Lihat sumber Bukti bahwa 22/7 melebihi π

{{short description|Bukti matematis mengenai konstanta pi}}
{{DISPLAYTITLE:Bukti bahwa 22/7 lebih dari {{pi}}}}
{{Pi (konstanta matematika)}}
{{Periksa terjemahan|en|Proof that 22/7 exceeds π}}

Hasil [[Pembuktian matematika|pembuktian matematis]] mengenai nilai [[bilangan rasional]] <math>\dfrac{22}{7}</math> lebih dari [[pi|<math>\pi</math>]] (pi) telah ada sejak dahulu. Salah satu pembuktiannya, baru-baru ini dikembangkan namun hanya memerlukan teknik dasar dari kalkulus, berhasil menarik perhatian matematika modern karena [[keindahan matematis|keindahan]] dan koneksinya dengan teori [[Hampiran Diophantus]]. Stephen Lucas menyebut bukti ini sebagai "salah satu hasil menawan yang berkaitan dengan hampiran <math>\pi</math>".<ref name="Lucas2005">{{Citation
| last          = Lucas
| first         = Stephen
| title         = Integral proofs that&nbsp;355/113&nbsp;>&nbsp;{{pi}}
| trans-title   = Bukti integral mengenai <math>\dfrac{355}{113} > \pi</math>
| language      = en
| journal       = Australian Mathematical Society Gazette
| volume        = 32
| issue         = 4
| pages         = 263–266
| year          = 2005
| url           = http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2005/Sep05/Lucas.pdf
| mr            = 2176249
| zbl           = 1181.11077}}</ref> Julian Havil mengakhiri diskusi mengenai penghampiran [[pecahan berlanjut]] dari <math>\pi</math> dengan hasil ini, menyebutnya sebagai "hal yang mustahil untuk tidak disinggung" pada konteks tersebut.<ref>{{Citation
| last          = Havil
| first         = Julian
| title         = Gamma. Exploring Euler's Constant
| trans-title   = Gamma. Menjelajahi Konstanta Euler
| language      = en
| place         = Princeton, NJ
| publisher     = Princeton University Press
| year          = 2003
| page          = 96
| mr            = 1968276
| zbl           = 1023.11001
| isbn          = 0-691-09983-9}}</ref>

Tujuan dari pembuktian ini bukanlah untuk meyakinkan pembaca kalau nilai <math>\dfrac{22}{7}</math> (atau <math>3 \, \dfrac{1}{7}</math>) lebih dari <math>\pi</math>; terdapat berbagai metode sistematis untuk menghitung nilai dari <math>\pi</math>. Jika seseorang mengetahui kalau <math>\pi</math> memiliki nilai sekitar <math>3.14159</math>, maka secara [[Trivialiti (matematika)|trivial]], dapat disimpulkan kalau <math>\pi < \dfrac{22}{7}</math>, yakni sekitar <math>3.142857</math>. Dengan menggunakan metode pada pembuktian ini, menunjukkan <math>\pi < \dfrac{22}{7}</math> jauh lebih mudah dibandingkan menunjukkan nilai <math>\pi</math> itu sekitar <math>3.14159</math>.

== Latar Belakang ==
Nilai <math>\dfrac{22}{7}</math> adalah [[hampiran Diophantus]] dari <math>\pi</math> yang banyak digunakan. Bilangan tersebut bernilai lebih dari <math>\pi</math>, yang dapat dilihat dari [[representasi desimal]] dari kedua nilai tersebut:

:<math>\begin{align}
\frac{22}{7} &= 3. \overline{142 \, 857} \\
\pi &= 3.141 \, 592 \, 65 \ldots
\end{align}</math>

Nilai hampiran tersebut telah diketahui sejak lama. [[Archimedes]] menjadi orang pertama yang menulis bukti mengenai nilai bilangan <math>\dfrac{22}{7}</math> melebihi <math>\pi</math> pada abad ke-3 SM, walaupun mungkin saja [[Archimedes]] bukanlah yang pertama menggunakan hampiran tersebut. Alur pembuktiannya adalah dengan menunjukkan bahwa <math>\dfrac{22}{7}</math> lebih dari rasio dari [[keliling]] [[poligon beraturan|segi-96 beraturan]] terhadap diameter lingkaran yang dilingkupinya.{{refn
|group = note
|Proposisi 3: Rasio keliling lingkaran apapun terhadap diameternya itu kurang dari <math>\dfrac{22}{7}</math> namun lebih dari <math>\dfrac{223}{71}</math>.<ref>
  {{Citation
  | author        = Archimedes
  | editor-last   = Heath
  | editor-first  = T.L.
  | editor-link   = Thomas Little Heath
  | orig-year     = 1897
  | date          = 2002
  | title         = The Works of Archimedes
  | trans-title   = Karya dari Archimedes
  | publisher     = Dover Publications
  | pages         = 93–96
  | chapter       = Measurement of a circle
  | isbn          = 0-486-42084-1
  | url           = https://archive.org/details/worksofarchimede029517mbp}}
</ref>}}

== Pembuktian ==

Pembuktiannya dapat dijabarkan secara singkat sebagai berikut:

:<math> 0 < \int_0^1 \frac{x^4 \left( 1 - x \right)^4}{1 + x^2} \, \text{d}x = \frac{22}{7} - \pi </math>

Sehingga, diperoleh <math>0 < \dfrac{22}{7} - \pi</math> atau <math>\pi < \dfrac{22}{7}</math>.

Integral ini merupakan soal pertama pada [[Kompetisi Matematika William Lowell Putnam|Kompetisi Putnam]] tahun 1968.<ref>{{Citation
| editor1-last    = Alexanderson
| editor1-first   = Gerald L.
| editor1-link    = Gerald L. Alexanderson
| editor2-last    = Klosinski
| editor2-first   = Leonard F.
| editor3-last    = Larson
| editor3-first   = Loren C.
| title           = The William Lowell Putnam Mathematical Competition: Problems and Solutions: 1965–1984
| trans-title     = Kompetisi Matematika William Lowell Putnam: Soal dan Jawaban: 1965-1984
| language        = en
| place           = Washington, DC
| publisher       = The Mathematical Association of America
| year            = 1985
| url             = https://books.google.com/books?id=HNLRgSGZrWMC&dq=December-7-1968+Putnam+Mathematical-Competition&pg=PA9
| isbn            = 0-88385-463-5
| zbl             = 0584.00003}}</ref>

Soal ini lebih mudah daripada soal kompetisi Putnam pada umumnya; kompetisi ini seringkali memberikan soal yang terlihat rumit, yang ternyata merujuk kepada sesuatu yang sangat akrab. Integral ini juga telah digunakan dalam ujian masuk [[Institut Teknologi India]].<ref>[https://docs.aglasem.com/view/7ed8dd1e-2eff-11eb-ab1e-02f21f5619c4 Ujian Masuk ITI 2010], soal nomor 41 pada halaman 12, bagian matematika.</ref>

== Detail Pengerjaan Integral ==
Hasil [[integral]] yang positif datang dari nilai [[Integral#Standar|integran]] yang [[Tanda (matematika)|non-negatif]]; bagian penyebutnya positif dan pembilangnya adalah hasil kali bilangan non-negatif. Dapat dengan mudah ditunjukkan kalau terdapat setidaknya satu titik pada interval integrasi yang nilai integrannya positif, misalnya <math>\dfrac{1}{2}</math>. Oleh karena integrannya kontinuu pada titik tersebut dan nilai integrannya non-negatif pada titik lainnya, maka hasil integral dari 0 sampai 1 haruslah positif.

Yang tersisa adalah menunjukkan nilai integralnya sama dengan <math>\dfrac{22}{7} - \pi</math>

:<math>\begin{align}
\int_0^1 \frac{x^4 \left( 1 - x \right)^4}{1 + x^2} \, \text{d}x &= \int_0^1 \frac{x^4 - 4x^5 + 6x^6 - 4x^7 + x^8}{1 + x^2} \, \text{d}x & \text{Hasil penjabaran suku-suku pada pembilang} \\[8pt]
&= \int_0^1 \left( x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - \frac{4}{1 + x^2} \right) \, \text{d}x & \text{Pembagian polinomial dengan cara bersusun} & \\[8pt]
&= \left.\left( \frac{x^7}{7} - \frac{2x^6}{3} + x^5 - \frac{4x^3}{3} + 4x - 4 \arctan{x} \right) \,\right|_0^1 & \text{Teorema dasar kalkulus} \\[6pt]
&= \frac{1}{7} - \frac{2}{3} + 1 - \frac{4}{3} + 4 - \pi & \text{Ingat bahwa } \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \text{ dan } \arctan(0) = 0 \\[8pt]
&= \frac{22}{7} - \pi & \text{Penjumlahan}
\end{align}</math>

(lihat [[pembagian bersusun|Pembagian polinomial dengan cara bersusun]] dan [[Teorema dasar kalkulus#Bagian_kedua|Teorema dasar kalkulus]])

== Estimasi Batas Atas dan Batas Bawah ==
Mengacu pada {{harvtxt|Dalzell|1944}}, jika nilai <math>x</math> pada penyebut diganti dengan <math>1</math>, maka akan diperoleh batas bawah dari integral tersebut, dan jika nilai <math>x</math> pada penyebut diganti dengan <math>0</math>, maka akan diperoleh batas atas dari integralnya.<ref>{{citation
| last       = Dalzell
| first      = D. P.
| year       = 1944
| title      = On 22/7
| journal    = Journal of the London Mathematical Society
| volume     = 19
| issue      = 75 Part 3
| pages      = 133–134
| mr         = 0013425
| zbl        = 0060.15306
| doi        = 10.1112/jlms/19.75_part_3.133}}.</ref> Perhatikan bahwa
:<math>\int_0^1 x^4 \left( 1 - x \right)^4 \, \text{d}x = \dfrac{1}{630} \qquad \text{dan} \qquad \int_0^1 \dfrac{x^4 \left( 1 - x \right)^4}{2} \, \text{d}x = \dfrac{1}{1260} </math>

Sehingga,
:<math>\begin{matrix}
{\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^4 \left( 1 - x \right)^4}{2} \, \text{d}x} & < & {\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^4 \left( 1 - x\right)^4}{1 + x^2} \, \text{d}x} & < & {\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x^4 \left( 1 - x \right)^4}{1} \, \text{d}x} \\
\dfrac{1}{1260} & < & \dfrac{22}{7} - \pi & < & \dfrac{1}{630} \\
- \dfrac{1}{630} & < & \pi - \dfrac{22}{7} & < & - \dfrac{1}{1260} \\
\dfrac{22}{7} - \dfrac{1}{630} & < & \pi & < & \dfrac{22}{7} - \dfrac{1}{1260}
\end{matrix}</math>

yang berarti <math>3.1412 < \pi < 3.1421</math> dalam [[representasi desimal]]. Batas tersebut menyimpang kurang dari <math>0.015\%</math> from <math>\pi</math>. Lihat juga {{harvtxt|Dalzell|1971}}.<ref>{{citation
| last       = Dalzell
| first      = D. P.
| year       = 1971
| title      = On 22/7 and 355/113
| journal    = Eureka; the Archimedeans' Journal
| volume     = 34
| pages      = 10–13
| issn       = 0071-2248}}.</ref>

== Bukti kalau 355/113 melebihi <math>\pi</math> ==
Seperti yang telah dibahas pada {{harvtxt|Lucas|2005}}, [[hampiran Diophantus]] <math>\dfrac{355}{113}</math> yang terkenal dan estimasi atas yang lebih baik untuk <math>\pi</math> dapat diperoleh dari

:<math>0 < \int_0^1 \frac{x^8 \left( 1 - x \right)^8 \left( 25 + 816x^2 \right)}{3164 \left( 1 + x^2 \right)} \, dx = \frac{355}{113} - \pi</math>

:<math>\frac{355}{113}= 3.141 \, 592 \, 92\ldots</math>

dimana enam digit pertama setelah tanda koma serasi dengan enam digit pertama dari <math>\pi</math>. Jika nilai <math>x</math> pada penyebut diganti dengan <math>0</math>, maka akan diperoleh batas atas dari integral tersebut, yaitu

:<math>\int_0^1 \frac{ x^8 \left( 1 - x \right)^8 \left( 25 + 816x^2 \right)}{3164} \, dx =\frac{911}{2 \, 630 \, 555 \, 928} \approx 0.000 \, 000 \, 173\ldots</math>

Substitusikan nilai <math>1</math> pada variabel <math>x</math> di bagian penyebut, maka diperoleh setengah dari nilai ini sebagai batas bawahnya, sehingga

:<math>\frac{355}{113} - \frac{911}{2 \, 630 \, 555 \, 928} < \pi < \frac{355}{113} - \frac{911}{5 \, 261 \, 111 \, 856}</math>

Dalam [[representasi desimal]], ini artinya <math>\underline{3.141592}57 < \pi < \underline{3.141592}74</math>, dengan digit yang digarisbawahi pada batas bawah dan batas atas adalah digit yang serasi dengan bilangan <math>\pi</math>.

== Lihat juga ==
*[[Hampiran dari π|Hampiran dari <math>\pi</math>]]
*[[Kronologi dari komputasi bilangan π|Kronologi dari komputasi bilangan <math>\pi</math>]]
*[[Teorema Lindemann–Weierstrass]] (bukti bahwa <math>\pi</math> adalah [[Bilangan transenden]])
*[[Daftar topik yang berkaitan dengan π|Daftar topik yang berkaitan dengan <math>\pi</math>]]
*[[Bukti bahwa π irasional|Bukti bahwa <math>\pi</math> merupakan bilangan irasional]]

== Catatan kaki ==

=== Catatan ===
{{reflist|group=note}}

=== Sitasi ===
{{reflist}}

== Pranala luar ==
* [https://web.archive.org/web/20070730150749/http://www.kalva.demon.co.uk/putnam/putn68.html The problems of the 1968 Putnam competition], with this proof listed as question A1.

{{Topik kalkulus}}

{{DEFAULTSORT:Proof that 22 7 exceeds}}
[[Kategori:Pi]]
[[Kategori:Article proofs]]