Lihat sumber Bukti bahwa π irasional

{{Short description|Bukti matematis}}
{{DISPLAYTITLE: Bukti bahwa {{pi}} irasional}}
{{Pi (konstanta matematika)}}
Pada tahun 1760, [[Johann Heinrich Lambert]] adalah orang pertama yang membuktikan bahwa [[pi|bilangan <math>\pi</math>]] [[bilangan irasional|tidak rasional]], yang berarti <math>\pi</math> tidak dapat dinyatakan sebagai [[rasio]] dari dua [[bilangan bulat]]. Pada abad ke-19, [[Charles Hermite]] menemukan bukti yang tidak membutuhkan pemahaman melampaui [[kalkulus]] dasar. Tiga penyederhanaan dari bukti Hermite diberikan oleh [[Mary Cartwright]], [[Ivan M. Niven]], dan [[Nicolas Bourbaki]]. Bukti lain, yang merupakan penyederhanaan dari bukti Lambert, diberikan oleh [[Miklós Laczkovich]]. Banyak dari bukti-bukti ini merupakan [[pembuktian melalui kontradiksi]].

Pada tahun 1882, [[Ferdinand von Lindemann]] membuktikan bahwa <math>\pi</math> tidak hanya irasional, namun juga [[Teorema Lindemann–Weierstrass#Ketransendenan e dan π|transenden]].<ref>{{citation
| editor1-last     = Berggren
| editor1-first    = Lennart
| editor2-last     = Borwein
| editor2-first    = Jonathan M.
| editor2-link     = Jonathan Borwein
| editor3-last     = Borwein
| editor3-first    = Peter B.
| editor3-link     = Peter Borwein
| last             = Lindemann
| first            = Ferdinand von
| orig-year        = 1882
| chapter          = Ueber die Zahl {{pi}}
| title            = Pi, a source book
| place            = New York
| publisher        = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| year             = 2004
| edition          = 3
| pages            = 194–225
| isbn             = 0-387-20571-3}}.</ref>

== Bukti Lambert ==
[[File:LambertContinuedFraction.JPG|thumb|right|400px|Hasil pemindaian rumus pada halaman 288 dari "Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques" karya Lambert, Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin (1768), 265–322]]
Pada 1761, Johann Heinrich Lambert membuktikan bahwa <math>\pi</math> merupakan bilangan irasional dengan menunjukkan bahwa berlakunya penjabaran [[pecahan berlanjut]] berikut:
<math display="block">\tan \! \left( x \right) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - \ddots}}}}</math>
kemudian Lambert membuktikan bahwa jika <math>x</math> merupakan bilangan rasional selain [[0|nol]], maka ekspresi di atas haruslah irasional. Oleh karena <math>\tan \! \left( \tfrac{\pi}{4} \right) = 1</math>, maka <math>\tfrac{\pi}{4}</math> merupakan bilangan irasional, sehingga <math>\pi</math> juga irasional.<ref>{{citation
| editor1-last     = Berggren
| editor1-first    = Lennart
| editor2-last     = Borwein
| editor2-first    = Jonathan M.
| editor2-link     = Jonathan Borwein
| editor3-last     = Borwein
| editor3-first    = Peter B.
| editor3-link     = Peter Borwein
| last             = Lambert
| first            = Johann Heinrich
| orig-year        = 1768
| chapter          = Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques
| title            = Pi, a source book
| place            = New York
| publisher        = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| year             = 2004
| edition          = 3
| pages            = 129–140
| isbn             = 0-387-20571-3}}.</ref>

== Bukti Niven ==
Pembuktian ini menggunakan [[karakterisasi (matematika)|karakterisasi]] dari <math>\pi</math> sebagai [[akar fungsi|pembuat nol]] dari fungsi [[Sinus dan kosinus|sinus]].<ref>{{citation
| last             = Niven
| first            = Ivan
| author-link      = Ivan M. Niven
| year             = 1947
| title            = A simple proof that {{pi}} is irrational
| trans-title      = Bukti sederhana bahwa {{pi}} irasional
| language         = en
| periodical       = [[Bulletin of the American Mathematical Society]]
| volume           = 53
| issue            = 6
| page             = 509
| url              = https://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf
| doi              = 10.1090/s0002-9904-1947-08821-2
| doi-access       = free}}</ref>

Andaikan <math>\pi</math> merupakan [[bilangan rasional]], atau dengan kata lain, <math>\pi = \tfrac{a}{b}</math>, untuk suatu bilangan bulat <math>a</math> dan <math>b</math>, yang kedua-duanya dapat diasumsikan [[tanpa mengurangi keumuman]] sebagai bilangan positif. Diberikan suatu [[bilangan asli]] <math>n</math>, maka untuk setiap [[bilangan riil]] <math>x</math>, didefinisikan
<math display="block">\begin{align}
f(x) &:= \dfrac{x^n \left( a - bx \right)^n}{n!} \\
F(x) &:= f(x) - \dfrac{\text{d}^2 f}{\text{d} x^2} (x) + \dfrac{\text{d}^4 f}{\text{d} x^4} (x) - \dfrac{\text{d}^6 f}{\text{d} x^6} (x) + \ldots + \left( -1 \right)^n \dfrac{\text{d}^{2n} f}{\text{d} x^{2n}} (x)
\end{align}</math>

=== Klaim 1 ===
Pertama, akan dibuktikan bahwa
<math display="block">\int_0^{\pi} f \! \left( x \right) \cdot \sin \! \left( x \right) \, \text{d} x = F \! \left( 0 \right) + F \! \left( \pi \right)</math>
Perhatikan bahwa <math>\dfrac{\text{d}^{2n + 2} f}{\text{d} x^{2n + 2}} \! \left( x \right) = 0</math>. Akibatnya, berlaku
<math display="block">F(x) + \dfrac{\text{d}^2 F}{\text{d} x^2} (x) = f(x)</math>
{{collapse top|title=Penjelasan}}
Berdasarkan definisi dari fungsi <math>F(x)</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
F(x) &= f(x) - \dfrac{\text{d}^2 f}{\text{d} x^2} (x) + \dfrac{\text{d}^4 f}{\text{d} x^4} (x) - \dfrac{\text{d}^6 f}{\text{d} x^6} (x) + \ldots + \left( -1 \right)^n \dfrac{\text{d}^{2n} f}{\text{d} x^{2n}} (x) \\
&= f(x) - \dfrac{\text{d}^2 f}{\text{d} x^2} (x) + \dfrac{\text{d}^4 f}{\text{d} x^4} (x) - \dfrac{\text{d}^6 f}{\text{d} x^6} (x) + \ldots + \left( -1 \right)^n \dfrac{\text{d}^{2n} f}{\text{d} x^{2n}} (x) + \left( -1 \right)^{n + 1} \cdot 0 \\
&= f(x) - \dfrac{\text{d}^2 f}{\text{d} x^2} (x) + \dfrac{\text{d}^4 f}{\text{d} x^4} (x) - \dfrac{\text{d}^6 f}{\text{d} x^6} (x) + \ldots + \left( -1 \right)^n \dfrac{\text{d}^{2n} f}{\text{d} x^{2n}} (x) + \left( -1 \right)^{n + 1} \dfrac{\text{d}^{2n + 2} f}{\text{d} x^{2n + 2}} (x) \\
&= f(x) - \dfrac{\text{d}^2}{\text{d} x^2} \left( f(x) + \dfrac{\text{d}^2 f}{\text{d} x^2} (x) - \dfrac{\text{d}^4 f}{\text{d} x^4} (x) + \ldots + \left( -1 \right)^{n - 1} \dfrac{\text{d}^{2n - 2} f}{\text{d} x^{2n - 2}} (x) + \left( -1 \right)^n \dfrac{\text{d}^{2n} f}{\text{d} x^{2n}} (x) \right) \\
&= f(x) - \dfrac{\text{d}^2 F}{\text{d} x^2} (x) \\
F(x) + \dfrac{\text{d}^2 F}{\text{d} x^2} (x) &= f(x)
\end{align}</math>
{{collapse bottom}}
Oleh karena [[Kaidah pendiferensialan#Turunan fungsi trigonometri|turunan]] dari fungsi <math>\sin \! \left( x \right)</math> ialah <math>\cos \! \left( x \right)</math> dan turunan dari <math>\cos \! \left( x \right)</math> adalah <math>- \sin \! \left( x \right)</math>, maka dengan menggunakan [[kaidah darab|aturan perkalian turunan]], didapatkan
<math display="block">f(x) \, \sin \! \left( x \right) = \dfrac{\text{d}}{\text{d} x} \left( \sin \! \left( x \right) \cdot F'(x) - \cos \! \left( x \right) \cdot F(x) \right)</math>
{{collapse top|title=Penjelasan}}
Berdasarkan hubungan yang telah diperoleh sebelumnya, maka
<math display="block">\begin{align}
f(x) &= \dfrac{\text{d}^2 F}{\text{d} x^2} (x) + F(x) \\
f(x) \, \sin \! \left( x \right) &= \dfrac{\text{d}^2 F}{\text{d} x^2} (x) \, \sin \! \left( x \right) + F(x) \, \sin \! \left( x \right) \\
&= \dfrac{\text{d}^2 F}{\text{d} x^2} (x) \, \sin \! \left( x \right) + \dfrac{\text{d} F}{\text{d} x} (x) \, \cos \! \left( x \right) - \dfrac{\text{d} F}{\text{d} x} (x) \, \cos \! \left( x \right) - F(x) \left( - \sin \! \left( x \right) \right) \\
&= \dfrac{\text{d}^2 F}{\text{d} x^2} (x) \, \sin \! \left( x \right) + \dfrac{\text{d} F}{\text{d} x} (x) \, \cos \! \left( x \right) - \left( \dfrac{\text{d} F}{\text{d} x} (x) \, \cos \! \left( x \right) + F(x) \left( - \sin \! \left( x \right) \right) \right) \\
&= \dfrac{\text{d}}{\text{d} x} \left( \dfrac{\text{d} F}{\text{d} x} (x) \, \sin \! \left( x \right) \right) - \dfrac{\text{d}}{\text{d} x} \left( F(x) \, \cos \! \left( x \right) \right) \\
&= \dfrac{\text{d}}{\text{d} x} \left( \sin \! \left( x \right) \cdot F'(x) - \cos \! \left( x \right) \cdot F(x) \right)
\end{align}</math>
{{collapse bottom}}
sehingga berdasarkan [[teorema dasar kalkulus]], diperoleh
<math display="block">\int_0^{\pi} f \! \left( x \right) \, \sin \! \left( x \right) \, \text{d} x = F \! \left( \pi \right) + F \! \left( 0 \right)</math>
{{collapse top|title=Penjelasan}}
Dengan menggunakan informasi
# <math>\lim_{x \, \to \, 0} \sin \! \left( x \right) = 0</math>
# <math>\lim_{x \, \to \, \pi} \sin \! \left( x \right) = 0</math>
# <math>\lim_{x \, \to \, 0} \cos \! \left( x \right) = 1</math>
# <math>\lim_{x \, \to \, \pi} \cos \! \left( x \right) = -1</math>
maka didapatkan
<math display="block">\begin{align}
\int_0^{\pi} f \! \left( x \right) \cdot \sin \! \left( x \right) \, \text{d} x &= \left( \sin \! \left( x \right) \cdot F'(x) - \cos \! \left( x \right) \cdot F(x) \right) \Big|_0^\pi \\
&= \left( \sin \! \left( \pi \right) \cdot F'(\pi) - \cos \! \left( \pi \right) \cdot F(\pi) \right) - \left( \sin \! \left( 0 \right) \cdot F'(0) - \cos \! \left( 0 \right) \cdot F(0) \right) \\
&= 0 \cdot F'(\pi) - (-1) \cdot F(\pi) - \left( 0 \cdot F'(0) - 1 \cdot F(0) \right) \\
&= F \! \left( \pi \right) + F \! \left( 0 \right)
\end{align}</math>
{{collapse bottom}}

=== Klaim 2 ===
Kedua, akan dibuktikan bahwa <math>F \! \left( 0 \right)</math> merupakan bilangan bulat. Dengan menjabarkan <math>f(x)</math> menggunakan [[teorema binomial]], maka
<math display="block">f(x) = \sum_{k \, = \, 0}^{2n} \dfrac{c_k}{n!} x^k</math>
dengan <math>c_k</math> merupakan suatu bilangan bulat dan <math>c_k = 0</math> jika <math>k < n</math>.
{{collapse top|title=Penjelasan}}
Berdasarkan definisi dari fungsi <math>f(x)</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
f(x) :&= \dfrac{x^n \left( a - bx \right)^n}{n!} \\
&= \dfrac{x^n}{n!} \left( \binom{n}{0} a^0 \left( -bx \right)^n + \binom{n}{1} a^1 \left( -bx \right)^{n - 1} + \binom{n}{2} a^2 \left( -bx \right)^{n - 2} + \ldots + \binom{n}{n} a^n \left( -bx \right)^0 \right) \\
&= \dfrac{x^n}{n!} \left( \left( -b \right)^n x^n + na \left( -b \right)^{n - 1} x^{n - 1} + \dfrac{n (n - 1)}{2} a^2 \left( -b \right)^{n - 2} x^{n - 2} + \ldots + a^n \right) \\
&= \dfrac{\left( -b \right)^n}{n!} x^{2n} + \dfrac{na \left( -b \right)^{n - 1}}{n!} x^{2n - 1} + \dfrac{\tfrac{1}{2} n(n - 1) a^2 \left( -b \right)^{n - 2}}{n!} x^{2n - 2} + \ldots + \dfrac{a^n}{n!} x^n \\
f(x) &= \sum_{k \, = \, 0}^{2n} \dfrac{c_k}{n!} x^k
\end{align}</math>
{{collapse bottom}}
Akibatnya, diperoleh
<math display="block">\dfrac{\text{d}^k f}{\text{d} x^k} \left( 0 \right) = \begin{cases}
0 &k < n \\
\dfrac{k!}{n!} \cdot c_k &n \leq k \leq 2n
\end{cases}</math>
Pada kedua kasus di atas, maka dapat disimpulkan bahwa <math>\dfrac{\text{d}^k f}{\text{d} x^k} \left( 0 \right)</math> merupakan bilangan bulat, untuk setiap <math>k \in \mathbb{N}</math>. Berdasarkan definisi dari fungsi <math>F</math>, maka terbukti bahwa <math>F \! \left( 0 \right)</math> merupakan bilangan bulat.

=== Klaim 3 ===
Ketiga, akan dibuktikan bahwa <math>F \! \left( \pi \right)</math> merupakan bilangan bulat. Berdasarkan definisi dari <math>f(x)</math>, maka berlaku <math>f \! \left( \pi - x \right) = f \! \left( x \right)</math>
{{collapse top|title=Penjelasan}}
Berdasarkan definisi dari fungsi <math>f(x)</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
f \! \left( \pi - x \right) &= f \! \left( \tfrac{a}{b} - x \right) \\
&= \dfrac{\left( \tfrac{a}{b} - x \right)^n \left( a - b \left( \tfrac{a}{b} - x \right) \right)^n}{n!} \\
&= \dfrac{\left( \tfrac{a}{b} - x \right)^n \left( a - a + bx \right)^n}{n!} \\
&= \dfrac{\left( \tfrac{a}{b} - x \right)^n \left( bx \right)^n}{n!} \\
&= \dfrac{\left( \tfrac{a}{b} - x \right)^n b^n x^n}{n!} \\
&= \dfrac{\left( a - bx \right)^n x^n}{n!} \\
&= f \! \left( x \right)
\end{align}</math>
{{collapse bottom}}
Berdasarkan hubungan di atas, maka dengan menggunakan [[kaidah rantai|aturan rantai]] dan [[induksi matematika]], diperoleh
<math display="block">\left( -1 \right)^k \dfrac{\text{d}^k f}{\text{d} x^k} \left( \pi - x \right) = \dfrac{\text{d}^k f}{\text{d} x^k} (x)</math>
untuk setiap <math>k \in \mathbb{N}</math>. Dengan memilih <math>x = 0</math>, maka didapatkan <math>\left( -1 \right)^k \dfrac{\text{d}^k f}{\text{d} x^k} \left( \pi \right) = \dfrac{\text{d}^k f}{\text{d} x^k} \left( 0 \right)</math>.

Telah dibuktikan sebelumnya bahwa untuk setiap <math>k \in \mathbb{N}</math>, maka <math>\dfrac{\text{d}^k f}{\text{d} x^k} \left( 0 \right)</math> merupakan bilangan bulat, sehingga <math>\dfrac{\text{d}^k f}{\text{d} x^k} \left( \pi \right)</math> juga merupakan bilangan bulat. Berdasarkan definisi dari fungsi <math>F</math>, maka terbukti bahwa <math>F \! \left( \pi \right)</math> merupakan bilangan bulat.

=== Klaim 4 ===
Perhatikan bahwa untuk <math>0 < x < \pi</math>, maka berlaku
# <math>0 < a - bx < a</math> (sebab diasumsikan bahwa <math>\pi = \tfrac{a}{b}</math> serta <math>b > 0</math>)
# <math>\sin \! \left( x \right) > 0</math>
# <math>f(x) > 0</math>
sehingga berdasarkan klaim 1, klaim 2, dan klaim 3, maka <math>F \! \left( \pi \right) + F \! \left( 0 \right)</math> merupakan bilangan bulat ''positif''.

=== Klaim 5 ===
Oleh karena
# <math>0 < x(a - bx) < a \pi</math>
# <math>\sin \! \left( x \right) \leq 1</math>
maka berdasarkan definisi dari fungsi <math>f(x)</math>, didapatkan
<math display="block">\begin{align}
F \! \left( \pi \right) + F \! \left( 0 \right) &= \int_0^\pi f(x) \, \sin \! \left( x \right) \, \text{d} x \\
&= \int_0^\pi \dfrac{x^n \left( a - bx \right)^n}{n!} \, \sin \! \left( x \right) \, \text{d} x \\
&\leq \int_0^\pi \dfrac{\left( a \pi \right)^n}{n!} \cdot 1 \, \text{d} x = \dfrac{\left( a \pi \right)^n}{n!} \pi
\end{align}</math>
yang bernilai kurang dari <math>1</math> apabila <math>n</math> cukup besar. Akan tetapi, hal ini bersifat [[kontradiksi|kontradiktif]] dengan klaim 4, sebab tidak ada bilangan bulat antara <math>0</math> dan <math>1</math>. Akibatnya, asumsi di awal (bahwasanya <math>\pi</math> merupakan bilangan rasional) tidaklah benar, sehingga terbukti bahwa <math>\pi</math> merupakan bilangan irasional.

== Lihat juga ==
{{Portal|Matematika}}
* [[Bukti bahwa e irasional]]
* [[Teorema Lindemann–Weierstrass#Ketransendenan e dan π|Bukti bahwa π transenden]]

== Referensi ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:Bukti Bahwa Pi Irasional}}
[[Kategori:Pi]]
[[Kategori:Artikel pembuktian]]
[[Kategori:Bilangan irasional]]