + (−''a'') = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;(dengan kata lain, −''a'' adalah [[invers aditif]] dari ''a'').
# ''R'' merupakan [[monoid]] terhadap perkalian, artinya:
#* (''a'' · ''b'') · ''c'' = ''a'' · (''b'' · ''c'') untuk setiap ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''R''&nbsp;&nbsp;&nbsp;(dengan kata lain, · bersifat asosiatif).
#* Terdapa sebuah unsur 1 dalam ''R'' yang menyebabkan ''a'' · 1 = ''a'' dan 1 · ''a'' = ''a'' untuk setiap ''a'' dalam ''R''&nbsp;&nbsp;&nbsp;(dengan kata lain, terdapat 1 sebagai [[identitas perkalian]]).<ref>Keberadaan 1 tidak diharuskan oleh setiap pengarang; di sini, istilah ''[[Rng (aljabar)|rng]]'' apabila keberadaan 1 tidak diperlukan.<!-- This is the most common convention, and is adopted throughout wikipedia, please do not change --> Lihat [[Gelanggang (matematika)#Catatan mengenai definisi|subbagian berikutnya]]</ref>
# Perkalian bersifat [[distributif]] terhadap penjumlahan, artinya:
#* ''a'' ⋅ (''b'' + ''c'') = (''a'' · ''b'') + (''a'' · ''c'') untuk setiap ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''R''&nbsp;&nbsp;&nbsp;(distributif kiri).
#* (''b'' + ''c'') · ''a'' = (''b'' · ''a'') + (''c'' · ''a'') untuk setiap ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''R''&nbsp;&nbsp;&nbsp;(distributif kanan).
Seperti dijelaskan dalam bagian {{section link||Sejarah}}, sebagian penulis memakai ketentuan berbeda di mana sebuah gelanggang tidak perlu memiliki identitas perkalian. Artikel ini menggunakan ketentuan, kecuali ketika disebutkan sebaliknya, bahwa sebuah gelanggang harus memiliki identitas tersebut.<!--- This is also the convention in [[Wikipedia:Manual of Style/Mathematics]]. ---> Sebagian penulis yang menggunakan ketentuan ini menyebut struktur yang memenuhi semua aksioma ''kecuali'' syarat identitas perkalian sebagai [[rng (aljabar)|rng]] (biasa dibaca ''rung'') dan sebagian menyebutnya [[gelanggang semu]]. Contohnya, himpunan semua bilangan genap dengan operasi + dan ⋅ yang biasa merupakan sebuah rng, tapi bukan sebuah gelanggang.

Operasi + dan ⋅ masing-masing disebut ''penjumlahan'' dan ''perkalian''. Simbol perkalian ⋅ biasanya tidak dituliskan; contohnya, ''xy'' berarti {{nowrap|''x'' ⋅ ''y''}}.

Meskipun penjumlahan gelanggang bersifat [[komutatif]], perkalian gelanggang tidak harus komutatif: ''ab'' tidak harus sama dengan ''ba''. Gelanggang yang perkaliannya memenuhi sifat komutatif (seperti gelanggang bilangan bulat) disebut ''[[gelanggang komutatif]]''. Buku yang membahas aljabar komutatif atau geometri aljabar terkadang menyebutkan ''gelanggang komutatif'' sebagai ''gelanggang'' saja.

Dalam sebuah gelanggang, invers perkalian tidak harus ada. Sebuah gelanggang bukan [[gelanggang nol|nol]] yang setiap unsur bukan nolnya memiliki [[invers perkalian]] disebut sebuah [[medan (matematika)|medan]].

== Sifat ==
Beberapa sifat dasar dari gelanggang yang bisa diperoleh dari aksioma:
* Identitas aditif, invers aditif setiap unsur, dan identitas perkalian bersifat unik.
* Untuk setiap unsur ''x'' dalam sebuah gelanggang ''R'', dipenuhi persamaan ''x''0 = 0 = 0''x'' (nol adalah [[unsur penyerap]] terhadap perkalian) dan (–1)''x'' = –''x''.
* Jika 0 = 1 dalam sebuah gelanggang ''R'' (atau secara umum, 0 adalah unsur satuan), maka ''R'' hanya memiliki satu unsur, dan disebut [[gelanggang nol]].
* [[Teorema binomial]] berlaku untuk setiap pasangan unsur yang komutatif (dengan kata lain, untuk setiap ''x'' dan ''y'' yang memenuhi ''xy'' = ''yx'').

== Contoh ==
[[Berkas:Number-line.svg|alt=|thumb|410x410px|[[Bilangan bulat]], dengan dua operasi [[penambahan]] dan [[perkalian]], membentuk contoh prototipe gelanggang.]]

Contoh paling familiar dari sebuah gelanggang adalah himpunan dari semua bilangan bulat <math>\mathbf{Z}</math>, terdiri dari [[bilangan]]

: ...&nbsp;, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,&nbsp;...

Sifat familiar untuk penjumlahan dan perkalian bilangan bulat berfungsi sebagai model untuk aksioma gelanggang.

=== Contoh: Bilangan bulat modulo 4 ===
{{see also| Aritmetika modular}}

Lengkapi himpunan <math>\mathbf{Z}_4 = \left\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}\right\}</math> dengan operasi berikut:

* Jumlah <math>\overline{x} + \overline{y}</math> dalam '''Z'''<sub>4</sub> adalah sisa ketika bilangan bulat ''x'' + ''y'' dibagi 4. Contohnya, <math>\overline{2} + \overline{3} = \overline{1}</math> dan <math>\overline{3} + \overline{3} = \overline{2}</math>.
* Hasil kali <math>\overline{x} \cdot \overline{y}</math> dalam '''Z'''<sub>4</sub> adalah sisa ketika bilangan bulat ''xy'' dibagi 4. Contohnya, <math>\overline{2} \cdot \overline{3} = \overline{2}</math> dan <math>\overline{3} \cdot \overline{3} = \overline{1}</math>.

Maka '''Z'''<sub>4</sub> merupakan sebuah gelanggang: setiap aksioma mengikuti aksioma dari '''Z'''. Jika ''x'' merupakan sebuah bilangan bulat, sisa dari ''x'' ketika dibagi 4 bisa dianggap sebagai unsur dari '''Z'''<sub>4</sub>, dan unsur ini biasa disebut {{nowrap|"''x'' mod 4"}} atau <math>\overline{x}</math>, sesuai dengan notasi untuk 0, 1, 2, 3. Invers aditif dari setiap <math>\overline{x}</math> dalam '''Z'''<sub>4</sub> adalah <math>\overline{-x}</math>. Contohnya, <math>-\overline{3} = \overline{-3} = \overline{1}.</math>

=== Contoh: Matriks 2-kali-2 ===
{{main|Gelanggang matriks}}
Himpunan [[Matriks (matematika)|matriks]] 2-kali-2 dengan anggota [[bilangan real]] ditulis

:<math>\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \left.\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right|\  a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}. </math>

Dengan operasi penjumlahan matriks dan [[perkalian matriks]], himpunan ini memenuhi aksioma gelanggang. Unsur <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> adalah identitas perkalian dari gelanggangnya. Jika <math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math> dan <math>B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>, maka <math>AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> sedangkan <math>BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>; jadi gelanggang yang ini tidak komutatif.

Secara umum, untuk setiap gelanggang ''R'', komutatif maupun tidak, dengan bilangan bulat non-negatif ''n'' manapun, bisa disusun sebuah gelanggang matriks ''n''-kali-''n'' dengan anggota dari ''R'': lihat [[Gelanggang matriks]].

== Sejarah ==
{{See also|Teori gelanggang#Sejarah}}
[[Berkas:Dedekind.jpeg|jmpl|100px|ka|[[Richard Dedekind]], salah seorang pendiri [[teori gelanggang]].]]

=== Dedekind ===
Penelitian gelanggang berawal dari teori [[gelanggang polinomial]] dan teori [[bilangan bulat aljabar]].<ref name="history">{{Cite web |url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html |title=The development of Ring Theory |access-date=2020-05-21 |archive-date=2017-04-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170424234340/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html |dead-url=yes }}</ref> Pada 1871, [[Richard Dedekind]] mendefinisikan konsen gelanggang bilangan bulat dari medan bilangan.{{sfn|Kleiner|1998|p=27}} Dalam konteks ini, dia memperkenalkan istilah "ideal" (terinspirasi dari istilah angka ideal dari [[Ernst Kummer]]) dan "modul" dan mempelajari sifat-sifat mereka. Namun, Dedekind tidak mengguanakan istilah "''ring''" dan tidak mendefinisikan konsep gelanggang secara umum.

=== Hilbert ===
Istilah "''Zahlring''" (gelanggang angka) dibuat oleh [[David Hilbert]] pada 1892 dan diterbitkan pada 1897.{{sfn|Hilbert|1897}} Menurut Harvey Cohn, Hilbert menggunakan istilah gelanggang yang memiliki sifat "berputar kembali" ke unsur itu sendiri.<ref>{{Citation|last=Cohn|first=Harvey|title=Advanced Number Theory|publisher=Dover Publications|location=New York|year=1980|page=[https://archive.org/details/advancednumberth00cohn_0/page/49 49]|isbn=978-0-486-64023-5|url=https://archive.org/details/advancednumberth00cohn_0/page/49}}</ref> Secara khusus, dalam sebuah gelanggang bilangan bulat aljabar, semua pangkat yang tinggi dari bilangan bulat aljabar bisa ditulis sebagai kombinasi integral dari pangkat-pangkat yang rendah, jadi pangkatnya "berputar". Contohnya, jika {{nowrap|1=''a''<sup>3</sup> − 4''a'' + 1 = 0}} maka {{nowrap|1=''a''<sup>3</sup> = 4''a'' − 1}}, {{nowrap|1=''a''<sup>4</sup> = 4''a''<sup>2</sup> − ''a''}}, {{nowrap|1=''a''<sup>5</sup> = −''a''<sup>2</sup> + 16''a'' − 4}}, {{nowrap|1=''a''<sup>6</sup> = 16''a''<sup>2</sup> − 8''a'' + 1}}, {{nowrap|1=''a''<sup>7</sup> = −8''a''<sup>2</sup> + 65''a'' − 16}}, dan seterusnya; secara umum, ''a''<sup>''n''</sup> adalah [[kombinasi linear]] integral dari 1, ''a'', dan ''a''<sup>2</sup>.

=== Fraenkel dan Noether ===
Definisi aksiomatik gelanggang yang pertama diberikan oleh [[Abraham Fraenkel|Adolf Fraenkel]] pada 1914,{{sfn|Fraenkel|1915|pp=143–145}}{{sfn|Jacobson|2009|p=86|loc=footnote 1}} tapi aksiomanya lebih ketat daripada yang terdapat di definisi modern. Contohnya, dia menetapkan setiap [[pembagi nol|pembagi bukan nol]] harus memiliki [[invers perkalian]].{{sfn|Fraenkel|1915|p=144|loc=axiom ''R''<sub>8)</sub>}} Pada 1921, [[Emmy Noether]] memberikan definisi aksiomatik modern dari gelanggang (komutatif) dan mengembangkan dasar dari teori gelanggang komutatif dalam makalahnya ''Idealtheorie in Ringbereichen''.{{sfn|Noether|1921|p=29}}

=== Identitas perkalian: wajib vs. pilihan ===
Fraenkel menetapkan sebuah gelanggang harus memiliki identitas perkalian 1,{{sfn|Fraenkel|1915|p=144|loc=axiom ''R''<sub>7)</sub>}} sedangkan Noether tidak.{{sfn|Noether|1921|p=29}}

Sebagian besar buku aljabar{{sfn|van der Waerden|1930}}{{sfn|Zariski|Samuel|1958}} sampai sekitar tahun 1960 mengikuti definisi Noether yang tidak memerlukan 1. Mulai dari 1960-an, menjadi lebih banyak buku yang memerlukan 1 dalam definisi gelanggang, terutama di buku lanjutan oleh penulis terkenal seperti Artin,{{sfn|Artin|2018|p=346}} Atiyah dan MacDonald,{{sfn|Atiyah|MacDonald|1969|p=1}} Bourbaki,{{sfn|Bourbaki|1989|p=96}} Eisenbud,{{sfn|Eisenbud||p=11}} dan Lang.{{sfn|Lang||p=83}} Meskipun begitu, sekarang masih banyak buku yang tidak memerlukan 1.{{sfn|Gallian|2006|p=235}}{{sfn|Hungerford|1997|p=42}}{{sfn|Warner|1965|p=188}}

Menghadapi ambiguitas ini, sebagian penulis mencoba menekankan pandangkan mereka, sementara sebagian yang lainya mencoba memakai istilah yang lebih persis.

Dari kategori pertama, salah satu contohnya adalah Gardner dan Wiegandt, yang mengatakan bahwa apabila semua gelanggang harus memiliki 1, maka salah satu akibatnya adalah tidak adanya [[jumlah langsung]] tak terhingga dari gelanggang, dan yang dijumlah langsung dari gelanggang bukanlah subgelanggang. Mereka menyimpulkan bahwa "dalam banyak, mungkin kebanyakan, cabang teori gelanggang dibutuhkannya keberadaan unsur satuan tidaklah berakal sehat, dan sebab itu tidak bisa diterima."{{sfn|Gardner|Wiegandt|2003}} [[Bjorn Poonen|Poonen]] membuat argumen bantahan: gelanggang tanpa identitas perkalian tidak bersifat asosiatif secara total (hasil kali dari barisan terhingga manapun yang terdiri dari unsur-unsur gelanggang, termasuk barisan kosong, didefinisikan dengan baik, tidak tergantung urutan operasi) dan menulis "lanjutan alamiah dari sifat asosiatif memerlukan gelanggang yang mengandung hasil kali kosong, jadi wajar bila gelanggang memerlukan sebuah 1".{{sfn|Poonen|2018}}

Dalam kategori kedua, beberapa penulis menggunakan istilah-istilah berikut:{{sfn|Wilder|1965|p=176}}{{sfn|Rotman|1998|p=7}}

:* gelanggang dengan identitas perkalian: ''unital ring'', ''unitary ring'', ''unit ring'', ''ring with unity'', ''ring with identity'', atau ''ring with 1''
:* gelanggang tanpa identitas perkalian: ''rng'' atau ''pseudo-ring'',{{sfn|Bourbaki|1989|p=98}} tapi yang kedua bisa jadi membingungkan karena punya arti lain.

== Modul ==
{{main|Modul (matematika)}}

Konsep ''modul di atas gelanggang'' menggeneralisasi konsep [[ruang vektor]] (di atas [[bidang (matematika)|bidang]]) dengan menggeneralisasi dari perkalian vektor dengan elemen bidang ([[perkalian skalar]]) ke perkalian dengan elemen gelanggang. Lebih tepatnya, diberi gelanggang {{math|''R''}} dengan 1, sebuah modul-{{math|''R''}} dengan {{math|''M''}} adalah [[grup abelian]] dilengkapi dengan [[operasi (matematika)|operasi]] {{math|''R'' × ''M'' → ''M''}} (mengaitkan elemen {{math|''M''}} ke  elemen {{math|''R''}} dan elemen {{math|''M''}}) yang memenuhi [[Aksioma#Aksioma non-logis|aksioma]] tertentu. Operasi ini biasanya dilambangkan dengan perkalian dan disebut perkalian. Aksioma modul adalah sebagai berikut: untuk {{math|''a'', ''b''}} dalam {{math|''R''}} dan {{math|''x'', ''y''}} dalam {{math|''M''}}, maka:
* {{math|''M''}} adalah grup abelian di bawah tambahan.
* <math>a(x+y)=ax+ay</math>
* <math>(a+b)x=ax+bx</math>
* <math>1x=x</math>
* <math>(ab)x=a(bx)</math>
Ketika gelanggang adalah [[gelanggang nonkomutatif|nonkomutatif]] aksioma-aksioma ini mendefinisikan ''modul kiri''; ''modul kompleks'' didefinisikan serupa dengan {{math|''xa''}} dari {{math|''ax''}}. Hal ini bukan hanya perubahan notasi, sebagai aksioma terakhir dari modul kanan (yaitu {{math|1=''x''(''ab'') = (''xa'')''b''}}) menjadi {{math|1=(''ab'')''x'' = ''b''(''ax'')}}, jika perkalian kiri (dengan elemen gelanggang) digunakan untuk modul kanan.

Contoh dasar modul adalah ideal, termasuk cincin itu sendiri.

Meskipun didefinisikan serupa, teori modul jauh lebih rumit daripada ruang vektor, terutama, karena, tidak seperti ruang vektor, modul tidak dikarakterisasi (hingga isomorfisme) oleh invarian tunggal ([[dimensi (ruang vektor)|dimensi ruang vektor]]). Secara khusus, tidak semua modul memiliki [[basis (aljabar linear)|basis]].

Aksioma modul menyiratkan bahwa {{math|1=(−1)''x'' = −''x''}}, di mana minus pertama menunjukkan [[aditif invers]] di dalam gelanggang dan minus kedua menunjukkan invers penjumlahan di modul. Menggunakan ini dan menunjukkan penambahan berulang dengan perkalian dengan [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] memungkinkan mengidentifikasi kelompok abelian dengan modul di atas gelanggang bilangan bulat.

== Lihat pula ==
{{Wikibooks|Aljabar Abstrak/Gelanggang}}
{{Div col|colwidth=18em}}
* [[Aljabar di atas cincin komutatif]]
* [[Kategori gelanggang]]
* [[Glosarium teori gelanggang]]
* [[Gelanggang non-asosiatif]]
* [[Himpunan gelanggang]]
* [[Semigelanggang]]
* [[Spektrum gelanggang]]
* [[Gelanggang komutatif sederhana]]
{{Div col end}}
Jenis gelanggang khusus:
{{Div col|colwidth=22em}}
* [[Gelanggang Boolean]]
* [[Gelanggang Dedekind]]
* [[Gelang diferensial]]
* [[Bidang eksponensial|Gelanggang eksponensial]]
* [[Gelanggang terbatas]]
* [[Gelanggang Lie]]
* [[Gelanggang lokal]]
* [[Gelanggang Noetherian|Noetherian]] dan [[Gelanggang Artinian]]
* [[Gelanggang urutan]]
* [[Gelanggang Poisson]]
* [[Gelanggang pengurangan]]
* [[Gelanggang reguler]]
* [[Gelanggang periode]]
* [[Gelanggang SBI]]
* [[Nilai gelanggang]] dan [[gelanggang nilai diskrit]]
{{Div col end}}

== Kutipan ==
{{reflist|30em}}

== Referensi ==

=== Referensi umum ===
{{refbegin}}
* {{Cite book
 | last=Artin
 | first=Michael
 | author-link=Michael Artin
 | title=Algebra
 | publisher=Pearson
 | edition=2nd
 | year=2018
 | ref=harv
}}
* {{Cite book
 | last1=Atiyah
 | first1=Michael
 | author1-link=Michael Atiyah
 | last2=MacDonald
 | first2=Ian G.
 | author2-link=Ian G. MacDonald
 | title=Introduction to commutative algebra
 | publisher=Addison–Wesley
 | year=1969
 | ref=harv
}}
* {{Cite book
 | last1=Bourbaki
 | first1=N.
 | author1-link=Nicolas Bourbaki
 | title=Algèbre commutative
 | year=1964
 | publisher=Hermann
 | ref=harv
}}
* {{Cite book
 | last1=Bourbaki
 | first1=N.
 | author1-link=Nicolas Bourbaki
 | title=Algebra I, Chapters 1–3
 | publisher=Springer
 | year=1989
 | ref=harv
}}
* {{Citation
 | last1=Cohn
 | first1=Paul Moritz
 | title=Basic algebra: groups, rings, and fields
 | year=2003
 | publisher=Springer
 | isbn=978-1-85233-587-8
}}.
* {{Cite book
 | last=Eisenbud
 | first=David
 | author-link=David Eisenbud
 | title=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry
 | url=https://archive.org/details/commutativealgeb0000eise
 | publisher=Springer
 | year=1995
 | ref=harv
 }}
* {{Cite book
 | last1=Gallian
 | first1=Joseph A.
 | title=Contemporary Abstract Algebra, Sixth Edition.
 | url=https://archive.org/details/contemporaryabst0000gall
 | publisher=Houghton Mifflin
 | year=2006
 | isbn=9780618514717
 | ref=harv
 }}
* {{Cite book
 | title=Radical Theory of Rings
 | publisher= Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics
 | first1=J.W.
 | last1=Gardner
 | first2=R.
 | last2=Wiegandt
 | year=2003
 | isbn=0824750330
 | ref=harv
}}
* {{Cite book
 | last=Herstein
 | first=I. N.
 | author-link=Israel Nathan Herstein
 | others=With an afterword by Lance W. Small
 | title=Noncommutative rings
 | series=Carus Mathematical Monographs
 | volume=15
 | publisher=Mathematical Association of America
 | year=1994
 | orig-year=reprint of the 1968 original
 | isbn=0-88385-015-X
 | ref=harv
}}
* {{Cite book
 | last1=Hungerford
 | first1=Thomas W.
 | title=Abstract Algebra: an Introduction, Second Edition.
 | publisher=Brooks/Cole
 | year=1997
 | isbn=9780030105593
 | ref=harv
}}
* {{Cite book
 | last=Jacobson
 | first=Nathan
 | author-link=Nathan Jacobson
 | title=Basic algebra
 | edition=2nd
 | volume=1
 | publisher=Dover
 | year=2009
 | isbn=978-0-486-47189-1
 | ref=harv
}}
* {{Cite journal
 | last=Jacobson
 | first=Nathan
 | author-link=Nathan Jacobson
 | title=Structure of rings
 | journal=American Mathematical Society Colloquium Publications
 | volume=37
 | edition=Revised
 | year=1964
 | ref=harv
}}
* {{Cite journal
 | last=Jacobson
 | first=Nathan
 | author-link=Nathan Jacobson
 | title=The Theory of Rings
 | journal=American Mathematical Society Mathematical Surveys
 | volume=I
 | year=1943
 | ref=harv
}}
* {{Citation
 | last1=Kaplansky
 | first1=Irving
 | author1-link=Irving Kaplansky
 | title=Commutative rings
 | publisher=[[University of Chicago Press]]
 | edition=Revised
 | mr=0345945
 | year=1974
 | isbn=0-226-42454-5
 | url=https://archive.org/details/commutativerings00irvi
 }}.
* {{Cite book
 | last=Lam
 | first=Tsit Yuen
 | author-link=Tsit Yuen Lam
 | title=A first course in noncommutative rings
 | edition=2nd
 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | volume=131
 | publisher=Springer
 | year=2001
 | isbn=0-387-95183-0
 | ref=harv
}}
* {{Cite book
 | last=Lam
 | first=Tsit Yuen
 | author-link=Tsit Yuen Lam
 | title=Exercises in classical ring theory
 | edition=2nd
 | series=Problem Books in Mathematics
 | publisher=Springer
 | year=2003
 | isbn=0-387-00500-5
 | ref=harv
}}
* {{Cite book
 | last=Lam
 | first=Tsit Yuen
 | author-link=Tsit Yuen Lam
 | title=Lectures on modules and rings
 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | volume=189
 | publisher=Springer
 | year=1999
 | isbn=0-387-98428-3
 | ref=harv
}}
* {{Lang Algebra|edition=3r}}.
* {{Cite book
 | last1=Matsumura
 | first1=Hideyuki
 | title=Commutative Ring Theory
 | publisher=[[Cambridge University Press]]
 | edition=2nd
 | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics
 | year=1989
 | isbn=978-0-521-36764-6
 | ref=harv
}}
* {{Cite web
 | last=Milne
 | first=J.
 | title=A primer of commutative algebra
 | url=http://www.jmilne.org/math/xnotes/ca.html
 | access-date=2021-02-01
 | archive-date=2023-05-30
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230530132032/https://www.jmilne.org/math/xnotes/ca.html
 | dead-url=no
 }}
* {{Citation
 | last1=Rotman
 | first1=Joseph
 | title=Galois Theory
 | publisher=Springer
 | edition=2nd
 | year=1998
 | isbn=0-387-98541-7
}}.
* {{Citation
 | last1=van der Waerden
 | first1=Bartel Leendert
 | author1-link=Bartel Leendert van der Waerden
 | title=Moderne Algebra. Teil I
 | publisher=Springer
 | series= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
 | volume=33
 | isbn=978-3-540-56799-8
 | year=1930
 | mr=0009016
 | title-link=Moderne Algebra
 }}.
* {{Cite book
 | last1=Warner
 | first1=Seth
 | title=Modern Algebra
 | publisher=Dover
 | year=1965
 | isbn=9780486663418
 | ref=harv
}}
* {{Cite book
 | first1=Raymond Louis
 | last1=Wilder
 | title=Introduction to Foundations of Mathematics
 | url=https://archive.org/details/introductiontofo0000wild_t0a3
 | publisher=Wiley
 | year=1965
 | ref=harv
 }}
* {{Cite book
 | last1=Zariski
 | first1=Oscar
 | last2=Samuel
 | first2=Pierre
 | title=Commutative Algebra
 | volume=1
 | publisher=Van Nostrand
 | year=1958
 | ref=harv
}}
{{refend}}

=== Referensi khusus ===
{{refbegin}}
* {{Citation
 | last1=Balcerzyk
 | first1=Stanisław
 | last2=Józefiak
 | first2=Tadeusz
 | title=Commutative Noetherian and Krull rings
 | publisher=Ellis Horwood Ltd.
 | location=Chichester
 | series=Mathematics and its Applications
 | year=1989
 | isbn=978-0-13-155615-7
}}
* {{Citation
 | last1=Balcerzyk
 | first1=Stanisław
 | last2=Józefiak
 | first2=Tadeusz
 | title=Dimension, multiplicity and homological methods
 | publisher=Ellis Horwood Ltd.
 | location=Chichester
 | series=Mathematics and its Applications
 | isbn=978-0-13-155623-2
 | year=1989
}}
* {{Cite journal
 | last=Ballieu
 | first=R.
 | title=Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif
 | journal=Ann. Soc. Sci. Bruxelles
 | volume=I
 | issue=61
 | pages=222–227
 | year=1947
 | ref=harv
}}
* {{Cite book
 | last1=Berrick
 | first1=A. J.
 | last2=Keating
 | first2=M. E.
 | title=An Introduction to Rings and Modules with K-Theory in View
 | publisher=Cambridge University Press
 | year=2000
 | ref=harv
}}
* {{Citation
 | last=Cohn
 | first=Paul Moritz
 | title=Skew Fields: Theory of General Division Rings
 | volume=57
 | series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications
 | publisher=Cambridge University Press
 | year=1995
 | isbn=9780521432177
 | url-access=registration
 | url=https://archive.org/details/skewfieldstheory0000cohn
 }}
* {{Citation
 | last1=Eisenbud
 | first1=David
 | author1-link=David Eisenbud
 | title=Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry.
 | publisher=Springer
 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | volume=150
 | mr=1322960
 | year=1995
 | isbn=978-0-387-94268-1
}}
* {{Cite journal
 | last1=Gilmer
 | first1=R.
 | last2=Mott
 | first2=J.
 | title=Associative Rings of Order
 | journal=Proc. Japan Acad.
 | volume=49
 | pages=795–799
 | year=1973
 | doi=10.3792/pja/1195519146
 | doi-access=free
 | ref=harv
}}
* {{Cite book
 | last1=Harris
 | first1=J. W.
 | last2=Stocker
 | first2=H.
 | title=Handbook of Mathematics and Computational Science
 | url=https://archive.org/details/handbookofmathem00harr
 | publisher=Springer
 | year=1998
 | ref=harv
 }}
* {{Cite book
 | last=Isaacs
 | first=I. M.
 | title=Algebra: A Graduate Course
 | publisher=[[American Mathematical Society|AMS]]
 | isbn=978-0-8218-4799-2
 | year=1994
 | ref=harv
}}
* {{Citation
 | last1=Jacobson
 | first1=Nathan
 | author1-link=Nathan Jacobson
 | title=Structure theory of algebraic algebras of bounded degree
 | journal=[[Annals of Mathematics]]
 | issn=0003-486X
 | volume=46
 | issue=4
 | pages=695–707
 | doi=10.2307/1969205
 | jstor=1969205
 | publisher=Annals of Mathematics
 | year=1945
}}
* {{Cite book
 | last=Knuth
 | first=D. E.
 | author-link=Donald Knuth
 | title=The Art of Computer Programming
 | volume=Vol. 2: Seminumerical Algorithms
 | edition=3rd
 | publisher=Addison–Wesley
 | year=1998
 | ref=harv
}}
* {{Cite book
 | last1=Korn
 | first1=G. A.
 | last2=Korn
 | first2=T. M.
 | title=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers
 | publisher=Dover
 | year=2000
 | isbn=9780486411477
 | url=https://books.google.com/books?id=xUQc0RZhQnAC&q=ring
 | ref=harv
 | access-date=2021-02-01
 | archive-date=2023-07-29
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230729211757/https://books.google.com/books?id=xUQc0RZhQnAC&q=ring
 | dead-url=no
 }}
* {{Cite web
 | last=Milne
 | first=J.
 | title=Class field theory
 | url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
 | access-date=2021-02-01
 | archive-date=2023-03-14
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230314232125/https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
 | dead-url=no
 }}
* {{Citation
 | last1=Nagata
 | first1=Masayoshi
 | author1-link=Masayoshi Nagata
 | title=Local rings
 | publisher=Interscience Publishers
 | series=Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics
 | year=1962
 | orig-year=1975 reprint
 | mr=0155856
 | volume=13
 | isbn=978-0-88275-228-0
}}
* {{Cite book
 | last=Pierce
 | first=Richard S.
 | title=Associative algebras
 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | volume=88
 | publisher=Springer
 | year=1982
 | isbn=0-387-90693-2
 | url=https://archive.org/details/associativealgeb00pier_0
 | ref=harv
 }}
* {{Citation
 | last=Poonen
 | first=Bjorn
 | author1-link=Bjorn Poonen
 | title=Why all rings should have a 1
 | year=2018
 | arxiv=1404.0135
 | url=https://math.mit.edu/~poonen/papers/ring.pdf
 | accessdate=2021-02-01
 | archive-date=2023-05-05
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230505065100/https://math.mit.edu/~poonen/papers/ring.pdf
 | dead-url=no
 }}
* {{Citation
 | last=Serre
 | first=Jean-Pierre
 | author1-link=Jean-Pierre Serre
 | title=Local fields
 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | volume=67
 | publisher=Springer
 | year=1979
}}
* {{Citation
 | last=Springer
 | first=Tonny A.
 | title=Invariant theory
 | series=Lecture Notes in Mathematics
 | volume=585
 | publisher=Springer
 | year=1977
 | url=https://books.google.com/books?id=pTV7CwAAQBAJ&q=ring
 | isbn=9783540373704
 | accessdate=2021-02-01
 | archive-date=2023-07-29
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230729211758/https://books.google.com/books?id=pTV7CwAAQBAJ&q=ring
 | dead-url=no
 }}
* {{Cite web
 | last=Weibel
 | first=Charles
 | title=The K-book: An introduction to algebraic K-theory
 | url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
 | access-date=2021-02-01
 | archive-date=2017-01-05
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170105041334/http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
 | dead-url=no
 }}
* {{Cite book
 | last1=Zariski
 | first1=Oscar
 | author1-link=Oscar Zariski
 | last2=Samuel
 | first2=Pierre
 | author2-link=Pierre Samuel
 | title=Commutative algebra
 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | volume=28–29
 | publisher=Springer
 | year=1975
 | isbn=0-387-90089-6
 | ref=harv
}}
{{refend}}

=== Sumber primer ===
{{refbegin}}
* {{Cite journal
 | last=Fraenkel
 | first=A.
 | author-link=Abraham Fraenkel
 | title=Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen
 | journal=J. Reine Angew. Math.
 | volume=145
 | pages=139–176
 | year=1915
 | ref=harv
}}
* {{Cite journal
 | last=Hilbert
 | first=David
 | author-link=David Hilbert
 | title=Die Theorie der algebraischen Zahlkörper
 | journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
 | volume=4
 | year=1897
 | ref=harv
}}
* {{Cite journal
 | last=Noether
 | first=Emmy
 | author-link=Emmy Noether
 | title=Idealtheorie in Ringbereichen
 | journal=Math. Annalen
 | volume=83
 | issue=1–2
 | pages=24–66
 | year=1921
 | doi=10.1007/bf01464225
 | s2cid=121594471
 | url=https://zenodo.org/record/1428306
 | ref=harv
 | access-date=2021-02-01
 | archive-date=2023-05-26
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230526213845/https://zenodo.org/record/1428306
 | dead-url=no
 }}
{{refend}}

=== Referensi sejarah ===
{{refbegin}}
* [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html History of ring theory at the MacTutor Archive] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170424234340/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html |date=2017-04-24 }}
* [[Garrett Birkhoff]] dan [[Saunders Mac Lane]] (1996) ''A Survey of Modern Algebra'', edisi ke-5. New York: Macmillan.
* Bronshtein, I. N. dan Semendyayev, K. A. (2004) [[Bronshtein and Semendyayev|Handbook of Mathematics]], edisi ke-4. New York: Springer-Verlag {{isbn|3-540-43491-7}}.
* Faith, Carl (1999) ''Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra''. Mathematical Surveys and Monographs, 65. [[American Mathematical Society]] {{isbn|0-8218-0993-8}}.
* Itô, K. editor (1986) "Rings." §368 dalam ''Encyclopedic Dictionary of Mathematics'', edisi ke-2., Vol. 2. Cambridge, MA: [[MIT Press]].
* [[Israel Kleiner (matematikawan)|Israel Kleiner]] (1996) "The Genesis of the Abstract Ring Concept", [[American Mathematical Monthly]] 103: 417–424 {{doi|10.2307/2974935}}
* Kleiner, I. (1998) "From numbers to rings: the early history of ring theory", [[Elemente der Mathematik]] 53: 18–35.
* [[B. L. van der Waerden]] (1985) ''A History of Algebra'', Springer-Verlag,
{{refend}}

{{Aljabar}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Gelanggang (Matematika)}}
[[Kategori:Struktur aljabar]]
[[Kategori:Teori gelanggang]]