Lihat sumber Diferensial (matematika)

{{about|notasi matematika dari konsep lawas tentang perubahan yang sangat kecil|penggunaan yang lebih umum|Diferensial}}

Dalam [[matematika]], '''diferensial''' mengacu pada beberapa notasi/konsep yang saling berhubungan<ref>{{cite web|title=Differential|url=https://mathworld.wolfram.com/Differential.html|work=Wolfram MathWorld|access-date=9 Maret 2022|quote=Terjemahan dari bahasa Inggris: "Kata differensial memiliki beberapa arti yang saling berhubungan dalam matematika. Dalam konteks yang umum, kata itu berarti "sesuatu tentang turunan (''derivatives'')". Jadi, sebagai contoh, bagian kalkulus yang berurusan dengan menghitung turunan (diferensiasi), disebut sebagai kalkulus diferensial.<br>Kata "differential" juga memiliki arti yang lebih teknis dalam teori diferensial ''k-forms'' sebagai sesuatu yang lebih dikenal sebagai ''one-form''."}}</ref> dan berasal dari awal perkembangan ilmu [[kalkulus]]. Secara lebih matematis, istilah ini mengacu pada perubahan/selisih yang [[infinitesimal]] dan [[turunan]] dari fungsi. Istilah ini dipakai dalam berbagai cabang matematika seperti [[kalkulus]], [[geometri diferensial]], [[geometri aljabar]] dan [[topologi aljabar]].

== Pendahuluan ==
Istilah '''diferensial''' adalah terjemahan dari kata bahasa Inggris ''differential''. Secara informal, kata ''differential'' digunakan dalam [[kalkulus]] untuk merujuk suatu perubahan yang [[infinitesimal]] ("''infinitely small''", sangat kecil) pada suatu [[Variabel (matematika)|variabel]]. Sebagai contoh, jika {{Mvar|x}} adalah suatu variabel, maka besar perubahan/selisih dari nilai {{Mvar|x}} sering dinyatakan dengan <math>\Delta x</math> (dibaca sebagai ''[[Delta (huruf)|delta]] {{Mvar|x}}''). Diferensial {{Mvar|dx}} menyatakan perubahan nilai yang sangat kecil pada variabel {{Mvar|x}}. Konsep dari perubahan yang sangat kecil cukup intuitif dan memiliki peran yang sangat penting dalam matematika. Ada beberapa cara berbeda untuk mendefinisikan konsep ini secara matematis.

Penggunaan [[turunan]] memungkinkan perubahan infinitesimal suatu variabel dinyatakan sebagai perubahan-perubahan infinitesimal dari variabel-variabel lain. Jika {{Mvar|y}} adalah fungsi terhadap {{Mvar|x}}, maka diferensial {{Mvar|dy}} dari variabel {{Mvar|y}} terhubung dengan {{Mvar|dx}} lewat persamaan<math display="block">dy = \frac{dy}{dx} \,dx,</math>dengan <math>\tfrac{dy}{dx} \,</math>menyatakan [[turunan]] dari {{Mvar|y}} terhadap {{Mvar|x}}. Rumus tersebut merangkum ide intuitif bahwa turunan dari {{Mvar|y}} terhadap {{Mvar|x}} adalah [[limit]] dari rasio <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> saat <math>\Delta x</math> menjadi infinitesimal. Terdapat beberapa pendekatan untuk mendefinisikan secara matematis konsep diferensial:

# Diferensial sebagai [[Peta linear|pemetaan linear]]. Cara ini mendasari definisi [[turunan total]] dan [[turunan eksterior]] dalam ilmu [[geometri diferensial]].<ref>{{Harvnb|Darling|1994}}.</ref>
# Diferensial sebagai kelas ekuivalensi ''germ'' dari fungsi-fungsi.
# Diferensial sebagai elemen [[nilpoten]] dari [[gelanggang komutatif]]. Pendekatan ini populer dalam [[geometri aljabar]].<ref name="Harris1998">{{Harvnb|Eisenbud|Harris|1998}}.</ref>
# Diferensial dalam ''smooth model'' pada teori himpunan.<ref>See {{Harvnb|Kock|2006}} and {{Harvnb|Moerdijk|Reyes|1991}}.</ref>
# Diferensial sebagai infinitesimals dalam [[Sistem bilangan hiperreal|sistem bilangan hiper-real]], yakni perluasan [[bilangan real]] yang mengandung infinitesimal terbalikkan dan bilangan yang tak hingga besarnya. Cara ini adalah pendekatan analisis non-standar yang dikembangkan oleh [[Abraham Robinson]].<ref name="nonstd">See {{Harvnb|Robinson|1996}} and {{Harvnb|Keisler|1986}}.</ref>

Pendekatan-pendekatan tersebut sangat berbeda satu sama lainnya. Tetapi mereka semua memiliki ide bersifat ''kuantitatif'', maksudnya tidak hanya berkata diferensial adalah sesuatu yang sangat kecil, tapi ''juga seberapa'' kecil dia.

=== Notasi dasar ===
Karena kata diferensial berkembang dalam beberapa cabang kalkulus, diferensial dapat merujuk konsep "perubahan yang sangat kecil" yang berbeda. Dalam [[kalkulus]], diferensial merujuk pada perubahan akibat mencari aproksimasi linear sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]].  Konsep diferensial ini diperumum sebagai [[diferensial total]] pada fungsi multivariabel. Dalam pendekatan kalkulus yang tradisional, diferensial (contohnya {{Mvar|dx}}, {{Mvar|dy}}, {{Mvar|dt}}) dianggap sebagai perubahan yang sangat kecil (infinitesimal). Terdapat beberapa cara untuk mendefinisikan secara matematis konsep ini, namun juga cukup untuk mengganggap infinitesimal sebagai bilangan yang [[Nilai absolut|nilai mutlaknya]] lebih kecil dari sembarang bilangan real positif; sama seperti tak hingga sebagai bilangan yang lebih besar dari sembarang bilangan real.

Diferensial juga merupakan nama lain dari [[matriks Jacobi]] dari [[turunan parsial]] fungsi dari <math>\R^n</math> ke <math>\R^m</math> (khususnya ketika [[Matriks (matematika)|matriks]] ini dianggap sebagai [[peta linear]]). <!-- More generally, the differential or pushforward refers to the derivative of a map between smooth manifolds and the pushforward operations it defines. The differential is also used to define the dual concept of pullback. -->
[[Kalkulus stokastik]] memberikan notasi [[diferensial stokastik]] dan kalkulus yang bersesuaian untuk [[proses stokastik]].

Pada [[Integral Riemann–Stieltjes|integral Riemann-Stieltjes]], integrator dinyatakan sebagai diferensial dari suatu fungsi. Secara formal, diferensial yang muncul di dalam integral memiliki sifat yang tepat sama dengan diferensial. Hal ini mengartikan rumus [[Integral substitusi|integrasi dengan subtitusi]] dan [[Integrasi parsial|integrasi secara parsial]] pada integral Stieltjes masing-masing berkorespodensi dengan [[Kaidah rantai|aturan rantai]] dan [[Kaidah darab|aturan perkalian]] untuk diferensiasi.

== Sejarah dan penggunaan ==
{{See also|Sejarah kalkulus}}
Besaran [[infinitesimal]] ("yang sangat kecil") memainkan peranan penting dalam perkembangan kalkulus. [[Archimedes]] menggunakan konsep ini, walaupun ia tidak percaya argumentasi menggunakan infinitesimal bersifat tegas (''rigor'').<ref>{{Harvnb|Boyer|1991}}.</ref> [[Isaac Newton]] merujuk konsep ini sebagai ''fluxions''. Tetapi, [[Gottfried Leibniz]] yang pertama mencetuskan istilah ''differential'' untuk besaran infinitesimal dan memperkenalkan notasi untuk mereka, yang masih digunakan saat ini.

Dalam [[notasi Leibniz]], jika {{Mvar|x}} adalah besaran yang dapat berubah (variabel), maka {{Mvar|dx}} menyatakan perubahan infinitesimal pada variabel {{Mvar|x}}. Sehingga, jika {{Mvar|y}} adalah fungsi terhadap {{Mvar|x}}, maka [[turunan]] dari {{Mvar|y}} terhadap {{Mvar|x}} sering dinyatakan sebagai {{Mvar|dy/dx}}, yang dalam notasi Newton atau [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] sebagai <math>\dot y</math> atau <math>y'</math>. Penggunaan diferensial dalam bentuk ini awalnya mengundang banyak kontroversi, sebagai contoh dalam pamflet terkenal ''[[The Analyst]]'' oleh uskup Berkeley. Walaupun demikian, notasi ini tetap populer karena menggambarkan ide turunan dari {{Mvar|y}} pada suatu titik {{Mvar|x}} sebagai laju sesaat ([[kemiringan]] dari [[garis singgung]] pada grafik fungsi), yang dapat dihitung dengan mengambil [[limit]] dari rasio perubahan nilai {{Mvar|y}} terhadap perubahan nilai {{Mvar|x}}, yakni <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math>, ketika perubahan {{Mvar|x}} dibuat sekecil mungkin. [[Analisis dimensi]] juga berlaku bagi diferensial, sehingga {{Mvar|dx}} memiliki dimensi yang sama dengan variabel {{Mvar|x}}.

Kalkulus berkembang menjadi cabang matematika tersendiri pada abad ke-17, walaupun beberapa bagian di dalamnya sudah ada sejak jaman kuno. Pendekatan yang digunakan [contohnya] oleh Newton dan Leibniz ditandai oleh definisi yang tak tegas (tidak matematis) pada istilah seperti diferensial dan "sekecil mungkin". Walaupun argumentasi [[George Berkeley|uskup Berkeley]] dalam karya ''[[The Analyst]]'' tahun 1734 sebagian besar bersifat teologis, matematikawan modern menyadari validitas argumennya mengenai besaran infinitesimal. Pendekatan kalkulus yang modern tidak memiliki masalah teknis tersebut. Walaupun banyak hal yang tidak tegas, perkembangan kalkulus secara pesat terjadi pada abad ke-17 dan ke-18. Pada abad ke-19, Cauchy dan para matematikawan lain mulai mengembangkan pendekatan [[Limit fungsi|epsilon-delta]] untuk mendefinisikan kekontinuan, limit, dan turunan, memberikan fondasi matematis untuk kalkulus.

Pada abad ke-20, beberapa konsep baru dalam, sebagai contoh [[kalkulus multivariabel]] dan [[geometri diferensial]], terasa memuat maksud dari definisi-definisi lawas, khususnya ''differential''. Saat ini diferensial and infinitesimal menggunakan definisi baru yang lebih tegas dan matematis.

Diferensial juga digunakan dalam notasi [[integral]] karena suatu integral dapat dianggap sebagai penjumlahan tak hingga banyaknya besaran infinitesimal: Luas daerah di dalam grafik dihasilkan dengan membagi grafik menjadi tak hingga banyaknya persegi panjang yang sangat tipis, dan menjumlahkan semua luas persegi panjang tersebut. Pada ekspresi seperti<math display="block">\int f(x) \,dx,</math>Simbol integral (yang merupakan huruf s yang dipanjangkan) menyatakan penjumlahan tak hingga, {{Mvar|f(x)}} menyatakan "tinggi" dari persegi panjang, sedangkan diferensial {{Mvar|dx}} menyatakan lebar persegi panjang yang kecilnya tak hingga.{{notelist}}

== Pendekatan ==

=== Pendekatan naif ===
{{Calculus|Differential}}
Beberapa buku teks siswa dan mahasiswa menggunakan pendekatan dan nomenklatur lawas yang naif ketimbang memberikan aksioma-aksioma yang tegas, definisi, dan akibat-akibat yang sederhana. Pendekatan dalam [[kalkulus]] ini menggunakan istilah ''diferensial'' untuk merujuk suatu perubahan yang [[infinitesimal]] ("''infinitely small''", sangat kecil) pada suatu [[Variabel (matematika)|variabel]]. Sebagai contoh, jika {{Mvar|x}} adalah suatu variabel, maka besar perubahan/selisih dari nilai {{Mvar|x}} sering dinyatakan dengan <math>\Delta x</math> (dibaca sebagai ''[[Delta (huruf)|delta]] {{Mvar|x}}''). Diferensial {{Mvar|dx}} menyatakan perubahan nilai yang sangat kecil pada variabel {{Mvar|x}}. Konsep dari perubahan yang sangat kecil cukup intuitif dan memiliki peran yang sangat penting dalam matematika, kecuali ketika siswa menjadi bingung ketika menyadari ketidakkonsistenan. Ada beberapa cara berbeda untuk mendefinisikan konsep ini secara matematis.

Penggunaan [[turunan]] memungkinkan perubahan infinitesimal suatu variabel dinyatakan sebagai perubahan-perubahan infinitesimal dari variabel-variabel lain. Jika {{Mvar|y}} adalah fungsi terhadap {{Mvar|x}}, maka diferensial {{Mvar|dy}} dari variabel {{Mvar|y}} terhubung dengan {{Mvar|dx}} lewat persamaan<math display="block">dy = \frac{dy}{dx} \,dx,</math>dengan <math>\tfrac{dy}{dx} \,</math>menyatakan [[turunan]] dari {{Mvar|y}} terhadap {{Mvar|x}}. Rumus tersebut merangkum ide intuitif bahwa turunan dari {{Mvar|y}} terhadap {{Mvar|x}} adalah [[limit]] dari rasio <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> saat <math>\Delta x</math> menuju 0.

=== Diferensial sebagai peta linear ===
Ada cara sederhana untuk mendefinisikan secara akurat makna diferensial, pertama menggunakan [[garis bilangan]] dengan mengganggapnya sebagai [[peta linear]]. Hal ini selanjutnya dapat diperumum ke <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>, [[ruang Hilbert]], [[ruang Banach]], atau secara umum, [[ruang vektor topologis]]. Kasus garis bilangan paling mudah untuk dijelaskan.

==== Diferensial sebagai peta linear pada R ====
Misalkan <math>f(x)</math> adalah fungsi bernilai real pada <math>\mathbb{R}</math>.  Variabel <math>x</math> dalam <math>f(x)</math> dapat dianggap sebagai sebuah fungsi ketimbang sebuah bilangan, yakni sebagai [[fungsi identitas]] pada [[Garis bilangan real|garis bilangan]], yang memetakan sebuah bilangan real <math>p</math> ke dirinya sendiri: <math>x(p)=p</math>.  Hal ini mengartikan <math>f(x)</math> adalah fungsi komposit <math>f</math> terhadap <math>x</math>, dengan nilai di titik <math>p</math> adalah <math>f(x(p))=f(p)</math>. Diferensial <math>\operatorname{d}f</math> (yang tentunya bergantung pada perubahan nilai <math>f</math>) selanjutnya adalah sebuah ''fungsi'' di titik <math>p</math> (umumnya dinyatakan sebagai <math>df_p</math>) yang memetakan <math>\mathbb{R}</math> ke <math>\mathbb{R}</math> secara linear. Selanjutnya pemetaan linear dari <math>\mathbb{R}</math> ke <math>\mathbb{R}</math> dinyatakan oleh [[Matriks (matematika)|matriks]] berukuran <math>1\times 1</math>, yang sama saja dengan sebuah bilangan, namun perubahan perspektif memungkinkan untuk mengganggap <math>df_p</math> sebagai infinitesimal dan ''membandingkannya'' dengan ''infinitesimal'' ''standar'' <math>dx_p</math>, yang dalam kasus ini adalah fungsi identitas dari <math>\mathbb{R}</math> ke <math>\mathbb{R}</math> (matriks berukuran <math>1\times 1</math> dengan elemen bernilai <math>1</math>). Fungsi identitas memiliki sifat yakni jika <math>\varepsilon</math> bernilai sangat kecil, maka <math>dx_p(\varepsilon)</math> juga akan bernilai sangat kecil, memungkinkannya dianggap sebagai suatu infinitesimal. Diferensial <math>df_p</math> memiliki sifat yang sama, karena ia merupakan kelipatan dari <math>dx_p</math>, dan besar kelipatan ini, <math>f'(p)</math>, adalah definisi dari turunan. Alhasil didapatkan  <math>df_p=f'(p)\,dx_p</math>, dan akibatnya <math>df=f'\,dx</math>.

Pendekatan di atas pada akhirnya menggunakan ide bahwa <math>f'</math> adalah perbandingan dari diferensial <math>df</math> terhadap diferensial <math>dx</math>. Pendekatan ini juga dapat diperumum karena berisi ide bahwa turunan dari <math>f</math> di titik <math>p</math> adalah ''aproksimasi linear terbaik'' dari fungsi <math>f</math> di titik <math>p</math>.

==== Diferensial sebagai peta linear pada R<sup>n</sup> ====
Jika <math>f</math> adalah fungsi multivariabel dari <math>\mathbb{R}^n</math> ke <math>\mathbb{R}</math>, maka <math>f</math> didefinisikan sebagai ''terdiferensialkan''<ref>See, for instance, {{Harvnb|Apostol|1967}}.</ref> di titik <math>p\in\mathbb{R}^n</math> jika terdapat pemetaan linear  <math>df_p</math> dari <math>\mathbb{R}^n</math> ke <math>\mathbb{R}</math> sedemikian sehingga untuk sembarang <math>\varepsilon>0</math>, ada suatu [[Persekitaran (matematika)|lingkungan]] <math>N</math> dari <math>p</math> sedemikian sehigga untuk sembarang <math>x\in N</math>,<math display="block">\left|f(x) - f(p) - df_p(x-p)\right| < \varepsilon \left|x-p\right| .</math>Pendekatan yang sama dengan kasus satu dimensi dapat digunakan pada masalah ini, dengan menganggap ekspresi <math>f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> sebagai fungsi komposit <math>f</math> dengan fungsi koordinat standar <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> on <math>\mathbb{R}^n</math> (yakni <math>x_j(p)</math> menyatakan komponen ke-<math>j</math> dari titik <math>p\in\mathbb{R}^n</math>). Selanjutnya diferensial<math>\left(dx_1\right)_p, \left(dx_2\right)_p, \ldots, \left(dx_n\right)_p</math> pada titik <math>p</math> membentuk sebuah [[Basis (aljabar linear)|basis]] untuk [[ruang vektor]] dari peta-peta linear <math>\mathbb{R}^n</math> ke <math>\mathbb{R}</math>. Akibatnya, jika <math>f</math> terdiferensialkan pada titik <math>p</math>, maka ''<math>\operatorname{d}f_p</math>'' dapat ditulis sebagai [[kombinasi linear]] elemen-elemen basis tersebut:<math display="block">df_p = \sum_{j=1}^n D_j f(p) \,(dx_j)_p.</math>Koefisien-koefisien <math>D_j f(p)</math> adalah (dari definisi) [[turunan parsial]] dari <math>f</math> di <math>p</math> terhadap <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math>. Dengan kata lain, jika <math>f</math> terdiferensialkan di keseluruhan <math>\mathbb{R}^n</math>, maka diferensial <math>df</math> dapat ditulis dengan lebih ringkas sebagai:<math display="block">df = \frac{\partial f}{\partial x_1} \,dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \,dx_2 + \cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n} \,dx_n.</math>Pada kasus satu dimensi persamaan di atas menjadi<math display="block">df = \frac{df}{dx}dx</math>sama seperti hasil pada kasus satu dimensi. Ide ini dapat diperumum untuk fungsi dari <math>\mathbb{R}^n</math> ke <math>\mathbb{R}^m</math>. Lebih lanjut, definisi ini lebih menguntungkan ketimbang definisi-definisi turunan yang lain karena bersifat [[Invarian (matematika)|invarian]] terhadap perubahan koordinat. Hal ini mengartikan ide yang sama juga dapat digunakan untuk mendefinisikan diferensial dari [[pemetaan mulus]] dari [[Lipatan terdiferensialkan|lipatan mulus]].

Walaupun demikian, perlu disadari bahwa keberadaan semua [[turunan parsial]] dari <math>f(x)</math> di <math>x</math> adalah [[Syarat perlu dan syarat cukup|syarat perlu]] untuk keberadaan suatu diferensial di titik <math>x</math>. Namun itu bukan [[syarat cukup]], untuk contoh penangkal, lihat [[turunan Gateaux]].

== Referensi ==
{{Reflist}}

== Daftar pustaka ==
* {{Citation|first=Tom M.|last=Apostol|author-link=Tom M. Apostol|year=1967|title=Calculus|edition=2nd|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-00005-1|url-access=registration|url=https://archive.org/details/calculus01apos}}.
* {{Citation|last=[[John Lane Bell|Bell]]|first=John L.|url=http://publish.uwo.ca/~jbell/invitation%20to%20SIA.pdf|title=Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis|year=1998}}.
* {{Citation|first=Carl B.|last=Boyer|author-link=Carl Benjamin Boyer|title=A History of Mathematics|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|year=1991|isbn=978-0-471-54397-8|chapter=Archimedes of Syracuse|url-access=registration|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye}}.
* {{Citation|last=Darling|first=R. W. R.|title=Differential forms and connections|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge, UK|year=1994|isbn=978-0-521-46800-8}}.
* {{Citation|author1-link=David Eisenbud|first1=David|last1=Eisenbud|author2-link=Joe Harris (mathematician)|first2=Joe|last2=Harris|year=1998|title=The Geometry of Schemes|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-98637-1}}
* {{Citation|author-link=Howard Jerome Keisler|first=H. Jerome|last=Keisler|title=Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach|edition=2nd|year=1986|url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html}}.
* {{Citation|first=Anders|last=Kock|url=http://home.imf.au.dk/kock/sdg99.pdf|title=Synthetic Differential Geometry|publisher=Cambridge University Press|edition=2nd|year=2006}}.
* {{Citation|author-link=William Lawvere|first=F.W.|last=Lawvere|url=http://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere/SDG_Outline.pdf|title=Outline of synthetic differential geometry|publication-date=1998|year=1968}}.
* {{Citation|last1=Moerdijk|first1=I.|author1-link=Ieke Moerdijk|last2=Reyes|first2=G.E.|title=Models for Smooth Infinitesimal Analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1991}}.
* {{Citation|last1=Robinson|first1=Abraham|author1-link=Abraham Robinson|title=Non-standard analysis|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-04490-3|year=1996}}.
* {{MathWorld|title=Differentials|urlname=Differential}}{{set index article|mathematics}}