Lihat sumber Fungsi linear (kalkulus)

{{short description|Fungsi polinomial derajat paling banyak satu}}
{{distinguish|peta linear}}{{Tanpa referensi|date=Desember 2021}}{{incomplete|kasus fungsi multivariat dan fungsi nilai vektor, yang harus dipertimbangkan, karena artikel ini ditautkan dari [[matriks Jacobian]]|date=February 2020}}
[[Gambar:wiki linear function.png|thumb|right|Grafik fungsi linier: <math>y(x) = -x + 2</math>]]
Dalam [[matematika]], istilah '''fungsi linear''' dapat mengacu kepada salah satu dari dua konsep berbeda namun berhubungan:
* Fungsi polinomial orde satu, satu variabel;
* Peta antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar

== Geometri analitis ==

[[Berkas:Linear functions2.PNG|300px|jmpl|Tiga fungsi linear geometris — garis merah dan biru memiliki gradien yang sama (''m''), sementara garis merah dan hijau memotong sumbu y di tempat yang sama (''b'').]]

{{utama|Persamaan linear}}

Dalam [[geometri analitis]], istilah ''fungsi linear'' kadang-kadang digunakan dengan maksud [[fungsi]] [[polinomial]] orde satu dari variabel tunggal. Fungsi ini disebut linear karena grafiknya pada bidang Cartesius adalah garis lurus.

Fungsi seperti itu dapat ditulis sebagai:

: <math>f(x) = mx + b</math>
: <math>(y-y1) = m(x-x1)</math>
: <math>0 = Ax + By + C</math>

dengan <math>m</math> dan <math>b</math> adalah konstanta [[bilangan riil|riil]] dan <math>x</math> adalah variabel riil. Konstana <math>m</math> disebut sebagai gradien atau kemiringan, sedangkan <math>b</math> memberikan titik perpotongan antara grafik fungsi tersebut dengan sumbu <math>y</math>. Mengubah <math>y</math> membuat garis tersebut lebih curam atau landai, sementara mengubah <math>b</math> akan menggerakkan garis ke atas atau ke bawah.

Contoh fungsi yang grafiknya berupa garis lurus adalah:

* <math>f_{1}(x) = 2x+1</math>
* <math>f_{2}(x) = x/2+1</math>
* <math>f_{3}(x) = x/2-1.</math>

Grafiknya ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.

== Ruang vektor ==

Dalam matematika lanjut, sebuah ''fungsi linear'' berarti fungsi yang merupakan [[pemetaan linear]], yaitu pemetaan antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan [[perkalian skalar]].

Contohnya, bila <math>x</math> dan <math>f(x)</math> direpresentasikan sebagai [[vektor koordinat]], maka fungsi linear adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai:

:<math>f(x) = \mathrm{M}x,</math>

dengan M adalah [[matriks]]. Sebuah fungsi

:<math>f(x) = mx + b</math>

adalah peta linear jika dan hanya jika <math>b</math> = 0. Untuk nilai lain dari <math>b</math>, fungsi ini tergolong dalam kelas yang lebih umum, yaitu [[peta afin]]

== Sifat ==
Fungsi linear adalah [[fungsi polinomial]] di mana [[variabel (matematika)|variabel]] {{mvar|x}} memiliki paling banyak satu derajat:<ref>Stewart 2012, p. 24</ref>
:<math>f(x)=ax+b</math>.
Fungsi seperti itu disebut '' linear '' karena [[grafik suatu fungsi|grafik]], himpunan semua titik <math>(x,f(x))</math> dalam [[bidang Kartesius]], adalah [[garis (geometri)|garis]]. Koefisien '' a '' disebut '' slope '' dari fungsi dan garis (lihat di bawah).
 
Jika kemiringannya <math>a=0</math>, ini adalah '' fungsi konstan '' <math>f(x)=b</math> mendefinisikan garis horizontal, yang dikecualikan beberapa penulis dari kelas fungsi linier.<ref>{{harvnb|Swokowski|1983|loc=p. 34}}</ref> Dengan definisi ini, derajat polinomial linier adalah tepat satu, dan grafiknya adalah garis yang tidak vertikal maupun horizontal. Namun, di artikel ini, <math>a\neq 0</math> diperlukan, sehingga fungsi konstan akan dianggap linear.

Jika <math>b=0</math> maka fungsi linier dikatakan '' homogen ''. Fungsi tersebut mendefinisikan garis yang melewati asal sistem koordinat, yaitu titik <math>(x,y)=(0,0)</math>. Dalam teks matematika tingkat lanjut, istilah '' fungsi linier '' sering menunjukkan fungsi linier homogen khusus, sedangkan istilah [[fungsi affine]] digunakan untuk kasus umum, yang mencakup <math>b\neq0</math>.

[[Domain suatu fungsi | Domain]] alami dari fungsi linear <math>f(x)</math>, himpunan nilai masukan yang diperbolehkan untuk {{math|''x''}}, adalah seluruh himpunan [[bilangan riil]], <math>x\in \mathbb R.</math> Anda juga dapat mempertimbangkan fungsi seperti itu dengan {{math|'' x ''}} dalam sembarang [[medan (matematika) | medan]], mengambil koefisien {{math|''a, b''}} in that field. 

Grafik <math>y=f(x)=ax+b</math> adalah garis non-vertikal yang memiliki tepat satu persimpangan dengan sumbu {{math|'' y ''}}, titik potongnya {{math|'' y ''}} <math>(x,y)=(0,b).</math> Nilai intersep {{math|'' y ''}} <math>y=f(0)=b</math> juga disebut '' nilai awal '' dari <math>f (x).</math> Jika <math>a\neq 0,</math> grafiknya adalah garis non-horizontal yang memiliki tepat satu persimpangan dengan sumbu {{math|'' x ''}}, {{math |'' x ''}}-titik potong <math>(x,y)=(-\tfrac ba,0).</math> {{math|'' x ''}}-nilai intersep <math>x=- \tfrac ba,</math> solusi dari persamaan <math>f(x) = 0,</math> juga disebut ''akar'' atau [[nol fungsi|'' nol '']] dari <math>f(x).</math>

== Titik potong-lereng, kemiringan titik, dan bentuk dua titik ==
Fungsi linier tertentu <math>f(x)</math> dapat ditulis dalam beberapa rumus standar yang menampilkan berbagai propertinya. Yang paling sederhana adalah '' bentuk titik potong-kemiringan ''': 
:<math>f(x)= ax+b</math>, 
dari mana seseorang dapat langsung melihat kemiringan '' a '' dan nilai awal <math>f(0)=b</math>, yang merupakan '' y '' - perpotongan dari grafik <math>y=f(x)</math>. 

Diberikan kemiringan '' a '' dan satu nilai yang diketahui <math>f(x_0)=y_0</math>, kami menulis '' bentuk kemiringan titik '':
:<math>f(x) = a(x{-}x_0)+y_0</math>. 
Dalam istilah grafis, ini memberikan garis <math>y=f(x)</math> dengan kemiringan '' a '' melewati titik tersebut <math>(x_0,y_0)</math>. 

'' Bentuk dua titik '' dimulai dengan dua nilai yang diketahui <math>f(x_0)=y_0</math> dan <math>f(x_1)=y_1</math>. Satu menghitung kemiringan <math>a=\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math> dan memasukkannya ke dalam bentuk kemiringan titik: 
:<math>f(x) = \tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x{-}x_0\!) + y_0</math>.
Grafiknya <math>y=f(x)</math> adalah garis unik yang melewati titik-titik <math>(x_0,y_0\!), (x_1,y_1\!)</math>. Persamaannya <math>y=f(x)</math> dapat juga ditulis untuk menekankan kemiringan konstan:
:<math>\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math>.

== Hubungan dengan kelas fungsi lainnya ==

Jika koefisien variabel tidak nol ({{math|''a'' ≠ 0}}), maka fungsi linier diwakili oleh a [[derajat polinomial | derajat]] 1 [[polinomial]] (juga disebut '' polinomial linear ''), jika tidak, ini adalah [[fungsi konstan]] - juga fungsi polinomial, tetapi derajat nol.

Sebuah garis lurus, ketika digambar dalam jenis sistem koordinat yang berbeda dapat mewakili fungsi lain.

Misalnya, ini mungkin mewakili [[pertumbuhan eksponensial | fungsi eksponensial]] ketika [[codomain | nilai]] diekspresikan dalam [[skala logaritmik]]. Artinya ketika {{math|[[logaritma|log]](''g''(''x''))}} adalah fungsi linier dari {{mvar | x}}, fungsi {{mvar | g}} adalah eksponensial. Dengan fungsi linier, menambah input sebesar satu unit menyebabkan output meningkat dengan jumlah yang tetap, yang merupakan kemiringan grafik fungsi. Dengan fungsi eksponensial, menambah input sebesar satu unit menyebabkan output meningkat dengan kelipatan tetap, yang dikenal sebagai basis dari fungsi eksponensial.

Jika '' keduanya '' [[domain suatu fungsi | argumen]] dan nilai suatu fungsi berada dalam skala logaritmik (yaitu, ketika {{math|[[logaritma|log]](''y'')}} adalah fungsi linier dari {{math|[[logaritma|log]](''x'')}}), maka garis lurus melambangkan [[hukum pangkat]]:
:<math>\log_r y = a \log_r x + b \quad\Rightarrow\quad y = r^b\cdot x^a</math>

[[Berkas:Archimedean-Spiral.png|thumb|Spiral archimedean ditentukan oleh persamaan kutub r = {{frac|1|2}}θ + 2]]
Di sisi lain, grafik dari fungsi linear dalam hal [[koordinat polar]]: 
:<math>r =f(\theta ) = a\theta  + b</math>
adalah [[spiral Archimedean]] if <math>a \neq 0</math> dan [[lingkaran]] sebaliknya.

== Lihat pula ==
* [[Fungsi (matematika)]]
* [[Fungsi nonlinear]]
* [[Interpolasi linear]]

== Catatan ==
<references/>

== Referensi ==
* James Stewart (2012), ''Calculus: Early Transcendentals'', edition 7E, Brooks/Cole. {{isbn|978-0-538-49790-9}}
* {{citation|first=Earl W.|last=Swokowski|title=Calculus with analytic geometry|edition=Alternate|year=1983|publisher=Prindle, Weber & Schmidt|place=Boston|isbn=0871503417|url-access=registration|url=https://archive.org/details/calculuswithanal00swok}}

== Pranala luar ==
* {{en}}[http://id.mind.net/~zona/mmts/functionInstitute/linearFunctions/linearFunctions.html Linear Functions on Id Mind] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070812171108/http://id.mind.net/~zona/mmts/functionInstitute/linearFunctions/linearFunctions.html |date=2007-08-12 }}
* {{en}}[http://www.mathopenref.com/linearexplorer.html Interactive tool to explore linear functions] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230326073643/https://www.mathopenref.com/linearexplorer.html |date=2023-03-26 }}
{{Daftar fungsi matematika}}
[[Kategori:Polinomial]]
[[Kategori:Aljabar linear]]