Lihat sumber Fungsi kuintik

[[Berkas:Quintic polynomial.svg|thumb|right|233px|Grafik polinomial dengan derajat 5, mempunyai tiga akar real dan empat [[titik kritis (matematika)|titik kritis]].]]
Dalam [[aljabar]], '''fungsi kuintik''' adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] berbentuk<math display="block">g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,</math>dengan <math>a,b,c,d,e,f</math> merupakan anggota dari [[Lapangan (matematika)|lapangan]], Anggota tersebut secara umum berupa [[bilangan rasional]], [[bilangan real]] ataupun [[bilangan kompleks]], serta <math>a</math> bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan sebuah [[polinomial]] dengan [[Derajat polinomial|derajat]] lima.

Karena mempunyai derajat bernilai ganjil, fungsi kuintik normal tampak mirip seperti [[fungsi kubik]] normal saat menggambarkannya, kecuali mempunyai satu buah [[Maxima dan minima|maksimum lokal]] dan satu buah minimum lokal tambahan. [[Turunan]] dari fungsi kuintik adalah [[fungsi kuartik]].

Dengan menetapkan {{math|''g''(''x'') {{=}} 0}}, dan mengasumsi bahwa {{math|''a'' ≠ 0}}, akan menghasilkan '''persamaan kuintik''' dalam bentuk:<math display="block">ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0.\,</math>

Memecahkan [[persamaan kuintik]] dalam bentuk [[Akar ke-n|akar]] adalah masalah utama dalam aljabar pada abad ke-16, ketika menemukan solusi dari [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuartik]]. Hingga pada setengah abad ke-19, kemustahilan untuk mendapatkan solusi umum dari polinomial tersebut dibuktikan dengan menggunakan [[teorema Abel–Ruffini]].

== Mencari akar dari persamaan kuintik ==

Mencari akar dari polinomial telah menjadi masalah matematika yang menonjol. Persamaan polinomial seperti [[persamaan linear]], [[persamaan kuadrat]], [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuadrtik|persamaan kuartik]] selalu dapat diselesaikan dengan menggunakan [[faktorisasi]] dan kemudian diubah menjadi [[Akar ke-n|akar]], tidak peduli apakah akarnya bernilai bilangan rasional atau irasional, bilangan real atau bilangan kompleks, dan ada rumus-rumus yang menghasilkan solusi yang dibutuhkan. Sayangnya, persamaan polinomial seperti persamaan kuintik tidak mempunyai [[Ekspresi aljabar|ekspresi]] akar untuk solusinya atas bilangan rasional. Pernyataan ini dikenal sebagai [[teorema Abel–Ruffini]], yang pertama kali pernyataan tersebut diterbitkan pada tahun 1799, dan buktinya diselesaikan pada tahun 1824. Teorema ini juga berlaku untuk persamaan derajat yang lebih tinggi. Sebagai contoh, akar dari persamaan kuintik {{math|''x''<sup>5</sup> − ''x'' + 1 {{=}} 0}} tidak dapat diubah menjadi ekspresi [[Akar ke-n|radikal]].

Ada beberapa persamaan kuintik yang dapat diselesaikan dengan menggunakan ekspresi akar. Akan tetapi, solusi tersebut umumnya terlalu rumit untuk digunakan pada praktiknya. Sebagai gantinya, aproksimasi numerik dihitung menggunakan [[algoritma pencarian akar#Menemukan akar polinomial|algoritma pencarian akar untuk polinomial]].

== Persamaan kuintik yang terpecahkan ==

Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar, dan persamaan tersebut didefinisikan dengan polinomial [[polinomial tak tersederhanakan|tersederhanakan]], seperti {{math|''x''<sup>5</sup> − ''x''<sup>4</sup> − ''x'' + 1 {{=}} (''x''<sup>2</sup> + 1)(''x'' + 1)(''x'' − 1)<sup>2</sup>}}. Sebagai contoh, persamaan<math display="block">x^5-x-r=0</math>telah diperlihatkan<ref>Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard form, the golden section, and square Fibonacci numbers", ''Fibonacci Quarterly'' 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230417160819/https://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf |date=2023-04-17 }}</ref> mempunyai solusi dalam ekspresi akar [[jika dan hanya jika]] persamaan tersebut mempunyai solusi [[bilangan bulat]] atau <math>r</math> bernilai ±15, ± 22440, atau ± 2759640. Pada kasus ini, polinomial tersebut dapat disederhanakan. 

Penyelesaian persamaan kuintik tersederhanakan disederhanakan secara langung agar membentuk penyelesaian polinomial dengan derajat yang lebih kecil, sehingga yang tersisa hanyalah persamaan kuintik tak tersederhanakan. Karena itu, istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. '''Kuintik terpecahkan''' ({{Lang-en|solvable quintic}}) adalah polinomial kuintik tak tersederhanakan yang akarnya dapat dinyatakan dalam ekspresi akar.

Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, [[Évariste Galois]] mengembangkan teknik yang memunculkan [[teori grup]] dan [[teori Galois]]. Ketika menerapkan teknik tersebut, [[Arthur Cayley]] menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah sebarang persamaan kuintik terselesaikan (dapat diselesaikan).<ref>A. Cayley. "On a new auxiliary equation in the theory of equation of the fifth order", Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1861).</ref> Kriteria tersebut menjelaskan sebagai berikut.<ref>Formulasi hasil Cayley ini diambil dari Lazard (2004) paper.</ref>

Diberikan persamaan<math display="block"> ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,</math> maka [[transformasi Tschirnhaus]] {{math|''x'' {{=}} ''y'' − {{sfrac|''b''|5''a''}}}}, yang menekan persamaan kuintik (dengan kata lain, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan <math display="block"> y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0</math>dengan<math display="block">\begin{align}p &= \frac{5ac-2b^2}{5a^2}\\
q &= \frac{25a^2d-15abc+4b^3}{25a^3}\\
r &= \frac{125a^3e-50a^2bd+15ab^2c-3b^4}{125a^4}\\
s &= \frac{3125 a^4f-625a^3 be+125a^2b^2 d-25ab^3 c+4 b^5}{3125a^5}\end{align}</math>

Kedua persamaan kuintik di atas terselesaikan dengan akar jika dan hanya jika kedua persamaan tersebut dapat difaktorkan dalam persamaan derajat yang lebih rendah dengan koefisien bilangan rasional atau polinomial {{math|''P''<sup>2</sup> − 1024''z''Δ}}, yang bernama ''resolven Cayley'', mempunyai akar rasional di{{mvar | z}}, dengan<math display="block">
P =z^3-z^2(20r+3p^2)- z(8p^2r - 16pq^2- 240r^2 + 400sq - 3p^4) - p^6 + 28p^4r- 16p^3q^2- 176p^2r^2- 80p^2sq + 224prq^2- 64q^4 + 4000ps^2 + 320r^3- 1600rsq
</math>dan <math display="block">\Delta=-128p^2r^4+3125s^4-72p^4qrs+560p^2qr^2s+16p^4r^3+256r^5+108p^5s^2-1600qr^3s+144pq^2r^3-900p^3rs^2+2000pr^2s^2-3750pqs^3+825p^2q^2s^2+2250q^2rs^2+108q^5s-27q^4r^2-630pq^3rs+16p^3q^3s-4p^3q^2r^2.
</math>Hasil Cayley memungkinkan seseorang untuk menguji apakah persamaan kuintik tersebut terpecahkan. Jika demikian, maka mencari akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mencari akar dalam ekspresi radikal yang melibatkan koefisien dari persamaan kuintik dan akar rasional dari resolven Cayley.

Pada tahun 1888, [[George Paxton Young]]<ref>George Paxton Young. ''Solvable Quintics Equations with Commensurable Coefficients'' ''American Journal of Mathematics'' '''10''' (1888), 99–130 [https://www.jstor.org/pss/2369502 at JSTOR] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230726135131/https://www.jstor.org/stable/2369502 |date=2023-07-26 }}</ref> menjelaskan cara menyelesaikan suatu persamaan kuintik terselesaikan tanpa menyediakan rumus yang eksplisit. Rumus tersebut ditulis dalam tiga halaman oleh [[Daniel Lazard]].<ref>{{harvtxt|Lazard|2004|p=207}}</ref><!--
===Quintics in Bring–Jerrard form===

There are several parametric representations of solvable quintics of the form {{math|''x''<sup>5</sup> + ''ax'' + ''b'' {{=}} 0}}, called the [[Bring–Jerrard form]].

During the second half of 19th century, John Stuart Glashan, George Paxton Young, and [[Carl Runge]] gave such a parameterization: an [[irreducible polynomial|irreducible]] quintic with rational coefficients in Bring–Jerrard form
is solvable if and only if either {{math|''a'' {{=}} 0}} or it may be written
:<math>x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0</math>
where {{math|''μ''}} and {{math|''ν''}} are rational.

In 1994, Blair Spearman and Kenneth S. Williams gave an alternative,
:<math>x^5 + \frac{5e^4( 4c + 3)}{c^2 + 1}x + \frac{-4e^5(2c-11)}{c^2 + 1} = 0.</math>

The relationship between the 1885 and 1994 parameterizations can be seen by defining the expression
:<math>b = \frac{4}{5} \left(a+20 \pm 2\sqrt{(20-a)(5+a)}\right)</math>
where {{math|''a'' {{=}} {{sfrac|5(4''ν'' + 3)|''ν''<sup>2</sup> + 1}}}}. Using the negative case of the square root yields, after scaling variables, the first parametrization while the positive case gives the second.

The substitution {{math|''c'' {{=}} {{sfrac|−''m''|''l''<sup>5</sup>}}}}, {{math|''e'' {{=}} {{sfrac|1|''l''}}}} in the Spearman-Williams parameterization allows one to not exclude the special case {{math|''a'' {{=}} 0}}, giving the following result:

If {{mvar|a}} and {{mvar|b}} are rational numbers, the equation {{math|''x''<sup>5</sup> + ''ax'' + ''b'' {{=}} 0}} is solvable by radicals if either its left-hand side is a product of polynomials of degree less than 5 with rational coefficients or there exist two rational numbers {{mvar|l}} and {{mvar|m}} such that
:<math>a=\frac{5 l (3 l^5-4 m)}{m^2+l^{10}}\qquad b=\frac{4(11 l^5+2 m)}{m^2+l^{10}}.</math>

===Roots of a solvable quintic===
A polynomial equation is solvable by radicals if its [[Galois group]] is a [[solvable group]]. In the case of irreducible quintics, the Galois group is a subgroup of the [[symmetric group]] {{math|''S''<sub>5</sub>}} of all permutations of a five element set, which is solvable if and only if it is a subgroup of the group {{math|''F''<sub>5</sub>}}, of order {{math|20}}, generated by the cyclic permutations {{math|(1 2 3 4 5)}} and {{math|(1 2 4 3)}}.

If the quintic is solvable, one of the solutions may be represented by an [[algebraic expression]] involving a fifth root and at most two square roots, generally [[nested radical|nested]]. The other solutions may then be obtained either by changing the fifth root or by multiplying all the occurrences of the fifth root by the same power of a [[root of unity|primitive 5th root of unity]]
:<math>\frac{\sqrt{-10-2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{4}.</math>

All four primitive fifth roots of unity may be obtained by changing the signs of the square roots appropriately, namely:
:<math>\frac{\alpha\sqrt{-10-2\beta\sqrt{5}}+\beta\sqrt{5}-1}{4},</math>

where <math> \alpha, \beta \in \{-1,1\}</math>, yielding the four distinct primitive fifth roots of unity.

It follows that one may need four different square roots for writing all the roots of a solvable quintic. Even for the first root that involves at most two square roots, the expression of the solutions in terms of radicals is usually highly complicated. However, when no square root is needed, the form of the first solution may be rather simple, as for the equation {{math|''x''<sup>5</sup> − 5''x''<sup>4</sup> + 30''x''<sup>3</sup> − 50''x''<sup>2</sup> + 55''x'' − 21 {{=}} 0}}, for which the only real solution is

: <math>x=1+\sqrt[5]{2}-\left(\sqrt[5]{2}\right)^2+\left(\sqrt[5]{2}\right)^3-\left(\sqrt[5]{2}\right)^4.</math>

An example of a more complicated (although small enough to be written here) solution is the unique real root of {{math|''x''<sup>5</sup> − 5''x'' + 12 {{=}} 0}}. Let {{math|''a'' {{=}} {{sqrt|2''φ''<sup>−1</sup>}}}}, {{math|''b'' {{=}} {{sqrt|2''φ''}}}}, and {{math|''c'' {{=}} {{radic|5|4}}}}, where {{math|''φ'' {{=}} {{sfrac|1+{{sqrt|5}}|2}}}} is the [[golden ratio]]. Then the only real solution {{math|''x'' {{=}} −1.84208&hellip;}} is given by

: <math>-cx = \sqrt[5]{(a+c)^2(b-c)} + \sqrt[5]{(-a+c)(b-c)^2} + \sqrt[5]{(a+c)(b+c)^2} - \sqrt[5]{(-a+c)^2(b+c)} \,,</math>

or, equivalently, by

:<math>x = \sqrt[5]{y_1}+\sqrt[5]{y_2}+\sqrt[5]{y_3}+\sqrt[5]{y_4}\,,</math>

where the {{math|''y<sub>i</sub>''}} are the four roots of the [[quartic equation]]

:<math>y^4+4y^3+\frac{4}{5}y^2-\frac{8}{5^3}y-\frac{1}{5^5}=0\,.</math>

More generally, if an equation {{math|1=''P''(''x'') = 0}} of prime degree {{math|''p''}} with rational coefficients is solvable in radicals, then one can define an auxiliary equation {{math|1=''Q''(''y'') = 0}} of degree {{math|''p'' – 1}}, also with rational coefficients, such that each root of {{math|''P''}} is the sum of {{math|''p''}}-th roots of the roots of {{math|''Q''}}. These {{math|''p''}}-th roots were introduced by [[Joseph-Louis Lagrange]], and their products by {{math|''p''}} are commonly called [[Lagrange resolvent]]s. The computation of {{math|''Q''}} and its roots can be used to solve {{math|1=''P''(''x'') = 0}}. However these {{math|''p''}}-th roots may not be computed independently (this would provide {{math|''p''<sup>''p''–1</sup>}} roots instead of {{math|''p''}}). Thus a correct solution needs to express all these {{math|''p''}}-roots in term of one of them. Galois theory shows that this is always theoretically possible, even if the resulting formula may be too large to be of any use.

It is possible that some of the roots of {{math|''Q''}} are rational (as in the first example of this section) or some are zero. In these cases, the formula for the roots is much simpler, as for the solvable [[de Moivre]] quintic{{anchor|de Moivre quintic}}

:<math>x^5+5ax^3+5a^2x+b = 0\,,</math>

where the auxiliary equation has two zero roots and reduces, by factoring them out, to the [[quadratic equation]]

:<math>y^2+by-a^5 = 0\,,</math>

such that the five roots of the de Moivre quintic are given by

:<math>x_k = \omega^k\sqrt[5]{y_i} -\frac{a}{\omega^k\sqrt[5]{y_i}},</math>

where ''y<sub>i</sub>'' is any root of the auxiliary quadratic equation and ''ω'' is any of the four [[primitive root of unity|primitive 5th roots of unity]].  This can be easily generalized to construct a solvable [[septic equation|septic]] and other odd degrees, not necessarily prime.

===Other solvable quintics===

There are infinitely many solvable quintics in Bring-Jerrard form which have been parameterized in a preceding section.

Up to the scaling of the variable, there are exactly five solvable quintics of the shape <math>x^5+ax^2+b</math>, which are<ref>http://www.math.harvard.edu/~elkies/trinomial.html</ref> (where ''s'' is a scaling factor):
:<math>x^5-2s^3x^2-\frac{s^5}{5} </math>
:<math> x^5-100s^3x^2-1000s^5</math>
:<math>x^5-5s^3x^2-3s^5 </math>
:<math>x^5-5s^3x^2+15s^5 </math>
:<math> x^5-25s^3x^2-300s^5</math>

Paxton Young (1888) gave a number of examples of solvable quintics:
:{| <math>x^5+3x^2+2x-1 </math> ||
|-
| <math> x^5-10x^3-20x^2-1505x-7412</math> ||
|-
| <math>x^5+\frac{625}{4}x+3750 </math>||
|-
| <math>x^5-\frac{22}{5}x^3-\frac{11}{25}x^2+\frac{462}{125}x+\frac{979}{3125} </math> ||
|-
| <math>x^5+20x^3+20x^2+30x+10 </math> || <math>~\qquad ~</math> Root: <math> \sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{2}^2+\sqrt[5]{2}^3-\sqrt[5]{2}^4</math>
|-
|<math>x^5-20x^3+250x-400 </math> ||
|-
| <math>x^5-5x^3+\frac{85}{8}x-\frac{13}{2} </math> ||
|-
|<math> x^5+\frac{20}{17}x+\frac{21}{17}</math> ||
|-
|<math>x^5-\frac{4}{13}x+\frac{29}{65}</math>||
|-
|<math> x^5+\frac{10}{13}x+\frac{3}{13}	</math> ||
|-
| <math> x^5+110(5x^3+60x^2+800x+8320)</math> ||
|-
| <math>x^5-20 x^3 -80 x^2 -150 x -656 </math>||
|-
| <math> x^5 -40 x^3 +160 x^2 +1000 x -5888 </math> ||
|-
|<math> x^5-50x^3-600x^2-2000x-11200</math> ||
|-
| <math>x^5+110(5 x^3 + 20x^2 -360 x +800) </math> ||
|-
| <math> x^5-20 x^3 +170 x + 208</math>||
|}

An infinite sequence of solvable quintics may be constructed, whose roots are sums of ''n''-th [[roots of unity]], with ''n'' = 10''k'' + 1 being a prime number:

:{|
|-
| <math>x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1</math> || || Roots: <math>2\cos\left(\frac{2k\pi}{11}\right)</math>
|-
| <math> x^5+x^4-12x^3-21x^2+x+5</math>|| || Root: <math> \sum_{k=0}^5 e^\frac{2i\pi 6^k }{31}</math>
|-
| <math>x^5+x^4-16x^3+5x^2+21x-9 </math>|| || Root: <math>\sum_{k=0}^7 e^\frac{2i\pi 3^k }{41}</math>
|-
| <math>x^5+x^4-24x^3-17x^2+41x-13</math>|| <math>~\qquad ~</math> || {{nowrap|1= Root: <math>\sum_{k=0}^{11} e^\frac{2i\pi (21)^k }{61}</math>}}
|-
| <math>x^5+x^4-28x^3+37x^2+25x+1</math>|| || {{nowrap|1= Root: <math>\sum_{k=0}^{13} e^\frac{2i\pi (23)^k }{71}</math>}}
|}

There are also two parameterized families of solvable quintics:
The Kondo–Brumer quintic,

:<math>x^5+(a-3)x^4+(-a+b+3)x^3+(a^2-a-1-2b)x^2+bx+a = 0\,</math>

and the family depending on the parameters <math>a, l, m</math>
:<math>	x^5-5p(2x^3 + ax^2 + bx)-pc = 0\,</math>

where

::<math>p=\frac{l^2(4m^2+a^2)-m^2}{4}, \qquad 	b=l(4m^2+a^2)-5p-2m^2, \qquad c=\frac{b(a+4m)-p(a-4m)-a^2m}{2}</math>

===''Casus irreducibilis''===

Analogously to [[cubic equation]]s, there are solvable quintics which have five real roots all of whose solutions in radicals involve roots of complex numbers. This is ''[[casus irreducibilis]]'' for the quintic, which is discussed in Dummit.<ref>David S. Dummit [http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf Solving Solvable Quintics]</ref>{{rp|p.17}} Indeed, if an irreducible quintic has all roots real, no root can be expressed purely in terms of real radicals (as is true for all polynomial degrees that are not powers of 2).
-->
== Solusi selain dalam ekspresi akar ==

Sekitar tahun 1835, [[George Jerrard|Jerrard]] memperlihatkan bahwa persamaan kuintik dapat diselesaikan dengan menggunakan [[ultraradikal]] (atau juga dikenal sebagai [[radikal Bring]]), sebuah akar real dari persamaan {{math|''t''<sup>5</sup> + ''t'' − ''a'' {{=}} 0}} untuk bilangan real {{math|''a''}}. Pada tahun 1858, [[Charles Hermite]] memperlihatkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam [[fungsi theta]] Jacobi dan [[fungsi modular eliptik]] iringannya, dengan menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal dalam menyelesaikan [[persamaan kubik]] melalui [[fungsi trigonometri]]. Di sekitar waktu yang sama, [[Leopold Kronecker]] dan [[Francesco Brioschi]] menggunakan [[teori grup]] dan mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk memperoleh hasil Hermite. [[Felix Klein]] kemudian menemukan metode yang mengaitkan simetri dari [[ikosahedron]], [[teori Galois]], dan fungsi modular eliptik yang dipakai dalam solusi Hermite; menjelaskan alasan fungsi tersebut harus dipakai, dan mengembangkan solusinya sendiri dengan menggunakan [[Fungsi hipergeometrik rampat|fungsi hipergeometrik diperumum]].<ref>{{Harv|Klein|1888}}; a modern exposition is given in {{Harv|Tóth|2002|loc=Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, [https://books.google.com/books?id=i76mmyvDHYUC&pg=PA66 p. 66]}}</ref> Fenomena yang serupa terjadi dalam persamaan berderajat 7 (atau [[persamaan septik]]) dan persamaan berderajat 11, saat Klein mempelajarinya.<!--
=== Solving with Bring radicals ===
{{main article|Bring radical}}

A [[Tschirnhaus transformation]], which may be computed by solving a [[quartic equation]], reduces the general quintic equation of the form 
:<math>x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0\,</math> 
to the [[Bring–Jerrard normal form]] {{math|''x''<sup>5</sup> − ''x'' + ''t'' {{=}} 0}}.

The roots of this equation cannot be expressed by radicals. However, in 1858, [[Charles Hermite]] published the first known solution of this equation in terms of [[elliptic function]]s.<ref name="hermite">{{cite journal
 | last = Hermite
 | first = Charles
 | year = 1858
 | title =  Sur la résolution de l'équation du cinquième degré 
 | journal = Comptes Rendus de l'Académie des Sciences
 | volume = XLVI
 | issue = I
 | pages = 508–515}}</ref>
At around the same time [[Francesco Brioschi]]<ref>
{{cite journal
 | last = Brioschi
 | first = Francesco
 | year = 1858
 | title =  Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado 
 | journal = Atti dell'i. R. Istituto Lombardo di scienze, lettere ed arti
 | volume = I
 | pages = 275–282}}</ref> 
and [[Leopold Kronecker]]<ref>
{{cite journal
 | last = Kronecker
 | first = Leopold
 | year = 1858
 | title =  Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite 
 | journal = Comptes Rendus de l'Académie des Sciences
 | volume = XLVI
 | issue = I
 | pages = 1150–1152}}</ref>
came upon equivalent solutions.

See [[Bring radical]] for details on these solutions and some related ones.
-->
== Penerapan persamaan kuintik dalam mekanika benda angkasa ==
Memecahkan lokasi [[titik Lagrangian]] dari orbit astronomi dengan massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.

Lebih tepatnya, lokasi <math>L_2</math> dan <math>L_1</math> adalah solusi untuk persamaan berikut, dengan [[Gravitasi|gaya gravitasi]] dua objek bermassa terhadap objek ketiga (sebagai contoh, Matahari dan Bumi terhadap satelit seperti [[Gaia probe|Gaia]] di <math>L_2</math> dan [[Observatorium Surya dan Heliosfer|SOHO]] di <math>L_1</math>) memberikan [[gaya sentripetal]] satelit yang diperlukan untuk tetap berada dalam orbit sinkron dengan Bumi di sekitar Matahari:

: <math>\frac{G m M_S}{(R \pm r)^2} \pm \frac{G m M_E}{r^2} = m \omega^2 (R \pm r)</math>

Tanda ± mewakili masing-masing <math>L_2</math> dan <math>L_1</math>; <math>G</math> adalah [[konstanta gravitasi]], <math>\omega</math> adalah [[kecepatan sudut]], <math>r</math> adalah jarak satelit ke Bumi, <math>R</math> jarak Matahari ke Bumi (yaitu, [[sumbu semi-mayor]] orbit bumi), serta <math>m</math>, <math>M_E</math>, dan <math>M_S</math> adalah massa satelit, [[Bumi]], dan [[Matahari]].

Menggunakan Hukum Ketiga Kepler <math display="inline">\omega^2=\frac{4 \pi^2}{P^2}=\frac{G (M_S+M_E)}{R^3}</math> dan menyusun ulang semua partisipan persamaan menghasilkan kuintik:

: <math>a r^5 + b r^4 + c r^3 + d r^2 + e r + f = 0</math>

dengan <math>a = \pm (M_S + M_E)</math>, <math>b = + (M_S + M_E) 3 R</math>, <math>c = \pm (M_S + M_E) 3 R^2</math>, <math>d = + (M_E \mp M_E) R^3</math> (jadi <math>d = 0</math> untuk <math>L_2</math>), <math>e = \pm M_E 2 R^4</math>, <math>f = \mp M_E R^5</math>.

Menyelesaikan kedua hasil kuintik ini akan menghasilkan {{math|1=''r'' = 1.501 x 10<sup>9</sup> m}} untuk <math>L_2</math> dan {{math|1=''r'' = 1.491 x 10<sup>9</sup> m}} untuk <math>L_1</math>. [[Daftar objek di titik Lagrange|Titik Lagrangian Matahari–Bumi]] <math>L_2</math> dan <math>L_1</math> biasanya menggunakan jarak sejauh 1,5 juta km dari Bumi.

Jika massa dari objek yang lebih kecil (<math>M_E</math> jauh di bawah massa objek yang lebih besar (<math>M_S</math>), maka persamaan kuintiknya dapat direduksi, serta <math>L_1</math> dan <math>L_2</math> akan kurang lebih berada pada radius [[bola Hill]], sesuai dengan:

: <math>r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_E}{3 M_S}}</math>

yang juga akan menghasilkan {{math|1=''r'' = 1.5 x 10<sup>9</sup> m}} untuk satelit pada <math>L_1</math> dan <math>L_2</math> dalam sistem Matahari-Bumi.

== Lihat pula ==
* [[Persamaan sekstik]]
* [[Fungsi septik]]
* [[Teori persamaan]]

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==
* Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", ''Œuvres de Charles Hermite'', t.2, pp.&nbsp;5–21, Gauthier-Villars, 1908.
* Felix Klein, [https://archive.org/details/cu31924059413439 ''Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree''], trans. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. {{isbn|0-486-49528-0}}.
* Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", ''Comptes Rendus de l'Académie des Sciences'', t. XLVI, 1858 (1), pp.&nbsp;1150–1152.
* Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics {{math|''x''<sup>5</sup> + ''ax'' + ''b''}}, ''American Mathematical Monthly'', Vol. 101 (1994), pp.&nbsp;986–992.
* Ian Stewart, ''Galois Theory'' 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. {{isbn|0-412-34550-1}}. Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
* [[Jörg Bewersdorff]], ''Galois theory for beginners: A historical perspective'', [[American Mathematical Society]], 2006. {{isbn|0-8218-3817-2}}. Chapter 8 ({{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100331181637/http://www.ams.org/bookstore/pspdf/stml-35-prev.pdf|title=The solution of equations of the fifth degree|date=31 March 2010}}) gives a description of the solution of solvable quintics {{math|''x''<sup>5</sup> + ''cx'' + ''d''}}.
* Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ''ACM SIGSAM Bulletin'', Vol. 37, No. 3, September 2003, pp.&nbsp;90–94.
* Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ''ACM SIGSAM Bulletin'', Vol. 37, No. 1, March 2003, pp.&nbsp;1–3.
* {{Cite book|last1=Lazard|first1=Daniel|year=2004|url=http://www.loria.fr/publications/2002/A02-R-449/A02-R-449.ps|title=The Legacy of Niels Henrik Abel|location=Berlin|isbn=3-540-43826-2|editor1=[[Olav Arnfinn Laudal]]|pages=207&ndash;225|chapter=Solving quintics in radicals|editor2=[[Ragni Piene]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20050106213419/http://www.loria.fr/publications/2002/A02-R-449/A02-R-449.ps|archive-date=January 6, 2005}}
* {{citation | title = Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli| first = Gábor | last = Tóth | year = 2002 }}

== Pranala luar ==
* [http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html Mathworld - Quintic Equation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201023004530/https://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html |date=2020-10-23 }} – more details on methods for solving Quintics.
* [http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf Solving Solvable Quintics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120307030156/http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf |date=2012-03-07 }} – a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
* [https://web.archive.org/web/20090226035640/http://www.sigsam.org/bulletin/articles/143/tschirnhaus.pdf A method for removing all intermediate terms from a given equation] - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.

{{Polinomial}}
{{DEFAULTSORT:Persamaan kuintik}}
[[Kategori:Persamaan|kuintik]]
[[Kategori:Teori Galois]]
[[Kategori:Fungsi polinomial]]