Lihat sumber Bilangan riil negatif

[[Berkas:US_Navy_070317-N-3642E-379_During_the_warmest_part_of_the_day,_a_thermometer_outside_of_the_Applied_Physics_Laboratory_Ice_Station's_(APLIS)_mess_tent_still_does_not_break_out_of_the_sub-freezing_temperatures.jpg|jmpl| Termometer ini menunjukkan suhu [[Fahrenheit]] negatif (−4&nbsp;°F).]]
Dalam [[matematika]], '''bilangan negatif''' melambangkan kebalikannya.<ref>"Integers are the set of whole numbers and their opposites.", Richard W. Fisher, No-Nonsense Algebra, 2nd Edition, Math Essentials, {{ISBN|978-0999443330}}</ref> Dalam sistem [[bilangan riil]], bilangan negatif adalah bilangan yang [[Pertidaksamaan|kurang dari]] [[0 (angka)|nol]] . Angka negatif sering digunakan untuk mewakili besarnya kerugian atau kekurangan. [[Utang|Hutang]] yang terhutang mungkin dianggap sebagai aset negatif. Jika suatu besaran, seperti muatan elektron, dapat mempunyai salah satu dari dua pengertian yang berlawanan, maka seseorang dapat memilih untuk membedakan antara pengertian tersebut—mungkin secara acak—sebagai ''positif'' dan ''negatif'' . Angka negatif digunakan untuk menggambarkan nilai pada skala di bawah nol, seperti skala [[Celsius]] dan [[Fahrenheit]] untuk suhu. Hukum aritmatika untuk bilangan negatif memastikan bahwa gagasan yang masuk akal tentang kebalikannya tercermin dalam aritmatika. Misalnya, -{{Spaces}}(−3) = 3 karena kebalikan dari kebalikannya adalah nilai aslinya.

Bilangan negatif biasanya ditulis dengan [[Tanda plus dan minus|tanda minus]] di depannya. Misalnya, −3 menyatakan besaran negatif dengan besaran tiga, dan diucapkan "minus tiga" atau "tiga negatif". Untuk membantu membedakan antara operasi [[pengurangan]] dan bilangan negatif, terkadang tanda negatif ditempatkan sedikit lebih tinggi daripada [[Tanda plus dan minus|tanda minus]] (sebagai superskrip ). Sebaliknya, bilangan yang lebih besar dari nol disebut ''positif'' ; nol biasanya ( tetapi tidak selalu ) dianggap tidak positif atau negatif .<ref>The convention that zero is neither positive nor negative is not universal. For example, in the French convention, zero is considered to be ''both'' positive and negative. The French words [[:fr:Nombre positif|positif]] and [[:fr:Nombre négatif|négatif]] mean the same as English "positive or zero" and "negative or zero" respectively.</ref> Kepositifan suatu angka dapat ditekankan dengan memberi tanda tambah di depannya, misalnya +3. Secara umum, negatif atau positif suatu bilangan disebut sebagai [[Tanda (matematika)|tandanya]] .

Setiap bilangan nyata selain nol adalah positif atau negatif. Bilangan bulat non-negatif disebut [[bilangan asli]] (yaitu 0, 1, 2, 3...), sedangkan bilangan bulat positif dan negatif (bersama dengan nol) disebut [[bilangan bulat]] . (Beberapa definisi bilangan asli tidak menyertakan nol.)

Dalam [[pembukuan]], jumlah terutang sering kali dilambangkan dengan angka merah, atau angka dalam tanda kurung, sebagai notasi alternatif untuk menyatakan angka negatif.

Bilangan negatif digunakan dalam ''[[Jiuzhang Suanshu|Sembilan Bab tentang Seni Matematika]]'', yang dalam bentuknya yang sekarang berasal dari periode [[Dinasti Han]] Tiongkok (202 SM – 220 M), tetapi mungkin berisi materi yang jauh lebih tua. <ref name="struik33">Struik, pages 32–33. "In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history."</ref> [[Liu Hui]] (c. abad ke-3) menetapkan aturan untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan negatif. <ref name="Hodgkin">{{Cite book|last=Hodgkin|first=Luke|year=2005|url=https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg|title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-152383-0|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg/page/88 88]|quote=Liu is explicit on this; at the point where the ''Nine Chapters'' give a detailed and helpful 'Sign Rule'|url-access=registration}}</ref> Pada abad ke-7, matematikawan India seperti [[Brahmagupta]] menjelaskan penggunaan bilangan negatif. [[Matematika Islam abad pertengahan|Matematikawan Islam]] mengembangkan lebih lanjut aturan pengurangan dan perkalian bilangan negatif dan memecahkan masalah dengan [[koefisien]] negatif. <ref name="Rashed">{{Cite book|last=Rashed|first=R.|date=1994-06-30|title=The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra|publisher=Springer|isbn=9780792325659|pages=36–37}}</ref> Sebelum konsep bilangan negatif, matematikawan seperti [[Diophantus]] menganggap solusi negatif terhadap masalah adalah "salah" dan persamaan yang memerlukan solusi negatif digambarkan sebagai tidak masuk akal.<ref>[[Diophantus]], ''[[Arithmetica]]''.</ref> Matematikawan Barat seperti [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] berpendapat bahwa angka negatif tidak valid, namun tetap menggunakannya dalam perhitungan.<ref>{{Cite book|last=Kline|first=Morris|date=1972|title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times|publisher=Oxford University Press, New York|page=252}}</ref> <ref>{{Cite web|last=Martha Smith|title=History of Negative Numbers|url=https://web.ma.utexas.edu/users/mks/326K/Negnos.html}}</ref>

== Perkenalan ==

=== Garis bilangan ===
Hubungan antara bilangan negatif, bilangan positif, dan nol sering dinyatakan dalam bentuk '''garis bilangan''' :
[[Berkas:Number-line.svg|al=The number line|pus| Garis bilangan]]
Angka yang muncul lebih jauh ke kanan pada garis ini lebih besar, sedangkan angka yang muncul lebih jauh ke kiri lebih kecil. Jadi angka nol muncul di tengah, dengan angka positif di sebelah kanan dan angka negatif di sebelah kiri.

Perhatikan bahwa bilangan negatif yang besarnya lebih besar dianggap lebih kecil. Misalnya, meskipun (positif) {{Math|8}} lebih besar dari (positif) {{Math|5}}, ditulis
 {{block indent|em=1.5|text={{math|8 > 5}}}}
negatif {{Math|8}} dianggap kurang dari negatif {{Math|5}} :
 {{block indent|em=1.5|text={{math|−8 < −5.}}}}

=== Nomor yang ditandatangani ===
Dalam konteks bilangan negatif, bilangan yang lebih besar dari nol disebut '''bilangan positif''' . Jadi setiap [[Bilangan riil|bilangan real]] selain nol adalah positif atau negatif, sedangkan nol sendiri tidak dianggap mempunyai tanda. Bilangan positif terkadang ditulis dengan [[Tanda plus dan minus|tanda tambah]] di depannya, misalnya {{Math|+3}} melambangkan bilangan positif tiga.

Karena nol tidak positif atau negatif, istilah '''non-negatif''' terkadang digunakan untuk merujuk pada bilangan positif atau nol, sedangkan '''nonpositif''' digunakan untuk merujuk pada bilangan negatif atau nol. Nol adalah bilangan netral.

=== Sebagai hasil pengurangan ===
Bilangan negatif dapat dianggap sebagai hasil [[pengurangan]] bilangan yang lebih besar dari bilangan yang lebih kecil. Misalnya, negatif tiga adalah hasil pengurangan tiga dari nol:
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1= 0 − 3  =  −3.}}}}
Secara umum, pengurangan bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil akan menghasilkan hasil negatif, dan besarnya adalah selisih antara kedua bilangan tersebut. Misalnya,
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1= 5 − 8  =  −3}}}}
karena {{Math|1=8 − 5 = 3}} .

== Penggunaan bilangan negatif sehari-hari ==

=== Olahraga ===
{{CSS image crop}}

* Selisih gol dalam [[Sepak bola|sepak bola asosiasi]] dan [[hoki]] ; selisih poin dalam [[sepak bola rugbi]] ; laju lari bersih di [[kriket]] ; skor [[golf]] relatif terhadap [[Golf|par]] .
* Selisih plus-minus dalam [[hoki es]] : perbedaan total gol yang dicetak untuk tim (+) dan melawan tim (−) ketika pemain tertentu berada di atas es adalah peringkat +/− pemain tersebut. Pemain dapat memiliki peringkat negatif (+/−).
* Diferensial lari dalam [[bisbol]] : Diferensial lari negatif jika tim memperbolehkan lari lebih banyak daripada yang dicetaknya.
* Klub dapat dikurangi poin karena pelanggaran hukum, dan dengan demikian memiliki total poin negatif sampai mereka memperoleh setidaknya poin sebanyak itu pada musim itu.<ref>{{Cite news|title=Saracens salary cap breach: Premiership champions will not contest sanctions|url=https://www.bbc.co.uk/sport/rugby-union/50457698|work=BBC Sport|access-date=18 November 2019|quote=Mark McCall's side have subsequently dropped from third to bottom of the Premiership with −22 points}}</ref> <ref>{{Cite news|title=Bolton Wanderers 1−0 Milton Keynes Dons|url=https://www.bbc.co.uk/sport/football/50356053|work=BBC Sport|access-date=30 November 2019|quote=But in the third minute of stoppage time, the striker turned in Luke Murphy's cross from eight yards to earn a third straight League One win for Hill's side, who started the campaign on −12 points after going into administration in May.}}</ref>
* Waktu putaran (atau sektor) di [[Formula Satu|Formula 1]] dapat diberikan sebagai selisih dibandingkan dengan putaran (atau sektor) sebelumnya (seperti rekor sebelumnya, atau putaran yang baru diselesaikan oleh pembalap di depan), dan akan bernilai positif jika lebih lambat dan negatif jika lebih cepat.<ref>{{Cite web|title=Glossary|url=https://www.formula1.com/en/championship/inside-f1/glossary.html|publisher=Formula1.com|access-date=30 November 2019|quote=Delta time: A term used to describe the time difference between two different laps or two different cars. For example, there is usually a negative delta between a driver's best practice lap time and his best qualifying lap time because he uses a low fuel load and new tyres.}}</ref>
* Dalam beberapa cabang [[Atletik|olahraga atletik]], seperti [[lari cepat]], [[Lari gawang 110 meter|lari gawang]], [[Lompat jangkit|lompat ganda]], dan [[lompat jauh]], bantuan angin diukur dan dicatat, <ref>{{Cite web|date=5 August 2012|title=BBC Sport - Olympic Games - London 2012 - Men's Long Jump : Athletics - Results|url=http://london2012.bbc.co.uk/athletics/event/men-long-jump/index.html|archive-url=https://web.archive.org/web/20120805042254/http://london2012.bbc.co.uk/athletics/event/men-long-jump/index.html|archive-date=5 August 2012|access-date=5 December 2018|url-status=dead}}</ref> dan bernilai positif untuk penarik angin dan negatif untuk angin sakal.<ref>{{Cite web|date=3 July 2008|title=How Wind Assistance Works in Track & Field|url=https://elitefeet.com/how-wind-assistance-works-in-track-field|website=elitefeet.com|access-date=18 November 2019|quote=Wind assistance is normally expressed in meters per second, either positive or negative. A positive measurement means that the wind is helping the runners and a negative measurement means that the runners had to work against the wind. So, for example, winds of −2.2m/s and +1.9m/s are legal, while a wind of +2.1m/s is too much assistance and considered illegal. The terms "tailwind" and "headwind" are also frequently used. A tailwind pushes the runners forward (+) while a headwind pushes the runners backwards (−)}}</ref>

=== Ilmu Pengetahuan ===

* [[Suhu]] yang lebih dingin dari 0&nbsp;°C atau 0&nbsp;°F.<ref>{{Cite book|last=Forbes|first=Robert B.|date=6 January 1975|url=https://books.google.com/books?id=VxPI4SdOaBcC&q=colder+than+0+%C2%B0C+or+0+%C2%B0F&pg=PA194|title=Contributions to the Geology of the Bering Sea Basin and Adjacent Regions: Selected Papers from the Symposium on the Geology and Geophysics of the Bering Sea Region, on the Occasion of the Inauguration of the C. T. Elvey Building, University of Alaska, June 26-28, 1970, and from the 2d International Symposium on Arctic Geology Held in San Francisco, February 1-4, 1971|publisher=Geological Society of America|isbn=9780813721514|page=194}}</ref> <ref>{{Cite book|last=Wilks|first=Daniel S.|date=6 January 2018|url=https://books.google.com/books?id=IJuCVtQ0ySIC&q=colder+than+0+%C2%B0C+or+0+%C2%B0F&pg=PA17|title=Statistical Methods in the Atmospheric Sciences|publisher=Academic Press|isbn=9780123850225|page=17}}</ref>
* [[Garis lintang]] di selatan khatulistiwa dan [[garis bujur]] di barat [[meridian utama]] .
* Ciri-ciri [[topografi]] permukaan bumi diberikan [[Tinggi|ketinggian]] di atas [[permukaan laut]], yang dapat bernilai negatif (misalnya ketinggian permukaan [[Laut Mati]] atau [[Lembah Kematian]], atau ketinggian Terowongan Pasang Surut Thames ).
* [[Rangkaian listrik]] . Ketika baterai dihubungkan dengan polaritas terbalik, tegangan yang diberikan dikatakan kebalikan dari tegangan pengenalnya. Misalnya, baterai 6 volt yang dihubungkan secara terbalik memberikan tegangan −6 volt.
* [[Ion]] mempunyai muatan listrik positif atau negatif.
* Impedansi menara siaran AM yang digunakan dalam susunan antena multi-menara, bisa positif atau negatif.

=== Keuangan ===

* [[Laporan keuangan]] dapat memuat saldo negatif, yang ditunjukkan dengan tanda minus atau dengan mengapit saldo dalam tanda kurung. <ref name="CarysforthNeild2002">{{Citation|last=Carysforth|first=Carol|last2=Neild|first2=Mike|title=Double Award|url=https://books.google.com/books?id=vMTmjC7fgcYC&pg=PA375|year=2002|publisher=Heinemann|isbn=978-0-435-44746-5|page=375}}</ref> Contohnya termasuk [[cerukan]] rekening bank dan kerugian bisnis ( [[Laba usaha|pendapatan]] negatif).
* Pengembalian dana ke [[kartu kredit]] atau [[kartu debit]] merupakan tagihan negatif pada kartu. <ref name="GerverSgroi2010">{{Citation|last=Gerver|first=Robert K.|last2=Sgroi|first2=Richard J.|title=Financial Algebra, Student Edition|url=https://books.google.com/books?id=mQ7EdJA6WWMC&pg=PA201|year=2010|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-538-44967-0|page=201}}</ref> <ref>[https://pocketsense.com/negative-number-credit-card-statement-mean-17105.html What Does a Negative Number on a Credit Card Statement Mean?], Pocketsense, 27 October 2018.</ref>
* Persentase pertumbuhan tahunan [[Produk domestik bruto|PDB]] suatu negara mungkin negatif, yang merupakan salah satu indikator berada dalam [[resesi]] .<ref>{{Cite news|date=25 January 2013|title=UK economy shrank at end of 2012|url=https://www.bbc.com/news/business-21193525|work=BBC News|access-date=5 December 2018}}</ref>
* Kadang-kadang, tingkat [[inflasi]] mungkin negatif ( [[deflasi]] ), yang menunjukkan penurunan harga rata-rata.<ref>{{Cite web|date=21 April 2009|title=First negative inflation figure since 1960|url=https://www.independent.co.uk/news/business/news/first-negative-inflation-figure-since-1960-1671736.html|website=The Independent|archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20220618/https://www.independent.co.uk/news/business/news/first-negative-inflation-figure-since-1960-1671736.html|archive-date=18 June 2022|access-date=5 December 2018|url-status=live}}</ref>
* Perubahan harian harga [[saham]] atau [[indeks pasar saham]], seperti [[Indeks FTSE 100|FTSE 100]] atau [[Dow Jones Industrial Average|Dow Jones]] .
* Angka negatif dalam pembiayaan identik dengan “utang” dan “defisit” yang dikenal juga dengan istilah “berada di zona merah”.
* Suku bunga bisa menjadi negatif, <ref>{{Cite web|date=5 June 2014|title=ECB imposes negative interest rate|url=https://www.bbc.com/news/business-27717594|publisher=[[BBC News]]|access-date=5 December 2018}}</ref> <ref>{{Cite news|last=Lynn|first=Matthew|title=Think negative interest rates can't happen here? Think again|url=https://www.marketwatch.com/story/think-negative-interest-rates-cant-happen-here-think-again-2015-01-21|work=MarketWatch|access-date=5 December 2018}}</ref> <ref>{{Cite web|date=18 December 2014|title=Swiss interest rate to turn negative|url=https://www.bbc.com/news/business-30528404|publisher=[[BBC News]]|access-date=5 December 2018}}</ref> ketika pemberi pinjaman dibebankan untuk menyetorkan uangnya.

=== Lainnya ===
[[Berkas:Elevator_Negative_Floor_Numbers_in_Ireland_(16785350923).jpg|ka|jmpl| Nomor lantai negatif di lift.]]

* Penomoran [[Tingkat|lantai]] pada suatu bangunan di bawah lantai dasar.
* Saat memutar file audio di pemutar media portabel, seperti [[iPod]], tampilan layar mungkin menunjukkan sisa waktu sebagai angka negatif, yang bertambah hingga nol waktu tersisa dengan laju yang sama dengan bertambahnya waktu pemutaran dari nol.
* [[Acara permainan]] televisi :
** Peserta ''QI'' seringkali berakhir dengan skor poin negatif.
** Tim di ''University Challenge'' mendapat skor negatif jika jawaban pertama mereka salah dan menyela pertanyaan.
** ''[[Jeopardy!|Bahaya!]]'' memiliki skor uang negatif – kontestan bermain untuk sejumlah uang dan jawaban salah apa pun yang membuat mereka mengeluarkan biaya lebih dari yang mereka miliki sekarang dapat menghasilkan skor negatif.
** Dalam permainan penetapan harga ''The Price Is Right,'' Beli atau Jual, jika jumlah uang yang hilang melebihi jumlah yang ada di bank saat ini, maka akan mendapat skor negatif.
* Perubahan dukungan terhadap suatu partai politik di antara pemilu yang dikenal dengan istilah swing .
* Peringkat persetujuan seorang politisi.<ref>{{Cite news|last=Wintour|first=Patrick|date=17 June 2014|via=www.theguardian.com|title=Popularity of Miliband and Clegg falls to lowest levels recorded by ICM poll|url=https://www.theguardian.com/politics/2014/jun/17/ed-miliband-nick-clegg-fall-lowest-popularity-guardian-icm|work=The Guardian|access-date=5 December 2018}}</ref>
* Dalam [[Permainan video|video game]], angka negatif menunjukkan hilangnya nyawa, kerusakan, penalti skor, atau konsumsi sumber daya, bergantung pada genre simulasi.
* Karyawan dengan jam kerja fleksibel mungkin memiliki saldo negatif pada lembar waktunya jika total jam kerja mereka lebih sedikit dari yang dikontrak pada saat itu. Karyawan mungkin dapat mengambil lebih dari tunjangan liburan tahunan mereka dalam satu tahun, dan meneruskan saldo negatifnya ke tahun berikutnya.
* Transposisi nada pada [[Kibor (alat musik)|keyboard elektronik]] ditampilkan di layar dengan angka positif untuk kenaikan dan angka negatif untuk penurunan, misalnya "−1" untuk satu [[Setengah nada|seminada]] turun.

== Aritmatika yang melibatkan bilangan negatif ==
[[Tanda plus dan minus|Tanda minus]] "−" menandakan [[Operator (matematika)|operator]] untuk [[Operasi (matematika)|operasi]] [[pengurangan]] biner (dua [[operan]] ) (seperti pada {{Math|''y'' − ''z''}} ) dan operasi [[Invers aditif|negasi]] unary (satu operan) (seperti pada {{Math|−''x''}}, atau dua kali dalam {{Math|−(−''x'')}} ). Kasus khusus negasi unary terjadi ketika ia beroperasi pada bilangan positif, yang mana hasilnya adalah bilangan negatif (seperti pada {{Math|−5}} ).

Ambiguitas simbol "−" umumnya tidak menyebabkan ambiguitas dalam ekspresi aritmatika, karena urutan operasi hanya memungkinkan satu interpretasi atau lainnya untuk setiap "−". Namun, hal ini dapat menimbulkan kebingungan dan sulit bagi seseorang untuk memahami suatu ekspresi ketika simbol operator muncul berdekatan satu sama lain. Solusinya adalah dengan memberi tanda kurung pada unary "−" beserta operannya.

Misalnya, ekspresi {{Math|7 + −5}} mungkin lebih jelas jika ditulis {{Math|7 + (−5)}} (walaupun secara formal artinya sama persis). Ekspresi [[pengurangan]] {{Math|7 – 5}} adalah ekspresi berbeda yang tidak mewakili operasi yang sama, namun mengevaluasi hasil yang sama.

Terkadang di sekolah dasar suatu bilangan diawali dengan tanda minus superskrip atau tanda tambah untuk secara eksplisit membedakan bilangan negatif dan positif seperti pada <ref>{{Cite book|last=Grant P. Wiggins|last2=Jay McTighe|year=2005|url=https://archive.org/details/isbn_9780131950849/page/210|title=Understanding by design|publisher=ACSD Publications|isbn=1-4166-0035-3|page=[https://archive.org/details/isbn_9780131950849/page/210 210]|url-access=registration}}</ref>
 {{block indent|em=1.5|text={{math|<sup>−</sup>2 + <sup>−</sup>5}} &nbsp;memberikan&nbsp;{{math|<sup>−</sup>7}}.}}

=== Penjumlahan ===
[[Berkas:AdditionRules.svg|ka|jmpl| Representasi visual penjumlahan bilangan positif dan negatif. Bola yang lebih besar mewakili angka dengan besaran yang lebih besar.]]
Penjumlahan dua bilangan negatif sangat mirip dengan penjumlahan dua bilangan positif. Misalnya,
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1=(−3) + (−5)  =  −8}}.}}
Idenya adalah bahwa dua utang dapat digabungkan menjadi satu utang yang besarnya lebih besar.

Saat menjumlahkan campuran bilangan positif dan negatif, bilangan negatif dapat dianggap sebagai besaran positif yang sedang dikurangkan. Misalnya:
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1=8 + (−3)  =  8 − 3  =  5}} &nbsp;and&nbsp;{{math|1=(−2) + 7  =  7 − 2  =  5}}.}}
Pada contoh pertama, kredit sebesar {{Math|8}} digabungkan dengan hutang sebesar {{Math|3}}, sehingga menghasilkan total kredit sebesar {{Math|5}} . Jika bilangan negatifnya besarnya lebih besar, maka hasilnya negatif:
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1=(−8) + 3  =  3 − 8  =  −5}} &nbsp;and&nbsp;{{math|1=2 + (−7)  =  2 − 7  =  −5}}.}}
Di sini kredit lebih kecil dari utang, sehingga hasil bersihnya adalah utang.

=== Pengurangan ===
Seperti dibahas di atas, pengurangan dua bilangan non-negatif mungkin menghasilkan jawaban negatif:
{{block indent|em=1.5|text={{math|1= 5 − 8  =  −3}}}}
Secara umum, pengurangan bilangan positif menghasilkan hasil yang sama dengan penjumlahan bilangan negatif yang besarnya sama. Dengan demikian 
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1= 5 − 8  =  5 + (−8)  =  −3}}}}
Dan
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1= (−3) − 5  =  (−3) + (−5)  =  −8}}}}
Sebaliknya, pengurangan bilangan negatif akan menghasilkan hasil yang sama dengan penjumlahan bilangan positif yang besarnya sama. (Idenya adalah ''kehilangan'' utang sama saja dengan ''memperoleh'' kredit.) Jadi
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1= 3 − (−5)  =  3 + 5  =  8}}}}
Dan
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1= (−5) − (−8)  =  (−5) + 8  =  3}}.}}

=== Perkalian ===
[[Berkas:Multiplication_of_Positive_and_Negative_Numbers.svg|jmpl| Perkalian dengan bilangan negatif dapat dilihat sebagai perubahan arah vektor yang [[Besaran (matematika)|besarnya]] sama dengan [[Nilai absolut|nilai mutlak]] hasil kali faktor-faktornya.]]
Saat mengalikan bilangan, besaran hasil kali selalu merupakan hasil kali kedua besaran tersebut. [[Tanda (matematika)|Tanda]] suatu produk ditentukan oleh aturan berikut:

* Hasil dari satu bilangan positif dan bilangan negatif adalah negatif
* Hasil dari dua bilangan negatif adalah positif



Dengan demikian
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1= (−2) × 3  =  −6}}}}
Dan
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1= (−2) × (−3)  =  6}}.}}
Alasan di balik contoh pertama sederhana saja: menambahkan tiga {{Math|−2}} bersama-sama akan menghasilkan {{Math|−6}} :
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1= (−2) × 3  =  (−2) + (−2) + (−2)  =  −6}}.}}
Alasan dibalik contoh kedua lebih rumit. Idenya sekali lagi adalah bahwa kehilangan utang sama saja dengan memperoleh kredit. Dalam hal ini, kehilangan dua hutang yang masing-masing berjumlah tiga sama dengan memperoleh kredit sebesar enam:
 {{block indent|em=1.5|text={{math| (−2}} utang {{math|) × (−3}} {{math|1=)  =  +6}} kredit.}}
Konvensi bahwa hasil kali dua bilangan negatif adalah positif juga diperlukan agar perkalian mengikuti [[Sifat distributif|hukum distributif]] . Dalam hal ini, kita mengetahuinya
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1= (−2) × (−3)  +  2 × (−3)  =  (−2 + 2) × (−3)  =  0 × (−3)  =  0}}.}}
Karena {{Math|1=2 × (−3) = −6}}, hasil kali {{Math|(−2) × (−3)}} harus sama dengan {{Math|6}} .

Aturan ini mengarah pada aturan lain (yang setara)—tanda hasil kali ''a'' × ''b'' bergantung pada tanda ''a'' sebagai berikut:

* jika ''a'' positif, maka tanda ''a'' × ''b'' sama dengan tanda ''b'', dan
* jika ''a'' negatif, maka tanda ''a'' × ''b'' adalah kebalikan dari tanda ''b'' .

Pembenaran mengapa hasil kali dua bilangan negatif merupakan bilangan positif dapat diamati dalam analisis [[bilangan kompleks]] .

=== Pembagian ===
Aturan tanda pada [[pembagian]] sama dengan aturan tanda pada perkalian. Misalnya,
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1=8 ÷ (−2)  =  −4}},}} {{block indent|em=1.5|text={{math|1=(−8) ÷ 2  =  −4}},}}

Dan
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1=(−8) ÷ (−2)  =  4}}.}}
Jika pembagian dan pembaginya bertanda sama maka hasilnya positif, jika berbeda tandanya maka hasilnya negatif.

== Penyangkalan ==
Versi negatif dari bilangan positif disebut sebagai [[Invers aditif|negasinya]] . Misalnya, {{Math|−3}} adalah negasi dari bilangan positif {{Math|3}} . [[Penambahan|Jumlah]] suatu bilangan dan negasinya sama dengan nol:
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1=3 + (−3)  =  0}}.}}
Artinya, negasi suatu bilangan positif adalah [[Invers aditif|kebalikan penjumlahan]] dari bilangan tersebut.

Dengan menggunakan [[aljabar]], kita dapat menuliskan prinsip ini sebagai [[Identitas (matematika)|identitas aljabar]] :
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1=''x'' + (−''x'') =  0}}.}}
Identitas ini berlaku untuk bilangan positif apa pun {{Math|''x''}} . Hal ini dapat berlaku untuk semua bilangan real dengan memperluas definisi negasi hingga mencakup bilangan nol dan negatif. Secara khusus:

* Negasi dari 0 adalah 0, dan
* Negasi suatu bilangan negatif adalah bilangan positif yang bersesuaian.

Misalnya, negasi dari {{Math|−3}} adalah {{Math|+3}} . Secara umum,
 
[[Nilai absolut|Nilai mutlak]] suatu bilangan adalah bilangan non-negatif yang besarnya sama. Misalnya, nilai absolut dari {{Math|−3}} dan nilai absolut dari {{Math|3}} keduanya sama dengan {{Math|3}}, dan nilai absolut dari {{Math|0}} adalah {{Math|0}} .

== Konstruksi formal bilangan bulat negatif ==
Dengan cara yang mirip dengan [[bilangan rasional]], kita dapat memperluas [[bilangan asli]] '''N''' ke bilangan bulat '''Z''' dengan mendefinisikan bilangan bulat sebagai [[pasangan terurut]] bilangan asli ( ''a'', ''b'' ). Kita dapat memperluas penjumlahan dan perkalian pada pasangan-pasangan ini dengan aturan berikut:
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1=(''a'', ''b'') + (''c'', ''d'') = (''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}}}} 

Kami mendefinisikan [[Relasi ekuivalensi|hubungan kesetaraan]] ~ pada pasangan ini dengan aturan berikut:
 
Hubungan ekivalen ini sesuai dengan penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan di atas, dan kita dapat mendefinisikan '''Z''' sebagai [[Kelas ekuivalen|himpunan hasil bagi]] '''N''' ²/~, yaitu kita mengidentifikasi dua pasangan ( ''a'', ''b'' ) dan ( ''c'', ''d'' ) jika keduanya ekuivalen dalam persamaan tersebut. di atas akal. Perhatikan bahwa '''Z''', yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian ini, adalah sebuah [[Gelanggang (matematika)|ring]], dan pada kenyataannya, merupakan contoh prototipikal dari sebuah ring.

Kita juga dapat menentukan [[Urutan total|pesanan total]] pada '''Z''' dengan menulis
 {{block indent|em=1.5|text={{math|1=(''a'', ''b'') ≤ (''c'', ''d'') if and only if ''a'' + ''d'' ≤ ''b'' + ''c''}}.}}
Hal ini akan menghasilkan ''penjumlahan nol'' dalam bentuk ( ''a'', ''a'' ), ''[[Invers aditif|invers penjumlahan]]'' dari ( ''a'', ''b'' ) dalam bentuk ( ''b'', ''a'' ), satuan perkalian dalam bentuk ( ''a'' + 1, ''a'' ), dan a definisi [[pengurangan]]
 
Konstruksi ini merupakan kasus khusus dari konstruksi Grothendieck .

=== Keunikan ===
Invers penjumlahan suatu bilangan bersifat unik, seperti ditunjukkan oleh pembuktian berikut. Seperti disebutkan di atas, invers penjumlahan suatu bilangan didefinisikan sebagai nilai yang bila ditambahkan ke bilangan tersebut akan menghasilkan nol.

Misalkan ''x'' adalah bilangan dan ''y'' adalah invers penjumlahannya. Misalkan ''y′'' adalah invers penjumlahan lain dari ''x'' . Menurut definisi,
<math display="block">x + y' = 0, \quad \text{and} \quad x + y = 0.</math>
Jadi, ''x'' + ''y′'' = ''x'' + ''y'' . Dengan menggunakan hukum pembatalan penjumlahan, terlihat bahwa ''y′'' = ''y'' . Jadi ''y'' sama dengan invers penjumlahan lainnya dari ''x'' . Artinya, ''y'' adalah invers penjumlahan unik dari ''x'' .

== Sejarah ==
Untuk waktu yang lama, pemahaman tentang bilangan negatif tertunda karena ketidakmungkinan memiliki suatu benda fisik dalam jumlah bilangan negatif, misalnya "minus tiga apel", dan solusi negatif terhadap masalah dianggap "salah".

Di [[Kerajaan Ptolemaik|Mesir Helenistik]], matematikawan [[Matematika Yunani|Yunani]] [[Diophantus]] pada abad ke-3 M mengacu pada persamaan yang setara dengan <math>4x + 20 = 4</math> (yang memiliki solusi negatif) dalam ''[[Arithmetica]]'', mengatakan bahwa persamaan tersebut tidak masuk akal. <ref name="Needham volume 3 p90">{{Cite book|last=Needham|first=Joseph|last2=Wang|first2=Ling|year=1995|url=https://books.google.com/books?id=jfQ9E0u4pLAC|title=Science and Civilisation in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-05801-5|edition=reprint|page=90|orig-year=1959}}</ref> Oleh karena itu, para ahli geometri Yunani mampu menyelesaikan secara geometris semua bentuk persamaan kuadrat yang memberikan akar-akar positif; sementara mereka tidak bisa memperhitungkan orang lain.<ref>{{Cite book|last=Heath|first=Thomas L.|date=1897|url=https://archive.org/details/worksofarchimede029517mbp/page/n73/mode/2up|title=The works of Archimedes|publisher=Cambridge University Press|pages=cxxiii}}</ref>

Bilangan negatif muncul untuk pertama kalinya dalam sejarah dalam ''[[Jiuzhang Suanshu|Sembilan Bab Seni Matematika]]'' (九章算術, ''Jiǔ zhāng suàn-shù'' ), yang dalam bentuknya yang sekarang berasal dari [[Dinasti Han|periode Han]], tetapi mungkin berisi materi yang jauh lebih tua. <ref name="struik33" /> Ahli matematika [[Liu Hui]] (c. abad ke-3) menetapkan aturan untuk penjumlahan dan pengurangan bilangan negatif. Sejarawan Jean-Claude Martzloff berteori bahwa pentingnya dualitas dalam [[filsafat alam]] Tiongkok memudahkan orang Tiongkok menerima gagasan bilangan negatif. <ref name="Hodgkin" /> Orang Cina mampu menyelesaikan persamaan simultan yang melibatkan bilangan negatif. ''Sembilan Bab'' menggunakan [[Tongkat penghitung|batang hitung]] berwarna merah untuk menunjukkan [[koefisien]] positif dan batang hitam untuk menunjukkan koefisien negatif. <ref name="Hodgkin" /> <ref name="Needham volume 3 pp90-91">{{Cite book|last=Needham|first=Joseph|last2=Wang|first2=Ling|year=1995|url=https://books.google.com/books?id=jfQ9E0u4pLAC|title=Science and Civilisation in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-05801-5|edition=reprint|pages=90–91|orig-year=1959}}</ref> Sistem ini merupakan kebalikan dari pencetakan angka positif dan negatif masa kini di bidang perbankan, akuntansi, dan perdagangan, dimana angka merah menunjukkan nilai negatif dan angka hitam menunjukkan nilai positif. Liu Hui menulis:
{{Blockquote|Now there are two opposite kinds of counting rods for gains and losses, let them be called positive and negative. Red counting rods are positive, black counting rods are negative.<ref name="Hodgkin"/>}}
''[[Manuskrip Bakhshali|Naskah Bakhshali]]'' India kuno melakukan perhitungan dengan angka negatif, menggunakan "+" sebagai tanda negatif.<ref>Teresi, Dick. (2002). ''Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science–from the Babylonians to the Mayas''. New York: Simon & Schuster. {{ISBN|0-684-83718-8}}. Page 65.</ref> Tanggal naskah tidak dapat dipastikan. LV Gurjar memberi tanggal paling lambat pada abad ke-4, <ref>{{Cite web|last=Pearce|first=Ian|date=May 2002|title=The Bakhshali manuscript|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Bakhshali_manuscript.html|publisher=The MacTutor History of Mathematics archive|access-date=2007-07-24}}</ref> Hoernle memberi tanggal antara abad ketiga dan keempat, Ayyangar dan Pingree memberi tanggal pada abad ke-8 atau ke-9, <ref name="HayashiEncy">{{Citation|last=Hayashi|first=Takao|title=Bakhshālī Manuscript|volume=1|year=2008|publisher=Springer|isbn=9781402045592|editor1=Helaine Selin|editor-link=Helaine Selin|page=B2|url=https://books.google.com/books?id=kt9DIY1g9HYC&pg=RA1-PA1}}</ref> dan George Gheverghese Joseph memberi tanggal sekitar tahun 400 M dan paling lambat awal abad ke-7, <ref>Teresi, Dick. (2002). ''Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science–from the Babylonians to the Mayas''. New York: Simon & Schuster. {{ISBN|0-684-83718-8}}. Page 65–66.</ref>

Selama abad ke-7 M, angka negatif digunakan di India untuk mewakili utang. [[Matematika India|Matematikawan India]] [[Brahmagupta]], dalam ''Brahma-Sphuta-Siddhanta'' (ditulis sekitar tahun 630 M), membahas penggunaan bilangan negatif untuk menghasilkan [[rumus kuadrat]] bentuk umum yang masih digunakan hingga saat ini. <ref name="Needham volume 3 p90" /> Ia juga menemukan solusi negatif [[persamaan kuadrat]] dan memberikan aturan mengenai operasi yang melibatkan bilangan negatif dan [[0 (angka)|nol]], seperti "Utang yang dipotong dari ketiadaan menjadi kredit; kredit yang dipotong dari ketiadaan menjadi utang." Dia menyebut angka positif sebagai “keberuntungan”, nol sebagai “sandi”, dan angka negatif sebagai “hutang”.<ref>[[Colva Roney-Dougal|Colva M. Roney-Dougal]], Lecturer in Pure Mathematics at the University of St Andrews, stated this on the BBC Radio 4 programme "In Our Time," on 9 March 2006.</ref> <ref>''Knowledge Transfer and Perceptions of the Passage of Time'', ICEE-2002 Keynote Address by Colin Adamson-Macedo. "Referring again to Brahmagupta's great work, all the necessary rules for algebra, including the 'rule of signs', were stipulated, but in a form which used the language and imagery of commerce and the market place. Thus 'dhana' (=fortunes) is used to represent positive numbers, whereas 'rina' (=debts) were negative".</ref>

Pada abad ke-9, [[Matematika Islam abad pertengahan|matematikawan Islam]] sudah mengenal bilangan negatif dari karya matematikawan India, namun pengenalan dan penggunaan bilangan negatif pada periode ini masih bersifat pemalu. <ref name="Rashed" /> [[Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī|Al-Khawarizmi]] dalam karyanya ''Al-jabr wa'l-muqabala'' (dari mana kata "aljabar" berasal) tidak menggunakan bilangan negatif atau koefisien negatif. <ref name="Rashed" /> Namun dalam waktu lima puluh tahun, Abu Kamil mengilustrasikan aturan tanda untuk memperluas perkalian <math>(a \pm b)(c \pm d)</math>, <ref name="Ismail">{{Citation|last=Bin Ismail|first=Mat Rofa|author-link=Mat Rofa bin Ismail|title=Algebra in Islamic Mathematics|journal=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures|volume=1|year=2008|publisher=Springer|isbn=9781402045592|editor1=Helaine Selin|editor-link=Helaine Selin|page=115|edition=2nd}}</ref> dan [[al-Karaji]] menulis dalam ''al-Fakhrī'' -nya bahwa "kuantitas negatif harus dihitung sebagai istilah". <ref name="Rashed" /> Pada abad ke-10, [[Abul Wafa Muhammad Al Buzjani|Abū al-Wafā' al-Būzjānī]] menganggap utang sebagai angka negatif dalam ''[[Abul Wafa Muhammad Al Buzjani|A Book on What Is Necessary from the Science of Arithmetic for Scribes and Businessmen]]'' . <ref name="Ismail" />

Pada abad ke-12, penerus al-Karaji menyatakan aturan umum tanda dan menggunakannya untuk menyelesaikan pembagian polinomial . <ref name="Rashed" /> Sebagaimana al-Samaw'al menulis:<blockquote>hasil kali bilangan negatif— ''al-nāqiṣ'' (kerugian)—dengan bilangan positif— ''al-zāʾid'' (keuntungan)—adalah negatif, dan hasil kali bilangan negatif adalah positif. Jika kita mengurangkan suatu bilangan negatif dari bilangan negatif yang lebih tinggi, maka sisanya adalah selisih negatifnya. Selisihnya tetap positif jika kita mengurangkan suatu bilangan negatif dari bilangan negatif yang lebih rendah. Jika suatu bilangan negatif dikurangkan dari bilangan positif, maka sisanya adalah jumlah positifnya. Jika kita mengurangkan bilangan positif dari pangkat kosong ( ''martaba khāliyya'' ), maka sisanya adalah bilangan negatif yang sama, dan jika kita mengurangkan bilangan negatif dari pangkat kosong, maka sisanya adalah bilangan positif yang sama. <ref name="Rashed">{{Cite book|last=Rashed|first=R.|date=1994-06-30|title=The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra|publisher=Springer|isbn=9780792325659|pages=36–37}}<cite class="citation book cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFRashed1994">Rashed, R. (30 June 1994). ''The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra''. Springer. pp.&nbsp;36–37. [[ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/9780792325659|<bdi>9780792325659</bdi>]].</cite></ref></blockquote>Pada abad ke-12 di India, [[Bhāskara II]] memberikan akar negatif pada persamaan kuadrat tetapi menolaknya karena tidak sesuai dengan konteks masalahnya. Ia menyatakan bahwa nilai negatif "dalam hal ini tidak boleh diambil, karena tidak memadai; masyarakat tidak menyetujui akar negatif".

[[Leonardo da Pisa|Fibonacci]] mengizinkan solusi negatif dalam masalah keuangan yang dapat diartikan sebagai debit (bab 13 ''Liber Abaci'', [[1202]] M) dan kemudian sebagai kerugian (dalam ''[[Leonardo da Pisa|karya Fibonacci ''Flos'']]'' ).

Pada abad ke-15, Nicolas Chuquet, seorang Perancis, menggunakan bilangan negatif sebagai [[Eksponensiasi|eksponen]] <ref>{{Citation|last=Flegg|first=Graham|last2=Hay|first2=C.|last3=Moss|first3=B.|title=Nicolas Chuquet, Renaissance Mathematician: a study with extensive translations of Chuquet's mathematical manuscript completed in 1484|publisher=D. Reidel Publishing Co.|year=1985|isbn=9789027718723|page=354|url=https://books.google.com/books?id=_rO6lVwdbjcC&pg=PA354}}.</ref> tetapi menyebutnya sebagai "bilangan yang tidak masuk akal".<ref>{{Citation|last=Johnson|first=Art|title=Famous Problems and Their Mathematicians|publisher=Greenwood Publishing Group|year=1999|isbn=9781563084461|page=56|url=https://books.google.com/books?id=STKX4qadFTkC&pg=PA56}}.</ref>

Michael Stifel membahas bilangan negatif dalam karyanya ''Arithmetica Integra'' [[1544|tahun 1544]] M, di mana ia juga menyebutnya ''numeri absurdi'' (angka absurd).

Pada tahun 1545, [[Girolamo Cardano|Gerolamo Cardano]], dalam bukunya <nowiki><i id="mwAl8">Ars Magna</i></nowiki>, memberikan perlakuan memuaskan pertama terhadap bilangan negatif di Eropa. <ref name="Needham volume 3 p90" /> Dia tidak mengizinkan bilangan negatif dalam pertimbangan [[Persamaan kubik|persamaan kubiknya]], jadi dia harus menangani, misalnya, <math>x^3 + a x = b</math> secara terpisah dari <math>x^3 = a x + b</math> (dengan <math>a, b > 0</math> dalam kedua kasus). Secara keseluruhan, Cardano terdorong untuk mempelajari tiga belas jenis persamaan kubik, masing-masing dengan semua suku negatif dipindahkan ke sisi lain tanda = untuk menjadikannya positif. (Cardano juga berurusan dengan [[bilangan kompleks]], tetapi dapat dimengerti bahwa ia bahkan kurang menyukainya.)

Pada tahun 1748 [[Leonhard Euler]], dengan secara formal memanipulasi [[deret pangkat]] kompleks dengan menggunakan akar kuadrat dari <math>-1,</math> memperoleh rumus [[analisis kompleks]] [[Rumus Euler|Euler]] : <ref>{{Cite book|last=Euler|first=Leonard|date=1748|url=https://books.google.com/books?id=jQ1bAAAAQAAJ&pg=PA104|title=Introductio in Analysin Infinitorum|location=Lucerne, Switzerland|publisher=Marc Michel Bosquet & Co.|volume=1|page=104|language=la|trans-title=Introduction to the Analysis of the Infinite}}</ref><math display="block">\cos \theta + i \sin \theta = e ^{i\theta}</math>Di mana <math>i = \sqrt{-1}.</math>

Pada [[1797|tahun 1797 M]], [[Carl Friedrich Gauss]] menerbitkan bukti [[teorema dasar aljabar]] tetapi menyatakan keraguannya pada saat itu tentang "metafisika sebenarnya dari akar kuadrat &#x2212; 1".<ref>Gauss, Carl Friedrich (1799) [https://books.google.com/books?id=g3VaAAAAcAAJ&pg=PP1 ''"Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse."''] [New proof of the theorem that any rational integral algebraic function of a single variable can be resolved into real factors of the first or second degree.] Ph.D. thesis, University of Helmstedt, (Germany). (in Latin)</ref>

Namun, sebagian besar matematikawan Eropa menolak konsep bilangan negatif hingga pertengahan abad ke-19.<ref>{{Cite book|last=Martinez|first=Alberto|date=2014|title=Negative Math|publisher=Princeton University Press|pages=80–109}}</ref> Pada abad ke-18, merupakan praktik umum untuk mengabaikan hasil negatif apa pun yang diperoleh dari persamaan, dengan asumsi bahwa hasil tersebut tidak ada artinya.<ref>{{Cite book|last=Martinez|first=Alberto A.|year=2006|title=Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent|url=https://archive.org/details/negativemathhowm0000mart_l0a8|publisher=[[Princeton University Press]]}} a history of controversies on negative numbers, mainly from the 1600s until the early 1900s.</ref> Pada tahun [[1759]] M, matematikawan Inggris Francis Maseres menulis bahwa bilangan negatif "menggelapkan seluruh doktrin persamaan dan menggelapkan hal-hal yang sifatnya menjadi terlalu jelas dan sederhana". Dia sampai pada kesimpulan bahwa angka negatif tidak masuk akal.<ref>{{Cite book|last=Maseres|first=Francis|year=1758|title=A dissertation on the use of the negative sign in algebra: containing a demonstration of the rules usually given concerning it; and shewing how quadratic and cubic equations may be explained, without the consideration of negative roots. To which is added, as an appendix, Mr. Machin's Quadrature of the Circle|url=https://archive.org/details/bim_eighteenth-century_a-dissertation-on-the-us_maseres-francis_1758|work=Quoting from Maseres' work: If any single quantity is marked either with the sign + or the sign − without affecting some other quantity, the mark will have no meaning or significance, thus if it be said that the square of −5, or the product of −5 into −5, is equal to +25, such an assertion must either signify no more than 5 times 5 is equal to 25 without any regard for the signs, or it must be mere nonsense or unintelligible jargon|author-link=Francis Maseres}}</ref>

== Lihat juga ==
 {{div col|colwidth=20em}}
* [[Signed zero]]
* [[Additive inverse]]
* [[History of zero]]
* [[Integers]]
* [[Positive and negative parts]]
* [[Rational numbers]]
* [[Real numbers]]
* [[Sign function]]
* [[Sign (mathematics)]]
* [[Signed number representations]]
{{div col end}}

== Referensi ==

=== Kutipan ===
{{Reflist}}

=== Bibliografi ===
 {{refbegin}}
* Bourbaki, Nicolas (1998). ''Elements of the History of Mathematics''. Berlin, Heidelberg, and New York: Springer-Verlag. {{isbn|3-540-64767-8}}.
* Struik, Dirk J. (1987). ''A Concise History of Mathematics''. New York: Dover Publications.
{{refend}}

== Pranala luar ==

* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Maseres.html Informasi biografi Maseres]
* [http://www.bbc.co.uk/radio4/history/inourtime/inourtime_20060309.shtml Seri BBC Radio 4 ''In Our Time'', tentang "Angka Negatif", 9 Maret 2006]
* [http://www.free-ed.net/sweethaven/Math/arithmetic/SignedValues01_EE.asp Contoh & Latihan Tanpa Akhir: ''Operasi dengan Integer Bertanda'']
* [http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.negxneg.html Forum Matematika: Tanyakan pada Dr. Math FAQ: Kali Negatif menjadi Negatif]
[[Kategori:Angka]]
[[Kategori:Aritmetika dasar]]
[[Kategori:Halaman dengan terjemahan tak tertinjau]]