Lihat sumber Fungtor

{{About|konsep matematika}}
{{Redirect|Functoriality | konjektur funktorialiti Langland dalam teori bilangan|Program Langland#Funktorialiti}}

Dalam [[matematika]], khususnya [[teori kategori]], '''fungtor''' ({{Lang-en|functor}}) adalah peta antara [[Kategori (matematika)|kategori]]. Fungtor pertama kali dipertimbangkan dalam [[topologi aljabar]], dimana objek aljabar (yaitu [[grup fundamental]]) terkait dengan [[ruang topologi]], dan peta antara objek aljabar dikaitkan dengan [[fungsi kontinu|kontinu]] peta ruang. Saat ini, fungtor digunakan di seluruh matematika modern untuk menghubungkan berbagai kategori. Dengan demikian, fungtor penting dalam semua bidang dalam matematika yang [[teori kategori]] diterapkan.

Kata ''kategori'' dan ''fungtor'' dipinjam oleh matematikawan dari para filsuf [[Aristoteles]] dan [[Rudolf Carnap]].<ref>{{citation|first1=Saunders|last1=Mac Lane|authorlink1=Saunders Mac Lane|title=Categories for the Working Mathematician|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1971|isbn=978-3-540-90035-1|page=30}}</ref>  Yang terakhir menggunakan ''functor'' dalam konteks [[linguistik]];<ref>[[Rudolf Carnap|Carnap, Rudolf]] (1937). ''The Logical Syntax of Language'', Routledge & Kegan, pp.&nbsp;13–14.</ref>
lihat [[kata fungsi]].

== Definisi ==
Misalkan ''C'' dan ''D'' menjadi [[kategori (matematika)|kategori]]. A '''functor''' ''F'' dari ''C'' ke ''D'' adalah pemetaan{{sfnp|Jacobson|2009|loc=p. 19, def. 1.2}}
* mengaitkan ke setiap objek <math> X </math> di ''C'' dengan objek <math> F(X) </math> di ''D'',
* terkait dengan setiap morfisme <math>f \colon X \to Y</math> in ''C'' dengan morfisme <math>F(f) \colon F(X) \to F(Y)</math> di '' D '' sehingga dua kondisi berikut berlaku:
** <math>F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\!</math> untuk setiap objek <math> X </math> pada '' C '',
** <math>F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)</math> untuk morfisme <math>f \colon X \to Y\,\!</math> dan <math>g \colon Y\to Z</math> pada ''C''.

Artinya, functor harus mempertahankan [[Morfisme#Definisi|morfisme identitas]] dan [[Komposisi fungsi|komposisi]] morfisme.

== Kovarian dan kontravarian ==
{{See also|Kovarian dan kontravarian (ilmu komputer)}}
Ada banyak konstruksi dalam matematika yang akan berfungsi tetapi karena fakta bahwa mereka "mengubah morfisme" dan "komposisi terbalik". Kita kemudian mendefinisikan '' 'contravariant functor' '' '' F '' dari '' C '' ke '' D '' sebagai pemetaan yang
*mengaitkan ke setiap objek <math>X</math> in ''C'' dengan objek <math> F(X) </math> di '' D '',
* terkait dengan setiap morfisme <math>f \colon X\to Y</math> di '' C '' dengan morfisme <math>F(f) \colon F(Y) \to F(X)</math> pada '' D '' sehingga dua syarat berikut berlaku:
**<math>F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\!</math> untuk setiap objek <math> X </math> di '' C '',
**<math>F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)</math> untuk morfisme <math>f \colon X\to Y</math> dan <math>g \colon Y\to Z</math> pada ''C''.

Perhatikan bahwa fungsi kontravarian membalikkan arah komposisi.

Fungsi biasa juga disebut '''fungsi kovarian''' untuk membedakannya dari fungsi kontravarian. Perhatikan bahwa seseorang juga dapat mendefinisikan fungsi kontravarian sebagai fungsi '' kovarian '' pada [[kategori berlawanan]] <math>C^\mathrm{op}</math>.{{sfnp|Jacobson|2009|pp=19–20}} Beberapa penulis lebih suka menulis semua ekspresi secara kovarian. Artinya, alih-alih mengatakan <math>F \colon  C\to D</math> adalah fungtor kontravarian, mereka hanya menulis <math>F \colon C^{\mathrm{op}} \to D</math> (atau terkadang <math>F \colon C \to D^{\mathrm{op}}</math>) dan menyebutnya sebagai functor.

Fungsional kontravarian juga kadang-kadang disebut ''kofungtor ''.<ref name="Popescu1979">{{cite book|last1=Popescu|first1=Nicolae|last2=Popescu|first2=Liliana|title=Theory of categories|date=1979|publisher=Springer|location=Dordrecht|isbn=9789400995505|page=12|url=https://books.google.com/books?id=YnHwCAAAQBAJ&q=cofunctor+covariant&pg=PA12|accessdate=23 April 2016|archive-date=2023-07-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20230726141656/https://books.google.com/books?id=YnHwCAAAQBAJ&q=cofunctor+covariant&pg=PA12|dead-url=no}}</ref>

Ada konvensi yang mengacu pada "vektor" yaitu, [[bidang vektor]] s, elemen ruang bagian <math>\Gamma(TM)</math> dari [[paket tangen]] <math>TM</math>—sebagai "contravariant" dan untuk "covectors" yaitu, [[1-bentuk]], elemen ruang bagian <math>\Gamma(T^*M)</math> dari [[bundel kotangen]] <math>T^*M</math> sebagai "kovarian". Terminologi ini berasal dari fisika, dan alasannya berkaitan dengan posisi indeks ("atas" dan "lantai bawah") dalam [[penjumlahan Einstein | ekspresi]] seperti <math>x'^{\, i} = \Lambda^i_j x^j</math> for <math>\mathbf{x}' = \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{x}</math> or <math>\omega'_i = \Lambda^j_i \omega_j</math> untuk <math>\boldsymbol{\omega}' = \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Lambda}^T.</math> Dalam formalisme ini diamati bahwa simbol transformasi koordinat <math>\Lambda^j_i</math> (mewakili matriks <math>\boldsymbol{\Lambda}^T</math>) bertindak atas dasar vektor "dengan cara yang sama" seperti pada "koordinat kovektor": <math>\mathbf{e}_i = \Lambda^j_i\mathbf{e}_j</math>—sedangkan ia bertindak "dengan cara yang berlawanan" pada "koordinat vektor" (tetapi "dengan cara yang sama" seperti pada covektor dasar: <math>\mathbf{e}^i = \Lambda^i_j \mathbf{e}^j</math>). Terminologi ini bertentangan dengan yang digunakan dalam teori kategori karena covectors-lah yang memiliki '' kemunduran '' secara umum dan dengan demikian menjadi '' kontravarian '', sedangkan vektor pada umumnya adalah '' kovarian '' karena dapat '' didorong ke depan ''. Lihat pula [[Kovarian dan kontradiksi vektor]].

== Fungtor berlawanan ==
Setiap functor <math>F \colon  C\to D</math> menginduksi '''fungsi berlawanan''' <math>F^\mathrm{op} \colon  C^\mathrm{op}\to D^\mathrm{op}</math>, dimana <math>C^\mathrm{op}</math> dan <math>D^\mathrm{op}</math> adalah [[kategori berlawanan]] ke <math> C </math> dan <math>D</math>.<ref>{{citation|first1=Saunders|last1=Mac Lane|authorlink1=Saunders Mac Lane|first2=Ieke|last2=Moerdijk|authorlink2=Ieke Moerdijk|title=Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory|publisher=Springer|year=1992|isbn=978-0-387-97710-2}}</ref> Menurut definisi, <math>F^\mathrm{op}</math> memetakan objek dan morfisme secara identik ke <math> F </math>. Karena <math>C^\mathrm{op}</math> tidak sesuai dengan <math> C </math> sebagai kategori, dan juga untuk <math> D </math>, <math>F^\mathrm{op}</math> is dibedakan dari <math> F </math>. Misalnya saat menulis <math>F \colon  C_0\to C_1</math> with <math>G \colon  C_1^\mathrm{op}\to C_2</math>, seseorang harus menggunakan keduanya <math>G\circ F^\mathrm{op}</math> or <math>G^\mathrm{op}\circ F</math>. Perhatikan bahwa, mengikuti properti [[kategori berlawanan]], <math>(F^\mathrm{op})^\mathrm{op} = F</math>.

== Bifunctor dan multifunctor ==
'''Bifungtor''' (juga dikenal sebagai '''fungtor biner''') adalah fungtor yang ranahnya adalah [[kategori produk]]. Misalnya, [[fungtor Hom]] adalah tipe {{nowrap|''C<sup>op</sup>'' × ''C'' → '''Set'''}}. Ini dapat dilihat sebagai fungtor dalam argumen ''dua''. [[Fungtor Hom]] adalah contoh alami; itu bertentangan dalam satu argumen, kovarian di argumen lain.

'''Multifungtor''' adalah generalisasi dari konsep fungtor ke variabel ''n''. Jadi, misalnya, bifungtor adalah multifungtor dengan {{nowrap|1=''n'' = 2}}.

== Contoh ==
'''[[Diagram (teori kategori)|Diagram]]''': Untuk kategori '' C '' dan '' J '', diagram tipe '' J '' dalam '' C '' adalah fungsi kovarian <math>D \colon J\to C</math>.

'''[[Pragemal (teori kategori)]]''': Untuk kategori '' C '' dan '' J '', a '' J ''-presheaf pada '' C '' adalah fungsi kontravarian <math>D \colon C\to J</math>.

'''Pragemal:''' Jika '' X '' adalah [[ruang topologi]], maka [[himpunan terbuka]] di '' X '' membentuk [[himpunan terurut parsial]] Open(''X'') di bawah penyertaan. Seperti setiap himpunan yang diurutkan sebagian, Open('' X '') membentuk kategori kecil dengan menambahkan satu panah {{nowrap|''U'' → ''V''}} jika dan hanya jika <math>U \subseteq V</math>. Fungsional kontravarian pada Open ('' X '') disebut '' [[pragemal]] '' pada '' X ''. Misalnya, dengan menetapkan ke setiap set terbuka '' U '' [[aljabar asosiatif]] dari fungsi kontinu bernilai nyata pada '' U '', salah satunya memperoleh pragemal dari aljabar di '' X ''.

'''Fungtor konstan:''' Fungtor {{nowrap|''C'' → ''D''}} yang memetakan setiap objek '' C '' ke objek tetap '' X '' di '' D '' dan setiap morfisme di '' C '' ke morfisme identitas di '' X ''. Functor seperti itu disebut functor '' konstan '' atau '' pilihan ''.

'''Endofungtor''': Fungtor yang memetakan kategori ke kategori yang sama; misalnya, [[fungsi polinomial]].

'''Fungtor identitas''': dalam kategori '' C '', tertulis 1<sub>''C''</sub> atau id<sub>''C''</sub>, memetakan objek ke dirinya sendiri dan morfisme ke dirinya sendiri. Functor identitas adalah endofungtor.

'''Fungtor diagonal''': [[Fungtor diagonal]] didefinisikan sebagai functor dari '' D '' ke kategori fungtor '' D ''<sup> ''C''</sup> yang mengirimkan setiap objek dalam '' D '' ke Functor konstan pada objek itu.

'''Limit fungsi''': Untuk tetap [[kategori indeks]] '' J '', jika semua functor {{nowrap|''J'' → ''C''}} memiliki [[limit (teori kategori)|limit]] (misalnya jika '' C '' selesai), maka fungsi limit {{nowrap|''C''<sup>''J''</sup> → ''C''}} menetapkan batasnya ke setiap fungtor. Keberadaan fungtor ini dapat dibuktikan dengan menyadari bahwa ini adalah [[Fungsional penyesuaian |adjoin kanan]] ke [[diagonal fungtor]] dan menjalankan [[teorema fungtor adjoin Freyd]]. Ini membutuhkan versi yang sesuai dari [[aksioma pilihan]]. Komentar serupa berlaku untuk fungotor kolimit (yang menetapkan kolom ke setiap functor, dan merupakan kovarian).

'''Himpunan daya:''' Himpunan fungtor daya {{nowrap|''P'' : '''Set''' → '''Set'''}} memetakan setiap himpunan ke [[himpunan daya]] dan setiap fungsinya <math> f \colon X \to Y</math> ke peta order <math>U \in \mathcal{P}(X)</math> ke citranya <math>f(U) \in \mathcal{P}(Y)</math>. Salah satunya juga dapat mempertimbangkan '''fungtor himpunan daya kontravarian''' order <math> f \colon X \to Y </math> ke peta yang mengirim <math>V \subseteq Y</math> ke [[Citra (matematika)#Citra balikan|citra balikan]]<nowiki/>nya <math>f^{-1}(V) \subseteq X.</math>
<!--
For example, if <math>X = \{0,1\}</math> then <math>F(X) = \mathcal{P}(X) = \{\{\}, \{0\}, \{1\}, X\}</math>. Suppose <math>f(0) = \{\}</math> and <math>f(1) = X</math>. Then <math>F(f)</math> is the function which sends any subset <math>U</math> of <math>X</math> to its image <math>f(U)</math>, which in this case means
<math>\{\} \mapsto f(\{\}) = \{\}</math>, where <math>\mapsto</math> denotes the mapping under <math>F(f)</math>, so this could also be written as <math>(F(f))(\{\})= \{\}</math>. For the other values, <math>
\{0\} \mapsto f(\{0\}) = \{f(0)\} = \{\{\}\}, 
\{1\} \mapsto f(\{1\}) = \{f(1)\} = \{X\},
\{0,1\} \mapsto f(\{0,1\}) = \{f(0), f(1)\} = \{\{\}, X\}.</math> Note that <math>f(\{0, 1\})</math> consequently generates the [[trivial topology]] on <math>X</math>. Also note that although the function <math>f</math> in this example mapped to the power set of <math>X</math>, that need not be the case in general.

'''{{visible anchor|Dual vector space}}:''' The map which assigns to every [[vector space]] its [[dual space]] and to every [[linear operator|linear map]] its dual or transpose is a contravariant functor from the category of all vector spaces over a fixed [[field (mathematics)|field]] to itself.

'''Fundamental group:''' Consider the category of [[pointed topological space]]s, i.e. topological spaces with distinguished points. The objects are pairs {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}}, where ''X'' is a topological space and ''x''<sub>0</sub> is a point in ''X''. A morphism from {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} to {{nowrap|(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} is given by a [[continuous function (topology)|continuous]] map {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} with {{nowrap|1=''f''(''x''<sub>0</sub>) = ''y''<sub>0</sub>}}.

To every topological space ''X'' with distinguished point ''x''<sub>0</sub>, one can define the [[fundamental group]] based at ''x''<sub>0</sub>, denoted {{nowrap|π<sub>1</sub>(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}}. This is the [[group (mathematics)|group]] of [[homotopy]] classes of loops based at ''x''<sub>0</sub>. If {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} is a morphism of [[pointed space]]s, then every loop in ''X'' with base point ''x''<sub>0</sub> can be composed with ''f'' to yield a loop in ''Y'' with base point ''y''<sub>0</sub>. This operation is compatible with the homotopy [[equivalence relation]] and the composition of loops, and we get a [[group homomorphism]] from {{nowrap|π(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} to {{nowrap|π(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}}. We thus obtain a functor from the category of pointed topological spaces to the [[category of groups]].

In the category of topological spaces (without distinguished point), one considers homotopy classes of generic curves, but they cannot be composed unless they share an endpoint. Thus one has the '''fundamental [[groupoid]]''' instead of the fundamental group, and this construction is functorial.

'''Algebra of continuous functions:''' a contravariant functor from the category of [[topology|topological spaces]] (with continuous maps as morphisms) to the category of real [[associative algebra]]s is given by assigning to every topological space ''X'' the algebra C(''X'') of all real-valued continuous functions on that space. Every continuous map {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} induces an [[algebra homomorphism]] {{nowrap|C(''f'') : C(''Y'') → C(''X'')}} by the rule {{nowrap|1=C(''f'')(''φ'') = ''φ'' ∘ ''f''}} for every ''φ'' in C(''Y'').

'''Tangent and cotangent bundles:''' The map which sends every [[differentiable manifold]] to its [[tangent bundle]] and every [[smooth map]] to its [[derivative]] is a covariant functor from the category of differentiable manifolds to the category of [[vector bundle]]s.

Doing this constructions pointwise gives the [[tangent space]], a covariant functor from the category of pointed differentiable manifolds to the category of real vector spaces. Likewise, [[cotangent space]] is a contravariant functor, essentially the composition of the tangent space with the [[#Dual vector space|dual space]] above.

'''Group actions/representations:''' Every [[group (mathematics)|group]] ''G'' can be considered as a category with a single object whose morphisms are the elements of ''G''. A functor from ''G'' to '''Set''' is then nothing but a [[Group action (mathematics)|group action]] of ''G'' on a particular set, i.e. a ''G''-set. Likewise, a functor from ''G'' to the [[category of vector spaces]], '''Vect'''<sub>''K''</sub>, is a [[linear representation]] of ''G''. In general, a functor {{nowrap|''G'' → ''C''}} can be considered as an "action" of ''G'' on an object in the category ''C''. If ''C'' is a group, then this action is a group homomorphism.

'''Lie algebras:''' Assigning to every real (complex) [[Lie group]] its real (complex) [[Lie algebra]] defines a functor.

'''Tensor products:''' If ''C'' denotes the category of vector spaces over a fixed field, with [[linear operator|linear maps]] as morphisms, then the [[tensor product]] <math>V \otimes W</math> defines a functor {{nowrap|''C'' × ''C'' → ''C''}} which is covariant in both arguments.<ref>{{citation|first1=Michiel|last1=Hazewinkel|authorlink1=Michiel Hazewinkel|first2=Nadezhda Mikhaĭlovna|last2=Gubareni|authorlink2=Nadezhda Mikhaĭlovna|first3=Nadiya|last3=Gubareni|authorlink3=Nadiya Gubareni|first4=Vladimir V.|last4=Kirichenko|authorlink4=Vladimir V. Kirichenko|title=Algebras, rings and modules|publisher=Springer|year=2004|isbn=978-1-4020-2690-4}}</ref>

'''Forgetful functors:''' The functor {{nowrap|''U'' : '''Grp''' → '''Set'''}} which maps a [[group (mathematics)|group]] to its underlying set and a [[group homomorphism]] to its underlying function of sets is a functor.{{sfnp|Jacobson|2009|loc=p. 20, ex. 2}}  Functors like these, which "forget" some structure, are termed ''[[forgetful functor]]s''. Another example is the functor {{nowrap|'''Rng''' → '''Ab'''}} which maps a [[ring (algebra)|ring]] to its underlying additive [[abelian group]]. Morphisms in '''Rng''' ([[ring homomorphism]]s) become morphisms in '''Ab''' (abelian group homomorphisms).

'''Free functors:''' Going in the opposite direction of forgetful functors are free functors. The free functor {{nowrap|''F'' : '''Set''' → '''Grp'''}} sends every set ''X'' to the [[free group]] generated by ''X''. Functions get mapped to group homomorphisms between free groups. Free constructions exist for many categories based on structured sets. See [[free object]].

'''Homomorphism groups:''' To every pair ''A'', ''B'' of [[group (mathematics)|abelian groups]] one can assign the abelian group Hom(''A'', ''B'') consisting of all [[group homomorphism]]s from ''A'' to ''B''. This is a functor which is contravariant in the first and covariant in the second argument, i.e. it is a functor {{nowrap|'''Ab'''<sup>op</sup> × '''Ab''' → '''Ab'''}} (where '''Ab''' denotes the [[category of abelian groups]] with group homomorphisms). If {{nowrap|''f'' : ''A''<sub>1</sub> → ''A''<sub>2</sub>}} and {{nowrap|''g'' : ''B''<sub>1</sub> → ''B''<sub>2</sub>}} are morphisms in '''Ab''', then the group homomorphism {{nowrap|Hom(''f'', ''g'')}}: {{nowrap|Hom(''A''<sub>2</sub>, ''B''<sub>1</sub>) → Hom(''A''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>)}} is given by {{nowrap|''φ'' ↦ ''g'' ∘ ''φ'' ∘ ''f''}}. See [[Hom functor]].

'''Representable functors:''' We can generalize the previous example to any category ''C''. To every pair ''X'', ''Y'' of objects in ''C'' one can assign the set {{nowrap|Hom(''X'', ''Y'')}} of morphisms from ''X'' to ''Y''. This defines a functor to '''Set''' which is contravariant in the first argument and covariant in the second, i.e. it is a functor {{nowrap|''C''<sup>op</sup> × ''C'' → '''Set'''}}. If {{nowrap|''f'' : ''X''<sub>1</sub> → ''X''<sub>2</sub>}} and {{nowrap|''g'' : ''Y''<sub>1</sub> → ''Y''<sub>2</sub>}} are morphisms in ''C'', then the map {{nowrap|Hom(''f'', ''g'') : Hom(''X''<sub>2</sub>, ''Y''<sub>1</sub>) → Hom(''X''<sub>1</sub>, ''Y''<sub>2</sub>)}} is given by {{nowrap|''φ'' ↦ ''g'' ∘ ''φ'' ∘ ''f''}}.

Functors like these are called [[representable functor]]s. An important goal in many settings is to determine whether a given functor is representable.-->

== Kaitannya dengan konsep kategoris lainnya ==
Misalkan'' C ''dan'' D ''menjadi kategori. Kumpulan semua fungsi dari'' C'' hingga ''D'' membentuk objek dari kategori: [[kategori fungtor]]. Morfisme dalam kategori ini adalah [[transformasi alami]] antara fungsi.

Functor sering didefinisikan oleh [[sifat universal]]; contohnya adalah [[produk tensor]], [[jumlah langsung modul |jumlah langsung]] dan [[produk langsung]] dari grup atau [[ruang vektor]], konstruksi grup dan modul bebas, limit [[limit langsung |langsung]] dan [[limit invers| invers]]. Konsep [[limit (teori kategori) |limit dan kolimit]] merampat beberapa hal di atas.

Konstruksi semesta sering kali memunculkan pasangan.

== Implementasi komputer ==
Functor terkadang muncul di [[pemrograman fungsional]]. Misalnya, bahasa pemrograman [[Haskell (bahasa pemrograman) |Haskell]] memiliki [[jenis kelas | kelas]] <code>Functor</code> where [[Peta (fungsi tingkat tinggi)#Generalisasi|<code>fmap</code>]] adalah [[fungsi politik]] yang digunakan untuk memetakan [[fungsi (pemrograman komputer) |fungsi]] (''morfisme'' pada'' Hask'', kategori tipe Haskell)<ref>Tidak sepenuhnya jelas bahwa tipe data Haskell benar-benar membentuk sebuah kategori. Lihat https://wiki.haskell.org/Hask {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230717080308/https://wiki.haskell.org/Hask |date=2023-07-17 }} for more details.</ref> di antara tipe-tipe yang ada untuk fungsi di antara suatu tipe-tipe baru.<ref>See https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230206160357/http://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell |date=2023-02-06 }} for more information.</ref>

== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika}}
* [[Kategori Fungtor]]
* [[Ekstensi Kan]]
* [[Pseudofungtor]]

== Catatan ==
{{Reflist}}

== Referensi ==
* {{Citation| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 2 | series= | publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47187-7 | ref=harv}}.

== Pranala luar ==
{{Wiktionary|functor}}
* {{springer|title=Functor|id=p/f042140}}
* see {{nlab|id=functor}} and the variations discussed and linked to there.
* [[André Joyal]], [http://ncatlab.org/nlab CatLab] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230726141658/https://ncatlab.org/nlab/show/HomePage |date=2023-07-26 }}, a wiki project dedicated to the exposition of categorical mathematics
* {{cite web | first = Chris | last = Hillman | title = A Categorical Primer | citeseerx = 10.1.1.24.3264 | postscript = : }} formal introduction to category theory.
* J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150421081851/http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |date=2015-04-21 }}
* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: "[http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ Category Theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211121231337/https://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ |date=2021-11-21 }}" — by Jean-Pierre Marquis. Extensive bibliography.
* [http://www.mta.ca/~cat-dist/ List of academic conferences on category theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230207082059/https://www.mta.ca/~cat-dist/ |date=2023-02-07 }}
* Baez, John, 1996,"[http://math.ucr.edu/home/baez/week73.html The Tale of ''n''-categories.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230604004803/https://math.ucr.edu/home/baez/week73.html |date=2023-06-04 }}" An informal introduction to higher order categories.
* [http://wildcatsformma.wordpress.com/ WildCats] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210101171045/http://wildcatsformma.wordpress.com/ |date=2021-01-01 }} is a [[category theory]] package for [[Mathematica]]. Manipulation and visualization of objects, [[morphism]]s, categories, functors, [[natural transformation]]s, [[universal properties]].
* [https://www.youtube.com/user/TheCatsters The catsters] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230522202901/https://www.youtube.com/user/TheCatsters |date=2023-05-22 }}, a YouTube channel about category theory.
*{{planetmath reference|id=5622|title=Category Theory}}
* [http://categorieslogicphysics.wikidot.com/events Video archive] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120727085338/http://categorieslogicphysics.wikidot.com/events |date=2012-07-27 }} of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
*[https://web.archive.org/web/20080916162345/http://www.j-paine.org/cgi-bin/webcats/webcats.php Interactive Web page] which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.

{{Teori kategori}}
{{Functors}}

[[Kategori:Functor| ]]