Lihat sumber Deret harmonik (matematika)

Dalam [[matematika]], '''deret harmonik''' adalah [[Deret (matematika)|deret takhingga]] [[Deret divergen|divergen]]

: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots.</math>

Namanya diturunkan dari konsep [[nada tambahan]], atau harmonik [[Deret harmonik (musik)|dalam musik]]ː [[panjang gelombang]]<nowiki/>nya dari nada tambahan dari sebuah dawai yang bergetar adalah <math display="inline">\frac 1 2</math>, <math display="inline">\frac 1 3</math>, <math display="inline">\frac 1 4</math>, dst., dari [[Frekuensi dasar|panjang gelombang dasar]] dawai. Setiap suku dari deretnya setelah pertamanya adalah [[purata harmonik]] dari suku-suku tetangga, frasa ''purata harmonik'' juga diturunkan dari musik.

== Sejarah ==
Divergensi dari deret harmonik pertama kali dibuktikan dalam abad ke-14 oleh [[Nikolas Oresme|Nicole Oresme]],<ref>{{cite book|last=Oresme|first=Nicole|date=c. 1360|title=Quaestiones super Geometriam Euclidis|trans-title=Questions concerning Euclid's Geometry|authorlink=Nicole Oresme}}</ref> tetapi prestasi ini jatuh dalam ketidakjelasan. Bukti-bukti diberikan dalam abad ke-17 oleh [[Pietro Mengoli]]<ref>{{cite book|last=Mengoli|first=Pietro|date=1650|title=Novae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum|location=Bologna|publisher=Giacomo Monti|trans-title=New arithmetic quadrature (i.e., integration), or On the addition of fractions|chapter=Praefatio [Preface]|authorlink=Pietro Mengoli|chapter-url=https://books.google.com/books?id=f9eM5uQvRucC&pg=PP9}}Mengoli's proof is by contradiction:</ref> dan oleh [[Johann Bernoulli]],<ref>{{cite book|last=Bernoulli|first=Johann|date=1742|title=Opera Omnia|location=Lausanne & Basel|publisher=Marc-Michel Bousquet & Co.|at=vol. 4, p. 8|chapter=Corollary III of ''De seriebus varia''|authorlink=Johann Bernoulli|chapter-url=https://books.google.com/books?id=sxUOAAAAQAAJ&pg=PA6}}Johann Bernoulli's proof is also by contradiction. It uses a telescopic sum to represent each term {{sfrac|1|n}} as</ref> bukti terakhir dipublikasikan dan dipopulerkan oleh saudara laki-lakinya [[Jacob Bernoulli]].<ref>{{cite book|last=Bernoulli|first=Jacob|date=1689|title=Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita|location=Basel|publisher=J. Conrad|trans-title=Arithmetical propositions about infinite series and their finite sums|authorlink=Jacob Bernoulli}}</ref><ref>{{cite book|last1=Bernoulli|first=Jacob|date=1713|url=https://books.google.com/books?id=CF4UAAAAQAAJ&pg=PA250|title=Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis|location=Basel|publisher=Thurneysen|pages=250–251|trans-title=Theory of inference, posthumous work. With the Treatise on infinite series…|authorlink=Jacob Bernoulli}}From p. 250, prop. 16:</ref>

Menurut sejarah, barisan harmonik memiliki popularitas tertentu dengan arsitek-arsitek. Ini sangat khusus dalam periode [[Barok]], ketika arsitek-arsitek menggunakan mereka untuk medirikan [[Proporsi (arsitektur)|proporsi]] [[Gambar arsitektur#Denah lantai|denah lantai]], [[Gambaran arsitektur#Ketinggian|ketinggian]], dan untuk membangun hubungan harmonik antara detail arsitektur interior dan eksterior gereja dan istana.<ref>{{cite book|last=Hersey|first=George L.|title=Architecture and Geometry in the Age of the Baroque|pages=11–12, 37–51}}</ref>

== Divergensi ==
Terdapat beberapa bukti-bukti terkenal dari kedivergenan  dari deret harmonik. Beberapa dari mereka diberikan di bawah.

=== Uji perbandingan ===
Salah satu cara untuk membuktikan kedivergenan adalah membandingkan deret harmonik dengan deret divrergen, dimana setiap penyebut digantikan dengan [[pangkat dari dua]] terbesar berikutnyaː

: <math>\begin{alignat}{8}
   1 & + \frac{1}{2} && + \frac{1}{3} && + \frac{1}{4} && + \frac{1}{5} && + \frac{1}{6} && + \frac{1}{7} && + \frac{1}{8} && + \frac{1}{9} && + \cdots \\[5pt]

   {} \geq 1 & + \frac{1}{2} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{4}}} && + \frac{1}{4} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{8} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{16}}} && + \cdots
 \end{alignat}</math>

Setiap suku darai deret harmonik lebih besar atau sama dengan suku yang sesuai dari deret kedua, dan oleh karena itu jumlah dari deret harmonik harus lebih besar dariada sama dengan jumlah dari deret kedua. Namun, jumlah dari deret kedua adalah takhinggaː

: <math>\begin{align}
   & 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16}\right) + \cdots \\[5pt]
   {} = {} & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots = \infty.
 \end{align}</math>

Itu diikuti (oleh [[Uji perbandingan langsung|uji perbandingan]]) bahwa jumlah dari deret harmonik harus takhingga juga. Lebih tepatnya, perbandingan di atas membuktikan bahwa

: <math>\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{k}{2}</math>

untuk setiap [[bilangan bulat]] [[Tanda (matematika)|positif]] <math>k</math>.

Bukti ini, diusulkan oleh [[Nikolas Oresme|Nikol Oresme]] pada tahun 1350, dianggap oleh banyak orang di komunitas matematika{{by whom|date=September 2018}} menjadi titik tertinggi di [[Sejarah matematika#Matematika Roma dan pertengahan Eropa|matematika abad pertengahan]]. Ini masih menjadi bukti standar yang diajarkan di kelas matematika saat ini. [[Uji kondensansi Cauchy]] adalah sebuah generalisasi dari argumen ini.

=== Uji integral ===
[[Berkas:Integral_Test.svg|ka|jmpl|250x250px|Ilustrasi dari uji integral.]]
Ini memungkinkan untuk membuktikan bahwa deret harmonik divetgen dengan membandingkan jumlahnya dengan sebuah [[integral takwajar]]. Secara khusu, tinjau susunan persegi panjang-persegi panjang yang diberikan dalam gambar di sebelah kanan. Setiap persegi panjang adalah 1 satuan lebar dan <math>\frac 1 n</math> satuan panjang, jadi luas total dari jumlah takhingga persegi panjang adalah jumlah dari deret harmonik.

<math>\begin{array}{c} \text{luas} \\ \text{persegi panjang}\end{array}
= 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 4 + \frac 1 5 + \cdots</math>Sebagai tambahan, luas total di bawah kurva <math>y = \frac 1 x</math> dari <math>1</math> ke takhingga diberikan oleh sebuah [[integral takwajar]] divergen.ː

: <math>\begin{array}{c} \text{luas dibawah} \\ \text{kurva}\end{array}
= \int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx = \infty.</math>

Karena luas ini menyeluruh terkandung dalam persegi panjang, luas total dari persegi panjang harus takhingga juga. Lebih tepatnya, ini membuktikan bahwa

: <math> \sum_{n=1}^k \frac{1}{n} > \int_1^{k+1} \frac{1}{x}\,dx = \ln(k+1). </math>

Generalisasi argumen ini dikenal sebagai [[uji integral]].

== Rerata kedivergensi ==
Deret harmonik divergen secara perlahan. Sebagai contoh, jumlah dari suku <math>10^{43}</math> pertama kurang dari <math>100</math>.<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A082912|name=Sum of ''a''(''n'') terms of harmonic series is > 10<sup>''n''</sup>}}</ref> Ini dikarenakan jumlah parsial dari deretnya memiliki [[pertumbuhan logaritmik]]. Khususnya,

: <math>\sum_{n=1}^k\frac{1}{n} = \ln k + \gamma + \varepsilon_k \leq (\ln k) + 1</math>

dimana <math>\gamma</math> adalah [[konstanta Euler–Mascheroni]] dan <math>\varepsilon_k \sim \frac{1}{2k}</math> yang mendekati karena <math>k</math> menuju takhingga Leonhard Euler membuktikan baik ini dan juga fakta yang lebih mencolok bahwa jumlah yang mencakup [[Jumlah kebalikan dari bilangan prima divergen|kebalikan bilangan prima]] juga divergen, yaitu

: <math>\sum_{p\text{ bilangan prima }}\frac1p = \frac12 + \frac13 + \frac15 + \frac17 + \frac1{11} + \frac1{13} + \frac1{17} +\cdots = \infty.</math>

== Jumlah parsial ==
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed infobox" style="font-size:100%;line-height:0.8;text-align:left;"
|+{{Small|{{nobreak|Tigapuluh bilangan harmonik pertama}}}}
! rowspan="2" style="padding-top:1em;" |{{Mvar|n}}
! colspan="4" |Jumlah parsial dari deret harmonik, {{Mvar|H<sub>n</sub>}}
|-
! colspan="2" |diekspresikan sebagai sebuah pecahan
!desimal
!ukuran relatif
|-
| style="text-align:right;" |1
| colspan="2" style="text-align:center;" |1|| {{0|~}}{{bartable|1||20}}
|-
| style="text-align:right;" |2
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |3
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/2|| {{0|~}}{{bartable|1,5||20}}
|-
| style="text-align:right;" |3
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |11
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/6|| ~{{bartable|1,83333||20}}
|-
| style="text-align:right;" |4
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |25
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/12|| ~{{bartable|2,08333||20}}
|-
| style="text-align:right;" |5
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |137
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/60|| ~{{bartable|2,28333||20}}
|-
| style="text-align:right;" |6
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |49
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/20|| {{0|~}}{{bartable|2,45||20}}
|-
| style="text-align:right;" |7
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |363
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/140|| ~{{bartable|2,59286||20}}
|-
| style="text-align:right;" |8
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |761
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/280|| ~{{bartable|2,71786||20}}
|-
| style="text-align:right;" |9
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|7129}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|2520}}|| ~{{bartable|2,82897||20}}
|-
| style="text-align:right;" |10
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|7381}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|2520}}|| ~{{bartable|2,92897||20}}
|-
| style="text-align:right;" |11
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|83711}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|27720}}|| ~{{bartable|3,01988||20}}
|-
| style="text-align:right;" |12
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|86021}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|27720}}|| ~{{bartable|3,10321||20}}
|-
| style="text-align:right;" |13
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|1145993}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|360360}}|| ~{{bartable|3,18013||20}}
|-
| style="text-align:right;" |14
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|1171733}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|360360}}|| ~{{bartable|3,25156||20}}
|-
| style="text-align:right;" |15
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|1195757}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|360360}}|| ~{{bartable|3,31823||20}}
|-
| style="text-align:right;" |16
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|2436559}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|720720}}|| ~{{bartable|3,38073||20}}
|-
| style="text-align:right;" |17
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|42142223}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|12252240}}|| ~{{bartable|3,43955||20}}
|-
| style="text-align:right;" |18
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|14274301}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|4084080}}|| ~{{bartable|3,49511||20}}
|-
| style="text-align:right;" |19
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|275295799}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|77597520}}|| ~{{bartable|3,54774||20}}
|-
| style="text-align:right;" |20
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|55835135}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|15519504}}|| ~{{bartable|3,59774||20}}
|-
| style="text-align:right;" |21
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|18858053}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|5173168}}|| ~{{bartable|3,64536||20}}
|-
| style="text-align:right;" |22
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|19093197}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|5173168}}|| ~{{bartable|3,69081||20}}
|-
| style="text-align:right;" |23
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|444316699}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|118982864}}|| ~{{bartable|3,73429||20}}
|-
| style="text-align:right;" |24
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|1347822955}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|356948592}}|| ~{{bartable|3,77596||20}}
|-
| style="text-align:right;" |25
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|34052522467}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|8923714800}}|| ~{{bartable|3,81596||20}}
|-
| style="text-align:right;" |26
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|34395742267}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|8923714800}}|| ~{{bartable|3,85442||20}}
|-
| style="text-align:right;" |27
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|312536252003}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|80313433200}}|| ~{{bartable|3,89146||20}}
|-
| style="text-align:right;" |28
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|315404588903}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|80313433200}}|| ~{{bartable|3,92717||20}}
|-
| style="text-align:right;" |29
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|9227046511387}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|2329089562800}}|| ~{{bartable|3,96165||20}}
|-
| style="text-align:right;" |30
| style="border-right:none;text-align:right;padding-right:0;" |{{Val|9304682830147}}
| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|2329089562800}}|| ~{{bartable|3,99499||20}}
|}
Jumlah-jumlah parsial terhingga dari deret harmonik divergen,

: <math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},</math>

disebut [[bilangan harmonik]]

Selisih antara <math>H_n</math> dan <math>\ln n</math> konvergen dengan [[konstanta Euler–Mascheroni]]. Selisih antara setiap dua bilangan harmonik tidak pernah sebuah bilangan bulat. Tidak ada bilangan harmonik adalah bilangan bulat, kecuali untuk <math>H_1 = 1</math>.<ref>Julian Havil, ''Gamma: Exploring Euler’s Constant'', Princeton University Press, 2009.</ref>{{rp|p. 24}}<ref>Thomas J. Osler, “Partial sums of series that cannot be an integer”, ''The Mathematical Gazette'' 96, November 2012, 515–519. https://www.jstor.org/stable/24496876?seq=1#page_scan_tab_contents</ref>{{rp|Thm. 1}}

== Deret yang berkaitan ==

=== Deret harmonik bolak-balik ===
[[Berkas:Alternating_Harmonic_Series.PNG|ka|jmpl|240x240px|Jumlah parsial empat belas pertama dari deret harmonik bergantian (segmen garis berwarna hitam) menunjukkan kekonvergenan pada logaritma natural 2 (garis berwarna merah).]]
Deret

: <math>\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots</math>

dikenal sebagai '''deret harmonik bolak-balik'''. Deret ini konvergen oleh [[uji deret bolak-balik]]. Khususnya, jumlahnya sama dengan [[logaritma natural 2]]ː

: <math>1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots = \ln 2.</math>

Deret harmonik bolak-balik, sementara [[Keonvergenan bersyarat|konvergen bersyarat]], tidak [[Kekonvergenan mutlak|sepenuhnya konvergen]]: jika asuku-suku dalam deret diatur ulang secara sistematis, secara umum jumlahnya menjadi berbeda dan , bergantung pada penyusunan kembali, bahkan mungkin takhingga.

Rumus deret harmonik bolak-balik adalah sebuah kasus spesial dari [[deret Mercator]], [[deret Taylor]] untuk [[Logaritma alami|logaritma natural]].

Sebuah deret berkaitan bisa diturunkan dari deret Taylor untuk [[Fungsi trigonometri invers|arctangen]]ː

: <math>\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}.</math>

Iini dikenal sebagai [[deret Leibniz]].

=== Deret harmonik umum ===
Deret harmonik umum adalah dari bentuk

: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{an+b} ,</math>

dimana <math>a \ne 0</math> dan <math>b   </math> adalah bilangna real, dan <math>\frac b a</math> bukan nol atau sebuah bilangan bulat negatif.

Dengan uji perbandingan limit dengan deret harmonik, semua deret harmonik umum juga divergen.

=== Deret-''p'' ===
Sebuah generalisasi dari deret harmonik adalah '''deret-''p''''' (atau '''deret hiperharmonik'''), didefinisikan sebagai

: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}</math>

untuk setiap bilangan real <math>p</math>. Ketika <math>p = 1</math>, deret-''p'' adalah deret harmonik, yang divergen. Baik itu [[uji integral]] atau [[uji kondensasi Cauchy]] menunjukkan bahwa deret-''p'' konvergen untuk semua <math>p > 1</math> (dalam hal ini disebut '''deret lebih-harmonik''') dan divergen untuk semua <math>p \le 1</math>. Jika <math>p > 1</math> maka jumlah dari deret-''p'' adalah <math>\zeta(p) </math>, yaitu [[fungsi zeta Riemann]] dievaluasi sebagai <math>p</math>

Masalah mencari jumlah untuk <math>p = 2</math> disebut [[masalah Basel]]; [[Leonhard Euler]] menunjukkan ini bernilai <math>\frac{\pi^2}{6}       </math>. Nilai dari jumlah untuk <math>p = 3</math> disebut [[konstanta Apéry]], karena [[Roger Apéry]] membuktikan bahwa itu adalah sebuah [[bilangan irasional]].

=== Deret-ln ===
Berkaitan dengan '''deret-''p''''' adalah '''deret-ln''', didefinisikan sebagai

: <math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n (\ln n)^p}</math>

untuk setiap bilangan real positif <math>p</math>. Ini bisa ditunjukkan oleh uji integral untuk divergen untuk <math>p \le 1</math> tetapi onvergen untuk semua <math>p > 1</math>.

=== Deret-''φ'' ===
Untuk setiap [[Fungsi cembung|cembung]], fungsi bernilai real <math>\varphi    </math> seperti

: <math>\limsup_{u\to 0^+}\frac{\varphi\left(\frac{u}{2}\right)}{\varphi(u)} < \frac{1}{2}, </math>

deret

: <math>\sum_{n=1}^\infty \varphi\left(\frac{1}{n}\right)</math>

konvergen.{{citation needed|date=February 2018}}

=== Deret harmonik acak ===
Deret harmonik acak

: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},</math>

dimana <math>s_n</math> adalah [[Independensi statistik|independen]], variabel acak terdistribusi identik yang mengambil nilai <math>+1</math> dan <math>-1</math> dengan propabilitas sama dengan <math>\frac 1 2</math>, dikenal sebagai sebuah contoh dalam teori probabilitas [[Hampir pasti|dengan probabilitas 1]]. Fakta kekonvergenan ini adalah konsekuensi mudah dari [[teorema tiga deret Kolmogorov]] atau dari [[Pertidaksamaan Kolmogorov|pertidaksamaan maksimal Kolmogorov]] yang terkait erat. Borin Schmuland dari Universitas [[Alberta]] lebih lanjut<ref>{{cite journal|last=Schmuland|first=Byron|date=May 2003|title=Random Harmonic Series|url=http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/rhs.pdf|journal=American Mathematical Monthly|volume=110|issue=5|pages=407–416|doi=10.2307/3647827|jstor=3647827|access-date=2020-11-25|archive-date=2011-06-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20110608070922/http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/rhs.pdf|dead-url=yes}}</ref> memeriksa sifat-sifat dari deret harmonik acak, dan menunjukkan bahwa deret konvergen adalah sebuah [[variabel acak]] dengan beberapa sifat-sifat yang menarik. Khususnya, [[fungsi kepekatan probabilitas]] dari variabel acak ini dievalusi pada <math>+2</math> atau pada <math>-2</math> mengambil nilai <math>0.124\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 764\dots</math>, berbeda dari <math>\frac 1 8</math> kurang dari <math>10^{-42}</math>. Makalah Schmuland menjelaskan mengapa probabilitas ini sangat dekat, tetapi tidak persis, <math>\frac 1 8</math>. Nilai pasti dari probabilias ini diberikan oleh integral produk kosinus takhingga <math>C_2</math><ref>{{MathWorld|title=Infinite Cosine Product Integral|id=InfiniteCosineProductIntegral|access-date=November 9, 2020}}</ref> dibagi oleh <math>\pi</math>.

=== Deret harmonik habis ===
Deret harmonik habis dimana semua dari suku-suku yang digit 9 muncul dimana saja dalampenyebut dihapus dapat ditampilkan untuk konvergen ke nilai <math>22.92067\ 66192\ 64150\ 34816\dots</math>..<ref>{{cite journal|author=Robert Baillie|date=May 1979|title=Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=86|pages=372–374|doi=10.1080/00029890.1979.11994810|jstor=2321096|number=5}}</ref> Faktanya, ketika semua suku berisi setiap deretan bilangan tertentu (dalam setiap [[Dasar bilangan|basis]]) dihilangkan, deretnya konvergen.<ref>{{cite journal|author=Thomas Schmelzer and Robert Baillie|date=Jun 2008|title=Summing a Curious, Slowly Convergent Series|journal=The American Mathematical Monthly|volume=115|pages=545–540|jstor=27642532|number=6}}</ref>

== Penerapan ==
Deret harmonik bisa [[berlawanan dengan intuisi]] siswa yang pertama kali menjumpainya, itu adalah sebuah [[deret divergen]] meskipun limit dari suku ke-<math>n    </math> saat <math>n   </math> menuju ke takhingga adalah nol. Kedivergenan dari deret harmonik juga merupakan sumber dari beberapa [[paradoks]] yang jelas. Salah satu dari contoh-contoh ini adalah "[[Semut di atas tali karet|cacing di gelang karet]]".<ref name="autogenerated258">{{Citation|last1=Graham|first1=Ronald|author1-link=Ronald Graham|last2=Knuth|first2=Donald E.|author2-link=Donald Knuth|last3=Patashnik|first3=Oren|author3-link=Oren Patashnik|title=Concrete Mathematics|publisher=[[Addison-Wesley]]|edition=2nd|isbn=978-0-201-55802-9|year=1989|pages=258–264}}</ref> Andaikan bahwa sebuah cacing merangkak di sekitar karet gelang satu meter dengan elastis takhingga pada saat yang sama saat karet gelang direngangkan terdistribusi secara merata. Jika cacing berjalan 1&nbsp;cm per meint dan karetnya meregang 1 meter per menit, akankah cacing mencapai akhir dari gelang karet? Jawabannya. secara berlawanan, "ya", untuk setelah <math>n    </math> menit, rasionya dari jarak berpergian oleh cacing dengan panjang totoal dari gelang karet adalah

: <math>\frac{1}{100}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}.</math>

(Faktanya rasio sebenarnya sedikit kurang dari penjumlahan ini karena gelang memanjang terus-menerus.)

Karena deeretnya menjadi besar secara sebarang saat <math>n    </math> menjadi besar, akhirnya rasio ini harus melebihi 1, yang menyiratkan bahwa cacing mencapai akhir dari gelang karet. Namun, nilai <math>n    </math> di mana ini terjadi harus sangat besar; sekitar <math>e^{100}</math>, sebuah bilangan melebihi <math>10^{43} </math> menit (<math>10^{37}</math> tahun). Meskipun deret harmonik divergen, itu melakukannya dengan sangat lambat.

Masalah lainnya melibatkan deret harmonik adalah [[masalah jip]], yang (dalam satu bentuk) menanyakan berapa total bahan bakar yang dibutuhkan untuk sebuah [[Willys MB|jip]] dengan daya dukung bahan bakar yang terbatas untuk menyeberangi gurun, kemungkinan menyebabkan penurunan bahan bakar di sepanjang rute. Jarak yang bisa dilintasi dengan jumlah bahan bakar berkaitan dengan jumlah parsial dari deret harmonik, yang tumbuh secara logaritmik. Dan juga bahan bakar dibutuhkan meningkat secara eksponensial dengan jarak yang diinginkan.
[[Berkas:Block_stacking_problem.svg|jmpl|250x250px|[[Masalah penumpukan balok]], balok-balok sejajar menurut jembatan pembelahan deret harmonik dari setiap lebar.]]
Contoh lain adalah [[masalah penumpukan balok]], diberikan sebuah kumpulan domino yang identik, ini jelas mungkin untuk menumpukkan mereka pada tepi dari sebuah meja sehingga mereka menggantung di tepi dari meja tanpa jatuh. Hasil yang berlawanan dengan intuisi adalah bahwa salah satu bisa menumpukkan mereka sedemikian rupa untuk membuat bergantungan menjadi besar, asalkan ada domnio yang cukup.<ref name="autogenerated258"/><ref>{{cite journal|last=Sharp|first=R. T.|year=1954|title=Problem 52: Overhanging dominoes|url=http://www.pme-math.org/journal/issues/PMEJ.Vol.1.No.10.pdf|journal=Pi Mu Epsilon Journal|volume=1|issue=10|pages=411–412}}</ref>

Sebuah contoh yang lebih sederhana, di samping itu, adalah perenang yang tetap menambahkan lebih banyak kecepatan ketika menyentuh tembok dari kolam. Perenang mulai melintasi sebuah kolam 10 meter pada sebuah kecepatan 2 m.s, dan dengan setiap lintasan, 2&nbsp;m/s lainnya ditambahkan ke kecepatan. Dalam teori, kecepatan perenang adalah tak terbatas, tetapi jumlah lintasan yang dibutuhkan untuk mencapai kecepatan itu menjadi sangat besar; contohnya, untuk mencapai [[kecepatan cahaya]] (abaikan [[relativitas khusus]]), perenang membutuhkan untuk melintasi kolam 150 juta kali. Berbeda dengan jumlah besar ini, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai sebuah keceptan yang diberikan tergantung pada penjumlahan dari deretnya pada setiap diberikan jumlah lintasan kolam (berulang)ː

: <math>\frac{10}{2}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}.</math>

Menghitung jumlah (secara berulang) menunjukkan bahwa untuk mencapai kecepatan cahaya, waktu yang dibutuhkan hanya 97 detik. Dengan melanjtukan melampaui titik ini (melebihi kecepatan cahaya, lagi abaikan [[relativitas khusus]]), waktu yang diambil untuk melintasi kolam pada kenyataannya akan mendekati nol saat jumlah berulang menjadi sangat besar, da meskipun waktu yang dibutuhkan untuk melintasi kolam muncul untuk cenderung ke nol (pada sebuah bilangan takhingga berulang), jumlah berulang (waktu yang diberikan untuk total lintasan kolam) akan tetap divergen pada sebuah divergen dengan kecepatan yang sangat lambat.

== Lihat pula ==

* [[Barisan harmonik]]
* [[Daftar jumlah timbal balik]]
* [[Fungsi eta Dirichlet]]

== Referensi ==
{{Reflist|30em}}

== Pranala luar ==

* {{SpringerEOM|title=Harmonic series|id=p/h046540}}
* {{Cite journal|date=2006|title=The Harmonic Series Diverges Again and Again|url=http://prairiestate.edu/skifowit/harmapa.pdf|journal=The AMATYC Review|volume=27|pages=31–43|access-date=2020-11-25|archive-date=2013-05-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20130515200033/http://prairiestate.edu/skifowit/harmapa.pdf|dead-url=yes}}
* {{MathWorld|title=Harmonic Series}}
* {{MathWorld|title=Book Stacking Problem}}
* {{Cite journal|last=Hudelson|first=Matt|date=1 October 2010|title=Proof Without Words: The Alternating Harmonic Series Sums to ln 2|url=http://www.maa.org/sites/default/files/Hudleson-MMz-201007804.pdf|journal=Mathematics Magazine|volume=83|issue=4|page=294|doi=10.4169/002557010X521831}}

{{Topik kalkulus}}

[[Kategori:Deret divergen]]
[[Kategori:Bukti tanpa kata-kata]]