Lihat sumber Ekspresi bentuk tertutup

{{Redirect|Closed formula|"rumus tertutup "dalam arti rumus logika tanpa variabel bebas|Kalimat (logika matematika)}}
{{Short description|Rumus matematika dibangun dengan operasi aritmatika dan fungsi lain yang telah ditentukan sebelumnya}}
{{more citations needed|date=Juni 2014}}

Dalam [[matematika]], '''Ekspresi bentuk-tertutup''' adalah [[ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]] yang diekspresikan menggunakan [[himpunan hingga|hingga]] dari operasi standar. Ini mungkin berisi [[Konstanta (matematika)|konstanta]], [[Variabel (matematika)|variabel]], "terkenal" tertentu [[Operasi (matematika)|operasi]] (misalnya, + - × ÷), dan [[fungsi (matematika)|fungsi]] (misalnya, [[Ekspresi radikal|akar ke-'' ke-']], [[eksponen]], [[logaritma]] , [[fungsi trigonometri]], dan [[fungsi hiperbolik invers]]), tetapi biasanya tidak ada [[batas urutan|batas]], [[Turunan|diferensiasi]], atau [[Integral|integrasi]]. Himpunan operasi dan fungsi yang diterima dalam ekspresi bentuk tertutup mungkin berbeda dengan penulis dan konteks.

== Contoh: akar dari polinomial ==

Solusi dari setiap [[persamaan kuadrat]] dengan [[bilangan kompleks|kompleks]] [[koefisien]] dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup dalam [[penambahan]], [[pengurangan]], [[perkalian]], [[Pembagian (matematika)|pembagian]], dan [[akar kuadrat]] ekstraksi, yang masing-masing merupakan [[fungsi dasar]]. Misalnya persamaan kuadrat

:<math>ax^2+bx+c=0,</math>

dapat ditelusuri karena solusinya dapat dinyatakan sebagai ekspresi bentuk tertutup, yaitu dalam istilah fungsi dasar:

:<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.</math>

Demikian pula solusi persamaan kubik dan kuartik (derajat ketiga dan keempat) dapat diekspresikan menggunakan aritmatika, akar kuadrat, dan [[akar kubik]], atau sebagai alternatif menggunakan fu aritmatika dan trigonometri. Namun, ada [[persamaan kuintik]] tanpa solusi bentuk tertutup yang menggunakan fungsi elementer, seperti ''x''<sup>5</sup>&nbsp;−&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0.

Suatu bidang studi dalam matematika yang disebut secara luas sebagai [[teori Galois]] melibatkan pembuktian bahwa tidak ada ekspresi bentuk tertutup dalam konteks tertentu, berdasarkan contoh pusat solusi bentuk tertutup untuk [[polinomial]].

== Berurusan dengan ekspresi non-bentuk tertutup ==

=== Transformasi ke dalam ekspresi bentuk tertutup ===

Ekspresi:

:<math>f(x) = \sum_{i=0}^\infty {x \over 2^i}</math>

tidak dalam bentuk tertutup karena penjumlahan memerlukan jumlah operasi dasar yang tak terbatas. Namun, dengan menjumlahkan [[deret geometris]], ekspresi ini dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup:<ref>{{cite web|last=Holton|first=Glyn|title=Numerical Solution, Closed-Form Solution |url = http://www.riskglossary.com/link/closed_form_solution.htm |accessdate=31 December 2012 |url-status = dead |archiveurl = https://web.archive.org/web/20120204082706/http://www.riskglossary.com/link/closed_form_solution.htm |archivedate = 4 February 2012 }}</ref>

:<math>f(x) = 2x.</math>

=== Teori Diferensial Galois ===
{{main|Teori Galois Diferensial}}

Integral dari ekspresi bentuk tertutup mungkin atau tidak dengan sendirinya dapat diekspresikan sebagai ekspresi bentuk tertutup. Kajian ini disebut sebagai [[teori Galois diferensial]], dengan analogi dengan aljabar Galois.

Teorema dasar teori diferensial Galois adalah karena [[Joseph Liouville]] pada tahun 1830-an dan 1840-an dan karenanya disebut sebagai '''[[Teorema Liouville (aljabar diferensial)|Teorema Liouville]]'''.

Contoh standar fungsi dasar yang antiturunannya tidak memiliki ekspresi bentuk tertutup adalah:

:<math>e^{-x^2},</math>

yang antiturunannya adalah ([[hingga]] konstanta perkalian) [[fungsi kesalahan]]:

:<math>\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^x e^{-t^2}\,dt.</math>

=== Pemodelan matematika dan simulasi komputer ===

Persamaan atau sistem yang terlalu kompleks untuk solusi bentuk tertutup atau analitik sering kali dapat dianalisis dengan [[model matematika]] ling dan [[simulasi komputer]].

== Nomor bentuk tertutup ==
{{see also|Teori bilangan transendental}}

Tiga subbidang dari bilangan kompleks '''C''' telah disarankan sebagai pengkodean gagasan tentang "bilangan bentuk tertutup"; dalam meningkatkan ketertiban umum, ini adalah bilangan Liouville (jangan disamakan dengan [[bilangan Liouville]] dalam pengertian pendekatan rasional), [[bilangan EL]] dan [[nomor dasar]]. '''Bilangan Liouville''', dilambangkan '''L''', membentuk subbidang '' [[aljabar tertutup]] '' terkecil dari '''C''' closed di bawah eksponensiasi dan logaritma (secara formal, perpotongan dari semua subkolom semacam itu) —yaitu, angka yang melibatkan eksponen dan logaritma '' eksplisit '', tetapi memungkinkan polinom eksplisit dan '' implisit '' (akar dari polinomial); ini didefinisikan dalam {{Harv|Ritt|1948|loc=p. 60}}. '''L''' pada awalnya disebut sebagai '''bilangan elementer''', tetapi istilah ini sekarang digunakan secara lebih luas untuk merujuk pada bilangan yang didefinisikan secara eksplisit atau implisit dalam istilah [[operasi aljabar]], eksponensial, dan logaritma. Definisi yang lebih sempit diusulkan dalam {{Harv|Chow|1999|loc=pp. 441–442}}.<!-- denoted '''E''', and referred to as '''EL numbers''', is the smallest subfield of '''C''' closed under exponentiation and logarithm—this need not be algebraically closed, and correspond to ''explicit'' algebraic, exponential, and logarithmic operations. "EL" stands both for "Exponential-Logarithmic" and as an abbreviation for "elementary".

Whether a number is a closed-form number is related to whether a number is [[transcendental number|transcendental]]. Formally, Liouville numbers and elementary numbers contain the [[algebraic number]]s, and they include some but not all transcendental numbers. In contrast, EL numbers do not contain all algebraic numbers, but do include some transcendental numbers. Closed-form numbers can be studied via [[transcendental number theory]], in which a major result is the [[Gelfond–Schneider theorem]], and a major open question is [[Schanuel's conjecture]].-->

== Numerikal numerik ==

Untuk keperluan komputasi numerik, bentuk tertutup umumnya tidak diperlukan, karena banyak batasan dan integral dapat dihitung secara efisien.

== Konversi dari bentuk numerik ==

Ada [[perangkat lunak]] yang mencoba menemukan ekspresi bentuk tertutup untuk nilai numerik, termasuk RIES,<ref>{{cite web |last = Munafo |first = Robert |title = RIES - Find Algebraic Equations, Given Their Solution |url = http://mrob.com/pub/ries/index.html |accessdate = 30 April 2012 }}</ref> {{mono|identify}} in [[Maple (software)|Maple]]<ref>{{cite web |title = identify |url = http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=identify |work = Maple Online Help |publisher = Maplesoft |accessdate = 30 April 2012 }}</ref> and [[SymPy]],<ref>{{cite web |title = Number identification |url = http://docs.sympy.org/0.7.1/modules/mpmath/identification.html |work = SymPy documentation |access-date = 2020-10-20 |archive-date = 2018-07-06 |archive-url = https://web.archive.org/web/20180706114117/http://docs.sympy.org/0.7.1/modules/mpmath/identification.html |dead-url = yes }}</ref> Plouffe's Inverter,<ref>{{cite web |title = Plouffe's Inverter |url = http://pi.lacim.uqam.ca/eng/server_en.html |accessdate = 30 April 2012 |archive-url = https://web.archive.org/web/20120419132713/http://pi.lacim.uqam.ca/eng/server_en.html |archive-date = 19 April 2012 |url-status = dead }}</ref> and the [[Inverse Symbolic Calculator]].<ref>{{cite web |title = Inverse Symbolic Calculator |url = http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/ |accessdate = 30 April 2012 |url-status = dead |archiveurl = https://web.archive.org/web/20120329145758/http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/ |archivedate = 29 March 2012 }}</ref>

== Lihat pula ==
* [[Solusi aljabar]]
* [[Operasi finiter]]
* [[Solusi numerik]]
* [[Simulasi komputer]]
* [[Regresi simbolis]]
* [[Istilah (logika)]]
* [[Fungsi Liouvillian]]
* [[Fungsi dasar]]

== Referensi ==
{{reflist}}

== Bacaan lebih lanjut ==
* {{ Citation | title = Integration in finite terms | last = Ritt | first = J. F. | authorlink = Joseph Ritt | year = 1948 }}
* {{Citation | title = What is a Closed-Form Number? | first = Timothy Y. | last = Chow | volume = 106 | number = 5 | pages = 440–448 | jstor = 2589148 | journal = [[American Mathematical Monthly]] |date=May 1999 | doi=10.2307/2589148| arxiv = math/9805045 }}
* {{Citation | title = Closed Forms: What They Are and Why We Care | author = Jonathan M. Borwein and Richard E. Crandall | volume = 60 | number = 1 | pages = 50–65 | journal = [[Notices of the American Mathematical Society]] | date = January 2013 | doi= 10.1090/noti936| doi-access = free }}

== Pranala luar ==
* {{MathWorld | urlname = Closed-FormSolution | title = Closed-Form Solution}}

{{DEFAULTSORT:Ekspresi Bentuk Tertutup}}
[[Kategori:Aljabar]]
[[Kategori:Fungsi khusus]]