Lihat sumber Bilangan riil

[[Berkas:Latex real numbers square.svg|jmpl|100px|Simbol himpunan '''bilangan riil''']]
Dalam [[matematika]], '''bilangan riil''' atau '''bilangan real''' ({{Lang-en|real number}}) adalah [[bilangan]] yang dipakai untuk mengukur kuantitas dimensi satu yang sinambung seperti [[jarak]], [[Waktu|durasi]] atau [[suhu]].

Himpunan bilangan riil dapat dilambangkan dengan diberi notasi <math>\R</math>. Pengunaan istilah "riil" pertama kali diperkenalkan oleh [[René Descartes]] pada abad ke-17, yang bertujuan untuk membedakan [[akar fungsi]] riil dan [[bilangan imajiner|imajiner]] dari polinomial.<ref>{{Cite web|url=https://www.britannica.com/science/real-number|title=real number &#124; Definition, Examples, & Facts &#124; Britannica|website=www.britannica.com}}</ref>

Bilangan riil meliputi [[bilangan rasional]], seperti [[bilangan bulat]] 42 dan [[pecahan]] −23/129, dan [[bilangan irasional]], seperti π dan <math> \sqrt2 </math>. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.<ref name="schaum">{{cite book|last=Wrede|first=Robert|year=2007|title=Schaum Outlines:Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut|publisher=Penerbit Erlangga|pages=1-2|chapter=Bilangan|coauthors=Murray R. Spiegel}}</ref>

Bilangan riil dapat dipandang sebagai titik-titik yang terletak di sebuah [[garis]] yang panjangnya tak terhingga, dan garis itu disebut [[garis bilangan riil]]. Garis bilangan riil dapat dipandang sebagai bagian dari [[bidang kompleks]], sedangkan bilangan riil dapat dipandang sebagai bagian dari [[bilangan kompleks]].

[[Berkas:Real number line.svg|jmpl|350px|Bilangan riil dapat dipandang sebagai titik-titik yang terletak di [[garis bilangan]] dengan panjangnya tak terhingga.]]

Penjelasan tersebut belum cukup cermat berdasarkan standar modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup cermat, dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik, merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada [[abad ke-19]]. Definisi aksiomatik standar yang ada saat ini menyatakan bahwa bilangan riil yang membentuk [[lapangan terurut]] Dedekind-lengkap {{nowrap|<math>(\R \,, \, + \,, \, \cdot\, ,\, <)</math>}} dengan memperhatikan [[isomorfisma]],<ref>Lebih tepatnya, jika ada dua bidang yang keseluruhan teratur lengkap, maka ada suatu isomorfisma ''unik'' di antara keduanya. Di sini tersirat bahwa identitas dari otomorfisma bidang unik dari bilangan riil adalah kompatibel dengan penataan atau pengaturan.</ref> sedangkan definisi konstruktif dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai [[kelas ekuivalensi]] dari [[deret Cauchy]] (dari [[bilangan rasional]]), ''[[Dedekind cut]]'', atau "representasi desimal" tak terhingga, sama-sama mempunyai penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi orde. Definisi-definisi ini ekuivalen dan juga memenuhi definisi aksiomatik.

== Sifat ==
=== Sifat dasar ===
* Bilangan riil mempunyai [[identitas penambahan]]: {{Math|1=''x'' + 0 = 0 + ''x'' = ''x''}}, dan juga [[identitas perkalian]]: {{Math|1=1''x'' = ''x''1 = ''x''}}.
* Setiap bilangan riil {{Math|''x''}} mempunyai [[Invers aditif|invers penambahan]] {{Math|−''x''}} sehingga memenuhi {{Math|1=''x'' + (−''x'') = −''x'' + ''x'' = 0}}, dan juga mempunyai [[invers perkalian]] {{Math|1/''x''}} sehingga {{Math|1=''x''(1/''x'') = (1/''x'')''x'' = 1}}
* Untuk setiap bilangan riil bukan nol dapat bernilai [[Bilangan negatif|negatif]] atau [[bilangan positif|positif]].
* Jumlah dan hasil kali dua bilangan riil tak negatif akan menghasilkan bilangan riil tak negatif. Hal ini mengartikan bahwa bilangan-bilangan tersebut tertutup di bawah opersi penambahan dan perkalian.
* Bilangan riil membentuk himpunan tak terhingga yang tidak dapat dipetakan [[fungsi injektif|secara injektif]] himpunan bilangan asli yang tak terhingga. Hal ini mengartikan bahwa himpunan bilangan riil mempunyai jumlah bilangan riil yang dikatakan sebagai ''uncountably infinite'', sedangkan himpunan bilangan asli mempunyai jumlah bilangan asli yang [[Himpunan terhitung|''countably infinite'']]. Jadi, dapat dinyatakan bahwa bilangan riil mempunyai jumlah yang ''jauh'' lebih banyak daripada anggota di himpunan terbilang manapun.
* Terdapat sebuah hierarki subhimpunan ''countably infinite'' dari bilangan riil, dalam artian bahwa tiap-tiap himpunan bilangan bulat, bilangan rasional, [[bilangan aljabar]], dan [[bilangan terhitung]] merupakan subhimpunan sejati dari objek berikutnya. [[Komplemen (teori himpunan)|Komplemen]] dari semua himpunan-himpunan itu adalah himpunan bilangan irasional, himpunan bilangan transendental, dan himpunan bilangan riil tak terhitung, dan himpunan tersebut dikatakan sebagai ''uncountably infinite''.
* Bilangan riil dapat dipakai untuk menyatakan [[ukuran]] dari [[variabel kontinu|kuantitas kontinu]]. Bilangan riil dinyatakan dengan [[representasi desimal]], yang mengartikan bahwa hampir semua bilangan riil dinyatakan sebagai bilangan yang mengandung desimal dengan barisan digit tak terhingga, yang dimulai dari kanan [[tanda desimal]]. Bilangan riil kerapkali, sebagai contoh, ditulis seperti 324,823122147..., dengan [[Elipsis#Dalam matematika|elipsis]] (dilambangkan tiga titik) mengartikan bahwa masih terdapat lanjutan digit lain.

=== Kelengkapan bilangan riil ===
{{Main|Kelengkapan bilangan riil}}

Alasan utama menggunakan bilangan riil adalah agar banyak barisan mempunyai [[limit]]. Penjelasan lebih formalnya, bilangan riil dikatakan [[Kelengkapan (topologi)|lengkap]] dalam pengertian [[ruang metrik]] atau [[ruang seragam]]; penjelasan ini berbeda dengan kelengkapan orde Dedekind di bagian sebelumnya:
* Suatu [[barisan]] <math>(x_n)</math> dari bilangan riil disebut [[barisan Cauchy]] jika, untuk setiap <math>\varepsilon > 0</math>, terdapat bilangan bulat <math> N </math>  (tergantung nilai <math> \varepsilon </math>), sehingga [[jarak]] <math>\left|x_n - x_m \right|</math> lebih kecil daripada <math> \varepsilon </math> untuk semua <math> n </math> dan <math> m </math> yang lebih besar daripada <math> N </math>. Definisi ini pertama kali dinyatakan oleh [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], yang merumuskan bahwa suku-suku <math> x_n </math> akan semakin dekat terhadap satu sama lain.
* Suatu barisan <math>(x_n)</math> akan ''konvergen menuju limit'' <math> x </math>, jika anggotanya akan semakin dekat menuju <math> x </math>. Ini mengartikan bahwa untuk setiap <math> \varepsilon > 0 </math>, akan ada suatu bilangan bulat <math> N </math> (tergantung nilai <math> \varepsilon </math>) sehingga <math> \left| x_n - x \right| </math> lebih kecil daripada <math> \varepsilon </math> untuk <math> n </math> lebih besar daripada <math> N </math>.
Setiap barisan konvergen disebut barisan Cauchy, dan kebalikannya juga benar untuk bilangan riil. Dari pernyataan tersebut, mengartikan bahwa [[ruang topologis|ruang topologi]] dari bilangan riil dikatakan lengkap.

Himpunan bilangan rasional tidak dikatakan lengkap. Sebagai contoh, barisan <math> (1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...)</math>, dengan tiap suku yang memperluas desimal [[akar kuadrat]] positif dari 2, merupakan barisan Cauchy. Sayangnya, barisan ini tidak konvergen menuju bilangan rasional, dan sebaliknya bahwa dalam bilangan riil, akan konvergen menuju ke akar kuadrat positif dari 2.

=== Sifat lebih lanjut ===
{{See also|Garis bilangan riil}}

Himpunan bilangan riil adalah [[himpunan tak terhitung]]. Ini mengartikan bahwa kardinalitas dari himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota yang sangat banyak daripada himpunan bilangan asli, walaupun sama-sama himpunan tak terhingga. Bahkan [[kardinalitas kontinum|kardinalitas dari himpunan bilangan riil]] sama dengan himpunan kuasa dari bilangan asli, dan [[argumen diagonal Cantor]] mengatakan bahwa kardinalitas dari himpunan yang terakhir jauh lebih besar daripada kardinalitas dari <math>\mathbb{N}</math>. Karena himpunan bilangan aljabar adalah himpunan terhitung, hampir semua bilangan riil adalah transendental. Ketidakberadaan subhimpunan dari bilangan riil dengan kardinalitasnya berada di antara kardinalitas bilangan bulat dan bilangan riil dikenal sebagai [[hipotesis kontinum]]. Hipotesis kontinum tak dapat dibuktikan maupun dibantahkan, dan hipotesis ini [[Independensi logika|independen]] dari [[teori himpunan aksiomatik|aksioma teori himpunan]].

Sebagai ruang topologi, bilangan riil disebut [[ruang terpisah|terpisah]]. Ini disebabkan himpunan bilangan rasional adalah himpunan terhitung, dan rapat di bilangan riil. Bilangan irasional juga rapat di bilangan riil, tetapi himpunannya tak terhitung dan mempunyai kardinalitas yang sama seperti kardinalitas dari himpunan bilangan riil.

=== Kardinalitas ===
Himpunan bilangan riil adalah [[Himpunan terhitung|tak terhitung]], dalam artian bahwa himpunan bilangan riil tidak dapat [[fungsi satu-ke-satu|dipetakan satu-satu]] ke himpunan [[bilangan asli]], walaupun sama-sama merupakan [[himpunan tak hingga|himpunan tak terhingga]]. Bahkan, [[kardinalitas]] dari himpunan semua bilangan riil, yang dilambangkan <math>\mathfrak c</math> dan disebut [[kardinalitas kontinum]], lebih besar dari kardinalitas himpunan semua bilangan asli, yang dilambangkan [[Bilangan Aleph#Aleph-nihil|<math>\aleph_0</math>]].

Terdapat pernyataan yang berbunyi bahwa tidak ada subhimpunan dari himpunan bilangan riil dengan kardinalitasnya lebih besar dari <math>\aleph_0</math>, dan lebih kecil dari <math>\mathfrak c</math>. Pernyataan itu dikenal sebagai [[hipotesis kontinum]] ({{Lang-en|continuum hypothesis}}). Sayangnya, hipotesis ini masih belum dibuktikan atau dibantahkan menggunakan aksioma [[teori himpunan Zermelo–Fraenkel]] yang melibatkan [[aksioma pemilihan]].
== Sejarah ==
[[Berkas:Number-systems.svg|jmpl|Bilangan riil <math>(\mathbb{R})</math> berisi bilangan rasional <math>(\mathbb{Q})</math>, dan bilangan rasional berisi bilangan bulat <math>(\mathbb{Z})</math>, dan bilangan bulat berisi bilangan asli <math>(\mathbb{N})</math>.]]
Sekitar 1000 SM, [[Orang Mesir|bangsa Mesir]] menggunakan [[pecahan sederhana]]. Di [[zaman Weda]], [[Sutra (kitab)|kitab sutra]] yang berjudul [[Shulba Sutras?action=edit&redlink=1|''Shulba Sutras'']] mencantum pemakaian bilangan irasional pertama kalinya, dan konsep irasionalitas diterima secara langsung oleh [[Matematikawan India|matematikawan berkebangsaan India]]. [[Manava]] (750–690 SM) adalah seorang matematikawan India yang mengetahui bahwa [[akar kuadrat]] dari bilangan tertentu, seperti 2 dan 61, tidak dapat ditentukan dengan tepat.<ref>T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11.&nbsp;In: {{citation|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|editor1-first=Helaine|editor1-last=Selin|editor1-link=Helaine Selin|editor2-first=Ubiratan|editor2-last=D'Ambrosio|editor2-link=Ubiratan D'Ambrosio|year=2000|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=978-1-4020-0260-1}}.</ref> Sekitar 500&nbsp;SM, [[matematikawan Yunani]] dan [[Pythagoras]] juga mengetahui bahwa [[akar kuadrat dari 2]] adalah irasional.

Pada [[Abad Pertengahan|abad pertengahan]], bilangan-bilangan seperti [[nol]], [[bilangan negatif]], [[bilangan bulat]], dan bilangan [[Pecahan (matematika)|pecahan]] pertama kali dipakai oleh [[matematikawan India]] dan [[Matematikawan Tiongkok|Tiongkok]]. Bilangan-bilangan tersebut kemudian dipakai oleh [[Matematika Islam abad pertengahan|matematikawan Arab]], yang pertama kali memperlakukan bilangan irasional sebagai objek aljabar, yang memungkinkan juga sebagai penemuan aljabar.<ref>{{MacTutor|class=HistTopics|id=Arabic_mathematics|title=Arabic mathematics: forgotten brilliance?|year=1999}}</ref> Matematikawan Arab menggabungkan konsep [[bilangan]] dan [[Besaran (matematika)|magnitudo]] (besaran) menjadi gagasan bilangan riil yang lebih umum.<ref>{{citation|last=Matvievskaya|first=Galina|year=1987|title=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics|journal=[[New York Academy of Sciences|Annals of the New York Academy of Sciences]]|volume=500|issue=1|pages=253–77 [254]|doi=10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x|bibcode=1987NYASA.500..253M|s2cid=121416910}}</ref> Matematikawan Mesir [[Abū Kāmil Shujā ibn Aslam?action=edit&redlink=1|Abū Kāmil Shujā ibn Aslam]] adalah tokoh yang pertama kali menerima bilangan irasional sebagai solusi [[persamaan kuadrat]], atau sebagai [[koefisien]] dalam suatu [[persamaan]] (yang seringkali ditulis dalam akar kuadrat, [[akar kubik]], dan akar pangkat empat).<ref>Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", hlm. 148, in {{citation|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|first1=Helaine|last1=Selin|first2=Ubiratan|last2=D'Ambrosio|year=2000|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=978-1-4020-0260-1}}</ref>

Pada abad ke-16, [[Simon Stevin?action=edit&redlink=1|Simon Stevin]] menciptakan basis untuk notasi [[desimal]] yang modern, dan menegaskan bahwa tidak ada perbedaan antara bilangan rasional dan bilangan irasional.

Pada abad ke-17, [[Descartes]] memperkenalkan istilah "riil" (atau "real") untuk menjelaskan akar [[polinomial]], serta digunakan untuk membedakannya dengan bilangan "imajiner".

Pada abad ke-18 dan ke-19, banyak matematikawan yang mengerjakan bilangan irasional dan bilangan transendental. [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]] (1761) memberikan bukti yang cacat bahwa {{pi}} tak dapat menjadi rasional, dan bukti itu disempurnakan oleh [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] (1794)<ref>{{cite book|last=Beckmann|first=Petr|year=1971|url=https://archive.org/details/historyofpipi0000beck_g8t1/|title=A History of {{mvar|π}} (PI)|publisher=St. Martin's Press|page=[https://archive.org/details/historyofpipi0000beck_g8t1/page/170/ 170]|url-access=limited}}</ref> sekaligus memperlihatkan bahwa {{pi}} bukanlah akar kuadrat dari suatu bilangan rasional.<ref>{{citation|title=Pi Unleashed|first1=Jörg|last1=Arndt|first2=Christoph|last2=Haenel|publisher=Springer|year=2001|isbn=978-3-540-66572-4|page=192|url=https://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC&pg=PA192|access-date=2015-11-15}}.</ref> [[Joseph Liouville?action=edit&redlink=1|Liouville]] (1840) memperlihatkan bahwa ''{{mvar|e}}'' atau {{math|''e''<sup>2</sup>}} tidak dapat menjadi akar [[persamaan kuadrat]] berupa bilangan bulat. Liouville kemudian membuktikan keberadaan bilangan transendental, dan [[Georg Cantor|Cantor]] (1873) memperluas sekaligus menyederhanakan bukti tersebut.<ref>{{citation|title=The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue|first=William|last=Dunham|publisher=Princeton University Press|year=2015|isbn=978-1-4008-6679-3|page=127|url=https://books.google.com/books?id=aYTYBQAAQBAJ&pg=PA127|quote=Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work|access-date=2015-02-17}}</ref> [[Charles Hermite|Hermite]] (1873) membuktikan bahwa [[E (konstanta matematika)|''{{mvar|e}}'']] adalah transendental. [[Ferdinand von Lindemann|Lindemann]] (1882) juga membuktikan bahwa {{pi}} adalah transendental, dan bukti miliknya disederhanakan oleh Weierstrass (1885), [[David Hilbert|Hilbert]] (1893), [[Adolf Hurwitz?action=edit&redlink=1|Hurwitz]],<ref>{{cite journal|last=Hurwitz|first=Adolf|year=1893|title=Beweis der Transendenz der Zahl e|journal=Mathematische Annalen|pages=134–35|number=43}}</ref> dan [[Paul Gordan?action=edit&redlink=1|Gordan]].<ref>{{cite journal|last=Gordan|first=Paul|year=1893|title=Transcendenz von ''e'' und π|url=https://zenodo.org/record/1428218|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=43|pages=222–224|doi=10.1007/bf01443647|number=2–3|s2cid=123203471}}</ref>

Kalkulus dikembangkan dengan menggunakan bilangan riil tanpa harus mendefinisikannya secara cermat. Definisi cermat pertama diterbitkan oleh Cantor di tahun 1871. Pada tahun 1874, Cantor memperlihatkan bahwa himpunan dari semua bilangan riil adalah ''[[Himpunan tak tercacahkan|uncountably infinite]]'', tetapi himpunan dari semua bilangan aljabar adalah [[Himpunan terhitung|''countably infinite'']]. [[Bukti ketaktercacahan Cantor pertama]] berbeda dengan buktinya yang terkenal, [[bukti argumen diagonal]], yang diterbitkan di tahun 1891.

== Definisi formal ==
{{Main|Konstruksi bilangan riil}}

Sistem bilangan riil <math>(\mathbb{R} , {}+{} , {}\cdot{} , {}<{})</math> dapat didefinisikan [[Sistem aksiomatik|secara aksiomatik]] dengan memperhatikan [[isomorfisma]]. Terdapat cara lain mengonstruksi sistem bilangan riil, dan pendekatan yang terkenal melibatkan pendefinisian bilangan asli terlebih dahulu, berlanjut mendefinisikan bilangan rasional secara aljabar, dan terakhir mendefinisikan bilangan riil sebagia kelas ekuivalensi dari [[barisan Cauchy]]nya atau sebagai ''Dedekind cut'', yang merupakan subhimpunan bilangan rasional tertentu.<ref>{{cite web |work=18.095 Lecture Series in Mathematics |title=Lecture #1 |date=2015-01-05 |url=https://math.mit.edu/classes/18.095/2015IAP/lecture1/padic.pdf}}</ref> Pendekatan lainnya adalah dimulai dari beberapa aksiomatisasi [[geometri Euklides]], dan kemudian mendefinisikan sistem bilangan riil secara geometri.

=== Pendekatan aksiomatik ===

Misalkan <math>\mathbb{R}</math> menyatakan [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dari semua bilangan riil, maka:
* Himpunan <math>\mathbb{R}</math> adalah [[Lapangan (matematika)|lapangan]], yang berarti opersai [[penambahan]] dan [[perkalian]] terdefinisi dan mempunyai beberapa sifat-sifat.
* Lapangan <math>\mathbb{R}</math> adalah terurut, yang berarti bahwa terdapat [[orde total]] <math>\ge</math> sehingga untuk semua bilangan riil <math> x </math>, <math> y </math>, dan <math> z </math>:
** jika <math> x \ge y </math>, maka <math> x + z \ge y + z </math>; serta
** jika <math> x \ge 0 </math> dan <math> y \ge 0 </math>, maka <math> xy \ge 0 </math>.
* Ordenya adalah Dedekind kengkap, yang mengartikan bahwa setiap subhimpunan [[himpunan kosong|tidak kosong]] <math> S </math> dari <math>\mathbb{R}</math> dengan [[batas atas]] di <math>\mathbb{R}</math> mempunyai [[supremum]] di <math>\mathbb{R}</math>.

Sifat-sifat tersebut menyiratkan [[sifat Archimedes]] (yang tak disiratkan dengan definsii kelengkapan lainnya), dan sifat tersebut mengatakan bahwa himpunan bilangan bulat tidak mempunyai batas atas di himpunan bilangan riil. Bahkan jika pernyataan tersebut salah, maka bilangan bulat akan mempunyai batas atas terkecil <math> N </math>, maka <math> N - 1 </math> tidak akan menjadi batas atasnya, dan akan terdapat suatu bilangan bulat <math> n </math> sehingga <math>n > N - 1</math>, dan demikian <math> n + 1 > N </math>. Pernyataan ini menjadi kontradiksi dengan sifat batas atas <math> N </math>.

Bilangan riil dapat ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat sebelumnya. Lebih tepatnya, diketahui untuk setiap dua lapangan terurut sempurna Dedekind <math>\mathbb{R}_1</math> dan <math>\mathbb{R}_2</math>, maka akan terdapat satu buah lapangan [[isomorfisma]] dari <math>\mathbb{R}_1</math> ke <math>\mathbb{R_2}</math>. Ketunggalan tersebut memungkinkan bahwa objek-objek tersebut pada dasarnya dapat dipandang sama.

Untuk aksiomatisasi dari <math>\mathbb{R}</math> lainnya, lihat [[aksiomatisasi bilangan riil Tarski]].

=== Konstruksi dari bilangan rasional ===

Bilangan riil dapat dikonstruksi sebagai [[Ruang metrik lengkap|kelengkapan]] dari bilangna rasional, sehingga sebuah barisan didefinisikan dengan memperluas desimal atau biner, contohnya untuk kasus <math> \pi </math>, (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ...) [[Limit barisan|konvergen]] menuju satu buah bilangan riil. Untuk mengenal konstruksi bilangan riil lebih lanjut dan konstruksi lainnya, lihat [[konstruksi bilangan riil]].

== Penerapan dan kaitannya dengan bidang lain ==
=== Bilangan riil dan logika ===
Bilangan riil seringkali dirumuskan menggunakan aksiomatisasi  [[teori himpunan Zermelo–Fraenkel]], tetapi sebagian matematikawan mempelajari bilangan riil menggunakan dasar-dasar [[logika matematika]] lainnya. Secara khusus, bilangan riil dipelajari pula dalam ''[[reverse mathematics]]'' dan [[Konstruktivisme (matematika)|matematika konstruksi]].<ref>{{Citation|last1=Bishop|first1=Errett|last2=Bridges|first2=Douglas|title=Constructive analysis|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]|isbn=978-3-540-15066-4|year=1985|volume=279}}, chapter 2.</ref>

[[Bilangan hiperriil]] saat dikembangkan oleh [[Edwin Hewitt]], [[Abraham Robinson]] dan matematikawan lainnya, memperluas himpunan bilangan riil dengan memperkenalkan [[infinitesimal]] dan bilangan tak terhingga. Adanya bilangan ini akan dapat membangun [[kalkulus infinitesimal]], sebuah cabang matematika yang mendekati pandangan [[Leibniz]], [[Euler]], [[Cauchy]] dan matematikawan lainnya.<!-- Edward Nelson's internal set theory enriches the Zermelo–Fraenkel set theory syntactically by introducing a unary predicate "standard". In this approach, infinitesimals are (non-"standard") elements of the set of the real numbers (rather than being elements of an extension thereof, as in Robinson's theory). -->

[[Continuum hypothesis|Hipotesis kontinum]] berbunyi bahwa kardinalitas dari himpunan bilangan riil adalah <math>\aleph_1</math>, [[bilangan kardinal]] tak terhingga terkecil setelah kardinalitas dari bilangan bulat, yaitu <math>\aleph_0</math>. [[Paul Cohen (mathematician)|Paul Cohen]] membuktikan pada tahun 1963, bahwa hipotesis tersebut adalah suatu independen aksioma dari aksioma [[teori himpunan]] lainnya, dalam artian bahwa seseorang dapat memilih hipotesis kontinum atau negasinya sebagai aksioma teori himpunan, tanpa adanya kontradiksi.

=== Dalam fisika ===

Dalam ilmu fisika, hampir semua konstanta seperti [[Tetapan gravitasi|konstanta gravitasi]] semesta; dan variabel seperti posisi, massa, kecepatan, dan muatan listrik, digambarkan menggunakan bilangan riil. Bahkan teori-teori dasar seperti [[mekanika klasik]], [[elektromagnetisme]], [[mekanika kuantum]], [[relativitas umum]] dan [[model standar]] dijelaskan menggunakan struktur matematika seperti [[manifold mulus]] atau [[ruang Hilbert]], yang didasari dengan bilangan riil, walaupun pengukuran kuantitas fisik lainnya [[akurat dan presisi]].

== Notasi ==
Para matematikawan umumnya melambang '''R''' sebagai himpunan bilangan riil. Notasi lain untuk himpunan bilangan riil adalah <math>\mathbb{R}</math>, yang dapat diberi kode dalam [[Unicode]] (dan HTML) sebagai {{unichar|211D|html=}}. Karena himpunan ini dilengkapi dengan struktur [[Lapangan (matematika)|lapangan]], maka bentuk ''lapangan bilangan riil'' seringkali dipakai ketika sifat-sifat aljabar diketahui.

Himpunan bilangan riil positif dilambangkan sebagai <math>\mathbb{R}^+</math> dan himpunan bilangan riil negatif dilambangkan <math>\mathbb{R}^-</math>,<ref name="Schumacher96">{{harvnb|Schumacher|1996|loc=pp. 114–15}}</ref> dan notasi lainnya adalah <math>\mathbb{R}_+</math> dan <math>\mathbb{R}_-</math>.<ref name="nombres-reels-ens-paris">[[École Normale Supérieure]] of [[Paris]], [http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/logique/reels.pdf "{{lang|fr|Nombres réels}}" ("Real numbers")] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140508122311/http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/logique/reels.pdf|date=2014-05-08}}, p. 6</ref> Himpunan bilangan riil tak negatif dapat dilambangkan <math>\mathbb{R}_{\ge 0}</math>, tetapi himpunan ini seringkali dilambangkan sebagai <math>\mathbb{R}^+ \cup \{0\}.</math><ref name="Schumacher96" /> Dalam matematika [[Prancis]], ''bilangan riil positif'' dan ''bilangan riil negatif'' biasanya mengandun [[nol]], dan himpunan tersebut masing-masing dilambangka sebagai <math>\mathbb{R_+}</math> dan <math>\mathbb{R_-}.</math><ref name="nombres-reels-ens-paris" /> Himpunan tanpa nol disebut bilangan riil positif sempurna, yang diberi notasi <math>\mathbb{R}_{+}^*</math>, dan disebut bilangan riil negatif sempurna, yang diberi notasi <math>\mathbb{R}_{-}^*.</math><ref name="nombres-reels-ens-paris" />

Notasi <math>\mathbb{R}^n</math> mengacu pada himpunan [[rangkap]]-<math> n </math> dari anggota <math>\R</math> ([[ruang koordinat riil]]), yang dapat diidentifikasi dengan [[perkalian Cartesius]] dari {{mvar|n}} salinan <math>\mathbb{R}.</math> Notasi tersebut juga mengacu pada [[ruang vektor]] dimensi-{{mvar|n}} atas lapangan bilangan riil, yang kerapkali disebut [[ruang koordinat]] dimensi {{mvar|n}}. Ruang <math>\mathbb{R}^n</math> dapat diidentifikasi dengan [[ruang Euklides]] dimensi-{{mvar|n}}. [[Titik (geometri)|titik]] dari ruang Euklides diidentifikasi dengan rangkap dari [[koordinat Cartesius]]nya.

== Lihat pula ==
{{portal|matematika}}
* [[Analisis riil]]
* [[Bilangan riil yang dapat didefinisikan]]
* [[Kelengkapan bilangan riil]]
* [[Pecahan berlanjut]]

== Catatan kaki ==
{{reflist}}

== Pranala luar ==
* {{en}}[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_1.html The real numbers: Pythagoras to Stevin] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070212112939/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_1.html |date=2007-02-12 }}
* {{en}}[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_2.html The real numbers: Stevin to Hilbert] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070322192926/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_2.html |date=2007-03-22 }}
* {{en}}[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_3.html The real numbers: Attempts to understand] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070212113221/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_3.html |date=2007-02-12 }}
* {{id}}[http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2007/11/anreal-buku-v2-1.pdf Diktat Analisis Real Jurusan Matematika ITB] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160821050834/http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2007/11/anreal-buku-v2-1.pdf |date=2016-08-21 }}

{{Sistem Bilangan}}

[[Kategori:Bilangan]]
[[Kategori:Matematika dasar]]