Lihat sumber Diagram Hasse

{{Short description|Visual depiction of a partially ordered set}}{{confuse|diagram Hess}}
[[Berkas:Inclusion_ordering.svg|jmpl|[[Himpunan kuasa]] dari himpunan 2-elemen yang diurutkan berdasarkan operasi [[Subset|subset (inklusi)]].]]
Dalam [[teori order]], '''diagram Hasse''' ({{IPAc-en|ˈ|h|æ|s|ə}}; {{IPA-de|ˈhasə|lang}}) adalah sebuah tipe [[diagram matematika]] yang digunakan untuk menyatakan sebuah [[himpunan terurut parsial]] berhingga, dalam bentuk gambar [[reduksi transitif]]nya. Lebih spesifik, untuk sebuah himpunan terurut parsial <math>(S,\, \leq)</math>, setiap elemen dari <math>S</math> akan merepresentasikan sebuah [[Simpul (teori graf)|simpul]]; dan segmen garis/kurva yang ''naik'' dari <math>x</math> dan <math>y</math> digambarkan ketika <math>x\neq y</math> dan <math>y</math> ''menutupi'' (''covers'') <math>x</math> (tidak ada <math>z</math> sehingga <math>x\leq z\leq y</math>). Kurva-kurva ini dapat saling bersilangan, namun tidak boleh menyentuh simpul-simpul apapun selain titik-titik ujungnya. Diagram yang dibuat dengan cara tersebut, dengan simpul-simpul berlabel, secara unik menentukan urutan parsial himpunan.

Diagram-diagram ini dinamai [[Helmut Hasse]] (1898-1979). Menurut {{harvs|txt|first=Garrett|last=Birkhoff|authorlink=Garrett Birkhoff|year=1948}}, diagram-diagram ini dinamakan demikian karena Hasse menggunakannya dengan efektif. Walaupun demikian, Hasse bukanlah yang pertama menggunakan diagram ini. Salah satu contoh yang mendahului Hasse dapat ditemukan pada {{harvs|txt|last=Vogt|first=Henri Gustav|year=1895}}. Meskipun diagram Hasse pada awalnya dirancang sebagai teknik untuk membuat gambar himpunan terurut parsial dengan tangan, namun baru-baru ini dapat dibuat secara otomatis dengan menggunakan teknik [[penggambaran graf]].<ref>E.g., see {{harvtxt|Di Battista|Tamassia|1988}} and {{harvtxt|Freese|2004}}.</ref>

Istilah "diagram Hasse" juga dapat merujuk kepada reduksi transitif sebagai sebuah [[graf asiklik terarah]] yang abstrak, terlepas dari penggambaran apapun dari graf tersebut; penggunaan istilah tersebut dihindari di artikel ini.<ref>{{citation|title=Graph theory: an algorithmic approach|first=Nicos|last=Christofides|publisher=Academic Press|year=1975|pages=170–174}}.</ref><ref>{{citation|title=Digraphs: Theory, Algorithms and Applications|first1=Jørgen|last1=Bang-Jensen|series=Springer Monographs in Mathematics|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|year=2008|isbn=978-1-84800-997-4|contribution=2.1 Acyclic Digraphs|pages=32–34}}.</ref><ref>{{citation|title=Graphs: Theory and Algorithms|first1=K.|last1=Thulasiraman|first2=M. N. S.|last2=Swamy|publisher=John Wiley and Son|year=1992|isbn=978-0-471-51356-8|contribution=5.7 Acyclic Directed Graphs|page=118}}.</ref>

== Desain diagram ==
Meskipun diagram Hasse adalah alat yang sederhana dan juga intuitif untuk berurusan dengan [[poset]] berhingga, secara implementasi agak sulit untuk dapat menggambar diagram Hasse yang "baik". Secara umum, hal ini akibatkan oleh banyaknya cara yang mungkin untuk menggambar diagram untuk poset yang diberikan. Teknik menggambar sederhana yang dimulai dari [[Elemen minimal dan maksimal|elemen-elemen minimal]] suatu urutan, dan kemudian menggambar elemen-elemen yang lebih besar secara bertahap, sering kali menghasilkan hasil yang sangat buruk: simetri dan struktur internal urutan mudah hilang.

Contoh berikut ini menunjukkan masalah tersebut. Pertimbangkan [[himpunan kuasa]] dari himpunan 4-elemen yang diurutkan berdasarkan inklusi <math>\subseteq</math>. Di bawah ini adalah empat diagram Hasse yang berbeda untuk urutan parsial ini. Setiap himpunan bagian memiliki simpul yang diberi label dengan pengkodean biner yang menunjukkan apakah elemen tertentu ada di dalam subset (1) atau tidak (0):
{| style="margin: 0 auto;"
|[[Berkas:Hypercubeorder_binary.svg|230x230px]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|[[Berkas:Hypercubecubes_binary.svg|260x260px]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|[[Berkas:Hypercubestar_binary.svg|240x240px]]
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|[[Berkas:Hypercubematrix_binary.svg|229x229px]]
|}
Diagram pertama memperjelas bahwa himpunan kuasa adalah ''[[graded poset]]''. Diagram kedua memiliki struktur ''graded'' yang sama, tetapi dengan membuat beberapa sisi lebih panjang dari yang lain, diagram ini menekankan bahwa [[Tesseract (geometri)|kubus 4-dimensi]] adalah gabungan kombinatorial dari dua kubus 3-dimensi. Diagram ketiga menunjukkan beberapa simetri internal dari struktur. Pada diagram keempat, simpul-simpul disusun seperti elemen-elemen dari [[Matriks (matematika)|matriks]] 4×4.

== Catatan kaki ==
{{reflist|2}}

== Referensi ==

* {{citation|first1=Kirby A.|last1=Baker|first2=Peter C.|last2=Fishburn|author2-link=Peter C. Fishburn|first3=Fred S.|last3=Roberts|author3-link=Fred S. Roberts|title=Partial orders of dimension 2|journal=Networks|volume=2|pages=11–28|issue=1|doi=10.1002/net.3230020103|year=1971}}.
* {{citation|last1=Bertolazzi|first1=R|last2=Di Battista|first2=G.|last3=Mannino|first3=C.|last4=Tamassia|first4=R.|author4-link=Roberto Tamassia|year=1993|contribution=Optimal upward planarity testing of single-source digraphs|title=[[European Symposium on Algorithms|Proc. 1st European Symposium on Algorithms (ESA '93)]]|volume=726|series=[[Lecture Notes in Computer Science]]|publisher=Springer-Verlag|pages=37–48|doi=10.1007/3-540-57273-2_42|isbn=978-3-540-57273-2|contribution-url=http://www.cs.brown.edu/research/pubs/pdfs/1998/Bertolazzi-1998-OUP.pdf}}.
* {{citation|first=Garrett|last=Birkhoff|authorlink=Garrett Birkhoff|title=Lattice Theory|edition=Revised|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=1948}}.
* {{citation|first=Hubert|last=Chan|contribution=A parameterized algorithm for upward planarity testing|title=[[European Symposium on Algorithms|Proc. 12th European Symposium on Algorithms (ESA '04)]]|year=2004|volume=3221|series=Lecture Notes in Computer Science|publisher=Springer-Verlag|pages=157–168|doi=10.1007/978-3-540-30140-0_16}}.
* {{citation|first1=G.|last1=Di Battista|first2=R.|last2=Tamassia|author2-link=Roberto Tamassia|title=Algorithms for plane representation of acyclic digraphs|journal=Theoretical Computer Science|volume=61|year=1988|pages=175–178|doi=10.1016/0304-3975(88)90123-5|issue=2–3|doi-access=free}}.
* {{citation|first=Ralph|last=Freese|contribution=Automated lattice drawing|title=Concept Lattices|publisher=Springer-Verlag|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=2961|pages=589–590|year=2004}}. An extended preprint is available online: .
* {{citation|first1=Ashim|last1=Garg|first2=Roberto|last2=Tamassia|author2-link=Roberto Tamassia|title=Upward planarity testing|journal=[[Order (journal)|Order]]|volume=12|pages=109–133|year=1995a|doi=10.1007/BF01108622|issue=2|s2cid=14183717}}.
* {{citation|first1=Ashim|last1=Garg|first2=Roberto|last2=Tamassia|author2-link=Roberto Tamassia|year=1995b|contribution=On the computational complexity of upward and rectilinear planarity testing|title=[[International Symposium on Graph Drawing|Graph Drawing (Proc. GD '94)]]|volume=894|series=LectureNotes in Computer Science|publisher=Springer-Verlag|pages=286–297|doi=10.1007/3-540-58950-3_384|isbn=978-3-540-58950-1|doi-access=free}}.
* {{citation|first1=Michael|last1=Jünger|first2=Sebastian|last2=Leipert|contribution=Level planar embedding in linear time|title=[[International Symposium on Graph Drawing|Graph Drawing (Proc. GD '99)]]|year=1999|volume=1731|pages=72–81|doi=10.1007/3-540-46648-7_7|series=Lecture Notes in Computer Science|isbn=978-3-540-66904-3|doi-access=free}}.
* {{citation|first=Henri Gustav|last=Vogt|publisher=Nony|year=1895|page=91|title=Leçons sur la résolution algébrique des équations}}.

== Pranala luar ==

* {{Commons-inline|list=**[[commons:Hasse diagram|Hasse diagram]] (Gallery)
**[[commons:Category:Hasse diagrams|Hasse diagrams]] (Category)}}
* {{mathworld|urlname=HasseDiagram|title=Hasse Diagram}}

{{Uncategorized|date=Februari 2023}}