Lihat sumber Fungsi indikator

[[Berkas:Indicator function illustration.png|jmpl|Sebuah plot berdimensi tiga mengenai sebuah fungsi indikator, ditunjukkan selama sebuah ranah (himpunan <math>X</math>) berdimensi dua bujur sangkar, sebagian yang 'dinaikkan' menampilkan titik berdimensi dua itu yang merupakan anggota dari himpunan bagian (<math>A</math>) yang 'ditunjukkan'.]]{{Periksa terjemahan|en|Indicator function}}

Dalam [[matematika]], sebuah '''fungsi indikator''' atau sebuah '''fungsi karakteristik''' adalah sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] didefinisikan pada sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>X</math> yang mengindikasikan keanggotaan [[Elemen (matematika)|unsur]] dalam sebuah [[himpunan bagian]] <math>A</math> dari <math>X</math>, memiliki nilai 1 untuk semua unsur <math>X</math> di <math>A</math> dan nilai 0 untuk semua unsur <math>X</math> bukan di <math>A</math>. Ini biasanya dilambangkan oleh sebuah simbol 1 atau <math>I</math>, terkadang dalam huruf tebal atau [[huruf tebal papan tulis]], dengan sebuah subskrip menentukan himpunan bagian.

Dalam konteks lainnya, seperti [[ilmu komputer]], ini akan lebih sering digambarkan sebagai '''fungsi [[Predikat (logika matematis)|predikat]] boole''' (untuk menguji inklusi himpunan).

[[Fungsi Dirichlet]] adalah sebuah contoh fungsi indikator dan merupakan indikator dari [[Bilangan rasional|rasional]].

== Definisi ==
Fungsi indikator himpunan bagian <math>A</math> dari sebuah himpunan <math>X</math> adalah sebuah fungsi

:<math>\mathbf{1}_A \colon X \to \{ 0, 1 \} </math>

didefinisikan sebagai

:<math>\mathbf{1}_A(x) :=
\begin{cases}
1 ~&\text{ if }~ x \in A~, \\
0 ~&\text{ if }~ x \notin A~.
\end{cases}</math>

[[Tanda kurung Iverson]] menyediakan notasi setara, <math>[x \in A]</math> atau {{nowrap|{{math|⧙ ''x'' ϵ ''A'' ⧘}},}} untuk digunakan sebagai ganti dari <math>\mathbf{1}_A (x)</math>.

Fungsi <math>\mathbf{1}_A</math> terkadang dilambangkan <math>I_A</math>, <math>\chi_A</math>, <math>K_A</math> atau bahkan hanya <math>A</math>.{{efn|[[Huruf Yunani]] <math>\chi</math> muncul karena ini adalah huruf awal dari kata Yunani ''χαρακτήρ'', yang merupakan asal terakhir dari kata "karakteristik".|name=χαρακτήρ}}{{efn|Himpunan semua fungsi indikator pada {{mvar|X}} dapat diidentifikasi dengan <math>\mathcal{P}(X)</math>, [[himpunan kuasa]] {{mvar|X}}. Akibatnya, kedua himpunan terkadang dilambangkan oleh <math>2^X</math>. Ini adalah sebuah kasus khusus (<math>Y = \{0,1\} = 2</math>) dari notasi <math>Y^X</math> untuk himpunan semua fungsi <math>f:X \to Y </math>.}}

== Notasi dan terminologi ==
Notasi <math>\chi_A</math> juga digunakan untuk melambangkan [[Fungsi karakteristik (analisis cembung)|fungsi karakteristik]] dalam [[analisis cembung]], yang didefinisikan seakan-akan menggunakan [[Invers perkalian|timbal balik]] dari definisi standar dari fungsi indikator.

Sebuah konsep yang berkaitan dalam [[statistik]] adalah bahwa [[Peubah rekaan (statistika)|peubah rekaan]]. (Ini tidak boleh bingung dengan "peubah rekaan" karena istilah tersebut biasanya digunakan dalam matematika, disebut juga sebuah [[Peubah bebas dan peubah batas|peubah batas]].)

Istilah "[[Fungsi karakteristik (teori probabilitas)|fungsi karakteristik]]" memiliki sebuah arti yang tidak berkaitan dalam [[Teori probabilitas|teori probabilitas klasik]]. Untuk alasan ini, [[Daftar probabilitas|probabilitas tradisional]] menggunakan istilah '''fungsi indikator''' untuk fungsi didefinisikan disini hampir secara eksklusif, sementara para matematikawan dalam bidang lainnya lebih suka menggunakan istilah ''fungsi karakteristik{{efn|name=χαρακτήρ}}'' untuk menggambarkan fungsi yang mengindikasikan keanggotaan dalam sebuah himpunan.

Dalam [[logika kabur]] dan [[Logika bernilai banyak|logika bernilai banyak modern]], predikatnya adalah [[Fungsi karakteristik (teori probabilitas)|fungsi karakteristik]] [[sebaran probabilitas]]. Yaitu, penilaian benar/salah yang teliti dari predikat digantikan oleh sebuah kuantitas diinterpretasi sebagai derajat kebenaran.

== Sifat-sifat dasar ==
[[Fungsi (matematika)|Fungsi]] ''indikator'' atau ''karakteristik'' dari sebuah himpunan bagian <math>A</math> dari beberapa himpunan <math>X</math> [[Peta (matematika)|memetakan]] unsur <math>X</math> ke [[Kisaran fungsi|kisaran]] <math>\{0,1\}</math>.

Pemetaan ini [[surjektif]] hanya ketika <math>A</math> adalah sebuah [[Himpunan bagian|himpunan bagian wajar]] takkosong dari <math>X</math>. Jika <math>A \equiv X</math>, maka <math>\mathbf{1}_A = 1</math>. Dengan sebuah argumen yang serupa, jika <math>A \equiv \varnothing</math> maka <math>\mathbf{1}_A = 0</math>.

Dalam berikut ini, titik mewakili perkalian, <math>1 \cdot 1 = 1</math>, <math>1 \cdot 0 = 0</math>, dst. "<math>+</math>" dan "<math>-</math>" mewakili penambahan dan pengurangan. "<math>\cap</math>" dan "<math>\cup</math>" adalah irisan dan gabungan, masing-masing.

Jika <math>A</math> dan <math>B</math> adalah dua himpunan bagian <math>X</math>, maka

:<math>\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B</math>,

:<math>\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B</math>,

dan fungsi indikator dari [[Komplemen (teori himpunan)|komplemen]] <math>A</math> yaitu <math>A^C</math> adalah:

:<math>\mathbf{1}_{A^\complement} = 1 - \mathbf{1}_A</math>.

Lebih umumnya, andaikan <math>A_1,\dots,A_n</math> adalah sebuah kumpulan himpunan bagian <math>X</math>. Untuk suatu <math>x \in X</math>:

:<math>\prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))</math>

jelas sebuah darab 0 dan 1. Darab ini memiliki nilai 1 pada tepatnya <math>x \in X</math> yang tidak menjadi miliki himpunan <math>A_k</math> dan adalah 0 jika tidak. Yaitu

:<math>\prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}</math>.

Memperluas darab pada ruas sebelah kiri,

:<math>\mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}</math>

dimana <math>\left|F\right|</math> adalah kekardinalan <math>F</math>{{explain|{{mvar|F}} is defined if we know what the integer n is. But what is it supposed to represent here? Are we supposed to assume that the index set I of the {{mvar|A}}{{sub|k}}s is finite and has cardinality {{mvar|n}}?|date=May 2020}}. Ini adalah salah satu bentuk dari prunsip [[inklusi-eksklusi]].

Seperti yang disarankan oleh contoh sebelumnya, fungsi indikator adalah sebuah alat notasional yang berguna dalam [[kombinatorika]]. Notasinya digunakan dalam tempat lainnya juga, misalnya dalam [[teori probabilitas]]. Jika <math>X</math> adalah [[ruang probabilitas]] dengan ukuran probabilitas <math>\operatorname{P}</math> dan  <math>A</math> adalah sebuah [[Ukuran (matematika)|himpunan terukurkan,]] maka <math>\mathbf{1}_A</math> menjadi sebuah [[peubah acak]] yang [[nilai harapan]]<nowiki/>nya sama dengan probabilitas dari <math>A</math>:

:<math>\operatorname{E}(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\operatorname{P} = \int_{A} d\operatorname{P} = \operatorname{P}(A)</math>

Identitas ini digunakan dalam sebuah bukti sederhana [[pertidaksamaan Markov]].

Dalam banyak kasus, seperti [[teori tatanan]], invers dari fungsi indikator dapat didefinisikan. Ini biasanya disebut [[fungsi Möbius rampat]], sebagai sebuah perampatan dari balikan fungsi indikator dalam [[teori bilangan]] elementer, [[fungsi Möbius]]. (Lihat paragraf di bawah mengenai penggunaan balikan dalam teori rekursi klasik.)

== Purata, ragam, dan peragam ==
Diberikan sebuah [[ruang probabilitas]] <math>(\Omega, \mathcal F, \operatorname{P})</math> dengan <math>A \in \mathcal F</math>, peubah acak indikator <math>\mathbf{1}_A \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> didefinisikan oleh <math>\mathbf{1}_A(\omega) = 1</math> jika <math>\omega \in A</math>, jika tidak <math>\mathbf{1}_A (\omega) = 0</math>.

'''[[Purata]]'''

:<math>\operatorname{E}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)</math>

'''[[Varians|Ragam]]'''

:<math>\operatorname{Var}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A))</math>

'''[[Peragam]]'''

:<math>\operatorname{Cov}(\mathbf{1}_A (\omega), \mathbf{1}_B (\omega)) = \operatorname{P}(A \cap B) - \operatorname{P}(A)\operatorname{P}(B)</math>

== Fungsi karakteristik dalam teori rekursi, fungsi wakilan Gödel's dan Kleene ==
[[Kurt Gödel]] menjelaskan ''fungsi wakilan'' dalam makalahnya tahun 1934 berjudul "On undecidable propositions of formal mathematical systems":

:"Mereka seharusnya berpadanan untuk setiap kelas atau relasi <math>R</math>, sebuah fungsi wakilan <math>\varphi(x_1,\dots,x_n) = 0</math> jika <math>R(x_1,\dots,x_n)</math> dan <math>\varphi(x_1,\dots,x_n) = 1</math> jika <math>\neg R(x_1,\dots,x_n)</math>."<ref name="Martin-1965">{{cite book|year=1965|title=The Undecidable|url=https://archive.org/details/undecidablebasic0000mart|place=New York, NY|publisher=Raven Press Books|editor-last=Davis|editor-first=Martin|editor-link=Martin Davis (mathematician)|pages=[https://archive.org/details/undecidablebasic0000mart/page/n50 41]–74}}</ref>{{rp|page=&nbsp;42}} ("<math>\neg</math>" mengindikasikan balikan logis, yaitu "BUKAN")

[[Stephen Kleene|Kleene]] (1952)<ref>{{cite book|last=Kleene|first=Stephen|year=1971|title=Introduction to Metamathematics|location=Netherlands|publisher=Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company|edition=Sixth reprint, with corrections|page=227|author-link=Stephen Kleene|orig-year=1952}}</ref> menawarkan definisi yang sama dalam konteks dari [[fungsi rekursif primitif]] sebagai sebuah fungsi <math>\varphi</math> predikat <math>\operatorname{P}</math> mengambil nilai 0 jika predikatnya benar dan 1 jika predikatnya palsu.

Contohnya, karena darab fungsi karakteristik <math>\varphi_1 \varphi_2 \dots \varphi_n = 0</math> setiap kali salah satu dari fungsi sama dengan 0, ini memainkan peran logis OR: JIKA <math>\varphi_1 = 0 \operatorname{ OR } \varphi_2 = 0 \operatorname{ OR } \cdots \operatorname{ OR } \varphi_n = 0</math> MAKA darabnya adalah 0. Apa yang muncul ke pembaca modern mewakili fungsi balikan logis, yaitu, mewakili fungsi adalah 0 ketika fungsi <math>R</math> adalah "benar" atau terpenuhi", memainkan sebuah peran yang berguna dalam definisi Kleene dari fungsi logis [[operator mu]] <math>\operatorname{OR}</math>, <math>\operatorname{AND}</math>, dan <math>\operatorname{IMPLY}</math> (hlm. 228),  -terbatas (hlm. 228) dan takterbatas (hlm. 279 ff) (Kleene (1952)) dan fungsi KASUS (hlm. 229).

== Fungsi karakteristik dalam teori himpunan kabur ==
Dalam matematika klasik, fungsi karakteristik mengenai himpunan hanya mengambil nilai 1 (anggota) atau 0 (bukan anggota). Dalam ''[[Himpunan kabur|teori himpunan kabur]]'', fungsi karakteristik rampat dengan mengambil nilai dalam selang satuan real <math>[0,1]</math>, atau lebih umumnya, dalam beberapa [[Aljabar semesta|aljabar]] atau [[Struktur aljabar|struktur]] (biasanya dibutuhkan setidaknya sebuah [[himpunan terurut parsial]] atau [[Kekisi (tatanan)|kekisi]]). Seperti fungsi karakteristik rampat lebih biasanya disebut [[fungsi keanggotaan]], dan "himpunan" padanan disebut himpunan ''kabur''. Himpunan kabur memodelkan perubahan bertahap dalam [[Derajat kebenaran|derajat]] keanggotaan dilihat dalam banyak [[Predikat (matematika)|predikat]] dunia nyata seperti "tinggi", "hangat", dst.

== Turunan dari fungsi indikator ==
Sebuah fungsi indikator khusus adalah [[fungsi langkah Heaviside]]. Fungsi tangga Heaviside <math>H(x)</math> adalah fungsi indikator dari garis setengah positif berdimensi satu, yaitu, ranah <math>[0,\infty)</math>. [[Turunan sebaran]] dari fungsi tangga Heaviside adalah sama dengan [[fungsi delta Dirac]], yaitu.

:<math>\delta(x)=\frac{\mathrm d H(x)}{\mathrm dx}</math>,

dengan sifat berikut:

:<math>\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) dx =  f(0)</math>.

Turunan dari fungsi tangga Heaviside dapat dilihat sebagai ''turunan normal ke dalam'' pada ''batas'' dari ranah diberikan oleh setengah garis positif. Dalam dimensi lebih tinggi, turunan secara alami merampat dengan turunan normal ke dalam, sementara fungsi tangga Heaviside secara alami merampat ke fungsi indikator mengenai suatu domain <math>D</math>. Permukaan <math>D</math> akan dilambangkan oleh <math>S</math>. Dengan melanjutkan, ini dapat diturunkan bahwa [[Laplace dari indikator#Fungsi delta permukaan Dirac|turunan normal ke dalam dari indikator]] memunculkan sebuah 'fungsi delta permukaan', yang dapat diindikasikan oleh <math>\delta_S(x)</math>:

:<math>\delta_S(\mathbf{x}) = -\mathbf{n}_x\cdot\nabla_x\mathbf{1}_{\mathbf{x}\in D}</math>

dimana <math>n</math> adalah [[Normal (geometri)|normal]] ke luar dari permukaan <math>S</math>. 'Fungsi delta permukaan' ini memiliki sifat berikut:

:<math>-\int_{\mathbf{R}^n}f(\mathbf{x})\,\mathbf{n}_x\cdot\nabla_x\mathbf{1}_{\mathbf{x}\in D}\;d^{n}\mathbf{x}=\oint_{S}\,f(\mathbf{\beta})\;d^{n-1}\mathbf{\beta}</math>.

Dengan menetapkan fungsi <math>f</math> sama dengan satu, ini mengikuti bahwa [[Laplace dari indikator#Fungsi delta permukaan Dirac|turunan normal ke dalam dari indikator]] mengintegralkan ke nilai numerik ke [[luas permukaan]] <math>S</math>.

== Lihat pula ==

* [[Ukuran Dirac]]
* [[Laplace dari indikator]]
* [[Fungsi delta Dirac]]
* [[Perluasan (logika predikat)]]
* [[Peubah bebas dan peubah rekaan]]
* [[Fungsi tangga Heaviside]]
* [[Tanda kurung Iverson]]
* [[Delta Kronecker]], sebuah fungsi yang dapat dipandang sebagai sebuah indikator untuk [[Kesamaan|relasi identitas]]
* [[Tanda kurung Macaulay]]
* [[Multihimpunan]]
* [[Fungsi keanggotaan]]
* [[Fungsi sederhana]]
* [[Peubah rekaan (statistik)]]
* [[Klasifikasi statistika]]
* [[Fungsi kerugian nol-satu]]

== Catatan ==
{{notelist|1}}

== Referensi ==
<references />

== Sumber ==

* {{cite book|last=Folland|first=G.B.|year=1999|title=Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications|url=https://archive.org/details/realanalysismode0000foll_q2y3|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=978-0-471-31716-6|edition=Second}}
* {{cite book|last=Cormen|first=Thomas H.|last2=Leiserson|first2=Charles E.|last3=Rivest|first3=Ronald L.|last4=Stein|first4=Clifford|year=2001|title=Introduction to Algorithms|title-link=Introduction to Algorithms|publisher=MIT Press and McGraw-Hill|isbn=978-0-262-03293-3|edition=Second|pages=[https://archive.org/details/introductiontoal00corm_691/page/n116 94]–99|chapter=Section 5.2: Indicator random variables|author-link=Thomas H. Cormen|author-link2=Charles E. Leiserson|author-link3=Ronald L. Rivest|author-link4=Clifford Stein}}
* {{cite book|year=1965|title=The Undecidable|url=https://archive.org/details/undecidablebasic0000mart|place=New York, NY|publisher=Raven Press Books|editor-last=Davis|editor-first=Martin|editor-link=Martin Davis (mathematician)}}
* {{cite book|last=Kleene|first=Stephen|year=1971|title=Introduction to Metamathematics|location=Netherlands|publisher=Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company|edition=Sixth reprint, with corrections|author-link=Stephen Kleene|orig-year=1952}}
* {{Cite book|last=Boolos|first=George|last2=Burgess|first2=John P.|last3=Jeffrey|first3=Richard C.|year=2002|title=Computability and Logic|location=Cambridge UK|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-00758-0|author-link=George Boolos|author-link2=John P. Burgess|author-link3=Richard C. Jeffrey}}
* {{cite journal|last=Zadeh|first=Lotfi A.|author-link=Lotfi A. Zadeh|date=June 1965|title=Fuzzy sets|url=http://www-bisc.cs.berkeley.edu/zadeh/papers/Fuzzy%20Sets-1965.pdf|journal=[[Information and Control]]|volume=8|issue=3|pages=338–353|doi=10.1016/S0019-9958(65)90241-X|archive-url=https://web.archive.org/web/20070622151801/http://www-bisc.cs.berkeley.edu/zadeh/papers/Fuzzy%20Sets-1965.pdf|archive-date=2007-06-22|url-status=dead}}
* {{cite journal|last=Goguen|first=Joseph|author-link=Joseph Goguen|year=1967|title=''L''-fuzzy sets|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|volume=18|issue=1|pages=145–174|doi=10.1016/0022-247X(67)90189-8|hdl-access=free|hdl=10338.dmlcz/103980}}
{{Daftar fungsi matematika}}

[[Kategori:Teori peluang]]
[[Kategori:Logika matematika]]
[[Kategori:Tipe fungsi]]
[[Kategori:Konsep dasar dalam teori himpunan]]
[[Kategori:Analisis real]]
[[Kategori:Kalkulus integral]]
[[Kategori:Teori ukuran]]