Lihat sumber Fungsi Green

{{about|pendekatan klasik untuk fungsi Green|diskusi modern|solusi fundamental}}
Dalam [[matematika]], '''Fungsi Green''' adalah [[respons impuls]] dari [[persamaan diferensial biasa tidak homogen | tidak homogen]] linier [[operator diferensial]] yang ditentukan pada domain.

Artinya jika '' L '' adalah operator diferensial linier, maka

* fungsi Green '' G '' adalah solusi dari persamaan '' LG '' = '' δ '', di mana '' δ '' adalah [[Fungsi delta Dirac]];
* solusi dari masalah nilai awal '' Ly '' = '' f '' adalah [[konvolusi]] ('' G '' * '' f ''), di mana '' G '' adalah fungsi Green .

Melalui [[prinsip superposisi]], diberi [[persamaan diferensial linear]] (ODE), ''L '' (solusi) = sumber, yang pertama bisa diselesaikan {{math|''L''(green) {{=}} ''δ''<sub>''s''</sub>}}, untuk setiap {{mvar | s}}, dan menyadari bahwa, karena sumber adalah jumlah dari [[fungsi delta]], solusinya adalah penjumlahan fungsi Green juga, dengan linearitas {{mvar | L}} .

Fungsi Green dinamai menurut [[ahli matematika]] Inggris [[George Green (matematikawan) | George Green]], yang pertama kali mengembangkan konsep ini pada tahun 1830-an. Dalam studi modern tentang [[persamaan diferensial parsial]] linier, fungsi Green dipelajari sebagian besar dari sudut pandang [[solusi fundamental]].

Di bawah [[fungsi Green (teori benda banyak) | teori benda banyak]], istilah ini juga digunakan dalam [[fisika]], khususnya dalam [[teori medan kuantum]], [[aerodinamika]], [[aeroakustik]], [[elektrodinamika]], [[seismologi]] dan [[teori medan statistik]], untuk merujuk pada berbagai jenis [[fungsi korelasi (teori medan kuantum) | fungsi korelasi]], bahkan yang tidak sesuai. Dalam teori medan kuantum, fungsi Green berperan sebagai [[propagator]].

== Definisi dan kegunaan ==
Fungsi A Green, {{math|''G''(''x,s'')}}, dari [[operator diferensial linear]] <math>\operatorname{L} =\operatorname{L}(x)</math> bertindak pada [[distribusi (matematika) | distribusi]] selama [[himpunan bagian]] dari [[ruang Euklides]] <math>\R^n</math>, pada satu titik {{math | '' s ''}}, adalah solusi dari
{{NumBlk|1=::|2=<math>\operatorname{L}\,G(x,s)=\delta(s-x)\,,</math>|3=(1)|RawN=.}}
dengan {{math | '' δ ''}} adalah [[Fungsi delta Dirac]]. Properti dari fungsi Green ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk tersebut
{{NumBlk|1=::|2=<math>\operatorname{L}\,u(x)=f(x)~.</math>|3=(2)|RawN=.}}

Jika [[kernel (operator linier) | kernel]] dari {{math | '' L ''}} adalah non-trivial, maka fungsi Green tidak unik. Namun, dalam praktiknya, beberapa kombinasi [[simetri]], [[kondisi batas]] dan / atau kriteria yang ditentukan secara eksternal akan memberikan fungsi Green yang unik. Fungsi Green dapat dikategorikan, menurut jenis kondisi batas yang dipenuhi, dengan [[bilangan fungsi Green]]. Selain itu, fungsi Green secara umum adalah [[Distribusi (matematika) | distribusi]], tidak harus [[Fungsi (matematika) | fungsi]] dari variabel nyata.

Fungsi Green juga merupakan alat yang berguna dalam menyelesaikan [[persamaan gelombang]] s dan [[persamaan difusi]]. Dalam [[mekanika kuantum]], fungsi Green dari [[mekanika Hamiltonian | Hamiltonian]] adalah konsep kunci dengan kaitan penting dengan konsep [[kepadatan keadaan]].

Fungsi Green seperti yang digunakan dalam fisika biasanya didefinisikan dengan tanda yang berlawanan. Itu adalah,
:<math>\operatorname{L} \, G(x,s) = \delta(x-s)~.</math>
Definisi ini tidak secara signifikan mengubah salah satu properti fungsi Green karena kemerataan fungsi delta Dirac.

Jika operatornya [[invariansi terjemahan]], yaitu kapan <math>\operatorname{L}</math> memiliki [[koefisien konstan]] sehubungan dengan {{math | '' x ''}}, maka fungsi Green dapat dianggap sebagai [[kernel konvolusi]], yaitu,
:<math>G(x,s) = G(x-s)~.</math>

Dalam hal ini, fungsi Green sama dengan respons impuls [[teori sistem LTI|teori sistem invarian waktu linear]].

== Motivasi ==
{{See also |Teori spektral}}
Singkatnya, jika fungsi seperti itu {{mvar | G}} dapat ditemukan untuk operator <math>\operatorname{L}</math>, kemudian, jika kita mengalikan persamaan (1) untuk fungsi Green dengan {{math | '' f ''('' s '')}}, dan kemudian mengintegrasikannya dengan {{mvar | s}}, kita mendapatkan ,
:<math>\int \operatorname{L}\,G(x,s)\,f(s) \, ds = \int \delta(x-s) \, f(s) \, ds = f(x)~.</math>

Karena operator <math>\operatorname{L} = \operatorname{L}(x)</math> linear dan hanya bekerja pada variabel {{mvar | x}} (dan '' tidak '' pada variabel integrasi {{mvar | s}}), seseorang dapat mengambil operator <math>\operatorname{L}</math> di luar integrasi, menghasilkan
:<math>\operatorname{L}\,\left(\int G(x,s)\,f(s) \,ds \right) = f(x)~.</math>
Artinya
{{NumBlk|1=::|2=<math>u(x)=\int G(x,s)\,f(s) \,ds</math>|3=(3)|RawN=.}}
is a solution to the equation <math>\operatorname{L} u(x) = f(x)~.</math>

Dengan demikian, seseorang dapat memperoleh fungsi {{math|''u''(''x'')}} melalui pengetahuan tentang fungsi Green dalam persamaan (1) dan suku sumber di sisi kanan dalam persamaan (2). Proses ini bergantung pada linieritas operator <math>\operatorname{L}</math>.

Dengan kata lain, solusi persamaan (2), {{math| ''u''(''x'')}}, dapat ditentukan dengan integrasi yang diberikan dalam persamaan (3). Meskipun {{math|''f'' (''x'')}} diketahui, integrasi ini tidak dapat dilakukan kecuali {{mvar | G}} juga dikenal. Masalahnya sekarang terletak pada mencari fungsi Green {{mvar | G}} yang memenuhi persamaan (1). Untuk alasan ini, fungsi Green terkadang juga disebut [[solusi fundamental]] yang terkait dengan operator <math>\operatorname{L}</math>.

Tidak semua operator <math>\operatorname{L}</math> mengakui fungsi Green. Fungsi Green juga dapat dianggap sebagai [[Fungsi invers#Kiri dan kanan inversi | invers kanan]] dari <math>\operatorname{L}</math>. Selain kesulitan menemukan fungsi Green untuk operator tertentu, integral dalam persamaan (3) mungkin cukup sulit untuk dievaluasi. Namun metode memberikan exac secara teoritis.

Ini dapat dianggap sebagai perluasan dari {{mvar | f}} menurut basis [[Fungsi delta Dirac]] (memproyeksikan {{mvar | f}} ke atas <math>\delta(x - s)\,</math>; dan superposisi solusi pada setiap [[Proyeksi (matematika) | proyeksi]]. [[Persamaan integral]] semacam itu dikenal sebagai [[persamaan integral Fredholm]], yang studinya merupakan [[teori Fredholhm]]

{{see also|Persamaan integral Volterra}}

== Fungsi Green untuk menyelesaikan masalah nilai batas yang tidak homogen ==
Penggunaan utama fungsi Green dalam matematika adalah untuk menyelesaikan [[masalah nilai batas]] non-homogen. Dalam [[fisika teoretis]] modern, fungsi Green juga biasanya digunakan sebagai [[propagator]] dalam [[diagram Feynman]];  istilah '' Fungsi Hijau '' sering digunakan lebih lanjut untuk [[fungsi korelasi (teori medan kuantum) | fungsi korelasi]].

=== Kerangka ===
Maka <math>\operatorname{L}</math> menjadi operator [[teori Sturm–Liouville | Sturm–Liouville]], operator diferensial linear dari bentuk
:<math>\operatorname{L}=\dfrac{d}{dx}\left[p(x) \dfrac{d}{dx}\right]+q(x)</math>
dan maka <math>\vec\operatorname{D}</math> menjadi operator [[kondisi batas]] nilai vektor
:<math>\vec\operatorname{D}\,u= \left[ \begin{matrix}
\alpha_1 u'(0)+\beta_1 u(0) \\
\alpha_2 u'(\ell)+\beta_2 u(\ell)
\end{matrix} \right]~.</math>

Maka <math>f(x)</math> menjadi [[fungsi berlanjut]] pada <math>[0,\ell]~.</math> Selanjutnya anggaplah masalahnya
:<math>\begin{align}
 \operatorname{L}\,u &= f \\
 \vec\operatorname{D}\,u &= \vec{0}
\end{align}</math>
adalah "biasa", yaitu satu-satunya solusi untuk <math>f(x) = 0</math> untuk semua {{mvar | x}} <math>u(x) = 0</math>.{{efn|Dalam jargon teknis "biasa" berarti hanya solusi [[Trivial (matematika) | sepele]] (<math>u(x) = 0</math>) ada untuk masalah [[homogenisasi (matematika) | homogen]] (<math>f(x) = 0</math>).}}

=== Teorema ===
Hanya ada satu solusi <math>u(x)</math> maka
:<math> \begin{align}
 \operatorname{L}\,u & = f\\
 \vec\operatorname{D}\,u & = \vec{0}
\end{align}</math>
and it is given by
:<math>u(x)=\int_0^\ell f(s) \, G(x,s) \, ds~,</math>
dimana <math>G(x,s)</math> adalah fungsi Green yang memenuhi kondisi berikut:
# <math>G(x,s)</math> kontinu dalam <math> x </math> dan <math>s</math>.
# Untuk <math>x \ne s~</math>, <math>\quad \operatorname{L}\,G(x,s) = 0~</math>.
# Untuk <math>s \ne 0~</math>, <math>\quad \vec\operatorname{D}\,G(x,s) = \vec{0}~</math>.
# [[Turunan]] "lompat": <math>\quad G'(s_{0+},s) - G'(s_{0-},s) = 1 / p(s)~</math>.
# Simetri: <math>\quad G(x,s) = G(s,x)~</math>.

=== Fungsi Green yang maju dan terbelakang ===
{{See also|Fungsi Green (teori banyak tubuh)|Propaganda}}Terkadang fungsi Green dapat dibagi menjadi dua fungsi. Satu dengan variabel positif (+) dan yang lainnya dengan variabel negatif (-). Ini adalah fungsi Green lanjutan dan terbelakang, dan ketika persamaan yang diteliti bergantung pada waktu, salah satu bagiannya adalah [[kausal]] dan yang lainnya anti-kausal. Dalam masalah ini biasanya bagian penyebab adalah yang terpenting. Ini sering kali merupakan solusi dari [[persamaan gelombang elektromagnetik tidak homogen]].

== Menemukan fungsi Green ==

=== Satuan ===
Meskipun tidak secara unik memperbaiki bentuk fungsi Green, melakukan [[analisis dimensi]] untuk menemukan satuan yang harus dimiliki fungsi Green adalah pemeriksaan kewarasan yang penting pada fungsi Green yang ditemukan melalui cara lain. Pemeriksaan cepat dari persamaan yang menentukan,
:<math> L G(x, s) = \delta(x - s), </math>
menunjukkan bahwa satuan <math> G </math> tidak hanya bergantung pada satuan <math> L </math> tetapi juga pada bilangan dan satuan ruang di mana vektor posisi <math>x</math> dan <math> s </math> adalah elemen. Ini mengarah pada hubungan:
:<math> [[G]] = [[L]]^{-1} [[\mathrm{d} x]]^{-1}, </math>
dimana <math>[[G]]</math> didefinisikan sebagai, "satuan fisik <math> G </math>", dan <math>\mathrm{d} x</math> adalah [[elemen volume]] dari ruang (atau [[ruangwaktu]]).

Misalnya, jika <math>L = \partial_t^2</math> dan waktu adalah satu-satunya variabel maka: 
:<math>[[L]] = [[\mathrm{waktu}]]^{-2},</math>
:<math>[[\mathrm{d} x]]  = [[\mathrm{waktu}]],\ \mathrm{dan}</math>
:<math>[[G]] = [[\mathrm{waktu}]].</math>
Jika <math>L = \square = \frac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2</math>, [[Operator d'Alembert]], dan ruang memiliki 3 dimensi maka:
:<math>[[L]] = [[\mathrm{panjang}]]^{-2},</math>
:<math>[[\mathrm{d} x]] = [[\mathrm{waktu}]] [[\mathrm{panjang}]]^3,\ \mathrm{and}</math>
:<math>[[G]] = [[\mathrm{waktu}]]^{-1} [[\mathrm{panjang}]]^{-1}.</math>

=== Ekspansi Eigenvalue ===
Jika [[operator diferensial]] {{math | '' L ''}} menerima satu set [[vektor eigen]] {{math|Ψ<sub>''n''</sub>(''x'')}} (yaitu, satu set fungsi {{math|Ψ<sub>''n''</sub>}} dan skalar {{math|''λ''<sub>''n''</sub>}} such that  {{math|''L''Ψ<sub>''n''</sub>}}  = {{math|''λ''<sub>''n''</sub> Ψ<sub>''n''</sub>}} ) selesai, maka dimungkinkan untuk membangun fungsi Green dari vektor eigen dan [[nilai eigen]] ini.

"Lengkap "artinya kumpulan fungsi { {{math|Ψ<sub>''n''</sub>}} } memenuhi [[hubungan kelengkapan]] berikut,
:<math>\delta(x-x')=\sum_{n=0}^\infty \Psi_n^\dagger(x) \Psi_n(x').</math>

Kemudian yang berikut berlaku,

{{Equation box 1
|indent =:
|equation =  <math>G(x, x')=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{\Psi_n^\dagger(x) \Psi_n(x')}{\lambda_n},</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}
dimana <math>\dagger</math> mewakili konjugasi kompleks.

Menerapkan operator {{math | '' L ''}} ke setiap sisi persamaan ini menghasilkan relasi kelengkapan, yang telah diasumsikan.

Studi umum tentang fungsi Green yang ditulis dalam bentuk di atas, dan hubungannya dengan [[ruang fungsi]] yang dibentuk oleh vektor eigen, dikenal sebagai [[teori Fredholm]].

Ada beberapa metode lain untuk menemukan fungsi Green, termasuk [[metode gambar]], [[pemisahan variabel]], dan [[Transformasi Laplace]] (Cole 2011).

=== Menggabungkan fungsi Green ===
Dari operator diferensial <math>L</math> dapat difaktorkan sebagai <math>L=L_1 L_2</math> maka fungsi Green dari <math> L </math> bisa dibangun dari fungsi Green untuk <math>L_1</math> dan <math>L_2</math>:
:<math> G(x, s) = \int G_2(x, s_1)\, G_1(s_1, s) \, \mathrm{d} s_1. </math>
Identitas di atas segera mengikuti dari pengambilan <math>G(x, s)</math> menjadi representasi dari operator kanan invers dari <math> L </math>, analog dengan cara [[matriks invers#Properti lain | operator linear invers]] <math>C</math>, didefinisikan oleh <math>C= (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}</math>, diwakili oleh elemen matriksnya <math>C_{i,j}</math>.

Identitas selanjutnya untuk operator diferensial yang merupakan polinomial skalar dari turunannya, <math>L = P_N(\partial_x)</math>. [[Teorema fundamental aljabar]], dikombinasikan dengan fakta bahwa <math>\partial_x</math> [[Properti komutatif | bepergian dengan sendirinya]], menjamin bahwa polinomial dapat difaktorkan, dengan menempatkan <math> L </math> dalam bentuk:
:<math> L = \prod_{i=1}^N (\partial_x - z_i),
</math>
dengan <math> z_i </math> adalah angka nol dari <math>P_N(z)</math>. Mengambil [[Transformasi Fourier]] dari <math>L G(x, s) = \delta(x - s)</math> sehubungan dengan <math> x </math> dan <math>s</math> gives:
:<math> \widehat{G}(k_x, k_s) = \frac{\delta(k_x - k_s)}{\prod_{i=1}^N (ik_x - z_i)}. </math>
Pecahan kemudian dapat dibagi menjadi jumlah menggunakan [[Dekomposisi pecahan sebagian]] sebelum Fourier mengubah kembali ke spasi <math> x </math> dan <math> s </math>. Proses ini menghasilkan identitas yang menghubungkan integral fungsi Green dan jumlah yang sama. Misalnya, jika <math>L = (\partial_x + \gamma) (\partial_x + \alpha)^2</math> maka salah satu bentuk dari fungsi Green nya adalah:
:<math> \begin{align} G(x, s) & = \frac{1}{(\alpha - \gamma)^2}\Theta(x-s) \operatorname{e}^{-\gamma(x-s)} - \frac{1}{(\alpha - \gamma)^2}\Theta(x-s) \operatorname{e}^{-\alpha(x-s)} + \frac{1}{\gamma-\alpha} \Theta(x - s) \, (x - s) \operatorname{e}^{-\alpha(x-s)} \\[5pt]
& = \int \Theta(x - s_1) (x - s_1) \operatorname{e}^{-\alpha(x-s_1)} \Theta(s_1 - s) \operatorname{e}^{-\gamma (s_1 - s)} \, \mathrm{d} s_1. \end{align}  </math>
Sementara contoh yang disajikan dapat ditelusuri secara analitis, ini mengilustrasikan proses yang bekerja ketika integralnya tidak sepele (misalnya, ketika <math>\nabla^2</math> adalah operator dalam polinomial).

=== Tabel fungsi Green ===
Tabel berikut memberikan gambaran umum tentang fungsi Green dari operator diferensial yang sering muncul, di mana <math>\textstyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>, <math>\textstyle \rho = \sqrt{x^2+y^2}</math>, <math>\textstyle \Theta(t)</math> adalah [[fungsi langkah Heaviside]], <math>\textstyle J_\nu(z)</math> adalah [[fungsi Bessel]], <math>\textstyle I_\nu(z)</math> adalah [[fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis pertama]], dan <math>\textstyle K_\nu(z)</math> adalah [[Fungsi Bessel#Fungsi Bessel yang dimodifikasi:I.CE.B1 .2C K.CE.B1 | Fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis kedua]].<ref>beberapa contoh diambil dari Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. {{ISBN|3-8171-1661-6}} (German)</ref> Di mana waktu ({{math | '' t ''}}) muncul di kolom pertama, fungsi Green lanjutan (kausal) terdaftar.

{| class="wikitable"
|-
! Operator diferensial {{mvar | L}} !! Fungsi Green {{mvar | G}} !! Contoh aplikasi
|-
| <math>\partial_t^{n+1}</math> || <math>\frac{t^n}{n!} \Theta(t)</math> || 
|-
| <math>\partial_t + \gamma </math> || <math>\Theta(t)\mathrm e^{-\gamma t}</math> ||
|-
| <math>\left(\partial_t + \gamma \right)^2</math> || <math>\Theta(t)t\mathrm e^{-\gamma t}</math> ||
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t + \omega_0^2</math> || <math>\Theta(t)\mathrm e^{-\gamma t}~\frac{\sin(\omega t)}{\omega}</math> &nbsp;  with  &nbsp; <math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}</math>|| [[Osilator harmonik#Osilator harmonik teredam | Osilator harmonik teredam 1D]]
|-
| [[Operator Laplace#Dua dimensi | Operator Laplace 2D]] <math>\Delta_{\text{2D}} = \partial_x^2 + \partial_y^2</math>  || <math>\frac{1}{2 \pi}\ln \rho </math> &nbsp;  with  &nbsp; <math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}</math> || Persamaan 2D Poisson
|-
| [[Operator Laplace#Tiga dimensi | Operator Laplace 3D]] <math>\Delta_{\text{3D}} = \partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2</math>  || <math>\frac{-1}{4 \pi r}</math> &nbsp;  with  &nbsp; <math> r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} </math> || [[Persamaan Poisson]]
|-
| [[Persamaan Helmholtz | Operator Helmholtz]] <math>\Delta_{\text{3D}} + k^2</math> || <math>\frac{-\mathrm e^{-ikr}}{4 \pi r}= i \sqrt{\frac{k}{32 \pi r}}</math>[[Fungsi Bessel#Fungsi Hankel: H.CE.B1.281.29.2C H.CE.B1.282.29|<math> H^{(2)}_{1/2}(kr)</math>]]<math>=i \frac{k}{4\pi}\, </math>[[Fungsi Bessel#Fungsi Hankel Bulat: hn.281.29.2C hn.282.29|<math>h^{(2)}_{0}(kr)</math>]] || 3D stasioner [[persamaan Schrödinger]] untuk [[partikel bebas]]
|-
|  <math>\Delta - k^2</math> in <math>n</math> dimensions || <math>- (2\pi)^{-n/2} \left(\frac{k}{r}\right)^{n/2-1} K_{n/2-1}(kr)</math> || [[Potensi Yukawa]], [[Penyebar#Feynman penyebar | Penyebar Feynman]]
|-
| <math>\partial_t^2 - c^2\partial_x^2</math> || <math>\frac{1}{2c}\Theta(t - |x/c|)</math> || 1D [[wave equation]]
|-
| <math>\partial_t^2 - c^2\,\Delta_{\text{2D}}</math> || <math>\frac{1}{2\pi c\sqrt{c^2t^2 - \rho^2}}\Theta(t - \rho/c)</math> || 2D [[persamaan gelombang]]
|-
| [[D'Alembert operator]]  <math>\square = \frac{1}{c^2}\partial_t^2-\Delta_{\text{3D}}</math> || <math>\frac{\delta(t-\frac{r}{c})}{4 \pi r}</math> || 3D [[persamaan gelombang]]
|-
| <math>\partial_t - k\partial_x^2</math> || <math>\Theta(t)\left(\frac{1}{4\pi kt}\right)^{1/2}\mathrm e^{-x^2/4kt}</math> || 1D [[difusi]]
|-
| <math>\partial_t - k\,\Delta_{\text{2D}}</math> || <math>\Theta(t)\left(\frac{1}{4\pi kt}\right)\mathrm e^{-\rho^2/4kt}</math> || 2D [[difusi]]
|-
| <math>\partial_t - k\,\Delta_{\text{3D}}</math> || <math>\Theta(t)\left(\frac{1}{4\pi kt}\right)^{3/2}\mathrm e^{-r^2/4kt}</math> || 3D [[difusi]]
|-
| <math>\frac{1}{c^2}\partial_t^2 - \partial_x^2+\mu^2</math> || <math>\frac{1}{2}\left[\left(1-\sin{\mu ct}\right)(\delta(ct-x)+\delta(ct+x))+\mu\Theta(ct - |x|)J_0(\mu u)\right], \, u=\sqrt{c^2t^2-x^2}</math> || 1D [[Persamaan Klein–Gordon]]
|-
| <math>\frac{1}{c^2}\partial_t^2 - \Delta_{\text{2D}}+\mu^2</math> || <math>\frac{1}{4\pi}\left[(1+\cos(\mu ct)) \frac{\delta(ct-\rho)}{\rho} + \mu^2\Theta(ct - \rho) \operatorname{sinc}(\mu u) \right], \, u=\sqrt{c^2t^2-\rho^2} </math> || 2D [[Persamaan Klein–Gordon]]
|-
| <math>\square+\mu^2</math> || <math>\frac{1}{4\pi}\left[\frac{\delta\left(t-\frac{r}{c}\right)}{r}+\mu c\Theta(ct - r)\frac{J_1\left(\mu u\right)}{u}\right], \, u=\sqrt{c^2t^2-r^2}</math> || 3D [[Persamaan Klein–Gordon]]
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t - c^2\partial_x^2</math> || <math>\frac{1}{2}e^{-\gamma t} \left[\delta(ct-x)+\delta(ct+x)+\Theta(ct - |x|)\left(\frac{\gamma}{c}I_0\left(\frac{\gamma u}{c}\right)+\frac{\gamma t}{u}I_1\left(\frac{\gamma u}{c}\right)\right)\right], \, u=\sqrt{c^2t^2-x^2}</math> || [[telegrapher's equation]]
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t - c^2\,\Delta_{\text{2D}}</math> || <math>\frac{e^{-\gamma t}}{4\pi} \left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t)\frac{\delta(ct-\rho)}{\rho}+\Theta(ct - \rho)\left(\frac{\gamma\sinh\left(\frac{\gamma u}{c}\right)}{cu}+\frac{3\gamma t\cosh\left(\frac{\gamma u}{c}\right)}{u^2}-\frac{3ct\sinh\left(\frac{\gamma u}{c}\right)}{u^3}\right)\right], \, u=\sqrt{c^2t^2-\rho^2}</math> || 2D [[konduksi panas relativistik]]
|-
| <math>\partial_t^2 + 2\gamma\partial_t - c^2\,\Delta_{\text{3D}}</math> || <math>\frac{e^{-\gamma t}}{20\pi} \left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma^2t^2\right)\frac{\delta(ct-r)}{r^2}+\frac{\gamma^2}{c}\Theta(ct - r)\left(\frac{1}{cu}I_1\left(\frac{\gamma u}{c}\right)+\frac{4 t}{u^2}I_2\left(\frac{\gamma u}{c}\right)\right)\right], \, u=\sqrt{c^2t^2-r^2}</math> || 3D [[konduksi panas relativistik]]
|}

== Contoh ==
<blockquote>'''Contoh.''' Temukan fungsi Hijau untuk masalah berikut, dengan [[Nomor fungsi Green]] adalah X11:

:<math>\begin{align}
  Lu & = u'' + k^2 u = f(x)\\
  u(0)& = 0, \quad u\left(\tfrac{\pi}{2k}\right) = 0.
 \end{align}</math></blockquote>

'''Langkah pertama:''' Fungsi Green untuk operator linier yang ada didefinisikan sebagai solusi untuk

:<math>g''(x,s) + k^2 g(x,s) = \delta(x-s).</math>

Jika <math>x\ne s</math>, maka fungsi delta memberikan nol, dan solusi umumnya adalah

:<math>g(x,s)=c_1 \cos kx+c_2 \sin kx.</math>

Untuk <math>x<s</math>, kondisi batas di <math> x = 0 </math> menyiratkan

:<math>g(0,s)=c_1 \cdot 1+c_2 \cdot 0=0, \quad c_1 = 0</math>

 jika <math>x < s</math> and <math>s \ne \tfrac{\pi}{2k}</math>.

Untuk <math>x>s</math>, kondisi batas di <math>x=\tfrac{\pi}{2k}</math> menyiratkan

:<math>g\left(\tfrac{\pi}{2k},s\right) = c_3 \cdot 0+c_4 \cdot 1=0, \quad c_4 = 0 </math>

Persamaan <math> g (0, s) = 0 </math> dilewati karena alasan yang sama.

Untuk meringkas hasil sejauh ini:

:<math>g(x,s)= \begin{cases}
  c_2 \sin kx, & \text{for }x<s, \\
  c_3 \cos kx, & \text{for }s<x.
 \end{cases}</math>

'''Tahap kedua:''' Tugas selanjutnya adalah menentukan <math>c_2</math> dan <math>c_3</math>.

Memastikan kontinuitas dalam fungsi Green di <math> x = s </math> menyiratkan

:<math>c_2 \sin ks=c_3 \cos ks</math>

Seseorang dapat memastikan diskontinuitas yang tepat pada turunan pertama dengan mengintegrasikan persamaan diferensial dari <math>x=s-\varepsilon</math> untuk <math>x=s+\varepsilon</math> dan mengambil batas sebagai <math>\varepsilon</math> pergi ke nol:

:<math>c_3 \cdot (-k \sin ks)-c_2 \cdot (k \cos ks)=1</math>

Dua persamaan kontinuitas (dis) dapat diselesaikan untuk <math> c_2 </math> dan <math>c_3</math> to obtain

: <math>c_2 = -\frac{\cos ks}{k}  \quad;\quad c_3 = -\frac{\sin ks}{k}</math>

Jadi fungsi Green untuk masalah ini adalah:

:<math>g(x,s)=\begin{cases}
  -\frac{\cos ks}{k} \sin kx, & x<s, \\
  -\frac{\sin ks}{k} \cos kx, & s<x.
 \end{cases}</math>

== Lihat pula ==
{{div col}}
* [[Potensi Bessel]]
* [[Operator Laplace Diskret#Fungsi Dikret Green| Fungsi Diskret Green]] - ditentukan pada grafik dan grid
* [[Respon impuls]] - analog dari fungsi Green dalam pemrosesan sinyal
* [[Fungsi transfer]]
* [[Solusi mendasar]]
* [[Fungsi Green (teori benda banyak) | Fungsi hijau dalam teori benda banyak]]
* [[Fungsi korelasi (teori medan kuantum) | Fungsi korelasi]]
* [[Mualim]]
* [[Identitas Green]]
* [[Parametrix]]
* [[Persamaan integral Volterra]]
* [[Formalisme resolusi]]
* [[Formalisme Keldysh]]
* [[Teori spektral]]
{{div col end}}

== Catatan Kaki ==
{{notelist|1}}

== Referensi ==
{{reflist}}

{{refbegin}}
* {{cite book |first=S.S. |last=Bayin |year=2006 |title=Mathematical Methods in Science and Engineering |publisher=Wiley |at=Chapters 18 and 19}}
* {{cite book |last=Eyges |first=Leonard |title=The Classical Electromagnetic Field |url=https://archive.org/details/classicalelectro0000eyge |publisher=Dover Publications |location=New York, NY |year=1972 |isbn=0-486-63947-9 }}<br>''Chapter&nbsp;5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.''
* {{cite book |first1=A.D. |last1=Polyanin |first2=V.F. |last2=Zaitsev |title=Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations |edition=2nd |publisher=Chapman & Hall/CRC Press |location=Boca Raton, FL |year=2003 |isbn=1-58488-297-2}}
* {{cite book |first=A.D. |last=Polyanin |title=Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists |url=https://archive.org/details/handbookoflinear0000poli |publisher=Chapman & Hall/CRC Press |location=Boca Raton, FL |year=2002 |isbn=1-58488-299-9}}
* {{cite book |last1=Mathews |first1=Jon |last2=Walker |first2=Robert L. |year=1970 |title=Mathematical methods of physics |edition=2nd |location=New York |publisher=W. A. Benjamin |isbn=0-8053-7002-1}}
* {{cite book |first=G.B. |last=Folland |author-link=Gerald Folland |title=Fourier Analysis and its Applications |publisher=Wadsworth and Brooks/Cole |series=Mathematics Series}}
* {{cite book |first1=K.D. |last1=Cole |first2=J.V. |last2=Beck |first3=A. |last3=Haji-Sheikh |first4=B. |last4=Litkouhi |chapter=Methods for obtaining Green's functions |title=Heat Conduction Using Green's Functions |publisher=Taylor and Francis |year=2011 |pages=101–148 |isbn=978-1-4398-1354-6}}
* {{cite book |last=Green |first=G |title=An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism |location=Nottingham, England |publisher=T. Wheelhouse |year=1828 |at=[https://books.google.com/books?id=GwYXAAAAYAAJ&pg=PA10#v=onepage&q&f=false pages 10-12]}}
* {{cite book |first1=M. |last1=Faryad and |author2-link=Akhlesh Lakhtakia |first2=A. |last2=Lakhtakia |title=Infinite-Space Dyadic Green Functions in Electromagnetism |location=London, UK / San Rafael, CA |publisher=IoP Science (UK) / Morgan and Claypool (US) |year=2018 |url=http://iopscience.iop.org/book/978-1-6817-4557-2 |access-date=2020-10-22 |archive-date=2022-06-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220615234247/https://iopscience.iop.org/book/978-1-6817-4557-2 |dead-url=no }}
{{refend}}

== Pranala luar ==
* {{springer|title=Green function|id=p/g045090}}
* {{MathWorld | urlname=GreensFunction | title=Green's Function}}
* {{PlanetMath | urlname=GreensFunctionForDifferentialOperator | title=Green's function for differential operator}}
* {{PlanetMath | urlname=GreensFunction | title=Green’s function}}
* {{PlanetMath | urlname=GreenFunctionsAndConformalMapping | title=Green functions and conformal mapping}}
* [http://nanohub.org/resources/1877 Introduction to the Keldysh Nonequilibrium Green Function Technique] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160303230735/http://nanohub.org/resources/1877 |date=2016-03-03 }} by A. P. Jauho
* [http://www.greensfunction.unl.edu/home/index.html Green's Function Library] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230607111925/http://greensfunction.unl.edu/home/index.html |date=2023-06-07 }}
* [https://web.archive.org/web/20110905015156/http://www.boulder.nist.gov/div853/greenfn/tutorial.html Tutorial on Green's functions]
* [http://www.ntu.edu.sg/home/mwtang/bemsite.htm Boundary Element Method (for some idea on how Green's functions may be used with the boundary element method for solving potential problems numerically)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120207225549/http://www.ntu.edu.sg/home/mwtang/bemsite.htm |date=2012-02-07 }}
* [http://en.citizendium.org/wiki/Green%27s_function At Citizendium] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120325031215/http://en.citizendium.org/wiki/Green%27s_function |date=2012-03-25 }}
* [https://archive.today/20130101181958/http://academicearth.com/lectures/delta-function-and-greens-function MIT video lecture on Green's function]
* {{cite web|last=Bowley|first=Roger|title=George Green & Green's Functions|url=http://www.sixtysymbols.com/videos/georgegreen.htm|work=Sixty Symbols|publisher=[[Brady Haran]] for the [[University of Nottingham]]|access-date=2020-10-22|archive-date=2022-10-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20221006130648/http://sixtysymbols.com/videos/georgegreen.htm|dead-url=no}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Persamaan Diferensial]]
[[Kategori:Fungsi umum]]
[[Kategori:Konsep dalam fisika]]
[[Kategori:Fisika matematika]]