Lihat sumber Bola pejal (matematika)

{{Bedakan|Bola (matematika)}}[[Berkas:Blue ball.png|thumb|Dalam ruang Euklides, '''bola pejal''' merupakan volume yang dibatasi bola.]]
Dalam [[matematika]], '''bola pejal''' (atau '''bola pepat''') adalah [[bangunan ruang]] yang dibatasi volume bola, yang disebut juga sebagai '''bola padat'''.<ref>{{Cite book|last=Japan|first=Mathematical Society of|last2=Sūgakkai|first2=Nihon|date=1993|url=https://books.google.com.br/books?id=WHjO9K6xEm4C&lpg=PA555&ots=wdYXw-tmOy&dq=great%20circle%20great%20disk%20ball&pg=PA555#v=onepage&q=great%20circle%20great%20disk%20ball&f=false|title=Encyclopedic Dictionary of Mathematics|publisher=MIT Press|isbn=978-0-262-59020-4|language=en}}</ref> Bola dapat dikatakan sebagai '''bola tertutup''' ({{Lang-en|closed ball}}), yang mencakup [[titik batas]] yang membentuk bola) atau disebut sebagai '''bola terbuka''' ({{Lang-en|open ball}}), yang mengecualikan titik batas yang membentuk bola.

Konsep ini tidak hanya didefinisikan dalam [[ruang Euklides]] berdimensi tiga, melainkan untuk dimensi yang lebih rendah dan lebih tinggi pula, dan untuk [[ruang metrik]] secara umum. ''Bola pejal'' dalam dimensi {{mvar|n}} disebut '''bola pejal-{{mvar|n}}''' dan dibatasi oleh ''hiperbola'' atau [[Bola-n|bola-({{math|''n''−1}})]]. Jadi, sebagai contoh, bola pejal dalam [[bidang Euklides]] merupakan hal yang serupa dengan [[Cakram (matematika)|cakram]], yang dibatasi [[lingkaran]]. Dalam [[Euclidean space|ruang berdimensi tiga Euklides]], bola pejal diambil sebagai [[volume]] yang dibatasi dengan [[Bola (geometri)#Dimensionalitas|bola berdimensi dua]]. Dalam [[ruang berdimensi satu]], bola pejal merupakan sebuah [[ruas garis]].

== Dalam ruang Euklides ==
Dalam ruang Euklides ke-{{mvar|n}}, bola pejal-{{mvar|n}} (terbuka) dengan jari-jari {{mvar|r}} dan pusat {{mvar|x}} merupakan himpunan dari semua titik dengan jarak kurang dari {{mvar|r}} yang jauh dari {{mvar|x}}. Sedangkan bola pejal-{{mvar|n}} tertutup dengan jari-jari {{mvar|r}} merupakan himpunan dari semua titik dengan jarak kurang dari atau sama dengan nilai {{mvar|r}} yang jauh dari {{mvar|x}}.

=== Volume ===
{{Main|Volume dari bola pejal-n}}Dalam ruang Euklides berdimensi-{{mvar|n}}, volume berdimensi-{{mvar|n}} dari bola pejal Euklides dengan jari-jari {{mvar|R}} dirumuskan sebagai:<ref>Equation 5.19.4, ''NIST Digital Library of Mathematical Functions.'' http://dlmf.nist.gov/,{{dead link|date=July 2016 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} Release 1.0.6 of 2013-05-06.</ref>
:<math>V_n(R) = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)}R^n,</math>
dengan {{math|Γ}} merupakan [[fungsi gamma]] [[Leonhard Euler]] (yang dapat dipandang sebagai perluasan dari fungsi [[faktorial]] hingga ke argumen fraksional). Menggunakan rumus eksplisit [[nilai khusus dari fungsi gamma]] di bilangan bulat dan setengah bilangan bulat, memberikan rumus volume dari bola pejal Euklides yang tanpa menggunakan perhitungan fungsi gamma. Rumus tersebut adalah:
:<math>\begin{align}V_{2k}(R) &= \frac{\pi^k}{k!}R^{2k}\,,\\
V_{2k+1}(R) &= \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}R^{2k+1} = \frac{2(k!)(4\pi)^k}{(2k+1)!}R^{2k+1}\,.\end{align}</math>
Dalam rumus volume berdimensi ganjil, [[faktorial ganda]] {{math|(2''k'' + 1)!!}} didefinisikan untuk bilangan bulat ganjil {{math|2''k'' + 1}} sebagai
: <math> (2k + 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2k - 1) \cdot (2k + 1).</math>

== Lihat pula ==
{{div col|colwidth=20em}}
* [[Bola]], dalam pengertian biasa
* [[Cakram (matematika)]]
* [[Bola pejal formal]]
* [[Persekitaran (matematika)]]
* [[Bola (geometri)]], bentuk geometrik yang mirip
* [[Bola berdimensi tiga]]
* [[Bola-n|Bola-{{mvar|n}}]] atau hiperbola
* [[Bola bertanduk Alexander]]
* [[Manifold]]
* [[Volume dari bola-n|Volume dari bola-]][[Bola-n|{{mvar|n}}]]
* [[Oktahedron]], bola berdimensi tiga dalam metrik {{math|''ℓ''}}{{sub|1}}
{{div col end}}

== Referensi ==
{{Reflist}}

* {{cite journal|last1=Smith|first1=D. J.|last2=Vamanamurthy|first2=M. K.|year=1989|title=How small is a unit ball?|journal=[[Mathematics Magazine]]|volume=62|issue=2|pages=101–107|doi=10.1080/0025570x.1989.11977419|jstor=2690391}}
* {{cite journal|last=Dowker|first=J. S.|year=1996|title=Robin Conditions on the Euclidean ball|journal=[[Classical and Quantum Gravity]]|volume=13|issue=4|pages=585–610|arxiv=hep-th/9506042|bibcode=1996CQGra..13..585D|doi=10.1088/0264-9381/13/4/003|s2cid=119438515}}
* {{cite journal|last=Gruber|first=Peter M.|year=1982|title=Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball|journal=[[Israel Journal of Mathematics]]|volume=42|issue=4|pages=277–283|doi=10.1007/BF02761407|doi-access=free}}

[[Kategori:Bola]]
[[Kategori:Geometri metrik]]
[[Kategori:Topologi]]