Lihat sumber Darab

{{Periksa terjemahan|en|Product (mathematics)}}{{Operasi aritmetika}}
Dalam [[matematika]], '''darab''' atau '''hasil kali''' adalah hasil dari operasi [[perkalian]], atau ekspresi yang mengidentifikasi [[pembagi|faktor]] untuk dikalikan. Misalnya, 30 adalah hasil kali dari 6 dan 5 (hasil perkalian), dan <math>x\cdot (2+x)</math> adalah hasil kali <math>x</math> dan <math>(2+x)</math> (menunjukkan bahwa kedua faktor tersebut harus dikalikan bersama).

Dimana urutan [[bilangan real|real]] atau [[bilangan kompleks|kompleks]] adalah [[perkalian]] tidak berpengaruh pada darab; ini dikenal sebagai [[Komutatif|hukum komutatif]] dari perkalian. Ketika [[matriks (matematika)|matriks]] atau anggota dari berbagai [[aljabar asosiatif]] lainnya dikalikan, darab biasanya tergantung pada urutan faktor. [[Perkalian matriks]], misalnya, bukan komutatif, demikian juga perkalian dalam aljabar lain secara umum.

Ada banyak jenis darab dalam matematika: selain dapat mengalikan bilangan saja, polinomial atau matriks, apabila mendefinisikan produk pada banyak [[struktur aljabar]] yang berbeda.

==Darab dari dua bilangan==
{{main|perkalian}}

===Darab dari dua bilangan asli===
[[Berkas:Three by Four.svg|thumb|3 kali 4 adalah 12]]

Menempatkan beberapa batu ke dalam pola persegi panjang dengan baris <math>r</math> dan kolom <math>s</math> memberikan

:<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ kali}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+jsa\cdots+s }_{r\text{ kali}} </math>

===Darab dari dua bilangan bulat===
Bilangan bulat memungkinkan bilangan positif dan negatif. Darab ditentukan oleh darab dari jumlah positif mereka, dikombinasikan dengan tanda yang diturunkan dari aturan berikut:

:<math>\begin{array}{|c|c  c|}
                   \hline
  \cdot & - & + \\ \hline
    -   & + & - \\ 
    +   & - & + \\ \hline
\end{array}</math>
Kaidah ini merupakan konsekuensi yang diperlukan dari menuntut [[sifat distributif|distributivitas]] perkalian terhadap penjumlahan, dan bukan merupakan ''kaidah tambahan''.

Dengan kata-kata, kita memiliki:
* Minus kali Minus memberi Plus
* Minus kali Plus memberi Minus
* Plus kali Minus memberi Minus
* Plus kali Plus memberi Plus

===Perkalian dua pecahan===
Dua pecahan apabila dikalikan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya, adalah:

:<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math>

=== Darab dua bilangan real ===

Untuk definisi yang tepat dari darab dua bilangan real, lihat [[Konstruksi bilangan real]].

;Rumus

{{Math theorem|name=[[Pertidaksamaan Young untuk darab|Teorema]]{{sfn | Jarchow | 1981 | pp=47-55}}|math_statement=
Misalkan {{math|''a'' > 0}} dan {{math|''b'' > 0}}.
Jika {{math|1 < ''p'' < ∞}} dan {{math|1=''q'' := {{sfrac|''p''|''p'' - 1}}}} maka
:{{math|1=''ab'' = {{underset|{{math|0 < ''t'' < ∞}}|min}} {{sfrac|''t''&thinsp;<sup>''p''</sup> ''a''&thinsp;<sup>''p''</sup>|''p''}} + {{sfrac|''t''&thinsp;<sup>- ''q''</sup> ''b''&thinsp;<sup>''q''</sup>|''q''}}}}. 
}}

{{Math proof|drop=hidden|title=Bukti{{sfn | Jarchow | 1981 | pp=47-55}}|proof=
Tentukan fungsi bernilai real {{mvar|f}} pada bilangan real positif dengan
:{{math|1=''f'' (''t'') := {{sfrac|''t''&thinsp;<sup>''p''</sup> ''a''&thinsp;<sup>''p''</sup>|''p''}} + {{sfrac|''t''&thinsp;<sup>−''q''</sup> ''b''&thinsp;<sup>''q''</sup>|''q''}}}}
untuk setiap {{math|''t'' > 0}} lalu hitung minimumnya. 
}}

===Darab dari dua bilangan kompleks===
Dua bilangan kompleks dapat dikalikan dengan hukum distributif dan fakta bahwa <math> i^2=-1</math>, sebagai berikut:
:<math>\begin{align}
  (a + b\, i) \cdot (c + d\, i) 
    &= a \cdot c + a \cdot d\, i + b \cdot c \, i + b \cdot d \cdot i^2\\
    &= (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) \, i
\end{align}</math>

====Makna geometris dari perkalian kompleks====
[[Berkas:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|Bilangan kompleks dalam koordinat polar.]]
Bilangan kompleks dapat ditulis dalam [[koordinat polar]]:
:<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) +  i \sin(\varphi) ) = r \cdot  e ^{ i \varphi} </math>

Selain itu,
:<math>c + d\, i = s \cdot ( \cos(\psi) +  i\sin(\psi) ) = s \cdot e^{i\psi},</math>

apabila memperoleh
:<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>

Arti geometris adalah bahwa besaran dikalikan dan argumen ditambahkan.

===Darab dari dua kuaternion===
Produk dari dua [[quaternion]]s dapat ditemukan di artikel [[quaternions]]. Perhatikan, dalam hal ini, bahwa <matH>a \cdot b</math> dan <math>b \cdot a</matH> secara umum berbeda.

==Darab barisan{{anchor|Darab barisan}}==
{{See also|Perkalian#Darab barisan}}
Operator perkalian untuk [[Perkalian#Notasi Pi kapital|darab barisan]] dilambangkan dengan huruf Yunani kapital [[Pi (huruf)|pi]] <span style="font-family: times, serif; font-size:150%">∏</span> (dalam analogi penggunaan huruf kapital Sigma <span style="font-family: times, serif; font-size:150%">∑</span> sebagai simbol [[penjumlahan]]).<ref>{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-16|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Product|url=https://mathworld.wolfram.com/Product.html|access-date=2020-08-16|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Misalnya, ekspresi <math>\textstyle \prod_{i=1}^{6}i^2</math> adalah cara lain untuk menulis <math>1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36</math>.<ref>{{Cite web|title=Summation and Product Notation|url=https://math.illinoisstate.edu/day/courses/old/305/contentsummationnotation.html|access-date=2020-08-16|website=math.illinoisstate.edu}}</ref>

Darab dari suatu barisan yang hanya terdiri dari satu bilangan adalah bilangan-diri; darab dari tidak ada faktor sama sekali dikenal sebagai [[darab kosong]], dan sama dengan 1.

== Gelanggang komutatif ==
[[Gelanggang komutatif]] memiliki operasi darab.

===Kelas residu bilangan bulat===
{{main|kelas residu}}
Kelas residu di gelanggang <math>\Z/N\Z</math> dapat ditambahkan:

:<math>(a + N\Z) + (b + N\Z) = a + b + N\Z</math>

dan dikalikan:

:<math>(a + N\Z) \cdot (b + N\Z) = a \cdot b + N\Z</math>

===Konvolusi===
{{main|konvolusi}}
[[Gambar:Convolucion Funcion Pi.gif|thumb|upright=1.5|Konvolusi gelombang persegi dengan sendiri memberikan fungsi segitiga]]

Dua fungsi dari real ke sendiri apabila dikalikan dengan cara lain, yang disebut [[konvolusi]].

Jika
:<math>
  \int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)|\,\mathrm{d}t < \infty\qquad\mbox{dan}\qquad
  \int\limits_{-\infty}^\infty |g(t)|\,\mathrm{d}t < \infty,
</math>

maka integralnya

:<math>(f*g) (t) \;:= \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)\cdot g(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau </math>

didefinisikan dengan rapi dan disebut konvolusi.

Dibawah [[transformasi Fourier]], konvolusi menjadi perkalian fungsi titik-lawan.

===Gelanggang polinomial===
{{main|gelanggang polinomial}}
Darab dari dua polinomial diberikan oleh yang berikut:
:<math>\left(\sum_{i=0}^n a_i X^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^m b_j X^j\right) = \sum_{k=0}^{n+m} c_k X^k </math>

dengan

:<math> c_k = \sum_{i+j=k} a_i \cdot b_j </math>

==Darab dalam aljabar linear==
Ada banyak jenis produk dalam [[aljabar linear]]. Beberapa diantaranya memiliki nama yang mirip ([[darab luar|darab luar (outer)]], [[darab luar|darab luar (eksterior)]]) dengan arti yang sangat berbeda, sementara yang lain memiliki nama yang sangat berbeda (darab luar, darab tensor, darab Kronecker) namun pada dasarnya menyampaikan ide yang sama. Penjelasan singkat tentang ini diberikan di bagian berikut:

===Perkalian skalar===
{{main|perkalian skalar}}
Dengan definisi [[ruang vektor]], apabila produk skalar dengan vektor, diberikan peta <math>\R \times V \rightarrow V</math>.

===Darab skalar===
{{main|darab skalar}}
[[Darab skalar]] adalah peta bi-linear:

:<math>\cdot : V \times V \rightarrow \R </math>

dengan ketentuan sebagai berikut, bahwa <math>v \cdot v > 0</math> untuk semua <math>0 \not= v \in V</math>.

Dari produk skalar, apabila mendefinisikan [[Norma (matematika)|norma]] dengan <math>\|v\| := \sqrt{v \cdot v} </math>.

Darab skalar juga memungkinkan untuk menentukan sudut antara dua vektor:

:<math>\cos\angle(v, w) = \frac{v \cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}</math>

Dalam ruang Euklidean dimensi-<math>n</math>, darab skalar standar (disebut [[darab titik]]) diberikan oleh:

:<math>\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n \beta_i e_i\right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\beta_i</math>

===Perkalian silang dalam ruang 3 dimensi===
{{main|perkalian silang}}
[[Perkalian silang]] dari dua vektor dalam 3 dimensi adalah vektor tegak lurus terhadap dua faktor, dengan panjang sama dengan luas jajar genjang yang direntang oleh dua faktor.

Perkalian silang juga dinyatakan sebagai [[perhitungan formal|formal]]{{Efn|Di sini, "formal" berarti bahwa notasi ini memiliki bentuk determinan, tetapi tidak secara ketat memenuhi definisi; itu adalah mnemonik yang digunakan untuk mengingat perluasan perkalian silang.}} [[determinan]]:
:<math>\mathbf{u \times v} = \begin{vmatrix}
  \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
         u_1 &        u_2 &        u_3 \\
         v_1 &        v_2 &        v_3 \\
\end{vmatrix}</math>

===Komposisi pemetaan linear===
{{main|komposisi fungsi}}
Pemetaan linear didefinisikan sebagai fungsi ''f'' antara dua ruang vektor ''V'' dan ''W'' dengan bidang dasar '''F''', yang memenuhi<ref>{{cite book|last1=Clarke|first1=Francis|title=Functional analysis, calculus of variations and optimal control|url=https://archive.org/details/functionalanalys00clar|date=2013|publisher=Springer|location=Dordrecht|isbn=1447148207|pages=[https://archive.org/details/functionalanalys00clar/page/n21 9]–10}}</ref>
:<math>f(t_1 x_1 + t_2 x_2) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2), \forall x_1, x_2 \in V, \forall t_1, t_2 \in \mathbb{F}.</math>

Jika hanya mempertimbangkan ruang vektor dimensi hingga, maka
:<math>f(\mathbf{v}) = f\left(v_i \mathbf{b_V}^i\right) = v_i f\left(\mathbf{b_V}^i\right) = {f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j,</math>
dimana '''b<sub>V</sub>''' dan '''b<sub>W</sub>''' menunjukkan [[basis (aljabar linear)|basis]] dari ''V'' dan ''W'', dan ''v<sub>i</sub>'' menunjukkan [[Tensor#Definisi|komponen]] dari '''v''' pada '''b<sub>V</sub>'''<sup>''i''</sup>, dan [[notasi Einstein|konvensi penjumlahan Einstein]] diterapkan.

Sekarang kita mempertimbangkan komposisi dua pemetaan linear antara ruang vektor dimensi hingga. Biarkan pemetaan linier ''f'' memetakan ''V'' ke ''W'', dan pemetaan linear ''g'' memetakan ''W'' ke ''U''. Apabila jika bisa mendapatkan
:<math>g \circ f(\mathbf{v}) = g\left({f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j\right) = {g^j}_k {f^i}_j v_i \mathbf{b_U}^k.</math>

Atau dalam bentuk matriks:
:<math>g \circ f(\mathbf{v}) = \mathbf{G} \mathbf{F} \mathbf{v},</math>
di mana elemen kolom ''i''-baris, ''j''-kolom '''F''', dilambangkan dengan ''F<sub>ij</sub>'', adalah ''f<sup >j</sup><sub>i</sub>'', dan ''G<sub>ij</sub>=g<sup>j</sup><sub>i</sub>''.

Komposisi lebih dari dua pemetaan linear diwakilan dengan cara yang sama oleh kaidah perkalian matriks.

===Darab dari dua matriks===
{{main|darab matriks}}

Diberikan dua matriks

:<math>A = (a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r} \in \R^{s\times r}</math> dan <math>B = (b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \R^{r\times t}</math>

darab diberikan oleh

:<math>B \cdot A = \left( \sum_{j=1}^r a_{i,j} \cdot b_{j,k} \right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t} \;\in\R^{s\times t}</math>

===Komposisi fungsi linear sebagai darab matriks===
Ada hubungan antara komposisi fungsi linear dan darab dua matriks. Untuk melihat ini, misalkan r = redup(U), s = redup(V) dan t = redup(W) adalah [[dimensi (matematika)|dimensi]] (hingga) dari ruang vektor U, V dan W. Maka 
<math>\mathcal U = \{u_1, \ldots, u_r\}</math> menjadi [[basis (aljabar linear)|basis]] dari U, 
<math>\mathcal V = \{v_1, \ldots, v_s\}</math> menjadi basis dari V dan
<math>\mathcal W = \{w_1, \ldots, w_t\}</math> menjadi basis dari W. Dalam hal dasar ini, mari
<math>A = M^{\mathcal U}_{\mathcal V}(f) \in \R^{s\times r}</math>
menjadi matriks yang mewakili f : U → V dan
<math>B = M^{\mathcal V}_{\mathcal W}(g) \in \R^{r\times t}</math> 
menjadi matriks yang mewakili g : V → W. Maka

:<math>B\cdot A = M^{\mathcal U}_{\mathcal W} (g \circ f) \in \R^{s\times t}</math>

adalah matriks yang mewakili <math>g \circ f : U \rightarrow W</math>.

Dengan kata lain: darab matriks adalah deskripsi dalam koordinat komposisi fungsi linear.

===Darab tensor dari ruang vektor===
{{main|Darab tensor}}

Diberikan dua ruang vektor berdimensi hingga ''V'' dan ''W'', hasil kali tensornya dapat didefinisikan sebagai tensor-(2,0) yang memenuhi:
:<math>V \otimes W(v, m) = V(v) W(w), \forall v \in V^*, \forall w \in W^*,</math>
dimana ''V<sup>*</sup>'' dan ''W<sup>*</sup>'' menunjukkan [[ruang ganda]] dari ''V'' dan ''W''.<ref>{{cite book|last1=Boothby|first1=William M.|title=An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry|url=https://archive.org/details/introductiontodi0000boot|url-access=registration|date=1986|publisher=Academic Press|location=Orlando|isbn=0080874398|page=[https://archive.org/details/introductiontodi0000boot/page/200 200]|edition=ke-2}}</ref>

Untuk ruang vektor dimensi tak hingga, satu juga memiliki:
* [[Darab tensor ruang Hilbert]]
* [[Darab tensor topologi]].

Darab tensor, [[darab luar]] dan [[darab Kronecker]] semuanya menyampaikan ide umum yang sama. Perbedaan antara ini adalah bahwa darab Kronecker hanyalah darab tensor dari matriks, hubungan dengan basis yang ditetapkan sebelumnya, sedangkan darab tensor biasanya diberikan dalam [[tensor (definisi intrinsik)|definisi intrinsik]]. Darab luar hanyalah darab Kronecker, hingga pada vektor (bukan matriks).

===Kelas semua objek dengan darab tensor===
Secara umum, setiap memiliki dua [[objek (teori kategori)|objek]] matematis yang digabungkan sedemikian rupa sehingga perilaku seperti darab tensor aljabar linear, maka ini dipahami secara umum sebagai [[darab internal]] dari [[kategori monoid]]. Artinya, kategori monoidal menangkap secara tepat arti dari darab tensor; itu menangkap dengan tepat gagasan mengapa darab tensor perilaku. Lebih tepatnya, kategori monoid adalah [[kelas (teori himpunan)|kelas]] dari semua hal (dari [[teori tipe|tipe]]) yang memiliki darab tensor.

===Darab lain dalam aljabar linear===
Jenis darab lain dalam aljabar linear meliputi:

* [[Darab Hadamard (matriks)|Darab Hadamard]]
* [[Darab Kronecker]]
* Darab dari [[tensor]]:
** [[Aljabar eksterior|Darab baji atau darab eksterior]]
** [[Darab dalam]]
** [[Darab luar]]
** [[Darab tensor]]

==Darab Kartesius==
Dalam [[teori himpunan]], [[darab Kartesius]] adalah [[operasi matematika]] yang mengembalikan [[himpunan (matematika)|himpunan]] (atau '''himpunan darab''') dari beberapa himpunan. Yaitu, untuk himpunan ''A'' dan ''B'', darab Kartesius {{nowrap|''A'' × ''B''}} adalah himpunan semua [[pasangan terurut]] {{nowrap|(a, b)}}—dimana {{nowrap|a ∈ ''A''}} dan {{nowrap|b ∈ ''B''}}.<ref>{{cite book|last1=Moschovakis|first1=Yiannis|title=Notes on set theory|url=https://archive.org/details/notesonsettheory00mosc_805|date=2006|publisher=Springer|location=New York|isbn=0387316094|page=[https://archive.org/details/notesonsettheory00mosc_805/page/n25 13]|edition=2nd}}</ref>

Kelas semua benda (dari [[teori tipe|jenis]] tertentu) yang memiliki darab Kartesius disebut [[Kategori monoid Kartesius|kategori Kartesius]]. Banyak diantaranya adalah [[Kategori tertutup Kartesius]]. Himpunan adalah contoh dari objek tersebut.

==Darab kosong==
[[Darab kosong]] pada bilangan dan sebagian besar [[struktur aljabar]] bernilai 1 ([[elemen identitas]] perkalian), sama seperti [[jumlah kosong]] memiliki nilai 0 (elemen identitas tambahan). Namun, konsep dara  kosong lebih umum, dan memerlukan perlakuan khusus dalam [[logika]], [[teori himpunan]], [[pemrograman komputer]] dan [[teori kategori]].

==Darab atas struktur aljabar lainnya==
Darab atas jenis [[struktur aljabar]] lainnya meliputi:
* [[darab Cartesian]] dari himpunan
* [[darab langsung grup]], dan juga [[darab setengah langsung]], [[darab rajutan]] dan [[darab karangan bunga]]
* [[darab bebas]] dari grup
* [[darab gelanggang]]
* [[ranah darab]]
* [[topologi darab|darab ruang topologi]]<ref name=":0" />
* [[darab sumbu]] dari [[variabel acak]]
* [[darab cap|cap]], [[darab cangkir|cangkir]], [[darab Massey|Massey]] dan [[darab miring]] dalam topologi aljabar
* [[darab hancur]] dan [[jumlah sisi]] (terkadang disebut wedge product) di [[homotopi]]

Beberapa darab atas adalah contoh gagasan umum tentang [[darab internal]] dalam [[kategori monoid]]; sisanya dapat dijelaskan dengan gagasan umum tentang [[darab (teori kategori)|darab dalam teori kategori]].

==Darab dalam teori kategori==
Semua contoh sebelumnya adalah kasus khusus atau contoh pengertian umum dari suatu darab. Untuk perlakuan umum pada konsep darab, lihat [[darab (teori kategori)]], yang menjelaskan cara menggabungkan dua [[objek (teori kategori)|objek]] dari beberapa jenis untuk membuat objek, mungkin dari jenis yang berbeda. Namun juga, dalam teori kategori, apabila memiliki:
* [[darab serat]] atau halangan,
* [[kategori darab]], kategori yang merupakan darab dari kategori.
* [[ultradarab]], dalam [[teori model]].
* [[darab dalam]] dari [[kategori monoid]], yang menangkap esensi darab tensor.

==Darab lainnya==
* Sebuah [[darab integral]] yang sebagai fungsi ekuivalen kontinu dengan produk barisan atau sebagai versi perkalian dari integral normal/standar/aditif. Darab integral juga dikenal sebagai "darab kontinu" atau "kali".
* [[Perkalian kompleks]], teori kurva eliptik.

== Lihat pula ==

* {{annotated link|Desain darab tensor kategori abelian}}
* [[Darab tak tentu]]
* [[Produk tak terbatas]]
* {{annotated link|Operasi biner berulang}}
* {{annotated link|Perkalian}}

== Catatan ==
{{Notelist}}

==Referensi==
{{Reflist}}

==Bibliografi==
*{{Jarchow Locally Convex Spaces}}

{{DEFAULTSORT:Product (Mathematics)}}
[[Kategori:Perkalian]]