Lihat sumber Diskriminan

{{short description|Fungsi koefisien polinomial yang memberikan informasi tentang akarnya}}
{{more citations needed|date=November 2011}}
{{Other uses}}
Dalam [[matematika]], '''Diskriminan''' dari [[polinomial]] adalah kuantitas yang bergantung pada koefisien dan menentukan berbagai properti dari [[nol fungsi|akar]]. Diskriminan polinomial umumnya didefinisikan dalam istilah [[fungsi polinomial]] dari koefisiennya. Diskriminan banyak digunakan dalam [[faktorisasi polinomial|pemfaktoran polinomial]], [[teori bilangan]], dan [[geometri aljabar]].

Diskriminan [[kuadrat polinomial]] <math>ax^2+bx+c\,</math> (<math>a \ne 0</math>), sering dilambangkan dengan simbol <math>\Delta</math>,<ref>{{Cite web|last=|first=|date=2016-03-13|title=Quadratic Factorisation: The Complete Guide|url=https://mathvault.ca/quadratic-factorisation/#The_General_Method_%E2%80%94_Theory|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=2020-08-09|website=Math Vault|language=en-US}}</ref> adalah:
:<math>b^2-4ac,</math>
yang bernilai nol jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki [[akar ganda]]. Dalam kasus koefisien [[bilangan riil|nyata]], bernilai positif jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki dua akar nyata yang berbeda.<ref>{{Cite web|title=Discriminant {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/discriminant|access-date=2020-08-09|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> Demikian pula untuk sebuah [[polinomial kubik]], diskriminannya adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki [[akar ganda]]. Dalam kasus koefisien nyata, diskriminan bernilai positif jika akarnya adalah tiga bilangan real berbeda, dan negatif jika ada satu akar nyata dan dua akar [[konjugasi kompleks]] berbeda.

Secara lebih umum, diskriminan polinomial [[derajat suatu polinom|derajat]] positif adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut berakar banyak. Jika koefisiennya nyata, dan tidak ada akar ganda, diskriminan bernilai positif jika jumlah akar non-nyata adalah [[Kelipatan (matematika)|kelipatan]] dari 4 (termasuk nol), dan negatif.

Beberapa generalisasi diskriminan polinomial (univariat) juga disebut diskriminan: [[diskriminan medan bilangan aljabar]]; yang '' diskriminan '' dari [[bentuk kuadrat]]; lebih umum, '' diskriminan '' dari [[bentuk (matematika)|bentuk]], [[polinomial homogen]].

== Asal usul Diskriminan ==
Istilah "diskriminan" diciptakan pada tahun 1851 oleh matematikawan Inggris [[James Joseph Sylvester]].<ref>{{cite journal|first=J. J.|last=Sylvester|date=1851|title=On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hyperdeterminants|journal=Philosophical Magazine|series=4th series|volume=2|pages=391–410}}<br>Sylvester menciptakan kata "diskriminan" [https://books.google.com/books?id=DBNDAQAAIAAJ&pg=PA406#v=onepage&q&f=false page 406].</ref>

== Definisi ==
 
:<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>
menjadi polinomial [[derajat dari suatu polinomial|derajat]] {{math | '' n ''}} (ini berarti <math>a_n\ne 0</math>), sedemikian rupa sehingga koefisien <math>a_0, \ldots, a_n</math> milik sebuah [[bidang (matematika)|bidang]], atau, lebih umum, ke [[cincin komutatif]]. [[Resultan]] dari {{math | '' A ''}} dan [[turunan formal|turunan]] <math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1</math> adalah polinomial pada <math>a_0, \ldots, a_n</math> dengan koefisien integer, yang merupakan [[determinan]] dari [[matriks Sylvester]] dari {{math|''A''}} dan {{math|''A''{{void}}′}}. Entri bukan nol dari kolom pertama dari matriks Sylvester adalah <math>a_n</math> dan <math>na_n,</math> dan [[resultan]] adalah [[kelipatan (matematika)|kelipatan]] dari <math>a_n.</math> Karenanya, diskriminan — hingga tandanya — didefinisikan sebagai hasil bagi dari resultan dari {{math | '' A ''}} dan {{math|''A'{{void}}''}} dari <math>a_n:</math>

:<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math>

Secara historis, tanda ini telah dipilih sedemikian rupa sehingga, secara keseluruhan, diskriminan akan menjadi positif ketika semua akar polinomial adalah nyata. Pembagian dengan <math>a_n</math> mungkin tidak terdefinisi dengan baik jika [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] dari koefisien berisi [[pembagi nol]]. Masalah seperti itu dapat dihindari dengan mengganti <math>a_n</math> dengan 1 di kolom pertama matriks Sylvester sebelum ''menghitung determinan.'' Bagaimanapun, diskriminan adalah polinomial dalam <math>a_0, \ldots, a_n</math> ''dengan koefisien bilangan bulat.''

== Ekspresi dalam hal akar ==
Ketika polinomial ditentukan di atas [[medan (matematika)|bidang]], [[teorema dasar aljabar]] menyiratkan bahwa ia memiliki akar {{math | '' n ''}}, {{math|''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ..., ''r<sub>n</sub>''}}, tidak harus semuanya berbeda, dalam [[ekstensi tertutup aljabar]] di lapangan.

(Untuk polinomial dengan koefisien nyata, ekstensi tertutup secara aljabar ini umumnya dipilih sebagai bidang [[bilangan kompleks]].)

Dari segi akar, diskriminan sama dengan

:<math>\operatorname{Disc}_x(A) = {a_n}^{2n-2}\prod_{i<j} (r_i-r_j)^2 = (-1)^{n(n-1)/2}{a_n}^{2n-2} \prod_{i \neq j} (r_i-r_j) </math>

Jadi, ini adalah kuadrat dari [[polinomial Vandermonde]] {{math|''a''<sub>''n''</sub><sup>2''n'' − 2</sup>}}.

Ekspresi diskriminan ini sering dianggap sebagai definisi. Jelas bahwa jika polinomial memiliki [[banyak akar]], maka diskriminannya adalah nol, dan jika semua akarnya nyata dan sederhana, maka diskriminan itu positif.

== Derajat rendah ==
Diskriminan dari [[polinomial linier]] (derajat 1) jarang dipertimbangkan. Jika diperlukan, biasanya didefinisikan sama dengan 1 (menggunakan konvensi biasa untuk [[produk kosong]] dan mempertimbangkan bahwa salah satu dari dua blok [[matriks Sylvester]] adalah [[matriks kosong|kosong]]). Tidak ada ketentuan umum untuk diskriminan polinomial konstan (yaitu polinom dengan derajat 0).

Untuk derajat kecil, diskriminan agak sederhana (lihat di bawah), tetapi untuk derajat yang lebih tinggi, ini mungkin menjadi berat. Misalnya, diskriminan dari sebuah [[polinomial generik|umum]] [[Fungsi kuartik|kuartik]] memiliki 16 suku,<ref>{{cite book
|title=Elimination practice: software tools and applications
|first1=Dongming
|last1=Wang
|publisher=Imperial College Press
|year=2004
|isbn=1-86094-438-8
|url=https://books.google.com/books?id=ucpk6oO5GN0C&pg=PA180
|at=ch. 10 p. 180}}
</ref> that of a [[Quintic function|quintic]] has 59 terms,<ref>{{cite book
|title=Discriminants, resultants and multidimensional determinants
|first1=I. M.
|last1=Gelfand
|first2=M. M.
|last2=Kapranov
|first3=A. V.
|last3=Zelevinsky
|publisher=Birkhäuser
|year=1994
|isbn=3-7643-3660-9
|page=1
|url=http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96}}
</ref> dan dari [[persamaan sektik|sektik]] memiliki 246 suku.<ref>{{cite book
|title=Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications
|first1=Alicia
|last1=Dickenstein
|author1-link=Alicia Dickenstein
|first2=Ioannis Z.
|last2=Emiris
|publisher=Springer
|year=2005
|isbn=3-540-24326-7
|url=https://books.google.com/books?id=rSs-pQNrO_YC&pg=PA26
|at=ch. 1 p. 26}}
</ref>
This is [[OEIS]] sequence {{OEIS link|A007878}}.
<!-- Harap jangan menambahkan jumlah suku dengan derajat yang lebih tinggi (seperti 7/1103, 8/5247 dan lainnya dari http://oeis.org/A007878) tanpa menyediakan sumber yang tepat. Terima kasih -->

=== Derajat 2 ===
[[Polinomial kuadrat]] <math> ax^2+bx+c \, </math> memiliki diskriminan
:<math>b^2-4ac\,.</math>

Akar kuadrat diskriminan muncul di [[rumus kuadrat]] untuk akar polinomial kuadrat:
:<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math>

di mana diskriminan adalah nol jika dan hanya jika kedua akar sama. Jika {{math|''a'', ''b'', ''c''}} adalah [[bilangan real]], polinomial memiliki dua akar nyata yang berbeda jika diskriminannya positif, dan dua akar [[konjugasi kompleks]] jika negatif.
<ref>{{cite book
|title=Integers, polynomials, and rings
|first1=Ronald S.
|last1=Irving
|publisher=Springer-Verlag New York, Inc.
|year=2004
|isbn=0-387-40397-3
|url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154
|at=ch. 10.3 pp. 153–154}}</ref>

Diskriminan adalah hasil kali dari {{math | '' a ''{{sup | 2}}}} dan kuadrat dari selisih akar.

Jika {{math | '' a '', '' b '', '' c ''}} adalah [[bilangan rasional]], maka diskriminannya adalah kuadrat dari bilangan rasional, jika dan hanya jika keduanya akar adalah bilangan rasional.

=== Derajat 3 ===
[[Berkas:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|Himpunan nol diskriminan kubik {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}}, yaitu poin yang memuaskan {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}}.]]
[[Polinomial kubik]] <math> ax^3+bx^2+cx+d \, </math> memiliki diskriminan
:<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,.</math>

Secara khusus, polinomial <math>x^3+px+q</math> memiliki diskriminan
:<math> -4p^3-27q^2\,.</math>

Diskriminan menjadi nol jika dan hanya jika setidaknya dua akar sama. Jika koefisiennya adalah [[bilangan riil]], dan diskriminannya bukan nol, diskriminan bernilai positif jika akarnya adalah tiga bilangan real berbeda, dan negatif jika ada satu akar nyata dan dua akar [[konjugasi kompleks]].
<ref>{{cite book
|title=Integers, polynomials, and rings
|first1=Ronald S.
|last1=Irving
|publisher=Springer-Verlag New York, Inc.
|year=2004
|isbn=0-387-40397-3
|url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154
|at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref>

[[Akar kuadrat]] dari hasil kali diskriminan oleh {{math | −3}} (dan mungkin juga dengan kuadrat dari [[bilangan rasional]]) muncul dalam rumus untuk akar polinomial kubik.

Jika polinomial tidak dapat direduksi dan koefisiennya adalah [[bilangan rasional]] (atau termasuk dalam [[bidang bilangan]]), maka diskriminan adalah kuadrat dari bilangan rasional (atau bilangan dari bidang bilangan) jika dan hanya jika [[kelompok Galois]] dari [[persamaan kubik]] adalah [[grup siklik]] berorde tiga.

=== Derajat 4 ===
[[Berkas:Quartic Discriminant.png|thumb|Diskriminan dari polinomial kuartik {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}}. Permukaan mewakili poin ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) dimana polinomial memiliki akar berulang. Tepi cuspidal berhubungan dengan polinomial dengan akar rangkap tiga, dan perpotongan sendiri berhubungan dengan polinomial dengan dua akar berulang yang berbeda.]]
[[Polinomial kuartik]]
<math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math>
memiliki diskriminan
:<math>\begin{align}
{} & 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\[4pt]
& {} -27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de \\[4pt]
& {} +18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde \\[4pt]
& {} -4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2\,.
\end{align}</math>

Diskriminan menjadi nol jika dan hanya jika dua atau lebih akar sama. Jika koefisiennya adalah [[bilangan riil]] dan diskriminannya negatif, lalu ada dua akar nyata dan dua akar [[konjugasi kompleks]]. Begitu pula, jika diskriminannya positif, maka akarnya bisa semua nyata atau semua tidak nyata.

== Nol diskriminan ==
Diskriminan polinomial di atas [[medan (matematika)|bidang]] adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki banyak akar di beberapa [[ekstensi bidang]].

Diskriminan polinomial pada domain integral adalah nol, jika dan hanya jika polinomial tersebut dan [[turunan formal|turunannya]] memiliki pembagi persekutuan non-konstan.

Dalam [[karakteristik cincin|karakteristik]] 0, ini setara dengan mengatakan bahwa polinomialnya bukan [[polinomial bebas kuadrat|bebas kuadrat]] (yaitu habis dibagi kuadrat dari polinomial tidak konstan).

Dalam karakteristik bukan nol {{math | '' p ''}}, diskriminannya adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut tidak bebas kuadrat atau memiliki [[polinomial tak tersederhanakan|faktor tak dapat direduksi]] yang tidak dapat dipisahkan (yaitu, faktor yang tidak dapat direduksi adalah polinom dalam <math>x^p</math>).

== Referensi ==
{{reflist|30em}}

== Pranala luar ==
*[http://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html Wolfram Mathworld: Polynomial Discriminant]
*[http://planetmath.org/discriminant Planetmath: Discriminant]

<!-- hanya membayar -- *[http://www.jstor.org/stable/3619560 The geometry of the discriminant of a polynomial (1996)]-->

[[Kategori:Polinomial]]
[[Kategori:Bagian kerucut]]
[[Kategori:Bentuk kuadrat]]
[[Kategori:Penentu]]
[[Kategori:Teori bilangan aljabar]]