Lihat sumber Bilangan segitiga kuadrat

[[Berkas:Nicomachus_theorem_3D.svg|ka|jmpl| Persegi yang panjang sisinya adalah bilangan segitiga dapat dipartisi menjadi persegi dan setengah persegi, yang luasnya bertambah menjadi jumlah bilangan pangkat tiga.<ref>{{Harvard citation text|Gulley|2010}}</ref> ]]
Dalam [[Teori bilangan|teorema bilangan]], jumlah <math>n  </math> [[pangkat tiga]] pertama adalah kuadrat dari bilangan [[Bilangan segitiga|segitiga]] ke-<math>n  </math>. Jumlah tersebut dirumuskan sebagai<math display="block">1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2.</math>Dengan menggunakan [[notasi Sigma]], persamaan tersebut dapat ditulis<math display="block">\sum_{k=1}^n k^3 = \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.</math> 

[[ Identitas (matematika) |Identitas]] tersebut terkadang disebut juga '''teorema Nicomachus''', yang dinamai dari [[Nicomachus|Nicomachus dari Geresa]]. 

== Sejarah ==
Dalam bagian akhir Bab 20, di buku ''Introduction to Arithmetic'', Nicomachus menunjukkan bahwa jika ditulis daftar bilangan ganjil, yang pertama adalah <math>1^3</math>, maka jumlah kedua berikutnya adalah <math>2^3</math>, jumlah ketiga berikutnya adalah <math>3^3</math>, dan begitupula seterusnya. Nichomacus tidak menjelaskannya lebih lanjut, tetapi pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa jumlah dari <math>n^3</math> pertama sama dengan jumlah dari bilangan ganjil <math display="inline">n(n+1)/2 </math> yang pertama, dalam artian bahwa bilangan ganjil yang berawal dari 1 sampai <math>n(n+1)-1</math>. Rata-rata dari bilangan tersebut adalah <math display="inline">n(n+1)/2 </math>. dan terdapat <math display="inline">n(n+1)/2 </math> bilangan tersebut, sehingga jumlahnya adalah <math display="inline">\left(n(n+1)/2\right)^2</math>. 

Banyak matematikawan pada awalnya telah mempelajari dan memberikan bukti teorema Nicomachus. {{Harvard citation text|Stroeker|1995}} mengatakan bahwa "setiap siswa yang mempelajari teori bilangan ini, tentunya akan kagum dengan fakta ajaib ini". {{Harvard citation text|Pengelley|2002}} menemukan sumber untuk identitas yang tidak hanya dalam karya [[Nicomachus]] di [[Yordania|Jordan]] pada abad pertama M. Sumber identitas tersebut juga ditemukan dalam karya [[Aryabhata]] di [[India]] pada abad kelima, dan karya [[Al-Karaji]] sekitar 1000 di [[Iran|Persia]]. {{Harvard citation text|Bressoud|2004}} menyebutkan beberapa karya matematika pada rumus ini ditambahkan oleh [[ Al-Qabisi |Al-Qabisi]] di Arab pada abad kesepuluh, [[Lewi ben Gerson|Gersonides]] di Prancis sekitar tahun 1300, dan [[Nilakantha Somayaji]] di India sekitar 1500; ia menyalin kembali bukti visual Nilakantha. 

== Nilai numerik; pandangan geometris dan probabilistik ==
[[Berkas:Grid_rectangle_count_puzzle.svg|jmpl|270x270px|Semua 36 ({{nowrap|1== (1 + 2 + 3)<sup>2</sup>}} = {{nowrap|1<sup>3</sup> + 2<sup>3</sup> + 3<sup>3</sup>}}) persegi panjang, berisi [[Square pyramidal number#Geometric enumeration|14 ({{nowrap|1== 1<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup>}}) persegi]] (merah), dalam persegi 3×3, {{nowrap|di kisi (4×4)}}.]]
Barisan bilangan segitiga kuadrat adalah: 

: [[0]],[[1]], [[9]], [[36]], [[100]], 225, 441, 784, 1296, 225, 3025, 4356, 084, 8281, .... {{OEIS|id=A000537}}.

Bilangan segitiga kuadrat tersebut dapat dipandang sebagai [[bilangan figurasi]], suatu perumuman hiperpiramidal empat dimensi dari [[bilangan segitiga]] dan [[bilangan piramidal persegi]]. 

{{Harvard citation text|Stein|1971}} mengamati bahwa bilangan segitiga kuadrat juga menghitung jumlah [[persegi panjang]] dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah <math>n \times n </math> [[ Kisi persegi |kisi]]. Sebagai contoh, titik-titik dari <math>4\times4</math> kisi (atau persegi yang terdiri dari tiga persegi kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda. Dengan cara yang serupa, jumlah bilangan kuadrat dalam kisi persegi tersebut dihitung dengan bilangan piramidal kuadrat. 

Identitas tersebut juga mengatakan pandangan probabilistik sebagai berikut: Misalkan <math>W, X, Y, Z </math> menyatakan [[bilangan bulat]] yang dipilih secara independen dan seragam di sebarang bilangan di antara <math>1</math> dan <math>n  </math>. Maka, probabilitas mengatakan bahwa <math>W </math> adalah bilangan bulat terbesar dari keempat bilangan yang sama dengan probabilitas yang mengatakan <math>Y </math> setidaknya sebesar <math>X </math>, dan <math>W </math> setidaknya sebesar <math>Z </math><math display="block">\mathbf{P}({\max(X,Y,Z) \leq W}) = \mathbf{P}(\{X \leq Y\} \cap \{Z \leq W\}). </math>Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, yang dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas oleh <math>n^4</math>.{{Butuh rujukan}} 

== Pembuktian ==
{{harvs|txt|first=Charles|last=Wheatstone|authorlink=Charles Wheatstone|year=1854}} memberikan pembuktian yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap bilangan kubik dalam penjumlahan menjadi suatu himpunan dari bilangan ganjil yang berurutan. Wheatstone memulainya dengan memberikan identitas<math display="block">n^3 = \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \left(n^2-n+1+2\right) + \left(n^2-n+1+4\right)+ \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n\text{ bilangan ganjil berurutan }}.</math>Identitas tersebut berkaitan dengan [[bilangan segitiga]] <math>T_n</math> yang disederhankan sebagai:<math display="block">n^3 =\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}} (2 k-1).</math>Dengan demikian, tinambah di atas akan membentuk <math>n^3 </math> setelah semua bilangan segitiga membentuk nilai sebelumnya yang dimulai dari <math>1^3 </math> sampai <math>(n-1)^3</math> . Dengan menerapkan sifat tersebut, bersama dengan identitas terkenal lainnya:<math display="block">n^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1),</math>maka akan menghasilkan bentuk berikut:<math display="block">
\begin{align}
\sum_{k=1}^n k^3 &= 1 + 8 + 27 + 64 + \cdots + n^3 \\
&= \underbrace{1}_{1^3} + \underbrace{3+5}_{2^3} + \underbrace{7 + 9 + 11}_{3^3} + \underbrace{13 + 15 + 17 + 19}_{4^3} + \cdots + \underbrace{\left(n^2-n+1\right) + \cdots + \left(n^2+n-1\right)}_{n^3} \\
&= \underbrace{\underbrace{\underbrace{\underbrace{1}_{1^2} + 3}_{2^2} + 5}_{3^2} + \cdots + \left(n^2 + n - 1\right)}_{\left( \frac{n^{2}+n}{2} \right)^{2}} \\
&= (1 + 2 + \cdots + n)^2 \\
&= \bigg(\sum_{k=1}^n k\bigg)^2.
\end{align}</math> 

{{harvtxt|Row|1893}} mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam suatu [[tabel perkalian]] persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari baris ke-<math>i</math> adalah <math>i</math> dikalikan dengan bilangan segitiga, yang berarit bahwa jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Cara lainnya adalah seseorang dapat menguraikan tabel menjadi barisan [[gnomon]] bersarang, yang masing-masing bilangan terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku memberikan suatu nilai konstan. Jumlah dalam setiap gnomon adalah bilangan pangkat tiga, dan demikian bahwa jumlah seluruh tabel adalah jumlah bilangan pangkat tiga.

[[Berkas:Sum_of_cubes2.png|jmpl| Gambaran visual yang mengatakan bahwa kuadrat dari bilangan segitiga sama dengan jumlah bilangan pangkat tiga. |400x400px]]

Dalam literatur matematika yang baru-baru ini, {{Harvard citation text|Edmonds|1957}} memberikan bukti dari jumlah bilangan segitiga kuadrat dengan menggunakan [[penjumlahan bagian-demi-bagian]]. {{Harvard citation text|Stein|1971}} menggunakan pandangan perhitungan persegi panjang dari bilangan-bilangan tersebut agar membentuk bukti geometris dari identitas (lihat pula {{Harvard citation no brackets|Benjamin|Quinn|Wurtz|2006}} ); ia mengamati bahwa pandangan tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) memlalui induksi, dan menyatakan bahwa {{Harvard citation text|Toeplitz|1963}} memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". {{Harvard citation text|Kanim|2004}} memberikan bukti visual murni, {{Harvard citation text|Benjamin|Orrison|2002}} memberikan dua bukti tambahan, dan {{Harvard citation text|Nelsen|1993}} memberikan tujuh bukti geometris.
== Perumuman ==
Terdapat hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus, dan hasil tersebut berlaku untuk semua [[Rumus Faulhaber|jumlah pangkat]]: jumlah pangkat ganjil sama dengan polinomial dalam bilangan segitiga. Hasil pernyataan itu disebut [[ Formula Faulhaber |polinomial Faulhaber]], suatu polinomial dengan jumlah bilangan pangkat tiga yang merupakan contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki satu jumlah pangkat kuadrat dari yang lain.<ref>{{Harvard citation|Edmonds|1957}}</ref> 

{{harvtxt|Stroeker|1995}} mempelajari syarat-syarat yang lebih umum, dengan jumlah barisan bilangan kubus berurutan membentuk suatu bilangan kuadrat. {{harvtxt|Garrett|Hummel|2004}} dan {{harvtxt|Warnaar|2004}} mempelajari polinomial dari rumus bilangan segitiga kuadrat, dengan deret pada polinomial bertambah menjadi kuadrat dari polinomial lain.

== Referensi ==
{{Reflist}} {{refbegin|colwidth=30em}}
*{{citation|last1=Benjamin|first1=Arthur T.|author1-link=Arthur T. Benjamin|last2=Orrison|first2=M. E.|title=Two quick combinatorial proofs of <math>\textstyle \sum k^3 = {n+1\choose 2}^2</math>|journal=[[College Mathematics Journal]]|year=2002|volume=33|issue=5|pages=406–408|url=http://www.math.hmc.edu/~orrison/research/papers/two_quick.pdf|doi=10.2307/1559017|jstor=1559017}}.
*{{citation|doi=10.2307/27646391|title=Summing cubes by counting rectangles|url=http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/rectangles.pdf|pages=387–389|issue=5|volume=37|year=2006|journal=[[College Mathematics Journal]]|first3=Calyssa|last1=Benjamin|last3=Wurtz|author2-link=Jennifer Quinn|first2=Jennifer J.|last2=Quinn|author1-link=Arthur T. Benjamin|first1=Arthur T.|jstor=27646391}}.
*{{citation|last=Bressoud|first=David|authorlink=David Bressoud|title=Calculus before Newton and Leibniz, Part III|url=http://www.macalester.edu/~bressoud/pub/CBN3.pdf|publisher=AP Central|year=2004}}.
*{{citation|last=Edmonds|first=Sheila M.|author-link=Sheila May Edmonds|doi=10.2307/3609189|journal=[[The Mathematical Gazette]]|jstor=3609189|mr=96615|pages=187–188|title=Sums of powers of the natural numbers|volume=41|year=1957}}
*{{citation|last1=Garrett|first1=Kristina C.|last2=Hummel|first2=Kristen|title=A combinatorial proof of the sum of {{mvar|q}}-cubes|journal=[[Electronic Journal of Combinatorics]]|volume=11|year=2004|issue=1|at=Research Paper 9|mr=2034423|url=http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1r9.html}}.
*{{citation|last1=Gulley|first1=Ned|editor-last=Shure|editor-first=Loren|title=Nicomachus's Theorem|url=http://blogs.mathworks.com/loren/2010/03/04/nichomachuss-theorem/|date=March 4, 2010|publisher=Matlab Central}}.
*{{citation|doi=10.2307/3219288|last=Kanim|first=Katherine|title=Proofs without words: The sum of cubes—An extension of Archimedes' sum of squares|jstor=3219288|journal=[[Mathematics Magazine]]|volume=77|issue=4|year=2004|pages=298–299}}.
*{{citation|last=Nelsen|first=Roger B.|title=Proofs without Words|publisher=Cambridge University Press|year=1993|isbn=978-0-88385-700-7}}.
*{{citation|last=Pengelley|first=David|contribution=The bridge between continuous and discrete via original sources|url=http://www.math.nmsu.edu/~davidp/bridge.pdf|title=Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference|year=2002|publisher=National Center for Mathematics Education, Univ. of Gothenburg, Sweden}}.
*{{citation|first=T. Sundara|last=Row|title=Geometric Exercises in Paper Folding|title-link=Geometric Exercises in Paper Folding|year=1893|location=Madras|publisher=Addison|at=[https://archive.org/details/geometricexerci00raogoog/page/n61/mode/2up pp. 47–48]}}.
*{{citation|doi=10.2307/2688231|last=Stein|first=Robert G.|title=A combinatorial proof that <math>\textstyle \sum k^3 = (\sum k)^2</math>|journal=[[Mathematics Magazine]]|volume=44|issue=3|pages=161–162|year=1971|jstor=2688231}}.
*{{citation|last=Stroeker|first=R. J.|title=On the sum of consecutive cubes being a perfect square|journal=[[Compositio Mathematica]]|volume=97|year=1995|issue=1–2|pages=295–307|mr=1355130|url=http://www.numdam.org/item?id=CM_1995__97_1-2_295_0}}.
*{{citation|title=The Calculus, a Genetic Approach|last=Toeplitz|first=Otto|authorlink=Otto Toeplitz|publisher=University of Chicago Press|year=1963|isbn=978-0-226-80667-9}}.
*{{citation|last=Warnaar|first=S. Ole|title=On the {{mvar|q}}-analogue of the sum of cubes|journal=[[Electronic Journal of Combinatorics]]|volume=11|year=2004|issue=1|at=Note 13|mr=2114194|url=http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1n13.html}}.
*{{citation|last=Wheatstone|first=C.|authorlink=Charles Wheatstone|title=On the formation of powers from arithmetical progressions|journal=[[Proceedings of the Royal Society of London]]|volume=7|pages=145–151|year=1854|doi=10.1098/rspl.1854.0036|url=https://zenodo.org/record/1432033/files/article.pdf}}.
{{refend}}

== Pranala luar ==

* {{mathworld|urlname=NicomachussTheorem|title=Nicomachus's theorem}}
* [http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 A visual proof of Nicomachus's theorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170129125403/http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 |date=2017-01-29 }}
[[Kategori:Artikel mengenai pembuktian]]
[[Kategori:Identitas matematika]]
[[Kategori:Urutan bilangan bulat]]
[[Kategori:Teorema Bilangan]]
[[Kategori:Matematika dasar]]