Lihat sumber Bola (geometri)

{{disambiginfo|Bola (disambiguasi)}}
{{Redirect|Globosa|struktur neuroanatomik|nukelus globosa}}{{Periksa terjemahan|en|Sphere (geometry)}}{{Cleanup}}
'''{{Infobox polyhedron|name=Bola|image=Image:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|caption=Sebuah perspektif 3 dimensi dari bola|euler=|symmetry=[[Orthogonal group|<math>O(3)</math>]]|surface_area=<math>4 \pi r^2</math>|volume=<math>\frac{4}{3} \pi r^3</math>|type=}}'''<table class="infobox"><tr><th colspan="2" class="infobox-above" style="background:#e7dcc3">Bola</th></tr><tr><td colspan="2" class="infobox-image">[[Berkas:Sphere_wireframe_10deg_6r.svg|nirbing]]<div class="infobox-caption">Sebuah perspektif 3 dimensi dari bola</div></td></tr><tr><th scope="row" class="infobox-label">[[Daftar grup simetri sferis|Grup simetri]]</th><td class="infobox-data">[[Orthogonal group|<math>O(3)</math>]]</td></tr><tr><th scope="row" class="infobox-label">[[Luas permukaan]]</th><td class="infobox-data"><math>4 \pi r^2</math></td></tr><tr><th scope="row" class="infobox-label">[[Volume]]</th><td class="infobox-data"><math>\frac{4}{3} \pi r^3</math></td></tr></table><table class="infobox"><tr><th colspan="2" class="infobox-above" style="background:#e7dcc3">Bola</th></tr><tr><td colspan="2" class="infobox-image">[[Berkas:Sphere_wireframe_10deg_6r.svg|nirbing]]<div class="infobox-caption">Sebuah perspektif 3 dimensi dari bola</div></td></tr><tr><th scope="row" class="infobox-label">[[Daftar grup simetri sferis|Grup simetri]]</th><td class="infobox-data">[[Orthogonal group|<math>O(3)</math>]]</td></tr><tr><th scope="row" class="infobox-label">[[Luas permukaan]]</th><td class="infobox-data"><math>4 \pi r^2</math></td></tr><tr><th scope="row" class="infobox-label">[[Volume]]</th><td class="infobox-data"><math>\frac{4}{3} \pi r^3</math></td></tr></table><table class="infobox"><tr><th colspan="2" class="infobox-above" style="background:#e7dcc3">Bola</th></tr><tr><td colspan="2" class="infobox-image">[[Berkas:Sphere_wireframe_10deg_6r.svg|nirbing]]<div class="infobox-caption">Sebuah perspektif 3 dimensi dari bola</div></td></tr><tr><th scope="row" class="infobox-label">[[Daftar grup simetri sferis|Grup simetri]]</th><td class="infobox-data">[[Orthogonal group|<math>O(3)</math>]]</td></tr><tr><th scope="row" class="infobox-label">[[Luas permukaan]]</th><td class="infobox-data"><math>4 \pi r^2</math></td></tr><tr><th scope="row" class="infobox-label">[[Volume]]</th><td class="infobox-data"><math>\frac{4}{3} \pi r^3</math></td></tr></table>


'''Bola''' adalah objek [[geometri]] [[geometri padat|tiga dimensi]] yang serupa dengan objek melingkar dua dimensi, yaitu "[[lingkaran]]" adalah batas dari [[Cakram (matematika)|"cakram"]]. Pada umumnya, bola didefinisikan sebagai [[Lokus (matematika)|himpunan titik]] yang memiliki jarak sama dari pusat bola ke permukaan bola. Jarak yang sama dalam bola bisa dikenal dengan [[Jari-jari|jari-jari (radius)]] dan disimbolkan dengan huruf <math>r</math>.<ref name="Albert54">{{harvnb|Albert|2016|loc=hal. 54}}.</ref> Ruas garis lurus terpanjang melalui bola, menghubungkan dua titik di permukaan bola, melewati pusat dan panjangnya dua kali jari-jari disebut sebagai[[diameter]].

Sementara di luar matematika istilah "bola" terkadang digunakan secara bergantian. Dalam [[matematika]], perbedaan di atas dibuat dengan antara ''bola'' yang merupakan [[permukaan tertutup]] dua dimensi [[pembenaman]] dalam [[ruang Euklides]] tiga dimensi, dan ''bola'' yang merupakan bentuk tiga dimensi yang mencakup bola dan segala sesuatu ''di dalam'' bola (''bola tertutup''), atau, lebih sering, hanya titik ''di dalam'', namun ''bukan di'' antara bola (''bola terbuka''). Ini sejalan dengan situasi dalam [[Bidang (geometri)|bidang]], dimana istilah "lingkaran" dan "cakram" juga dapat dikacaukan.

Bola adalah objek fundamental dalam banyak bidang matematika. Bentuk bola yang hampir bulat juga muncul di alam dan industri. Gelembung seperti gelembung sabun berbentuk bola dalam keadaan seimbang. Bumi sering kali didekati sebagai bola dalam geografi, dan [[bola langit]] merupakan konsep penting dalam astronomi. Barang-barang yang diproduksi termasuk bejana tekan dan sebagian besar cermin dan lensa melengkung didasarkan pada bola. Bola menggelinding dengan mulus ke segala arah, sehingga sebagian besar bola yang digunakan dalam olahraga dan mainan berbentuk bola, begitu pula bantalan bola.

== Persamaan dalam tiga dimensi ==
[[Berkas:Sphere and Ball.png|ka|jmpl|Dua jari-jari ortogonal (tegak lurus) dari suatu bola]]
{{Lihat pula|Fungsi trigonometri|Sistem koordinat bola}}
Dalam geometri analitik, bola dengan pusat <math>(x_0, y_0, z_0)</math> dan jari-jari <math>r</math> adalah lokus titik <math>(x,y,z)</math> sedemikian rupa sehingga
:<math> (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.</math>

Jika variabel <math display="inline">a</math>, <math display="inline">b</math>, <math display="inline">c</math>, <math display="inline">d</math>, dan <math display="inline">e</math> adalah [[bilangan real]] dengan nilai <math>a \ne 0</math> dan nilai titik tengah <math>(x_0, y_0, z_0)</math> didefinisikan sebagai:
:<math>x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.</math>
Lalu persamaan
:<math>f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0</math>
tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika <math>\rho < 0</math> dan disebut persamaan '''bola imajiner'''. Jika <math>\rho = 0</math>, satu-satunya solusi <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah titik tengah bolah <math>P_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> dan persamaannya disebut persamaan '''titik bola'''. Terakhir, dalam kasus <math>\rho > 0</math>, <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah persamaan bola yang pusatnya adalah <math>P_0</math> dan yang radiusnya adalah <math>\sqrt \rho</math>.<ref name=Albert54 />

Jika <math>a</math> dalam persamaan di atas adalah nol maka <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah bidang dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.<ref name=Woods266>{{harvnb|Woods|1961|loc=p. 266}}.</ref>

Titik-titik di bola dengan jari-jari <math>r > 0</math> dan pusat <math>(x_0,y_0,z_0)</math> dapat diparameterisasi via
:<math>\begin{align} x &= x_0 + r \sin \theta  \; \cos\varphi \\
y &= y_0 + r \sin  \theta \; \sin\varphi \qquad (0 \leq  \theta \leq \pi,\;  0 \leq \varphi < 2\pi ) \\
z &= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}</math><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=342}}.</ref>

[[Keliling]] <math> \theta </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung dari arah <math>z</math> positif melalui pusat ke vektor radius, dan keliling <math> \varphi </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung dari arah <math>x</math> positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada bidang ''<math display="inline">x</math>-<math display="inline">y</math>''.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan [[integral]] dari bentuk [[diferensial]] berikut:
:<math> x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.</math>

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik, <math>(x,y,z)</math> dan <math>(dx,dy,dz)</math>, yang berjalan di bola selalu tegak lurus satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar [[lingkaran]] tentang semua [[diameter]]nya. Karena lingkaran adalah jenis [[elips]] khusus, maka bola adalah jenis elips khusus revolusi. Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya, bentuknya menjadi [[spheroid prolate]]; jika diputar terhadap sumbu minor, bentuknya akan menjadi sebuah [[spheroid oblate]].<ref>{{harvnb|Albert|2016|loc=p. 60}}.</ref>

== Rumus bola ==
=== Luas permukaan ===
Luas permukaan pada bola yaitu.
:<math>L = 4\pi r^2 \,</math>

[[Archimedes]] pertama kali memperoleh rumus ini<ref name=MathWorld_Sphere>{{MathWorld |title=Sphere |id=Sphere}}</ref> dari fakta bahwa proyeksi ke permukaan lateral dari silinder yang dibatasi adalah pengawet area.<ref>{{harvnb|Steinhaus|1969|loc=p. 221}}.</ref> Pendekatan lain untuk memperoleh rumus berasal dari fakta bahwa rumus tersebut sama dengan turunan rumus untuk volume sehubungan dengan <math>r</math> karena volume total di dalam bola jari-jari <math>r</math> dapat dianggap sebagai penjumlahan dari luas permukaan jumlah yang tidak terbatas dari cangkang bola dengan ketebalan sangat kecil yang ditumpuk secara konseptual di dalam satu sama lain dari jari jari <math>0</math> hingga jari jari <math>r</math>. Pada ketebalan sangat kecil perbedaan antara luas permukaan bagian dalam dan luar setiap cangkang yang diberikan sangat kecil, dan volume unsur pada jari-jari <math>r</math> hanyalah produk dari luas permukaan pada jari-jari <math>r</math> dan ketebalan sangat kecil.

Pada jari-jari tertentu <math>r</math>, volume tambahan (<math>\delta V</math>) sama dengan produk dari luas permukaan pada jari-jari (<math>L(r)</math>) dan ketebalan cangkang (<math>\delta r</math>):
:<math>\delta V \approx L(r) \cdot \delta r. </math>

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume cangkang:
:<math>V \approx \sum L(r) \cdot \delta r.</math>

Dalam batas ketika ketebalan cangkang <math>\delta r</math> mendekati nol <ref name="delta">{{cite book
|author1=E.J. Borowski |author2=J.M. Borwein |title=Collins Dictionary of Mathematics
|year=1989 |url=https://archive.org/details/dictionaryofmath0000boro |isbn=978-0-00-434347-1|pages=[https://archive.org/details/dictionaryofmath0000boro/page/141 141], 149}}</ref> persamaan ini menjadi:
:<math>V = \int_0^r L(r) \, dr.</math>

Masukkan <math>V</math> (lihat bagian [[Bola (geometri)#Volume|rumus volume bola]]):
:<math>\frac43\pi r^3 = \int_0^r L(r) \, dr.</math>

Mengambil turunan dari kedua sisi persamaan ini berdasarkan dengan <math>r</math> akan menghasilkan <math>L</math> sebagai fungsi <math>r</math>:
:<math>4\pi r^2 = L(r).</math>

di mana <math>r</math> sekarang dianggap sebagai jari-jari bola yang tetap.

Atau, elemen luas pada bola diberikan dalam [[koordinat bola]] oleh <math>dA = r^2 \sin (\theta) \; d\theta \; d\phi</math>. Dalam [[Sistem koordinat Cartesius|Koordinat Kartesius]], elemen luas adalah

:<math> dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-{\displaystyle \sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}}\prod_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k.</math>

Total luas dengan demikian dapat diperoleh dengan [[integral]]:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\varphi = 4\pi r^2.</math>

Bola memiliki [[luas permukaan]] terkecil dari semua permukaan yang membungkus [[volume]] tertentu, dan melingkupi volume terbesar di antara semua permukaan tertutup dengan luas permukaan tertentu.<ref>{{cite journal |last1=Osserman |first1=Robert |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |title=The isoperimetric inequality |date=1978 |volume=84 |page=1187 |url=https://www.ams.org/journals/bull/1978-84-06/S0002-9904-1978-14553-4/ |accessdate=14 December 2019 |ref=Osserman}}</ref> Karenanya bola muncul di alam: misalnya, gelembung dan tetesan air kecil secara kasar berbentuk bola karena tegangan permukaan secara lokal meminimalkan luas permukaan.

[[Luas permukaan]] relatif terhadap massa bola disebut '''luas permukaan spesifik''' dan dapat dinyatakan dari persamaan yang dinyatakan di atas sebagai
:<math>\mathrm{LPS} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho},</math>

di mana ρ adalah kepadatan (rasio massa terhadap volume).

=== Volume ===
Volume pada bola yaitu:
:<math>V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>

Pada setiap <math>x</math> yang diberikan, volume tambahan (<math>\delta V</math>) sama dengan produk dari luas penampang disk pada <math>x</math> dan ketebalannya (<math>\delta x</math>):
: <math>\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume tambahan:
: <math>V \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

Dalam batas ketika <math>\delta x</math> mendekati nol,<ref name="delta"/> [[persamaan]] ini menjadi:
: <math>V = \int_{-r}^{r} \pi y^2 dx.</math>

Pada setiap <math>x</math> yang diberikan, [[segitiga siku-siku]] menghubungkan <math>x</math>, <math>y</math> dan <math>r</math> ke titik asal; karenanya, dengan menerapkan [[Teorema Pythagoras]] akan menghasilkan:
: <math>y^2 = r^2 - x^2.</math>

Menggunakan substitusi ini memberi
: <math>V = \int_{-r}^{r} \pi \left(r^2 - x^2\right)dx,</math>

yang dapat dievaluasi untuk memberikan hasilnya
: <math>V = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) = \frac43\pi r^3.</math>

Rumus alternatif ditemukan menggunakan koordinat bola , dengan elemen volume
: <math> dV=r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi</math>

begitu
: <math>V=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta\, d\varphi 
= 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta
= 4\pi \int_0^r r'^2\, dr'\ 
=\frac43\pi r^3.</math>
Untuk tujuan paling praktis, volume di dalam bola yang tertulis dalam kubus dapat diperkirakan sekitar 52,4% dari volume kubus, karena <math display="inline">V = \frac{\pi}{6} d^3</math>, di mana <math>d</math> adalah diameter bola dan juga panjang sisi kubus dan <math display="inline">\frac{\pi}{6} \approx 0,5236</math>. Sebagai contoh, bola dengan diameter 1 m memiliki 52,4% volume kubus dengan panjang tepi 1 m, atau sekitar 0,524 m3

== Kurva pada bola {{anchor|Kurva}} ==
[[Berkas:Ellipso-eb-ku.svg|upright=1.2|thumb|Bagian bidang dari sebuah bola: 1 lingkaran]]
[[Berkas:Kugel-zylinder-kk.svg|thumb|upright=0.8|Perpotongan koaksial bola dan silinder: 2 lingkaran]]

=== Lingkaran ===
{{main|Lingkaran dari sebuah bola}}

* Perpotongan bola dan bidang adalah lingkaran, titik atau kosong.
Dalam kasus lingkaran, lingkaran tersebut dapat dijelaskan dengan [[persamaan parametrik]] <math>\;\vec x =(\vec e_0+\vec e_1 \cos t +\vec e_2 \sin t)^T \;</math>: lihat penampang bidang dari [[ellipsoid#bagian bidang|ellipsoid]].

Namun permukaan yang lebih rumit juga dapat memotong sebuah bola dalam lingkaran:
* Perpotongan bola yang tidak kosong dengan [[permukaan revolusi]], porosnya berisi pusat bola yaitu ''koaksial'' yang terdiri dari lingkaran dan/atau titik.

Diagram menunjukkan kasus, dimana perpotongan tabung dan bola terdiri dari dua lingkaran. Jika jari-jari tabung sama dengan jari-jari bola, perpotongannya menjadi satu lingkaran, dimana kedua permukaan bersinggungan.

Dalam kasus sferoid dengan pusat dan sumbu utama yang sama dengan bola, persimpangan akan terdiri dari dua titik (simpul), dimana permukaannya bersinggungan.

=== Kurva Clelia ===
[[Berkas:Kugel-spirale-1-2.svg|thumb|upright=1.1|spiral bulat dengan <math>c=8</math>]]
Jika bola dijelaskan dengan wakilan parametrik 
:<math>\vec x=(r\cos \theta \cos\varphi, r\cos\theta \sin\varphi, r\sin\theta)^T</math>
maka akan mendapat [[Clélie|kurva Clelia]], jika sudut-sudutnya dihubungkan dengan persamaan <math>\varphi=c\;\theta \;, \ c>0\;.</math>

Kasus khususnya adalah: [[kurva Viviani]] (<math>c=1</math>) dan [[spiral bola]] (<math>c>2</math>), sebagai contohnya [[spiral Seiffert]].

=== Loksodrom ===
[[Berkas:Loxodrome.png|thumb|upright=0.7|Loxodrome]]
{{main|Loksodrom}}

Dalam [[navigasi]], '''loksodrom''' adalah busur yang melintasi semua [[meridian (geografi)|meridian]] dari [[garis bujur]] pada sudut yang sama. Garis Rhumb bukanlah spiral bola. Tidak ada hubungan sederhana antara sudut <math>\varphi</math> dan <math>\theta</math>.

=== Persimpangan bola dengan permukaan yang umum ===
[[Berkas:Is-spherecyl5-s.svg|thumb|upright=0.8|Tabung bola persimpangan umum]]
Jika sebuah bola berpotongan dengan permukaan lain, mungkin ada kurva bola yang lebih rumit.

; Contoh: bola-tabung
{{main|Persimpangan bola–tabung}}

Perpotongan bola dengan persamaan <math>\; x^2+y^2+z^2=r^2\;</math> dan tabung dengan persamaan <math> \;(y-y_0)^2+z^2=a^2, \; y_0\ne 0\; </math> bukan hanya satu atau dua lingkaran. Ini adalah solusi dari sistem persamaan non linear 
:<math>x^2+y^2+z^2-r^2=0</math>
:<math>(y-y_0)^2+z^2-a^2=0\ .</math>
lihat [[kurva implisit]] dan diagram

== Sifat geometris ==
Bola secara unik ditentukan oleh empat titik yang bukan [[koplanar]]. Secara lebih umum, bola secara unik ditentukan oleh empat kondisi seperti melewati suatu titik, bersinggungan dengan bidang, dan lain-lain.<ref>{{harvnb|Albert|2016|loc=p. 55}}.</ref> Sifat ini analog dengan properti bahwa tiga titik [[kollinear|non-kollinear]] menentukan lingkaran unik dalam sebuah bidang.

Maka, sebuah bola unik ditentukan oleh sebuah lingkaran dan sebuah titik yang tidak berada di bidang lingkaran itu.

Dengan memeriksa [[Lingkaran bola#Persimpangan bola|solusi umum dari persamaan dua bola]], dapat dilihat bahwa dua bola berpotongan dalam satu lingkaran dan bidang yang mengandung lingkaran itu disebut '''bidang radikal''' dari bola berpotongan.<ref>{{harvnb|Albert|2016|loc=hal. 57}}.</ref> Meskipun bidang radikal adalah bidang riil, lingkaran mungkin imajiner yaitu bola tidak memiliki titik yang sama atau terdiri dari satu titik sebagai bola bersinggungan pada titik itu.<ref name=Woods267>{{harvnb|Woods|1961|loc=hal. 267}}.</ref>

Sudut antara dua bola pada titik perpotongan sebenarnya adalah [[sudut dihedral]] yang ditentukan oleh bidang bersinggungan dengan bola pada titik tersebut. Dua bola berpotongan pada sudut yang sama di semua titik perpotongan lingkaran.<ref>{{harvnb|Albert|2016|loc=p. 58}}.</ref> Potongan pada sudut siku-siku adalah [[Ortogonalitas|ortogonal]] jika dan hanya jika kuadrat jarak antara pusatnya sama dengan jumlah kuadrat jari-jarinya.<ref name=Woods266 />

=== Pensil bola ===
{{main|Pensil (matematika)#Pensil bola}}

Jika <math display="inline">f(x,y,z) = 0</math> dan <math display="inline">g(x,y,z) = 0</math>adalah persamaan dari dua bidang yang berbeda
:<math>s f(x,y,z) + t g(x,y,z) = 0</math>
juga persamaan bola untuk nilai arbitrer dari parameter <math>s</math> dan <math display="inline">t</math>. Himpunan semua bola memenuhi persamaan ini disebut '''pensil bola''' yang ditentukan oleh dua bola asli. Dalam definisi ini bola dijadikan menjadi bidang (jari-jari tak hingga, berpusat pada tak hingga) dan jika kedua bola asli adalah bidang maka semua bidang pensil adalah bidang, jika tidak, hanya ada satu bidang (bidang akar) dalam pensil.<ref name=Woods266 />

== Generalisasi ==
{{Main|n-bola|Ruang metrik}}

=== Dimensi ===
Bola dapat digeneralisasikan ke ruang dengan jumlah [[dimensi]] berapa pun. Untuk [[bilangan asli]] <math display="inline">n</math>, sebuah "<math display="inline">n</math>-bola," sering kali ditulis sebagai <math display="inline">S^n</math>, adalah titik himpunan dalam (dimensi-(<math display="inline">n+1</math>)). Ruang Euklides yang berada pada jarak tetap <math display="inline">r</math> dari titik pusat ruang itu, dimana <math display="inline">r</math>, seperti sebelumnya, adalah bilangan riil positif. Khususnya:

* <math display="inline">S^0</math>: bola 0 adalah sepasang titik akhir dari sebuah interval <math display="inline">[-r,r]</math> dari garis sebenarnya
* <math display="inline">S^1</math>: 1 bola adalah [[lingkaran]] dengan jari-jari <math display="inline">r</math>
* <math display="inline">S^2</math>: 2-bola adalah bola biasa
* <math display="inline">S^3</math>: [[3-bola]] adalah bola dalam ruang Euclidean 4-dimensi.

Bola untuk <math display="inline">n>2</math> terkadang disebut [[hiperbola]].

<math display="inline">n</math>-bola dengan radius unit yang berpusat di titik asal dilambangkan <math display="inline">S^n</math> dan sering disebut sebagai <math display="inline">n</math>-bola. Perhatikan bahwa bola biasa adalah bola 2, karena permukaannya 2 dimensi yang tertanam dalam ruang 3 dimensi.

Luas permukaan unit (<math display="inline">n-1</math>)-bola adalah
:<math>\frac{2 \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}</math>

dimana <math display="inline">\Gamma (z)</math> adalah [[fungsi gamma]] Euler.

Ekspresi lain untuk luas permukaan adalah
:<math> \begin{cases}
 \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)}, & \text{jika } n \text{ genap}; \\ \\
 \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)}, & \text{jika } n \text{ ganjil}.
 \end{cases}</math>

dan volume adalah kali luas permukaan <math display="inline">\frac{r}{n}</math> atau
:<math> \begin{cases}
 \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}, & \text{jika } n \text{ genap}; \\ \\
 \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}, & \text{jika } n \text{ ganjil}.
 \end{cases}</math>

Rumus rekursif umum juga ada untuk [[volume bola-n|volume dari {{mvar|n}}-bola]].

=== Ruang metrik ===
Secara lebih umum, dalam [[ruang metrik]] <math display="inline">(E,d)</math>, bola pusat <math display="inline">x</math> dan jari-jari <math display="inline">r>0</math> adalah titik himpunan <math display="inline">y</math> sedemikian rupa maka <math display="inline">d(x,y)=r</math>.

Jika pusatnya adalah titik dibedakan yang dianggap sebagai asal dari <math display="inline">E</math>, seperti dalam ruang [[norma (matematika)|norma]], itu tidak disebutkan dalam definisi dan notasi. Hal yang sama berlaku untuk jari-jari jika dianggap sama dengan satu, seperti dalam kasus [[bola unit]].

Tidak dengan [[bola (matematika)|bola]], bahkan sebuah bola besar dapat berupa himpunan kosong. Misalnya, dalam <math display="inline">\bold{Z}^n</math> dengan [[metrik Eullides]], radius radius <math display="inline">r</math> tidak kosong hanya jika <math display="inline">r^2</math> bisa ditulis sebagai jumlah dari <math display="inline">n</math> kuadrat dari [[bilangan bulat]].

== Geometri bola ==
[[Gambar:Sphere halve.png|thumb|right|[[Lingkaran besar]] pada bola]]
{{Artikel|Geometri bola}}
Elemen dasar geometri bidang Euclidean adalah titik dan garis. Di bola, titik didefinisikan dalam arti biasa. Analog dari "garis" adalah geodesik, yang merupakan lingkaran besar; ciri utama dari lingkaran besar adalah bahwa bidang yang berisi semua titiknya juga melewati pusat bola. Mengukur dengan panjang busur menunjukkan bahwa jalur terpendek antara dua titik yang terletak di bola adalah segmen yang lebih pendek dari lingkaran besar yang mencakup titik-titik tersebut.

Banyak teorema dari geometri klasik juga berlaku untuk [[geometri bola]], tetapi tidak semua melakukannya karena bola gagal memenuhi beberapa postulat geometri klasik, termasuk postulat paralel. Dalam trigonometri bola, sudut didefinisikan antara lingkaran besar. [[Trigonometri]] bola berbeda dari trigonometri biasa dalam banyak hal. Misalnya, jumlah sudut interior segitiga bulat selalu melebihi 180 derajat. Juga, dua segitiga bundar yang serupa adalah kongruen.

== Lokus jumlah konstan ==

Lokus titik dalam ruang sedemikian rupa sehingga jumlah ke <math>2m</math> pangkat jarak <math>d_i</math> ke simpul dari [[padatan Platonis]] <math>T_n</math> dengan sirkumradius <math>R</math> konstan adalah sebuah bola, jika

:<math>\sum_{i=1}^n d_i^{2m}> nR^{2m}</math>,

yang pusatnya berada di pusat <math>T_n</math>.<ref name=Mamuka >{{cite journal| last1= Meskhishvili |first1= Mamuka| date=2020|title=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids |journal= Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|url= https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065}}</ref>

Nilai dari <math>m</math> bergantung pada jumlah simpul <math>n</math> dari padatan Platonis dan sama:

'''•''' <math display="inline">m=1,2</math> untuk [[tetrahedron]] reguler,

'''•''' <math display="inline">m=1,2,3</math> untuk [[oktahedron]] dan [[kubus]],

'''•''' <math display="inline">m=1,2,3,4,5</math> untuk [[ikosahedron]] dan [[dodekahedron]].

== Gambar ==
<gallery mode="packed" heights="200" style="text-align:left">
Berkas:Einstein gyro gravity probe b.jpg|Gambar salah satu bola buatan manusia yang paling akurat, karena [[refraksi|membiaskan]] gambar [[Albert Einstein|Einstein]] di latar belakang. Bola ini adalah [[kuarsa leburan]] [[giroskop]] untuk percobaan [[Gravity Probe B]], dan berbeda dalam bentuk dari bola sempurna dengan ketebalan tidak lebih dari 40 atom (kurang dari 10{{Spaces}}nm). Diumumkan pada tanggal 1 Juli 2008 bahwa ilmuwan asal [[Australia]] telah menciptakan bidang yang lebih mendekati sempurna, akurat hingga 0,3{{Spaces}}nm, sebagai bagian dari perburuan internasional untuk menemukan standar global baru [[kilogram]].<ref>[https://www.newscientist.com/article/dn14229-roundest-objects-in-the-world-created.html New Scientist | Technology | Roundest objects in the world created].</ref>
</gallery>

== Bagian ==
{{see also|Bola (matematika)#Bagian}}
* [[Tutup bola]]
* [[Poligon bola]]
* [[Sektor bola]]
* [[Segmen Bulat]]
* [[Baji bulat]]
* [[Zona bola]]

== Lihat pula ==
{{div col||colwidth=20em}}
* [[Tribola]]
* [[Bola Affin]]
* [[Bola bertanduk Alexander]]
* [[Bola kelestial]]
* [[Kubus]]
* [[Lengkungan]]
* [[Statistik arah]]
* [[Lengkungan puncak (matematika)]]
* [[Bola Dyson]]
* [[Tangan dengan bola refleksi]], [[M.C. Escher]] gambar potret diri yang menggambarkan refleksi dan sifat optik bola cermin
* [[Bola Hoberman]]
* [[Bola homologi]]
* [[Grup bola homotopi]]
* [[Hiperbola]]
* [[Bola Lenart]]
* [[Masalah cincin serbet]]
* [[Orb (optik)]]
* [[Pseudobola]]
* [[Bola Riemann]]
* [[Sudut padat]]
* [[Pengepakan bola]]
* [[Koordinat bola]]
* [[Bola bumi]]
* Heliks bola, [[indikator tangen]] dari kurva presesi konstan
* [[Kebulatan]]
* [[Teorema bola tenis]]
* [[Permukaan Zoll|Bola Zoll]]
* [[Frustum bola]]
{{div col end}}

== Catatan dan referensi ==

=== Catatan ===
<!--
{{NoteFoot}}-->Bagian ini kosong

=== Referensi ===
{{Reflist}}

=== Bacaan lebih lanjut ===
{{Wikisource1911Enc|Sphere}}
* {{citation|first=Abraham Adrian|last=Albert|title=Solid Analytic Geometry|year=2016|orig-year=1949|publisher=Dover|isbn=978-0-486-81026-3}}.
* {{cite book|first=William |last=Dunham |pages=[https://archive.org/details/mathematicaluniv00dunh/page/n34 28], 226 |title=The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities |url=https://archive.org/details/mathematicaluniv00dunh |url-access=limited |journal= Wiley|location=New York |isbn=978-0-471-17661-9 |year=1997 |bibcode=1994muaa.book.....D }}
* {{citation | first1 = Erwin | last1 = Kreyszig | year = 1972 | isbn = 978-0-471-50728-4 | title = Advanced Engineering Mathematics | edition = 3rd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York | url-access = registration | url = https://archive.org/details/advancedengineer00krey }}.
* {{citation|first=H.|last=Steinhaus|title=Mathematical Snapshots|year=1969|publisher=Oxford University Press|edition=Third American}}.
* {{citation|first=Frederick S.|last=Woods|title=Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry|year=1961|orig-year=1922|publisher=Dover}}.

== Pranala luar ==
{{Sister project links}}
* [[planetmath:186|Sphere (PlanetMath.org website)]]
* {{MathWorld |id=Sphere |title=Sphere}}
* [http://en.wikibooks.org/wiki/Mathematica/Uniform_Spherical_Distribution Mathematica/Uniform Spherical Distribution]
* {{cite video
|title=Outside In
|url=http://video.google.com/videoplay?docid=-6626464599825291409
|date=2007-11-14
|accessdate=2007-11-24
|archive-date=2007-09-01
|archive-url=https://web.archive.org/web/20070901111142/http://video.google.com/videoplay?docid=-6626464599825291409
|dead-url=yes
}} (computer animation showing how the inside of a sphere can turn outside.)
* [http://www.start2code.com/Cresources/sphere-program-cpp.html Program in C++ to draw a sphere using parametric equation]
* [http://mathschallenge.net/index.php?section=faq&ref=geometry/surface_sphere Surface area of sphere proof.]
{{Use dmy dates|date=March 2011}}
{{bangun}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Bentuk]]


{{geometri-stub}}